【高中数学苏教版（2019）必修第一册同步练习】 8.2函数与数学模型（含答案）

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【高中数学苏教版（2019）必修第一册同步练习】
8.2函数与数学模型
一、单选题
1．已知函数f (x)= ，若f (x)=1，则x =（　　）
A．-1或 B．1 C．-5 D．1或-5
2．定义在 上的函数 满足 ，则 的值为（　　）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
3．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件需另投入成本为G（x），当年产量不足80千克时，
G（x）=x2+10x（万元）．当年产量不小于80千件时，G（x）=51x+﹣1450（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．则该厂在这一商品的生产中所获年利润的最大值是（　　）
A．900万元 B．950万元 C．1000万元 D．1150万元
4．设集合 , ,函数 ,若 ,且 ,则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．甲、乙两个工厂2015年1月份的产值相等，甲厂的产值逐月增加，且每月增长的产值相同；乙厂的产值也逐月增加，且每月增长的百分率相同，已知2016年1月份的产值又相等，则2016年7月份产值（　　）
A．甲厂高 B．乙厂高
C．甲、乙两厂相等 D．甲、乙两厂高低无法确定
6．已知函数 ，若 ，则有（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.为研究筒车的运动情况，将筒车抽象为一个以原点为圆心，R为半径的圆，某盛水筒抽象为圆上的点P，如图2.设筒车按逆时针方向每旋转一周用时100秒，当点P位于初始点时记为秒，在筒车旋转t秒的过程中，点的纵坐标满足，则下列叙述正确的是（　　）
A．筒车转动的角速度
B．当秒时，点P的纵坐标为-2
C．当秒时，点P和初始点的距离为4
D．当秒时，点P距离x轴的最大值为4
8．若函数 同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有 ；②对于定义域上的任意 ，当 时，恒有 ，则称函数 为“理想函数”．下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．已知函数，则　 　.
10．设函数 ，则 　 　．
11．关于函数 有以下四个命题：
①对于任意的 ，都有 ； ②函数 是偶函数；
③若 为一个非零有理数，则 对任意 恒成立；
④在 图象上存在三个点 ， ， ，使得 为等边三角形．其中正确命题的序号是　 　．
12．已知函数，关于x的不等式的解集为I，若 ，则实数a的取值范围是　 　．
13．已知函数 ，（ 且 ）是 上的减函数，则 的取值范围是　 　
14．a为实数，函数在区间上的最大值记为. 当　 　 时，的值最小.
四、解答题
15．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当年销售利润不超过100万元时，按年销售利润的5%进行奖励；当年销售利润超过100万元时，若超出 万元，则奖励 万元，没超出部分仍按5%进行奖励.记奖金为 万元，年销售利润为 万元.
（1）写出 关于 的函数解析式；
（2）如果业务员小张获得了10万元的奖金，那么他的年销售利润是多少万元？
16．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件(x＞0)，则平均仓储时间为 天，且每件产品每天的仓储费用为1元.设生产每批的总费用为y.（总费用指的是生产准备费用与仓储费用之和）
（1）求y关于x的关系式；
（2）每批应生产多少件产品时平均费用最小？并求出最小平均费用.
17．2005年8月，时任浙江省省委书记的习近平同志就提出了“绿水青山就是金山银山”的科学论断.为了改善农村卫生环境，振兴乡村，加快新农村建设，某地政府出台了一系列惠民政策和措施某村民为了响应政府号召，变废为宝，准备建造一个长方体形状的沼气池，利用秸秆、人畜肥等做沼气原料，用沼气解决日常生活中的燃料问题.若沼气池的体积为18立方米，深度为3米，池底的造价为每平方米180元，池壁的造价为每平方米150元，池盖的总造价为2000元.设沼气池底面长方形的一边长为x米，但由于受场地的限制，x不能超过2米.
（1）求沼气池总造价y关于x的函数解析式，并指出函数的定义域；
（2）怎样设计沼气池的尺寸，可以使沼气池的总造价最低？并求出最低造价.
18．由于新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A公司在收到政府x（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中k为工厂工人的复工率；A公司生产t万件防护服还需投入成本（48＋7x＋50t）（万元）．
（1）将A公司生产防护服的利润y（万元）表示为补贴x（万元）的函数（政府补贴x万元计入公司收入）；
（2）对任意的（万元），当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？
19．习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”．常州市一乡镇响应号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量 (单位：千克)与肥料费用 (单位：元)满足如下关系： 其它成本投入(如培育管理等人工费)为 (单位：元)．已知这种水果的市场售价大约为 元/千克，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为 (单位：元)．
（1）求 的函数关系式；
（2）当投入的肥料费用为多少时，该单株水果树获得的利润最大 最大利润是多少
20．已知函数 ，且 ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求实数 的取值范围；
（3）若方程 有两个不同的实数解，求实数 的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分段函数的应用
2．【答案】B
【知识点】函数的值；分段函数的应用
3．【答案】C
【知识点】函数模型的选择与应用
4．【答案】C
【知识点】元素与集合的关系；分段函数的应用
5．【答案】A
【知识点】函数模型的选择与应用
6．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；分段函数的应用
7．【答案】A,B
【知识点】根据实际问题选择函数类型；正弦函数的性质
8．【答案】C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质；分段函数的应用
9．【答案】4
【知识点】分段函数的应用
10．【答案】15
【知识点】函数的值；分段函数的应用
11．【答案】①②③④
【知识点】命题的真假判断与应用；分段函数的应用
12．【答案】（-∞，-1）
【知识点】分段函数的应用
13．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；分段函数的应用
14．【答案】2-2
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；分段函数的应用
15．【答案】（1）解：由题可得当 ， ，
当 时， ，
（2）解： ， ，
则 ，解得 ，
所以他的年销售利润是131万元
【知识点】根据实际问题选择函数类型
16．【答案】（1）解：由题意知，生产 件产品的仓储费用为 = ，
所以 ；
（2）解：由题意知，平均费用为 ，
因为 ，
，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以当每批生产80件时，平均费用最小为21元.
【知识点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式
17．【答案】（1）解：沼气池的宽为，
依题意
（2）解：由（1）得，
对于函数，
任取，
其中，
所以，
所以在上递减，
所以当长米，宽米时，最小，也即总造价最小，
最小值为元.
【知识点】根据实际问题选择函数类型
18．【答案】（1）解：由题意可得，
所以A公司生产防护服的利润（万元）与补贴（万元）的函数关系为：
，；
（2）解：由题意可知，问题可转化为对所有的恒成立，
即在但成立，
即，
令，则，
此时，
令
任取，
，其中.
当时，，；
当时，，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
且．所以的最大值为，则．
所以复工率k达到0.6时，对任意的，A公司才能不产生亏损．
【知识点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式
19．【答案】（1）解：由已知 ，
答： 的函数关系式为
（2）解：由（1）
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
且
；
当 时， ，
，
当且仅当 时，即 时等号成立．
，
因为 ，所以当 时， ．
答：当投入的肥料费用为 元时，种植该果树获得的最大利润是 元．
【知识点】函数最值的应用；函数模型的选择与应用
20．【答案】（1）解： 函数 ，且 ．
，解得
（2）解：由（1）知 ， 为 上的增函数
因为 有 ， 解得 ，
所以实数 的取值范围
（3）解：方程 有两个不同的实数解，
即 有两个不同的实数解，
函数
其中， 时， ； 时， ；
要使方程 +1有两个不同的实数解，有 ，
的取值范围
【知识点】指数函数的概念与表示；指数函数单调性的应用；分段函数的应用
【高中数学苏教版（2019）必修第一册同步练习】 8.2函数与数学模型
一、单选题
1．已知函数f (x)= ，若f (x)=1，则x =（　　）
A．-1或 B．1 C．-5 D．1或-5
2．定义在 上的函数 满足 ，则 的值为（　　）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
3．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件需另投入成本为G（x），当年产量不足80千克时，
G（x）=x2+10x（万元）．当年产量不小于80千件时，G（x）=51x+﹣1450（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．则该厂在这一商品的生产中所获年利润的最大值是（　　）
A．900万元 B．950万元 C．1000万元 D．1150万元
4．设集合 , ,函数 ,若 ,且 ,则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．甲、乙两个工厂2015年1月份的产值相等，甲厂的产值逐月增加，且每月增长的产值相同；乙厂的产值也逐月增加，且每月增长的百分率相同，已知2016年1月份的产值又相等，则2016年7月份产值（　　）
A．甲厂高 B．乙厂高
C．甲、乙两厂相等 D．甲、乙两厂高低无法确定
6．已知函数 ，若 ，则有（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.为研究筒车的运动情况，将筒车抽象为一个以原点为圆心，R为半径的圆，某盛水筒抽象为圆上的点P，如图2.设筒车按逆时针方向每旋转一周用时100秒，当点P位于初始点时记为秒，在筒车旋转t秒的过程中，点的纵坐标满足，则下列叙述正确的是（　　）
A．筒车转动的角速度
B．当秒时，点P的纵坐标为-2
C．当秒时，点P和初始点的距离为4
D．当秒时，点P距离x轴的最大值为4
8．若函数 同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有 ；②对于定义域上的任意 ，当 时，恒有 ，则称函数 为“理想函数”．下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．已知函数，则　 　.
10．设函数 ，则 　 　．
11．关于函数 有以下四个命题：
①对于任意的 ，都有 ； ②函数 是偶函数；
③若 为一个非零有理数，则 对任意 恒成立；
④在 图象上存在三个点 ， ， ，使得 为等边三角形．其中正确命题的序号是　 　．
12．已知函数，关于x的不等式的解集为I，若 ，则实数a的取值范围是　 　．
13．已知函数 ，（ 且 ）是 上的减函数，则 的取值范围是　 　
14．a为实数，函数在区间上的最大值记为. 当　 　 时，的值最小.
四、解答题
15．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当年销售利润不超过100万元时，按年销售利润的5%进行奖励；当年销售利润超过100万元时，若超出 万元，则奖励 万元，没超出部分仍按5%进行奖励.记奖金为 万元，年销售利润为 万元.
（1）写出 关于 的函数解析式；
（2）如果业务员小张获得了10万元的奖金，那么他的年销售利润是多少万元？
16．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件(x＞0)，则平均仓储时间为 天，且每件产品每天的仓储费用为1元.设生产每批的总费用为y.（总费用指的是生产准备费用与仓储费用之和）
（1）求y关于x的关系式；
（2）每批应生产多少件产品时平均费用最小？并求出最小平均费用.
17．2005年8月，时任浙江省省委书记的习近平同志就提出了“绿水青山就是金山银山”的科学论断.为了改善农村卫生环境，振兴乡村，加快新农村建设，某地政府出台了一系列惠民政策和措施某村民为了响应政府号召，变废为宝，准备建造一个长方体形状的沼气池，利用秸秆、人畜肥等做沼气原料，用沼气解决日常生活中的燃料问题.若沼气池的体积为18立方米，深度为3米，池底的造价为每平方米180元，池壁的造价为每平方米150元，池盖的总造价为2000元.设沼气池底面长方形的一边长为x米，但由于受场地的限制，x不能超过2米.
（1）求沼气池总造价y关于x的函数解析式，并指出函数的定义域；
（2）怎样设计沼气池的尺寸，可以使沼气池的总造价最低？并求出最低造价.
18．由于新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A公司在收到政府x（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中k为工厂工人的复工率；A公司生产t万件防护服还需投入成本（48＋7x＋50t）（万元）．
（1）将A公司生产防护服的利润y（万元）表示为补贴x（万元）的函数（政府补贴x万元计入公司收入）；
（2）对任意的（万元），当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？
19．习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”．常州市一乡镇响应号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量 (单位：千克)与肥料费用 (单位：元)满足如下关系： 其它成本投入(如培育管理等人工费)为 (单位：元)．已知这种水果的市场售价大约为 元/千克，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为 (单位：元)．
（1）求 的函数关系式；
（2）当投入的肥料费用为多少时，该单株水果树获得的利润最大 最大利润是多少
20．已知函数 ，且 ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求实数 的取值范围；
（3）若方程 有两个不同的实数解，求实数 的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分段函数的应用
2．【答案】B
【知识点】函数的值；分段函数的应用
3．【答案】C
【知识点】函数模型的选择与应用
4．【答案】C
【知识点】元素与集合的关系；分段函数的应用
5．【答案】A
【知识点】函数模型的选择与应用
6．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；分段函数的应用
7．【答案】A,B
【知识点】根据实际问题选择函数类型；正弦函数的性质
8．【答案】C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质；分段函数的应用
9．【答案】4
【知识点】分段函数的应用
10．【答案】15
【知识点】函数的值；分段函数的应用
11．【答案】①②③④
【知识点】命题的真假判断与应用；分段函数的应用
12．【答案】（-∞，-1）
【知识点】分段函数的应用
13．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；分段函数的应用
14．【答案】2-2
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；分段函数的应用
15．【答案】（1）解：由题可得当 ， ，
当 时， ，
（2）解： ， ，
则 ，解得 ，
所以他的年销售利润是131万元
【知识点】根据实际问题选择函数类型
16．【答案】（1）解：由题意知，生产 件产品的仓储费用为 = ，
所以 ；
（2）解：由题意知，平均费用为 ，
因为 ，
，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以当每批生产80件时，平均费用最小为21元.
【知识点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式
17．【答案】（1）解：沼气池的宽为，
依题意
（2）解：由（1）得，
对于函数，
任取，
其中，
所以，
所以在上递减，
所以当长米，宽米时，最小，也即总造价最小，
最小值为元.
【知识点】根据实际问题选择函数类型
18．【答案】（1）解：由题意可得，
所以A公司生产防护服的利润（万元）与补贴（万元）的函数关系为：
，；
（2）解：由题意可知，问题可转化为对所有的恒成立，
即在但成立，
即，
令，则，
此时，
令
任取，
，其中.
当时，，；
当时，，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
且．所以的最大值为，则．
所以复工率k达到0.6时，对任意的，A公司才能不产生亏损．
【知识点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式
19．【答案】（1）解：由已知 ，
答： 的函数关系式为
（2）解：由（1）
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
且
；
当 时， ，
，
当且仅当 时，即 时等号成立．
，
因为 ，所以当 时， ．
答：当投入的肥料费用为 元时，种植该果树获得的最大利润是 元．
【知识点】函数最值的应用；函数模型的选择与应用
20．【答案】（1）解： 函数 ，且 ．
，解得
（2）解：由（1）知 ， 为 上的增函数
因为 有 ， 解得 ，
所以实数 的取值范围
（3）解：方程 有两个不同的实数解，
即 有两个不同的实数解，
函数
其中， 时， ； 时， ；
要使方程 +1有两个不同的实数解，有 ，
的取值范围
【知识点】指数函数的概念与表示；指数函数单调性的应用；分段函数的应用
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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