【高中数学苏教版（2019）必修第一册同步练习】 第八章函数应用综合题（含答案）

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【高中数学苏教版（2019）必修第一册同步练习】
第八章函数应用综合题
一、单选题
1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（　　）
x 1.992 3 4 5.15 6.126
y 1.517 4.0418 7.5 12 18.01
A． B． C． D．
2．某化工原料厂原来月产量为100吨，月份增产20%，二月份比一月份减产10%，则二月份产量为（　　）．
A．106吨 B．108吨 C．110吨 D．112吨
3．已知函数f（x）=若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（　　）
A．（1，2015） B．（1，2016） C．（2，2016） D．[2，2016]
4．已知函数 是 上的减函数，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．已知函数若存在唯一的整数x，使得成立，则所有满足条件的整数a的取值集合为（　　）
A． B．
C． D．
6．已知函数f(x)=在[-1，1]上的最大值为M(a) ，若函数g(x)=M(x)-有4个零点，则实数t的取值范围为（　　）
A．(1，) B．(，-1)
C．(，-1)(1，2) D．(，-1)(1， )
7．若、是方程，的解，函数，则关于的方程的解的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
8．某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买x吨，运费为9万元/次，一年的总储存费用为4x万元，要使一年的总运费与总储存费用之和最小，则下列说法正确的是（　　）
A． 时费用之和有最小值 B． 时费用之和有最小值
C．最小值为850万元 D．最小值为360万元
9．我们把定义域为 且同时满足以下两个条件的函数 称为“ 函数”：（1）对任意的 ，总有 ；（2）若 ， ，则有 成立，下列判断正确的是（　　）
A．若 为“ 函数”，则
B．若 为“ 函数”，则 在 上为增函数
C．函数 在 上是“ 函数”
D．函数 在 上是“ 函数”
三、填空题
10．已知函数 ，则 　 　．
11．若 则 　 　.
12．已知函数 ，且 ，若函数 在[0，2]上的最大值比最小值大 ，则 的值为　 　.
13．当生物死亡后，它机体内碳14会按照确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，照此规律，人们获得了生物体内碳14含量与死亡时间之间的函数关系式，（其中为生物死亡之初体内的碳14含量，为死亡时间（单位：年），通过测定发现某古生物遗体中碳14含量为，则该生物的死亡时间大约是　 　年前．
14．如果函数 满足对任意的 ，都有 成立，那么实数 的取值范围是　 　．
15．设常数k＞1，函数y=f（x）= ，则f（x）在区间[0，2）上的取值范围为　 　．
16．已知函数 ， ，则 最大值是　 　．
四、解答题
17．某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14，40]时，曲线是函数 （ 且 ）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳．
（1）试求 的函数关系式；
（2）一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．
18．某企业参加 项目生产的工人为 人，平均每人每年创造利润 万元.根据现实的需要，从 项目中调出 人参与 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润 万元（ ）， 项目余下的工人每人每年创造利图需要提高
（1）若要保证 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来 名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加 项目从事售后服务工作？
（2）在（1）的条件下，当从 项目调出的人数不能超过总人数的 时，才能使得 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数 的取值范围.
19．商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格（标价）出售．问：
（1）商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？
（2）通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？
20．某公司欲将一批生鲜用冷藏汽车从甲地运往相距90千米的乙地，运费为每小时80元，装卸费为1000元，生鲜在运输途中的损耗费的大小(单位：元)是汽车速度( )值的2倍.(注：运输的总费用＝运费＋装卸费＋损耗费)
（1）若汽车的速度为每小时50千米，试求运输的总费用；
（2）为使运输的总费用不超过1260元，求汽车行驶速度的范围；
（3）若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时多少千米的速度行驶？
21．如图，在直角坐标系 xOy 中，已知点 直线 ，将 分成两部分，记左侧部分的多边形为 ，设 各边的平方和为 ， 各边长的倒数和为 .
（Ⅰ）求分别求函数 和 的解析式；
（Ⅱ）是否存在区间 ，使得函数 和 在该区间上均单调递减？若存在，求 的最大值；若不存在，说明理由.
22．已知函数f（x）=x（1+a|x|），a∈R．
（1）当a=-1时，求函数 的零点；
（2）若函数f（x）在R上递增，求实数a的取值范围；
（3）设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若 ，求实数a的取值范围．
23．近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度v（单位：m/s）．其中（单位m/s）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为2000m/s．
参考数据：，．
（1）当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度增加500 m/s，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T，求不小于T的最小整数？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】根据实际问题选择函数类型
2．【答案】B
【知识点】根据实际问题选择函数类型
3．【答案】C
【知识点】函数的图象；分段函数的应用
4．【答案】C
【知识点】分段函数的应用
5．【答案】A
【知识点】分段函数的应用
6．【答案】C
【知识点】函数最值的应用；函数的零点
7．【答案】C
【知识点】函数的图象；分段函数的应用；函数的零点
8．【答案】B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用
9．【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的值；分段函数的应用
10．【答案】
【知识点】函数的值；分段函数的应用
11．【答案】
【知识点】函数的值；分段函数的应用
12．【答案】 或
【知识点】函数最值的应用
13．【答案】17190
【知识点】函数模型的选择与应用
14．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；分段函数的应用
15．【答案】（﹣1，0]∪（﹣4k，﹣k]
【知识点】分段函数的应用
16．【答案】
【知识点】函数最值的应用
17．【答案】（1）当t∈(0，14]时，设p＝f(t)＝c(t－12)2＋82(c<0)，
将点(14，81)代入得c＝－ ，
∴当t∈(0，14]时，p＝f(t)＝－ (t－12)2＋82；
当t∈(14，40]时，将点(14，81)代入y＝loga(t－5)＋83，得a＝ .
所以p＝f(t)＝
（2）当t∈(0，14]时，－ (t－12)2＋82≥80，
解得： ，
所以 ；
当t∈(14，40]时，log (t－5)＋83≥80，
解得5综上 时学生听课效果最佳.
此时
所以，教师能够合理安排时间讲完题目.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值；根据实际问题选择函数类型
18．【答案】（1）解：设调出 人参加 项目从事售后服务工作
由题意得： ，
即 ，又 ，所以 ．即最多调整500名员工从事第三产业．
（2）解：由题知， ，
从事第三产业的员工创造的年总利润为 万元，
从事原来产业的员工的年总利润为 万元，
则 ，
所以 ，
所以 ，
即 恒成立，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
即 的取值范围为 ．
【知识点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用
19．【答案】解：（1）设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，
则x∈（100，300]n=kx+b（k＜0），
∵0=300k+b，即b=﹣300k，
∴n=k（x﹣300）
y=（x﹣100）k（x﹣300）
=k（x﹣200）2﹣10000k（x∈（100，300]）
∵k＜0，
∴x=200时，ymax=﹣10000k，
即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．
（2）解：由题意得，k（x﹣100）（x﹣300）=﹣10000k 75%
x2﹣400x+37500=0
解得x=250或x=150
所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元
【知识点】一元二次不等式的实际应用；函数模型的选择与应用
20．【答案】（1）解：当汽车速度为50 时，运输总费用为：
(元)
（2）解：设汽车行驶的速度为
由题意可得：
化简得 ，解得
∴汽车行驶速度的范围为 .
（3）解：设汽车行驶的速度为 ，则运输的总费用为
当且仅当 ，即 时，等号成立
答：故若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时60千米的速度行驶.
【知识点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用
21．【答案】解：（Ⅰ）当 时，多边形 是三角形（如图①），边长依次为t， ，2t当 时，多边形 是四角形（如图②），边长依次为 所以 （Ⅱ）由（Ⅰ）中 的解析式可知，函数 的单调递减区间是 ，所以另一方面，任取 ， ，且 ，则 = 由 知
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的判断与证明；分段函数的应用
22．【答案】（1）解：当a=-1时，函数 =x（1-|x|）- ，
由y=0可得x（1-|x|）= ，
当x≥0时，可得x（1-x）= ，解得x= ；
当x＜0时，可得x（1+x）= ，解得x= ，
综上可得函数的零点为 和
（2）解：f（x）= ，
函数f（x）在R上递增，
若a=0时，f（x）=x在R上递增；
a≠0，由x≥0时，f（x）递增，可得a＞0且- ＜0，即a＞0；
x＜0时，f（x）递增，可得a＞0且 ＞0，即a＞0；
a＜0时，不符题意．
综上可得a的范围是[0，+∞）
（3）解：由于f（x）= ，
关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为M，若[- ， ] A，
则在[- ， ]上，函数y=f（x+a）的图象应在函数y=f（x）的图象的下方．
当a=0时，显然不满足条件．
当a＞0时，函数y=f（x+a）的图象是把函数y=f（x）的图象
向左平移a个单位得到的，
结合图象（右上方）可得不满足函数y=f（x+a）的图象
在函数y=f（x）的图象下方．
当a＜0时，如图所示，要使在[- ， ]上，
函数y=f（x+a）的图象在函数y=f（x）的图象的下方，
只要f（- +a）＜f（- ）即可，
即-a（- +a）2+（ -a）＜-a（- ）2- ，
化简可得a2-a-1＜0，解得 ＜a＜ ，
故此时a的范围为（ ，0）．
综上可得，a的范围为（ ，0）．
【知识点】函数单调性的性质；函数的图象；函数的零点
23．【答案】（1）解：当总质比为230时，，
即A型火箭的最大速度为.
（2）解：A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，所以A型火箭的喷流相对速度为，总质比为，
由题意得：
因为，所以，
即，所以不小于T的最小整数为45．
【知识点】函数最值的应用；函数模型的选择与应用
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