2023-2024学年江西省上饶市高二下学期期末教学质量检测数学试卷（含答案）

2023-2024学年江西省上饶市高二下学期期末教学质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知数列是等差数列，若，则( )
A. B. C. D.
3.“”是“且”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.设为上的奇函数，且当时，，则( )
A. B. C. D.
5.函数的导数( )
A. B. C. D.
6.已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.己知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
8.意大利数学家斐波那契年年以兔子繁殖数量为例，引入数列：，，，，，，，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为，设是不等式的正整数解，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是( )
A. 函数在上单调递增 B. 函数在上单调递减
C. 函数在处取得极大值 D. 函数有最大值
10.下列说法正确的是( )
A. 设已知随机变量满足，则
B. 若，则
C. 若，设，则
D. 若事件相互独立且，则
11.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 的单调递增区间是
B. 的值域为
C.
D. 若，，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某种产品的广告费支出单位：万元与销售额单位：万元之间有如下对应数据：
根据上表数据得到关于的经验回归方程，则的值为 ．
13.若是奇函数，则 ．
14.数列中，，设是函数且的极值点若表示不超过的最大整数，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在点处的切线方程为．
求，
求的单调区间和极值．
16.本小题分
求下列函数的最值．
求函数的最小值．
已知，求函数的最大值．
17.本小题分
已知等比数列的前项和为，，且．
求数列的通项公式
若，求数列的前项和．
18.本小题分
二手车经销商小王对其所经营的型号二手汽车的使用年数与销售价格单位：万元辆进行整理，得到如下数据：
使用年数
售价
下面是关于的折线图：
由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明
求关于的回归方程并预测某辆型号二手车当使用年数为年时售价约为多少、小数点后保留两位有效数字
基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于元，请根据求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年
参考数据：，，，，，，，．
参考公式：回归直线方程中，，、为样本平均值．
19.本小题分
函数．
讨论的单调性
若函数有两个极值点，，曲线上两点，连线斜率记为，求证：
盒子中有编号为的个小球除编号外无区别，有放回的随机抽取个小球，记抽取的个小球编号各不相同的概率为，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：定义域为，，
将点代入中，
，．
，
，
递增 极大值 递减 极小值 递增
的单调递增区间为，，单调递减区间为；
的极大值为，极小值为．
16.解：，，
，
故函数的最小值为，当且仅当，即时取得；
，
，
，
当且仅当即时，等号成立，有最大值．
17.解：当时，，得，
当时， ，得，
数列是公比为的等比数列，

由得：，
又，
，
两式相减得： ，
故，
．
18.解：由题意，，
，
且，，，
．
与的相关系数大约为，说明与的线性相关程度很高；
，
，
关于的线性回归方程是，
又 ，
关于的回归方程是．
令，解得，
即预测某辆型号二手车当使用年数为年时售价约万元；
当时，，
，解得，
因此预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过年．
19.解：的定义域为，，
对于方程，，
当，即时，，，在上单调递增，
当，即或时，方程有两个不等根，
，，而，，
所以当时，，在上恒成立，在上单调递增
当时，，或时，，时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增
当时，在和上单调递增，
在上单调递减．
由题，
所以要证，即证，即证，
也即证成立．
设，函数，
由知在上单调递增，且，
所以时，，所以成立，原不等式得证．
由题，，
因为，，，，
所以，
又由知，，
取，有，即，也即，
所以．
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