2024—2025学年上学期北京初中数学八年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片）

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2024—2025学年上学期北京初中数学八年级开学模拟试卷3
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（　　）
A．线段AD是△ABC的BC边上的高线
B．线段AD是△ABC的AC边上的高线
C．线段CD是△ABC的AC边上的高线
D．线段CD是△ABC的AB边上的高线
2．凸四边形ABCD的两条对角线和两条边的长度都为1，则四边形ABCD中最大内角度数为（　　）
A．150° B．135° C．120° D．105°
3．如图，△BCE的一个外角是（　　）
A．∠A B．∠ACE C．∠AEC D．∠BCD
4．将方程3x﹣y＝1变形为用含x的代数式表示y（　　）
A．3x＝y+1 B．y＝3x﹣1 C．y＝1﹣3x D．x
5．如图，一个蓄水桶，60分钟可将一满桶水放干．其中，水位h（cm）随着放水时间t（分）的变化而变化．h与t的函数的大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
6．在△ABC与△DEF中，已知BC＝EF；∠C＝∠F；再加一个条件，却不能判断△ABC与△DEF全等的是（　　）
A．AB＝DE B．AC＝DF C．∠B＝∠E D．∠A＝∠D
7．如图是某手机店1～4月份的统计图，分析统计图，对3、4月份品牌A手机的销售情况四个同学得出的以下四个结论，其中正确的为（　　）
A．4月份品牌A手机销售额为65万元
B．4月份品牌A手机销售额比3月份有所上升
C．4月份品牌A手机销售额比3月份有所下降
D．3月份与4月份的品牌A手机销售额无法比较
8．已知x＞y，则下列不等式不成立的是（　　）
A．x﹣2＞y﹣2 B．3x＞3y C．﹣5x＞﹣5y D．﹣x+4＜﹣y+4
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．关于x的不等式a﹣x≥2的解集如图所示，则a的值是 　 　．
10．计算：（﹣1）3＝　 　．
11．若关于x和y的二元一次方程组，满足x﹣y＞0，那么整数m的最大值是 　 　．
12．学校操场原有盆栽a盆，校庆活动增加50%，现有盆栽 　 　盆．
13．如图，点P是△ABC的两条角平分线BP，CP的交点，若∠BPC＝100°，则∠A的度数是 　 　．
14．如图，在等边△ABC中，AB＝4，D是BC边上任意一点（不与B，C重合），过点D作DE⊥AC，垂足为E，作点E关于直线AD对称的点E'，作点E关于点D的对称点E″，作△EE'E″，当△EE'E″是轴对称图形时，S△EE'E″＝　 　．
15．如图，在四边形纸片中，∠D＝50°，若沿图中虚线剪去∠D，则∠1+∠2＝　 　°．
16．某次知识竞赛共有20道选择题，对于每一道题，答对得10分，答错或不答扣3分．若小刚希望总得分不少于70分，则他至少需答对 　 　道题．
三．解答题（共6小题）
17．（1）解方程组；
（2）解不等式组．
18．如图，△ABC中．
（1）尺规作图：在直线BC上求作一点P，使△APC是以AC为底边的等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若∠C＝60°，∠B＝90°，AC＝6，求BP的长．
19．如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝DC，AF＝DE，CF＝BE．求证：AF∥DE．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴相交于点P，直线l上的两点A（1，a），B（b，1）满足，将线段AB向右平移5个单位长度得到线段DC．
（1）点C的坐标为 　 　．
（2）AD，BC，AC，点Q是x轴上一点（不与点P重合），连接AQ，交BC于点E．
①当AC恰好平分∠DAQ时，试判断∠AQP与∠ACB有什么数量关系？并说明理由；
②设点Q（t，0），记三角形ABQ的面积为S，三角形AOC的面积为S0.当时，求点Q的坐标．
21．如图在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），且a2+b2﹣4a﹣8b+20＝0．
（1）求A，B两点的坐标．
（2）如图①，P是∠BOA的平分线一点，PA⊥PB于P，求P点坐标．
（3）如图②，在（2）的条件下，过P作PC⊥PO交x轴于C，求点C的坐标．
22．如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是长方形，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB∥CD，AB＝CD＝8，AD＝BC＝6，D点与原点重合，坐标为（0，0）．
（1）点B的坐标为 　 　．
（2）动点P从点A出发以每秒3个单位长度的速度向终点B匀速运动，动点Q从点C出发以每秒4个单位长度的速度沿射线CD方向匀速运动，若P，Q两点同时出发，设运动时间为t，当t＝　 　时，BP＝CQ；
（3）在（2）的条件下，当Q运动到某一位置时，△ADQ的面积为9，求此时Q点的坐标．
2024—2025学年上学期北京初中数学八年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（　　）
A．线段AD是△ABC的BC边上的高线
B．线段AD是△ABC的AC边上的高线
C．线段CD是△ABC的AC边上的高线
D．线段CD是△ABC的AB边上的高线
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【专题】三角形；几何直观．
【答案】D
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：线段AD不是△ABC的边上的高线，故选项A、B说法错误，不符合题意；
线段CD是△ABC的AB边上的高线，故选项C说法错误，不符合题意，选项D说法正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
2．凸四边形ABCD的两条对角线和两条边的长度都为1，则四边形ABCD中最大内角度数为（　　）
A．150° B．135° C．120° D．105°
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；应用意识．
【答案】A
【分析】如图，设∠BAD＝x，则∠DAC＝60﹣x，根据等腰三角形的性质用含有x的代数式表示出∠ADB与∠ADC即可得解．
【解答】解：如图：
∠BDC恒等于150°，
设∠BAD＝x，则∠DAC＝60﹣x，
∠BDC＝∠ADB+∠ADC；
∵AB＝AD＝1，
AC＝AD＝1，
∴△ABD和△ACD均为等腰三角形，
∴∠ADB＝90°，∠ADC＝60°，
∴∠BDC＝150°．
即四边形ABCD中最大内角度数为150°．
故选：A．
【点评】此题考查三角形的三边之间的关系以及三个角之间的关系，考虑特殊情况是解决问题的关键．
3．如图，△BCE的一个外角是（　　）
A．∠A B．∠ACE C．∠AEC D．∠BCD
【考点】三角形的外角性质．
【专题】三角形；几何直观．
【答案】C
【分析】根据三角形的外角是一边的延长线与另一边的夹角判断出∠AEC是△BCE的一个外角．
【解答】解：由图可知△ABC的一个外角是∠AEC，
故选：C．
【点评】此题主要是考查了三角形的外角的定义，能够熟记三角形外角的定义是解题的关键．
4．将方程3x﹣y＝1变形为用含x的代数式表示y（　　）
A．3x＝y+1 B．y＝3x﹣1 C．y＝1﹣3x D．x
【考点】解二元一次方程．
【专题】方程与不等式；运算能力．
【答案】B
【分析】利用解二元一次方程的步骤，解出y即可．
【解答】解：由方程3x﹣y＝1移项可得3x﹣1＝y，
即y＝3x﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的知识，掌握二元一次方程的解法是关键．
5．如图，一个蓄水桶，60分钟可将一满桶水放干．其中，水位h（cm）随着放水时间t（分）的变化而变化．h与t的函数的大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象．
【专题】几何图形问题；几何直观；模型思想；应用意识．
【答案】C
【分析】本题是放水，根据所给物体的形状，水位h的减少应是先慢后快．那么函数图象应是先缓后陡．
【解答】解：放水过程中，水位h（cm）随着放水时间t（分）的最大而减少，减少幅度先慢后快．
故选：C．
【点评】水位是在减少，应注意本题是在放水时函数图象的表示．
6．在△ABC与△DEF中，已知BC＝EF；∠C＝∠F；再加一个条件，却不能判断△ABC与△DEF全等的是（　　）
A．AB＝DE B．AC＝DF C．∠B＝∠E D．∠A＝∠D
【考点】全等三角形的判定．
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定定理结合题目所给条件分别进行分析即可．
【解答】解：A、加上AB＝DE不能判断△ABC与△DEF全等，故此选项正确；
B、加上AC＝DF可利用SAS判断△ABC与△DEF全等，故此选项错误；
C、加上∠B＝∠E可利用ASA判断△ABC与△DEF全等，故此选项错误；
D、加上∠A＝∠D可利用AAS判断△ABC与△DEF全等，故此选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．如图是某手机店1～4月份的统计图，分析统计图，对3、4月份品牌A手机的销售情况四个同学得出的以下四个结论，其中正确的为（　　）
A．4月份品牌A手机销售额为65万元
B．4月份品牌A手机销售额比3月份有所上升
C．4月份品牌A手机销售额比3月份有所下降
D．3月份与4月份的品牌A手机销售额无法比较
【考点】折线统计图；条形统计图．
【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念；应用意识．
【答案】B
【分析】根据两个统计图之间的数量关系，可求出A手机的3月份、4月份的销售额，再做出选择即可．
【解答】解：3月份A手机的销售额：60×18%＝10.8万元，
4月份A手机的销售额：65×17%＝11.05万元，
∵11.05＞10.8，
∴4月份品牌A手机销售额比3月份有所上升，
故选：B．
【点评】考查条形统计图、折线统计图的意义和制作方法，理清统计图中各个数量之间的关系是正确选择的关键．
8．已知x＞y，则下列不等式不成立的是（　　）
A．x﹣2＞y﹣2 B．3x＞3y C．﹣5x＞﹣5y D．﹣x+4＜﹣y+4
【考点】不等式的性质．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，分别判断即可．
【解答】解：∵x＞y，
∴x﹣2＞y﹣2，
故A不符合题意；
∵x＞y，
∴3x＞3y，
故B不符合题意；
∵x＞y，
∴﹣5x＜﹣5y，
故C符合题意；
∵x＞y，
∴﹣x＜﹣y，
∴﹣x+4＜﹣y+4，
故D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．关于x的不等式a﹣x≥2的解集如图所示，则a的值是 　0　．
【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】0．
【分析】表示出不等式的解集，根据数轴上表示的解集确定出a的值即可．
【解答】解：不等式移项得：﹣x≥2﹣a，
系数化为1得：x≤a﹣2，
∵解集如图所示：
∴解集为x≤﹣2，
∴a﹣2＝﹣2，
解得：a＝0．
故答案为：0．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
10．计算：（﹣1）3＝　π﹣2　．
【考点】二次根式的加减法．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】π﹣2．
【分析】原式第一项利用二次根式意义化简，第二项利用指数幂法则计算即可得到结果．
【解答】解：
＝π﹣3+1
＝π﹣2．
故答案为：π﹣2．
【点评】此题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．若关于x和y的二元一次方程组，满足x﹣y＞0，那么整数m的最大值是 　1　．
【考点】解一元一次不等式；二元一次方程组的解；解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】1．
【分析】直接将方程组中两方程相加，进而得出关于m的不等式，进而得出答案．
【解答】解：，
∴①+②得：3x﹣3y＝﹣3m+6，
故x﹣y＝﹣m+2＞0，
解得：m＜2．
∴整数m的最大值为1，
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式，正确得出关于m的不等式是解题关键．
12．学校操场原有盆栽a盆，校庆活动增加50%，现有盆栽 　1.5a　盆．
【考点】列代数式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】1.5a．
【分析】根据题意“增加50%”列出代数式即可求解．
【解答】解：学校操场原有盆栽a盆，校庆活动增加50%，现有盆栽a（1+50%）＝1.5a盆．
故答案为：1.5a．
【点评】本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键．
13．如图，点P是△ABC的两条角平分线BP，CP的交点，若∠BPC＝100°，则∠A的度数是 　20°　．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】20°．
【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠PBC+∠PCB，再根据角平分线的定义可得∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB，从而求出∠ABC+∠ACB，最后再次利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：在△PBC中，∵∠P＝100°，
∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠P＝180°﹣100°＝80°，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠PBC+∠PCB）＝2×80°＝160°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣160°＝20°．
故答案为：20°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．
14．如图，在等边△ABC中，AB＝4，D是BC边上任意一点（不与B，C重合），过点D作DE⊥AC，垂足为E，作点E关于直线AD对称的点E'，作点E关于点D的对称点E″，作△EE'E″，当△EE'E″是轴对称图形时，S△EE'E″＝　48﹣24　．
【考点】作图﹣轴对称变换；等边三角形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】记AD与EE′交点为F，设BD＝x，则CD＝4﹣x，根据DE⊥AC且∠C＝60°得DE＝CDsinC、CE＝CDcosC、AE＝AC﹣CE＝4，由点E与点E′关于AD对称、点E与点E″关于点D对称得EF＝E′F、ED＝E″D、∠DFE＝90°，继而知DF∥E′E″、，证△DFE∽△E″E′E得∠E′＝∠DFE＝90°，即△EE′E″为直角三角形，若△EE'E″是轴对称图形则△EE′E″为等腰直角三角形，从而根据AE＝DE求得x的值，即可得DE、EF的长，从而求出S△DEF的值，最后根据可得答案．
【解答】解：记AD与EE′交点为F，
设BD＝x，则CD＝4﹣x，
∵DE⊥AC，且∠C＝60°，
∴DE＝CDsinC，CE＝CDcosC，
则AE＝AC﹣CE＝4，
∵点E与点E′关于AD对称，点E与点E″关于点D对称，
∴EF＝E′F，ED＝E″D，且∠DFE＝90°，
∴DF∥E′E″，且，
∴△DFE∽△E″E′E，
∴∠E′＝∠DFE＝90°，即△EE′E″为直角三角形，
若△EE'E″是轴对称图形，
则△EE′E″为等腰直角三角形，
∴∠DEF＝∠FDE＝∠DAE＝45°，
∴DE＝AE，即，
解得：x＝8﹣4，
∵DE6﹣2，
∴EF＝DFDE＝3，
则S△DEFDF EFEF2（3）2＝12﹣6，
∵△DFE∽△E″E′E，且，
∴，
∴S△EE'E″＝4S△DEF＝4×（12﹣6）＝48﹣24，
故答案为：48﹣24．
【点评】本题主要考查对称的性质、三角函数的应用、相似三角形的判定与性质及等边三角形的性质等知识点，根据对称的性质及中位线定理判断出△EE′E″为直角三角形及根据△EE'E″是轴对称图形得出△EE′E″为等腰直角三角形是解题的关键．
15．如图，在四边形纸片中，∠D＝50°，若沿图中虚线剪去∠D，则∠1+∠2＝　230　°．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】230．
【分析】根据三角形的内外角之间的关系可得∠1+∠2＝230°．
【解答】解：∵三角形的内角和等于180°，∠D＝50°，
∴∠1＝∠D+∠DFE，
∠2＝∠D+∠DEF，
∵∠DEF+∠DFE+∠D＝180°，
∴∠1+∠2＝∠DEF+∠DFE+∠D+∠D＝180°+50°＝230°．
故答案为：230．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角．解题的关键是明确三角形的内外角之间的关系和三角形的内角和等于180°的知识点．
16．某次知识竞赛共有20道选择题，对于每一道题，答对得10分，答错或不答扣3分．若小刚希望总得分不少于70分，则他至少需答对 　10　道题．
【考点】一元一次不等式的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】可设答对了x道题，则答错或不答的有（20﹣x）道，再根据答对得10分，答错了或不答，则扣3分，总得分不少于70分，所以有10x﹣3（20﹣x）≥70，解之即可．
【解答】解：设至少要答对x道题，总得分才不少于70分，则答错或不答的题目共有（20﹣x），
依题意得：10x﹣3（20﹣x）≥70，
10x﹣60+3x≥70，
13x≥130，
x≥10，
答：至少要答对10道题，总得分才不少于70分．
故答案为：10．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解；准确地找到不等关系列不等式是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
17．（1）解方程组；
（2）解不等式组．
【考点】解一元一次不等式组；解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）不等式组无解
【分析】（1）①+②×3得出5x＝﹣9，求出x，再把x代入②求出y即可；
（2）先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1），
①+②×3，得5x＝﹣9，
解得：x，
把x代入②，得y＝﹣5，
解得：y，
所以方程组的解是；
（2），
解不等式①，得x，
解不等式②，得x≥9，
所以不等式组无解．
【点评】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解（1）的关键，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解（2）的关键．
18．如图，△ABC中．
（1）尺规作图：在直线BC上求作一点P，使△APC是以AC为底边的等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若∠C＝60°，∠B＝90°，AC＝6，求BP的长．
【考点】作图—复杂作图．
【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【答案】（1）图形见解答；
（2）3．
【分析】（1）作AC的垂直平分线交直线BC于点P即可；
（2）由（1）可得PA＝PC，根据∠C＝60°可得△APC是等边三角形，进而可以解决问题．
【解答】解：（1）如图，点P即为所求；
（2）由作图过程可知：PA＝PC，
∵∠C＝60°，∠ABC＝90°，
∴△APC是等边三角形，
∴PC＝AC＝6，
∴BCAC＝3，
∴BP＝PC﹣BC＝3．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的判定与性质．
19．如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝DC，AF＝DE，CF＝BE．求证：AF∥DE．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力．
【答案】证明见解析．
【分析】先证△ACF≌△DBE（SSS），再由全等三角形的性质得∠A＝∠D，然后由平行线的判定即可得出结论．
【解答】证明：∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
即AC＝BD，
在△ACF和△DBE中，
，
∴△ACF≌△DBE（SSS），
∴∠A＝∠D，
∴AF∥DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和平行线的判定是解题的关键．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴相交于点P，直线l上的两点A（1，a），B（b，1）满足，将线段AB向右平移5个单位长度得到线段DC．
（1）点C的坐标为 　（4，1）　．
（2）AD，BC，AC，点Q是x轴上一点（不与点P重合），连接AQ，交BC于点E．
①当AC恰好平分∠DAQ时，试判断∠AQP与∠ACB有什么数量关系？并说明理由；
②设点Q（t，0），记三角形ABQ的面积为S，三角形AOC的面积为S0.当时，求点Q的坐标．
【考点】三角形综合题．
【专题】三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（1）（4，1）；
（2）①∠AQP＝2∠ACB，理由见解析；
②点Q的坐标为（2，0）或（﹣6，0）．
【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，得到A、B两点的坐标，再根据“右加左减，上加下减”的平移规律求出C点的坐标；
（2）①由平移的性质知AD∥BC，由平行线的性质得出∠AQP＝∠DAQ，∠ACB＝∠CAD，则可得出结论；
②求出S0，分两种情况，由三角形面积公式可得出答案．
【解答】解：（1）∵，
∴a﹣3＝0，b+1＝0，
∴a＝3，b＝﹣1，
∴A（1，3），B（﹣1，1），
∵将线段AB向右平移5个单位长度，得到线段DC，
∴C（﹣1+5，1），
即C（4，1），
故答案为：（4，1）；
（2）①∠AQP＝2∠ACB，
理由如下：
由平移的性质知AD∥BC，
∴∠AQP＝∠DAQ，∠ACB＝∠CAD，
∵AC平分∠DAQ．
∴∠DAQ＝2∠CAD，
∴∠AQP＝2∠ACB；
②由A（1，3），C（4，1），0（0，0）得：
S0＝4，
分以下两种情况：
a．当点Q在点P右侧时，由A（1，3），B（﹣1，1），Q（t，0）得：
S＝3（t+1）t+2，
∵，
∴t+2，
解得t＝2；
b．当点Q在点左侧时，同理可得S＝﹣t﹣2，
∴﹣t﹣2，
解得t＝﹣6，
综上所述，点Q的坐标为（2，0）或（﹣6，0）．
【点评】本题是三角形综合题，考查了非负数的性质，平移的性质，三角形的面积公式，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．
21．如图在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），且a2+b2﹣4a﹣8b+20＝0．
（1）求A，B两点的坐标．
（2）如图①，P是∠BOA的平分线一点，PA⊥PB于P，求P点坐标．
（3）如图②，在（2）的条件下，过P作PC⊥PO交x轴于C，求点C的坐标．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）A（0，2），B（4，0）；
（2）P（3，3）；
（3）C（6，0）．
【分析】（1）用完全平方公式和非负数的性质求解；
（2）作辅助线构建三角形全等，证明△APF≌△BPE（ASA），可得结论；
（3）证明△APO≌△BPC，可得结论．
【解答】解：（1）a2+b2﹣4a﹣8b+20＝0，
（a2﹣4a+4）+（b2﹣8b+16）＝0，
（a﹣2）2+（b﹣4）2＝0，
a﹣2＝0，a＝2，
∴b﹣4＝0，b＝4，
∴A（0，2），B（4，0）；
（2）如图1，作PF⊥y轴于点F，PE⊥x轴于点E，
∵P是∠BOA的平分线一点，且∠AOB＝90°，
∴PE＝PF，∠PEO＝∠PFO＝∠PEB＝90°，∠AOP＝∠BOP＝45°，
∴△OFP和△OEP是等腰直角三角形，
∴OE＝EP＝OF＝PF，
∵∠EOF＝90°，PA⊥PB，
∴∠EPF＝∠APB＝90°，
∴∠EPF﹣∠APE＝∠APB﹣∠APE，
即∠APF＝∠BPE，
∴△APF≌△BPE（ASA），
∴AF＝BE，
∴PE+PF＝OF+OE＝OA+AF+OB﹣BE＝OA+OB＝2+4＝6，
∴PE＝PF＝3，
∴P（3，3）；
（3）∵OP⊥CP，
∴∠OPC＝90°，
∵P是∠BOA的平分线一点，∠AOB＝90°，
∴∠POC＝45°，
∴∠PCO＝90°﹣45°＝45°，
∴∠POC＝∠PCO，
∴PO＝PC，
∵∠APB＝90°，
∴∠APB＝∠OPC，
∴∠APB﹣∠OPB＝∠OPC﹣∠OPB，即∠APO＝∠BPC，
由（2）得：PA＝PB，
∴△APO≌△BPC（SAS），
∴BC＝AO＝2，
∴OC＝OB+BC＝6，
∴C（6，0）．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了三角形全等的性质和判定，角平分线的性质，完全平方公式和非负数的性质，坐标和图形的性质，正确作辅助线构建三角形全等是解本题的关键．
22．如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是长方形，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB∥CD，AB＝CD＝8，AD＝BC＝6，D点与原点重合，坐标为（0，0）．
（1）点B的坐标为 　（8，6）　．
（2）动点P从点A出发以每秒3个单位长度的速度向终点B匀速运动，动点Q从点C出发以每秒4个单位长度的速度沿射线CD方向匀速运动，若P，Q两点同时出发，设运动时间为t，当t＝　　时，BP＝CQ；
（3）在（2）的条件下，当Q运动到某一位置时，△ADQ的面积为9，求此时Q点的坐标．
【考点】四边形综合题．
【专题】代数几何综合题；平面直角坐标系；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）（8，6）；
（2）；
（3）（3，0）或（﹣3，0）．
【分析】（1）由AB＝CD＝8，AD＝BC＝6，D点与原点重合，可求点B坐标；
（2）根据运动速度和时间，表示出BP，CQ，建立方程即可求出时间t；
（3）根据三角形的面积公式求出OQ即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是长方形，AB＝CD＝8，AD＝BC＝6，D点与原点重合，
∴点B（8，6），
故答案为：（8，6）；
（2）由运动知，AP＝3t，CQ＝4t，
∴BP＝AB﹣AP＝8﹣3t，
∵BP＝CQ，
∴4t＝8﹣3t，
∴t，
∴当t为时，BP＝CQ，
故答案为：；
（3）∵△ADQ的面积为9，
∴S△ADQOQ×ADOQ×6＝9，
∴OQ＝3，
∴Q（3，0）或（﹣3，0）
即：当Q运动到距原点3cm位置时，使△ADQ的面积为9，此时Q点的坐标（3，0）或（﹣3，0）．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了坐标与图形性质，矩形性质，平行线的性质，三角形的面积公式．解本题的关键是根据题意表示出AP，DQ，是一道比较简单的中考常考题．
考点卡片
1．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“ ”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
2．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
3．解二元一次方程
二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
4．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
5．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
6．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
7．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
8．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
9．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
10．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
11．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．
12．三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
13．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
14．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
15．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
16．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
17．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
18．三角形综合题
涉及到的知识点比较多，如全等三角形的证明，三角形的相似、解直角三角形，锐角三角函数以及与四边形的综合考查
19．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2） 180°＝360°．
20．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
21．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
22．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
23．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
24．折线统计图
（1）定义：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．
（2）特点：折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．
（3）绘制折线图的步骤
①根据统计资料整理数据．
②先画纵轴，后画横轴，纵、横都要有单位，按纸面的大小来确定用一定单位表示一定的数量．　　③根据数量的多少，在纵、横轴的恰当位置描出各点，然后把各点用线段顺序连接起来．