2024—2025学年上学期北京初中数学九年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期北京初中数学九年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 588.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-05 14:58:56 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
2024—2025学年上学期北京初中数学九年级开学模拟试卷3
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）围绕保障疫情防控、为企业解决困难，财政部门快速行动，持续加大资金投入，截至2月14日，各级财政已安排疫情防控补助资金901.5亿元，把“901.5”用科学记数法表示为（ ）
A．9.015×1010 B．9.015×103
C．9.015×102 D．9.02×1010
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC，则图中与∠C互余的角有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（3分）若x＞y，则下列式子错误的是（ ）
A．x+1＞y+1 B． C．﹣2x＜﹣2y D．1﹣x＞1﹣y
5．（3分）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则该多边形的边数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
6．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有实数根，则a应满足（ ）
A．a≥1 B．a≤1 C．a≤﹣1 D．a≠0
7．（3分）商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.01”．下列说法正确的是（ ）
A．抽101次不可能没有抽到一等奖
B．抽100次奖必有一次抽到一等奖
C．抽一次也可能抽到一等奖
D．抽了99次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖
8．（3分）已知△ABC的三边长分别为，，2，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C．3 D．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．（3分）若式子有意义，则x的取值范围为 ．
10．（3分）根据表格估算 ．（精确到0.1）
x 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
x3 10.648 12.167 13.824 15.625 17.576
11．（3分）分解因式：2x3﹣8x2y+8xy＝ ．
12．（3分）方程的解为 ．
13．（3分）近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有8只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 只A种候鸟．
14．（3分）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB﹣∠PCD＝ °．（点A，B，C，D，P是网格线交点）
15．（3分）若二次函数y＝ax2的图象经过点（2，﹣1），则a的值为 ．
16．（3分）《孙子算经》中有这样一个问题，原文是“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，绳长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问绳长多少尺？答：绳长 尺．
三．解答题（共12小题，满分72分）
17．（5分）计算：
（1）；
（2）．
18．（5分）解不等式组：．
19．（5分）化简求值：（2x+1）2﹣4（x﹣1）（x+1），其中x．
20．（5分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（2）如果AD＝7，DC＝2，∠EBD＝60°，那么当四边形BFCE为菱形时BE的长是多少？
21．（5分）列出方程，不必求解．
（1）七年级（1）班共有学生49人，一天该班一男生因事请假，当天男生人数恰为女生人数的一半，则该班男生有多少人？
（2）某次考试出了25道选择题，答对一题给4分，不答或答错一题扣5分，如果小李得了82分，那么他答对了多少道题？
22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣1，0），（1，2）且与y轴交于点A．
（1）求该函数的解析式及点A的坐标；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝﹣x+n的值小于一次函数的值，直接写出n的取值范围．
23．（6分）已知二次函数的图象的对称轴为x＝﹣1，函数的最小值为﹣4，且过点B（﹣2，5）．
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标．
24．（6分）某校七年级有学生400人，为了解这个年级普及安全教育的情况，随机抽取了20名学生，进行安全教育考试，测试成绩（百分制）如下：
71，94，87，92，55，94，98，78，86，94
62，99，94，51，88，97，94，98，85，91
（1）请补全七年级20名学生安全教育测试成绩频数分布直方图；
（说明：成绩90分及以上为优秀，80～89为良好，80分以下为不合格）
（2）样本数据的平均数、中位数、众数、优秀率如表所示，请补充完整：
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
七年级 85.4 55%
（3）估计七年级成绩优秀的学生人数约为 人．
（4）学校有安全教育老师男女各2名，现从这4名老师中随机挑选2名参加“安全教育”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．
25．（7分）商场某种商品平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件商品应降价多少元？此时，每件商品盈利多少元？
（2）每件商品降价多少元，商场平均每天盈利最多？
26．（7分）已知：抛物线y1＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3），B（4，5）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点B关于上述抛物线对称轴对称的点为E，且抛物线y2＝ax2（a≠0）与线段EB只有一个公共点．结合自己所画的函数图象，求出a的取值范围．
27．（8分）已知边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点，过点P作PE⊥PB，PE交射线DC于点E，过点E作E垂直AC所在的直线，垂足为点F．
（1）如图1，当E点在线段DC上时，求证：PB＝PE；
（2）在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能，直接写出此时AP的长，如果不能，请填“不存在”，AP ；
（3）在点P的运动过程中，AP、PF、FC的长度是否满足某种数量关系？若满足，试写出解答过程；若不满足，试说明理由．
28．（8分）在平面直角坐标系xOy中，已知图形G上的两点M，N（点M，N不重合）和另一点P，给出如下定义：连接PM，PN，如果PM⊥PN，则称点P为点M，N的“条件拐点”．
（1）如图1，已知线段MN上的两点M（0，2），N（4，0）．
①点P1（1，3），P2（2，﹣1），P3（4，2）中，点M，N的“条件拐点”是 ；
②如果过点A（0，a）且平行于x轴的直线上存在点M，N的“条件拐点”，求a的取值范围；
（2）如图2，已知点F（0，1），T（0，t），过点F作直线l⊥y轴，点M，N在直线l上，且FM＝FN＝FT．如果直线y＝x﹣t上存在点M，N的“条件拐点”，直接写出t的取值范围．
2024—2025学年上学期北京初中数学九年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）围绕保障疫情防控、为企业解决困难，财政部门快速行动，持续加大资金投入，截至2月14日，各级财政已安排疫情防控补助资金901.5亿元，把“901.5”用科学记数法表示为（ ）
A．9.015×1010 B．9.015×103
C．9.015×102 D．9.02×1010
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感；运算能力．
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：901.5＝9.015×102．
故选：C．
【点评】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．（3分）如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC，则图中与∠C互余的角有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】C
【分析】此题直接利用直角三角形两锐角之和等于90°的性质即可顺利解决．
【解答】解：∵∠BAC＝90°
∴∠ABD+∠C＝90°；
又∵AD⊥BC，
∴∠BDA＝90°，
∴∠C+∠CAD＝90°，
故图中与∠C互余的角有2个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，根据互余定义，找到与∠C和为90°的角即可．
4．（3分）若x＞y，则下列式子错误的是（ ）
A．x+1＞y+1 B． C．﹣2x＜﹣2y D．1﹣x＞1﹣y
【考点】不等式的性质．
【专题】计算题；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质解答．
【解答】解：A、在不等式x＞y的两边同时加上1，不等式仍成立，即x+1＞y+1，故本选项不符合题意．
B、在不等式x＞y的两边同时除以3，不等式仍成立，即，故本选项不符合题意．
C、在不等式x＞y的两边同时乘以﹣2，不等号方向改变，即﹣2x＜﹣2y，故本选项不符合题意．
D、在不等式x＞y的两边同时乘以﹣1，再加上1，不等号方向改变，即1﹣x＜1﹣y，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
5．（3分）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则该多边形的边数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】D
【分析】结合已知条件，根据多边形内角和与外角和列方程计算即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
则（n﹣2） 180°＝360°×3，
解得：n＝8，
即这个多边形的边数为8，
故选：D．
【点评】本题考查多边形的内角和外角，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
6．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有实数根，则a应满足（ ）
A．a≥1 B．a≤1 C．a≤﹣1 D．a≠0
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】由方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有实数根，
∴Δ＝4﹣4a≥0，
解得：a≤1；
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．（3分）商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.01”．下列说法正确的是（ ）
A．抽101次不可能没有抽到一等奖
B．抽100次奖必有一次抽到一等奖
C．抽一次也可能抽到一等奖
D．抽了99次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖
【考点】概率的意义．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】C
【分析】根据概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现进行解答即可．
【解答】解：根据概率的意义可得“抽到一等奖的概率为为0.01”就是说抽100次可能抽到一等奖，也可能没有抽到一等奖，抽一次也可能抽到一等奖，
故选：C．
【点评】此题主要考查了概率的意义，概率是对事件发生可能性大小的量的表现．
8．（3分）已知△ABC的三边长分别为，，2，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C．3 D．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】根据三边长度可利用勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形．再求面积．
【解答】解：∵△ABC的三边长分别为，，2，
∴（）2+22＝（）2，
∴△ABC是直角三角形，两直角边是，2，
∴△ABC的面积为：2，
故选：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的面积公式，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．（3分）若式子有意义，则x的取值范围为 x ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】x．
【分析】根据二次根式有意义和分式有意义的条件列不等式组，再解答即可．
【解答】解：要使分式有意义，必须4﹣3x＞0，
解得：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义和分式有意义的条件，根据条件列出关于x的不等式组成不等式组为解答本题的关键．
10．（3分）根据表格估算 2.4 ．（精确到0.1）
x 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
x3 10.648 12.167 13.824 15.625 17.576
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数；数感；运算能力．
【答案】2.4．
【分析】根据立方根的定义估算无理数的大小即可．
【解答】解：由表格中的对应数值的变化可知，
∵13.824＜14＜15.625，
∴，
即2.42.5，
又∵2.453≈14.706，
∴2.42.45，
∴2.4，
故答案为：2.4．
【点评】本题考查估算无理数的大小，理解立方根的定义是正确解答的前提．
11．（3分）分解因式：2x3﹣8x2y+8xy＝ 2x（x2﹣4xy+4y） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据提公因式法和公式法，即可解答．
【解答】解：2x3﹣8x2y+8xy＝2x（x2﹣4xy+4y），
故答案为：2x（x2﹣4xy+4y）．
【点评】本题考查了提公因式法和公式法进行分解因式，解决本题的关键是熟记提公因式法和公式法．
12．（3分）方程的解为 x＝0 ．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】x＝0．
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：10，
x+1﹣1＝0，
解得：x＝0，
检验：当x＝0时，x+1≠0，
∴x＝0是原方程的根，
故答案为：x＝0．
【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
13．（3分）近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有8只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 1000 只A种候鸟．
【考点】用样本估计总体．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】在样本中“200只A种候鸟中有8只佩有识别卡”，即可求得有识别卡的所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解答．
【解答】解：设该湿地约有x只A种候鸟，
则200：8＝x：40，
解得x＝1000．
故答案为：1000．
【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．
14．（3分）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB﹣∠PCD＝ 45 °．（点A，B，C，D，P是网格线交点）
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接AE，PE，由图可知，∠EAB＝∠PCD，则∠PAB﹣∠PCD＝∠PAB﹣∠EAB＝∠PAE，然后根据勾股定理可以求得PA、PE、AE的长，再利用勾股定理的逆定理可以判断△PAE的形状，从而可以得到∠PAE的度数，然后即可得到∠PAB﹣∠PCD的度数．
【解答】解：连接AE，PE，
则∠EAB＝∠PCD，
故∠PAB﹣∠PCD＝∠PAB﹣∠EAB＝∠PAE，
设正方形网格的边长为a，则PA，PE，AEa，
∵PA2+PE2＝5a2+5a2＝10a2＝AE2，
∴△APE是直角三角形，∠APE＝90°，
又∵PA＝PE，
∴∠PAE＝∠PEA＝45°，
∴∠PAB﹣∠PCD＝45°，
故答案为：45．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．（3分）若二次函数y＝ax2的图象经过点（2，﹣1），则a的值为 ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】将（2，﹣1）代入y＝ax2求解．
【解答】解：将（2，﹣1）代入y＝ax2得，
﹣1＝4a，
解得a，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
16．（3分）《孙子算经》中有这样一个问题，原文是“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，绳长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问绳长多少尺？答：绳长 11 尺．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】11．
【分析】设木长x尺，绳长y尺，由题意：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设木长x尺，绳长y尺，
由题意得：，
解得：，
即绳长11尺，
故答案为：11．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
三．解答题（共12小题，满分72分）
17．（5分）计算：
（1）；
（2）．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）；（2）4﹣32．
【分析】（1）首先计算开方，然后从左向右依次计算即可．
（2）首先计算零指数幂、负整数指数幂和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（1）
．
（2）
＝1﹣2+5﹣32
＝4﹣32．
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
18．（5分）解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】x≥2.5．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥2.5，
解不等式②得：x＞﹣2，
∴原不等式组的解集为：x≥2.5．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
19．（5分）化简求值：（2x+1）2﹣4（x﹣1）（x+1），其中x．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】4x+5，6．
【分析】直接利用乘法公式化简，再合并同类项，进而把已知数据代入即可．
【解答】解：原式＝4x2+4x+1﹣4x2+4
＝4x+5，
当x时，
原式＝45
＝1+5
＝6．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键．
20．（5分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（2）如果AD＝7，DC＝2，∠EBD＝60°，那么当四边形BFCE为菱形时BE的长是多少？
【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）3．
【分析】（1）由AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC，易证得△AEC≌△DFB，即可得BF＝EC，∠ACE＝∠DBF，且EC∥BF，即可判定四边形BFCE是平行四边形；
（2）当四边形BFCE是菱形时，BE＝CE，根据菱形的性质即可得到结果．
【解答】（1）证明：∵AB＝DC，
∴AC＝DB，
在△AEC和△DFB中，
，
∴△AEC≌△DFB（SAS），
∴BF＝EC，∠ACE＝∠DBF，
∴EC∥BF，
∴四边形BFCE是平行四边形；
（2）解：当四边形BFCE是菱形时，BE＝CE，
∵AD＝7，DC＝2，AB＝CD＝2，
∴BC＝7﹣2﹣2＝3，
∵∠EBD＝60°，
∴BE＝BC＝3，
∴当四边形BFCE是菱形时，BE的长是3．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
21．（5分）列出方程，不必求解．
（1）七年级（1）班共有学生49人，一天该班一男生因事请假，当天男生人数恰为女生人数的一半，则该班男生有多少人？
（2）某次考试出了25道选择题，答对一题给4分，不答或答错一题扣5分，如果小李得了82分，那么他答对了多少道题？
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）49﹣x＝2（x﹣1）；
（2）4x﹣5（25﹣x）＝82．
【分析】（1）利用该班一男生请假后，男生人数恰为女生人数的一半用男生的人数表示出女生的人数，利用男生人数+女生人数＝49求解；
（2）设小李答对了x道题，则不答或答错了（25﹣x）道题，根据所得分数得出等式求出即可．
【解答】解：（1）设男生人数为x人，则女生为2（x﹣1），
根据题意得：49﹣x＝2（x﹣1）；
（2）设小李答对了x道题，则不答或答错了（25﹣x）道题，
根据题意得出：4x﹣5（25﹣x）＝82．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找到正确的等量关系．
22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣1，0），（1，2）且与y轴交于点A．
（1）求该函数的解析式及点A的坐标；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝﹣x+n的值小于一次函数的值，直接写出n的取值范围．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）一次函数的表达式为y＝x+1，A（0，1）；
（2）n≤3．
【分析】（1）先利用待定系数法求出函数解析式为y＝x+1，然后计算自变量为0时对应的函数值得到A点坐标；
（2）当函数y＝﹣x+n与直线yx+1交点的坐标在点（1，2）的左侧时，满足当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝﹣x+n的值小于一次函数的值．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣1，0），（1，2）
∴，
解得，
该一次函数的表达式为y＝x+1，
令x＝0，则y＝1，
∴A（0，1）；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝﹣x+n的值小于一次函数的值，
∴x+1＞﹣x+n，
∴x，
∴，
解得n≤3．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解决问题的关键．
23．（6分）已知二次函数的图象的对称轴为x＝﹣1，函数的最小值为﹣4，且过点B（﹣2，5）．
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）y＝9（x+1）2﹣4；
（2）（0，5）． ．
【分析】（1）根据题意，可以设该函数的顶点式，再根据经过点B，即可求得该函数的关系式；
（2）将x＝0代入（1）中的函数解析式，求出y的值，再将y＝0代入（1）中的函数解析式，求出相应的x的值，从而可以得到该函数图象与坐标轴的交点坐标．
【解答】解：（1）由题意可知该函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），
设二次函数关系式为 y＝a（x+1）2﹣4（a≠0），
∵二次函数的图象过点 （﹣2，5），
∴.5＝a（﹣2+1）2﹣4，
解得a＝9，
∴二次函数的关系式是y＝9（x+1）2﹣4；
（2）令x＝0，则 y＝9×（0+1）2﹣4＝5，
∴图象与y轴的交点坐标为（0，5）；
令y＝0，则 0＝9（x+1）2﹣4，
解得x1，x2，
故图象与x轴的交点坐标是（，0）或（，0），
∴图象与坐标轴的交点坐标为（0，5）． ．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点坐标、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出该函数的解析式．
24．（6分）某校七年级有学生400人，为了解这个年级普及安全教育的情况，随机抽取了20名学生，进行安全教育考试，测试成绩（百分制）如下：
71，94，87，92，55，94，98，78，86，94
62，99，94，51，88，97，94，98，85，91
（1）请补全七年级20名学生安全教育测试成绩频数分布直方图；
（说明：成绩90分及以上为优秀，80～89为良好，80分以下为不合格）
（2）样本数据的平均数、中位数、众数、优秀率如表所示，请补充完整：
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
七年级 85.4 91.5 94 55%
（3）估计七年级成绩优秀的学生人数约为 220 人．
（4）学校有安全教育老师男女各2名，现从这4名老师中随机挑选2名参加“安全教育”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；频数（率）分布直方图；加权平均数；中位数；众数．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）将题干所提供的数据从小到大重新排列，再确定各组人数，从而补全图形；
（2）结合以上所整理的数据，根据中位数和众数的定义求解即可；
（3）用总人数乘以样本的优秀率即可；
（4）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）将这组数据重新排列为：
51，55，62，71，78，85，86，87，88，91，
92，94，94，94，94，94，97，98，98，99，
∴59.5～69.5的人数为1，79.5～89.5的人数为4人，89.5～100的人数为11人，
补全图形如下：
（2）这组数据的中位数为91.5（分），众数为94分，
故答案为：91.5，94；
（3）估计七年级成绩优秀的学生人数约为400×55%＝220（人），
故答案为：220；
（4）列表如下：
男 男 女 女
男 （男，男） （女，男） （女，男）
男 （男，男） （女，男） （女，男）
女 （男，女） （男，女） （女，女）
女 （男，女） （男，女） （女，女）
得到所有等可能的情况有12种，其中恰好抽中一男一女的情况有8种，
所以恰好选中“1男1女”的概率为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
25．（7分）商场某种商品平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件商品应降价多少元？此时，每件商品盈利多少元？
（2）每件商品降价多少元，商场平均每天盈利最多？
【考点】二次函数的应用．
【专题】应用题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以列出相应的函数关系式，将函数关系式化为顶点式即可解答本题．
【解答】解：（1）设每件商品降价x元，由题意得，
（40﹣x）（20+2x）＝1200
解得：x1＝20，x2＝10
∵该商场为了尽快减少库存，
则x＝10不合题意，舍去．
∴x＝20，
∴40﹣x＝20，
即每件商品应降价20元，每件商品盈利20元；
（2）设商场每天盈利为y，每件商品降价x元，由题意可得，
y＝（40﹣x）（20+2x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∴当x＝15时，商场平均每天盈利最多，
即每件商品降价15元，商场平均每天盈利最多．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程或函数关系式进行解答．
26．（7分）已知：抛物线y1＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3），B（4，5）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点B关于上述抛物线对称轴对称的点为E，且抛物线y2＝ax2（a≠0）与线段EB只有一个公共点．结合自己所画的函数图象，求出a的取值范围．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）y1＝x2﹣2x﹣3．
（2）a．
【分析】（1）通过待定系数法求解．
（2）由抛物线解析式可得抛物线对称轴，从而可得点E坐标，分类讨论a＜0与a＞0两种情况，分别求出抛物线经过点B，E的值，进而求解．
【解答】解：（1）将（2，﹣3），（4，5）代入y1＝x2+bx+c得，
解得，
∴y1＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵y1＝x2﹣2x﹣3，
∴抛物线对称轴为直线x1，
∴点E坐标为（﹣2，5），
当a＜0时，抛物线y2＝ax2开口向下，与线段BE无交点，
当a＞0时，抛物线开口向上，
当抛物线经过B（4，5）时，5＝16a，
解得a，
当抛物线经过（﹣2，5）时，5＝4a，
解得a，
∴a．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．通过分类讨论求解．
27．（8分）已知边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点，过点P作PE⊥PB，PE交射线DC于点E，过点E作E垂直AC所在的直线，垂足为点F．
（1）如图1，当E点在线段DC上时，求证：PB＝PE；
（2）在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能，直接写出此时AP的长，如果不能，请填“不存在”，AP ＝2 ；
（3）在点P的运动过程中，AP、PF、FC的长度是否满足某种数量关系？若满足，试写出解答过程；若不满足，试说明理由．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）详见解答过程．
（2）＝2．
（3）AP+FC＝OB．
【分析】（1）过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1，要证PB＝PE，只需证到△PGB≌△PHE即可；
（2）可分点E在线段DC上和点E在线段DC的延长线上两种情况讨论，通过计算就可求出符合要求的AP的长；
（3）连接BD，如图2，易证△BOP≌△PFE，则有BO＝PF，可得出最后结论．
【解答】（1）证明：过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1，
∵四边形ABCD是正方形，PG⊥BC，PH⊥DC，
∴∠GPC＝∠ACB＝∠ACD＝∠HPC＝45°．
∴PG＝PH，∠GPH＝∠PGB＝∠PHE＝90°，
∵PE⊥PB，
∴∠BPE＝90°，
∴∠BPG＝90°﹣∠GPE＝∠EPH，
∴△PGB≌△PHE（ASA），
∴PB＝PE．
（2）①若点E在线段DC上，如图1，
∵∠BPE＝∠BCE＝90°，
∴∠PBC+∠PEC＝180°，
∵∠PBC＜90°，
∴∠PEC＞90°．
若△PEC为等腰三角形，则EP＝EC．
∵∠EPC＝∠ECP＝45°，
∴∠PEC＝90°，与∠PEC＞90°矛盾，
∴点E在线段DC上时，△PEC不可能是等腰三角形
②若点E在线段DC的延长线上，如图2，
若△PEC是等腰三角形，
∵∠PCE＝135°，
∴CP＝CE，
∴∠CPE＝∠CEP＝22.5°，
∴∠APB＝180°﹣90°﹣22.5°＝67.5°，
∵∠PRC＝90°+∠PBR＝90°+∠CER，
∴∠PBR＝∠CER＝22.5°，
∴∠ABP＝67.5°，
∴∠ABP＝∠APB，
∴AP＝AB＝2．
故答案为：＝2．
（3）如图3，连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOP＝90°，
∵PE⊥PB，
∴∠BPE＝90°，
∴∠PBO＝90°﹣∠BPO＝∠EPF，
∵EF⊥PC，
∴∠PFE＝90°，
∴∠BOP＝∠PFE，
∴△BOP≌△PFE （AAS），
∴BO＝PF．
∵AP+FC+PF＝2BO，
∴AP+FC＝OB．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、四边形的内角和定理、三角形的内角和定理及外角性质等知识，有一 定的综合性，而通过添加辅助线证明三角形全等是解决本题的关键．
28．（8分）在平面直角坐标系xOy中，已知图形G上的两点M，N（点M，N不重合）和另一点P，给出如下定义：连接PM，PN，如果PM⊥PN，则称点P为点M，N的“条件拐点”．
（1）如图1，已知线段MN上的两点M（0，2），N（4，0）．
①点P1（1，3），P2（2，﹣1），P3（4，2）中，点M，N的“条件拐点”是 点P1和点P3 ；
②如果过点A（0，a）且平行于x轴的直线上存在点M，N的“条件拐点”，求a的取值范围；
（2）如图2，已知点F（0，1），T（0，t），过点F作直线l⊥y轴，点M，N在直线l上，且FM＝FN＝FT．如果直线y＝x﹣t上存在点M，N的“条件拐点”，直接写出t的取值范围．
【考点】一次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；新定义；推理能力．
【答案】（1）①点P1和点P3；
②1≤a1；
（2）t的取值为t≥3+2或t≤3﹣2．
【分析】（1）①根据题中PM⊥PN，可得出：PM2+PN2＝MN2，再根据三个点给出的坐标分别求出PM2和PN2，分别验证PM2+PN2＝MN2是否成立，即可求出答案；
②根据题意可知∠MPN＝90°和MN＝2，则可判断出点P在以MN的中点为圆心，以为半径的圆上，则根据过点A（0，a）且平行于x轴的直线上存在点M，N的“条件拐点”，可得出点B到此直线的距离d，根据中点求出点B的坐标，即可得出|a﹣1|，解出不等式即可求出答案；
（2）先计算直线l与坐标轴的交点坐标C（0，﹣t），D（t，0），根据FM＝FN＝FT确定点M，N，T在以F为圆心，以FT为半径的圆上，分情况讨论：当t≥1时，如图2；当0＜t＜1时，如图3；当﹣1＜t≤0时，如图4；当t≤﹣1时，如图5；分别根据点F到直线l的距离小于等于FT列不等式可解答．
【解答】解：（1）①∵M（0，2），N（4，0），
∴MN2＝（0﹣4）2+（2﹣0）2＝20，
当点P1（1，3）时，
则P1M2＝（0﹣1）2+（2﹣3）2＝2，（1﹣4）2+（3﹣0）2＝18，
∵2+18＝20，即P1M2MN2，
∴∠MPN＝90°，
∴PM⊥PN，
∴点P1是点M，N的“条件拐点”；
当点P2（2，﹣1）时，
则P2M2＝（2﹣0）2+（﹣1﹣2）2＝13，P2N2＝（2﹣4）2+（﹣1﹣0）2＝5，
∴13+5＝18≠20，即P2M2+P2N2≠MN2，
∴∠MPN≠90°，即PM与PN不垂直，
∴点P2不是点M，N的“条件拐点”；
当点P3（4，2）时，
则P3M2＝（4﹣0）+（2﹣2）2＝16，P3N2＝（4﹣4）2+（2﹣0）2＝4，
∵16+4＝20，即P3M2+P3N2＝MN2，
∴∠MPN＝90°，
∴PM⊥PN，
∴点P3是点M，N的“条件拐点”；
故答案为：点P1和点P3；
②根据①可得：MN＝2，
∵PM⊥PN，
∴∠MPN＝90°，
∴如图所示：点P在以MN的中点B为圆心，以为半径的圆上，
∵过点A（0，a）且平行于x轴的直线上存在点M，N的“条件拐点”，
∴如图所示，点B到此直线的距离d，
∵点B是MN的中点，且M（0，2），N（4，0），
∴点B的坐标为（2，1），
∴|a﹣1|，
解得：1≤a1；
（2）在直线y＝x﹣t中，当x＝0时，y＝﹣t，当y＝0时，x＝t，
∴C（0，﹣t），D（t，0），
∵FM＝FN＝FT，
∴M，N，T在以点F为圆心，FT为半径的圆上，
分三种情况：
①当t≥1时，如图2，过点F作FG⊥l于G，则FC＝t+1，FT＝t﹣1，
∵△FGC是等腰直角三角形，
∴FG，
∵直线y＝x﹣t上存在点M，N的“条件拐点”，
∴FG≤FT，
∴t﹣1，
∴t≥3+2；
②当0＜t＜1时，如图3，过点F作FG⊥l于G，则FC＝t+1，FT＝1﹣t，
∵直线y＝x﹣t上存在点M，N的“条件拐点”，
∴FG≤FT，
∴1﹣t，
∴t≤3﹣2；
③当﹣1＜t≤0时，如图4，过点F作FG⊥l于G，则FC＝t+1，FT＝1﹣t，
∵直线y＝x﹣t上存在点M，N的“条件拐点”，
∴FG≤FT，
∴1﹣t，
∴t≤3﹣2；
④当t≤﹣1时，如图5，过点F作FG⊥l于G，则FC＝﹣t﹣1，FT＝1﹣t，
∵直线y＝x﹣t上存在点M，N的“条件拐点”，
∴FG≤FT，
∴1﹣t，
∴t≤3+2；
综上，t的取值为t≥3+2或t≤3﹣2．
【点评】本题是一次函数的综合题，考查了新定义“条件拐点”的理解和运用，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质，一次函数的性质等知识，正确的作出图形和分类讨论是解题的关键．
考点卡片
1．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
2．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
3．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
4．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
5．提公因式法与公式法的综合运用
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
6．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
7．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
8．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
9．由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
10．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
11．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
12．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
13．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
14．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
15．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
16．一次函数图象与系数的关系
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0 y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0 y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
17．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
18．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
19．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
20．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
21．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
22．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．
①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．
23．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
24．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
25．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
26．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
27．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
28．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
29．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
30．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
31．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2） 180°＝360°．
32．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
33．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度）
34．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
35．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
36．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
37．坐标与图形变化-对称
（1）关于x轴对称
横坐标相等，纵坐标互为相反数．
（2）关于y轴对称
纵坐标相等，横坐标互为相反数．
（3）关于直线对称
①关于直线x＝m对称，P（a，b） P（2m﹣a，b）
②关于直线y＝n对称，P（a，b） P（a，2n﹣b）
38．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
39．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
40．频数（率）分布直方图
画频率分布直方图的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图．
注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容．
41．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
42．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
43．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
44．概率的意义
（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p．
（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
（3）概率取值范围：0≤p≤1．
（4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0．
（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．
（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题．
45．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
2024—2025学年上学期北京初中数学九年级开学模拟试卷3
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）围绕保障疫情防控、为企业解决困难，财政部门快速行动，持续加大资金投入，截至2月14日，各级财政已安排疫情防控补助资金901.5亿元，把“901.5”用科学记数法表示为（ ）
A．9.015×1010 B．9.015×103
C．9.015×102 D．9.02×1010
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC，则图中与∠C互余的角有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（3分）若x＞y，则下列式子错误的是（ ）
A．x+1＞y+1 B． C．﹣2x＜﹣2y D．1﹣x＞1﹣y
5．（3分）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则该多边形的边数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
6．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有实数根，则a应满足（ ）
A．a≥1 B．a≤1 C．a≤﹣1 D．a≠0
7．（3分）商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.01”．下列说法正确的是（ ）
A．抽101次不可能没有抽到一等奖
B．抽100次奖必有一次抽到一等奖
C．抽一次也可能抽到一等奖
D．抽了99次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖
8．（3分）已知△ABC的三边长分别为，，2，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C．3 D．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．（3分）若式子有意义，则x的取值范围为 ．
10．（3分）根据表格估算 ．（精确到0.1）
x 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
x3 10.648 12.167 13.824 15.625 17.576
11．（3分）分解因式：2x3﹣8x2y+8xy＝ ．
12．（3分）方程的解为 ．
13．（3分）近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有8只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 只A种候鸟．
14．（3分）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB﹣∠PCD＝ °．（点A，B，C，D，P是网格线交点）
15．（3分）若二次函数y＝ax2的图象经过点（2，﹣1），则a的值为 ．
16．（3分）《孙子算经》中有这样一个问题，原文是“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，绳长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问绳长多少尺？答：绳长 尺．
三．解答题（共12小题，满分72分）
17．（5分）计算：
（1）；
（2）．
18．（5分）解不等式组：．
19．（5分）化简求值：（2x+1）2﹣4（x﹣1）（x+1），其中x．
20．（5分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（2）如果AD＝7，DC＝2，∠EBD＝60°，那么当四边形BFCE为菱形时BE的长是多少？
21．（5分）列出方程，不必求解．
（1）七年级（1）班共有学生49人，一天该班一男生因事请假，当天男生人数恰为女生人数的一半，则该班男生有多少人？
（2）某次考试出了25道选择题，答对一题给4分，不答或答错一题扣5分，如果小李得了82分，那么他答对了多少道题？
22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣1，0），（1，2）且与y轴交于点A．
（1）求该函数的解析式及点A的坐标；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝﹣x+n的值小于一次函数的值，直接写出n的取值范围．
23．（6分）已知二次函数的图象的对称轴为x＝﹣1，函数的最小值为﹣4，且过点B（﹣2，5）．
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标．
24．（6分）某校七年级有学生400人，为了解这个年级普及安全教育的情况，随机抽取了20名学生，进行安全教育考试，测试成绩（百分制）如下：
71，94，87，92，55，94，98，78，86，94
62，99，94，51，88，97，94，98，85，91
（1）请补全七年级20名学生安全教育测试成绩频数分布直方图；
（说明：成绩90分及以上为优秀，80～89为良好，80分以下为不合格）
（2）样本数据的平均数、中位数、众数、优秀率如表所示，请补充完整：
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
七年级 85.4 55%
（3）估计七年级成绩优秀的学生人数约为 人．
（4）学校有安全教育老师男女各2名，现从这4名老师中随机挑选2名参加“安全教育”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．
25．（7分）商场某种商品平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件商品应降价多少元？此时，每件商品盈利多少元？
（2）每件商品降价多少元，商场平均每天盈利最多？
26．（7分）已知：抛物线y1＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3），B（4，5）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点B关于上述抛物线对称轴对称的点为E，且抛物线y2＝ax2（a≠0）与线段EB只有一个公共点．结合自己所画的函数图象，求出a的取值范围．
27．（8分）已知边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点，过点P作PE⊥PB，PE交射线DC于点E，过点E作E垂直AC所在的直线，垂足为点F．
（1）如图1，当E点在线段DC上时，求证：PB＝PE；
（2）在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能，直接写出此时AP的长，如果不能，请填“不存在”，AP ；
（3）在点P的运动过程中，AP、PF、FC的长度是否满足某种数量关系？若满足，试写出解答过程；若不满足，试说明理由．
28．（8分）在平面直角坐标系xOy中，已知图形G上的两点M，N（点M，N不重合）和另一点P，给出如下定义：连接PM，PN，如果PM⊥PN，则称点P为点M，N的“条件拐点”．
（1）如图1，已知线段MN上的两点M（0，2），N（4，0）．
①点P1（1，3），P2（2，﹣1），P3（4，2）中，点M，N的“条件拐点”是 ；
②如果过点A（0，a）且平行于x轴的直线上存在点M，N的“条件拐点”，求a的取值范围；
（2）如图2，已知点F（0，1），T（0，t），过点F作直线l⊥y轴，点M，N在直线l上，且FM＝FN＝FT．如果直线y＝x﹣t上存在点M，N的“条件拐点”，直接写出t的取值范围．
2024—2025学年上学期北京初中数学九年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）围绕保障疫情防控、为企业解决困难，财政部门快速行动，持续加大资金投入，截至2月14日，各级财政已安排疫情防控补助资金901.5亿元，把“901.5”用科学记数法表示为（ ）
A．9.015×1010 B．9.015×103
C．9.015×102 D．9.02×1010
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感；运算能力．
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：901.5＝9.015×102．
故选：C．
【点评】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．（3分）如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC，则图中与∠C互余的角有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】C
【分析】此题直接利用直角三角形两锐角之和等于90°的性质即可顺利解决．
【解答】解：∵∠BAC＝90°
∴∠ABD+∠C＝90°；
又∵AD⊥BC，
∴∠BDA＝90°，
∴∠C+∠CAD＝90°，
故图中与∠C互余的角有2个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，根据互余定义，找到与∠C和为90°的角即可．
4．（3分）若x＞y，则下列式子错误的是（ ）
A．x+1＞y+1 B． C．﹣2x＜﹣2y D．1﹣x＞1﹣y
【考点】不等式的性质．
【专题】计算题；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质解答．
【解答】解：A、在不等式x＞y的两边同时加上1，不等式仍成立，即x+1＞y+1，故本选项不符合题意．
B、在不等式x＞y的两边同时除以3，不等式仍成立，即，故本选项不符合题意．
C、在不等式x＞y的两边同时乘以﹣2，不等号方向改变，即﹣2x＜﹣2y，故本选项不符合题意．
D、在不等式x＞y的两边同时乘以﹣1，再加上1，不等号方向改变，即1﹣x＜1﹣y，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
5．（3分）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则该多边形的边数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；运算能力．
【答案】D
【分析】结合已知条件，根据多边形内角和与外角和列方程计算即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
则（n﹣2） 180°＝360°×3，
解得：n＝8，
即这个多边形的边数为8，
故选：D．
【点评】本题考查多边形的内角和外角，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
6．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有实数根，则a应满足（ ）
A．a≥1 B．a≤1 C．a≤﹣1 D．a≠0
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】由方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有实数根，
∴Δ＝4﹣4a≥0，
解得：a≤1；
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．（3分）商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.01”．下列说法正确的是（ ）
A．抽101次不可能没有抽到一等奖
B．抽100次奖必有一次抽到一等奖
C．抽一次也可能抽到一等奖
D．抽了99次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖
【考点】概率的意义．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】C
【分析】根据概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现进行解答即可．
【解答】解：根据概率的意义可得“抽到一等奖的概率为为0.01”就是说抽100次可能抽到一等奖，也可能没有抽到一等奖，抽一次也可能抽到一等奖，
故选：C．
【点评】此题主要考查了概率的意义，概率是对事件发生可能性大小的量的表现．
8．（3分）已知△ABC的三边长分别为，，2，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C．3 D．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】根据三边长度可利用勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形．再求面积．
【解答】解：∵△ABC的三边长分别为，，2，
∴（）2+22＝（）2，
∴△ABC是直角三角形，两直角边是，2，
∴△ABC的面积为：2，
故选：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的面积公式，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．（3分）若式子有意义，则x的取值范围为 x ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】x．
【分析】根据二次根式有意义和分式有意义的条件列不等式组，再解答即可．
【解答】解：要使分式有意义，必须4﹣3x＞0，
解得：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义和分式有意义的条件，根据条件列出关于x的不等式组成不等式组为解答本题的关键．
10．（3分）根据表格估算 2.4 ．（精确到0.1）
x 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
x3 10.648 12.167 13.824 15.625 17.576
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数；数感；运算能力．
【答案】2.4．
【分析】根据立方根的定义估算无理数的大小即可．
【解答】解：由表格中的对应数值的变化可知，
∵13.824＜14＜15.625，
∴，
即2.42.5，
又∵2.453≈14.706，
∴2.42.45，
∴2.4，
故答案为：2.4．
【点评】本题考查估算无理数的大小，理解立方根的定义是正确解答的前提．
11．（3分）分解因式：2x3﹣8x2y+8xy＝ 2x（x2﹣4xy+4y） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据提公因式法和公式法，即可解答．
【解答】解：2x3﹣8x2y+8xy＝2x（x2﹣4xy+4y），
故答案为：2x（x2﹣4xy+4y）．
【点评】本题考查了提公因式法和公式法进行分解因式，解决本题的关键是熟记提公因式法和公式法．
12．（3分）方程的解为 x＝0 ．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】x＝0．
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：10，
x+1﹣1＝0，
解得：x＝0，
检验：当x＝0时，x+1≠0，
∴x＝0是原方程的根，
故答案为：x＝0．
【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
13．（3分）近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有8只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 1000 只A种候鸟．
【考点】用样本估计总体．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】在样本中“200只A种候鸟中有8只佩有识别卡”，即可求得有识别卡的所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解答．
【解答】解：设该湿地约有x只A种候鸟，
则200：8＝x：40，
解得x＝1000．
故答案为：1000．
【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．
14．（3分）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB﹣∠PCD＝ 45 °．（点A，B，C，D，P是网格线交点）
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接AE，PE，由图可知，∠EAB＝∠PCD，则∠PAB﹣∠PCD＝∠PAB﹣∠EAB＝∠PAE，然后根据勾股定理可以求得PA、PE、AE的长，再利用勾股定理的逆定理可以判断△PAE的形状，从而可以得到∠PAE的度数，然后即可得到∠PAB﹣∠PCD的度数．
【解答】解：连接AE，PE，
则∠EAB＝∠PCD，
故∠PAB﹣∠PCD＝∠PAB﹣∠EAB＝∠PAE，
设正方形网格的边长为a，则PA，PE，AEa，
∵PA2+PE2＝5a2+5a2＝10a2＝AE2，
∴△APE是直角三角形，∠APE＝90°，
又∵PA＝PE，
∴∠PAE＝∠PEA＝45°，
∴∠PAB﹣∠PCD＝45°，
故答案为：45．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．（3分）若二次函数y＝ax2的图象经过点（2，﹣1），则a的值为 ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】将（2，﹣1）代入y＝ax2求解．
【解答】解：将（2，﹣1）代入y＝ax2得，
﹣1＝4a，
解得a，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
16．（3分）《孙子算经》中有这样一个问题，原文是“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，绳长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问绳长多少尺？答：绳长 11 尺．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】11．
【分析】设木长x尺，绳长y尺，由题意：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设木长x尺，绳长y尺，
由题意得：，
解得：，
即绳长11尺，
故答案为：11．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
三．解答题（共12小题，满分72分）
17．（5分）计算：
（1）；
（2）．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）；（2）4﹣32．
【分析】（1）首先计算开方，然后从左向右依次计算即可．
（2）首先计算零指数幂、负整数指数幂和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（1）
．
（2）
＝1﹣2+5﹣32
＝4﹣32．
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
18．（5分）解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】x≥2.5．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥2.5，
解不等式②得：x＞﹣2，
∴原不等式组的解集为：x≥2.5．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
19．（5分）化简求值：（2x+1）2﹣4（x﹣1）（x+1），其中x．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】4x+5，6．
【分析】直接利用乘法公式化简，再合并同类项，进而把已知数据代入即可．
【解答】解：原式＝4x2+4x+1﹣4x2+4
＝4x+5，
当x时，
原式＝45
＝1+5
＝6．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键．
20．（5分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（2）如果AD＝7，DC＝2，∠EBD＝60°，那么当四边形BFCE为菱形时BE的长是多少？
【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）3．
【分析】（1）由AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC，易证得△AEC≌△DFB，即可得BF＝EC，∠ACE＝∠DBF，且EC∥BF，即可判定四边形BFCE是平行四边形；
（2）当四边形BFCE是菱形时，BE＝CE，根据菱形的性质即可得到结果．
【解答】（1）证明：∵AB＝DC，
∴AC＝DB，
在△AEC和△DFB中，
，
∴△AEC≌△DFB（SAS），
∴BF＝EC，∠ACE＝∠DBF，
∴EC∥BF，
∴四边形BFCE是平行四边形；
（2）解：当四边形BFCE是菱形时，BE＝CE，
∵AD＝7，DC＝2，AB＝CD＝2，
∴BC＝7﹣2﹣2＝3，
∵∠EBD＝60°，
∴BE＝BC＝3，
∴当四边形BFCE是菱形时，BE的长是3．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
21．（5分）列出方程，不必求解．
（1）七年级（1）班共有学生49人，一天该班一男生因事请假，当天男生人数恰为女生人数的一半，则该班男生有多少人？
（2）某次考试出了25道选择题，答对一题给4分，不答或答错一题扣5分，如果小李得了82分，那么他答对了多少道题？
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）49﹣x＝2（x﹣1）；
（2）4x﹣5（25﹣x）＝82．
【分析】（1）利用该班一男生请假后，男生人数恰为女生人数的一半用男生的人数表示出女生的人数，利用男生人数+女生人数＝49求解；
（2）设小李答对了x道题，则不答或答错了（25﹣x）道题，根据所得分数得出等式求出即可．
【解答】解：（1）设男生人数为x人，则女生为2（x﹣1），
根据题意得：49﹣x＝2（x﹣1）；
（2）设小李答对了x道题，则不答或答错了（25﹣x）道题，
根据题意得出：4x﹣5（25﹣x）＝82．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找到正确的等量关系．
22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣1，0），（1，2）且与y轴交于点A．
（1）求该函数的解析式及点A的坐标；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝﹣x+n的值小于一次函数的值，直接写出n的取值范围．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）一次函数的表达式为y＝x+1，A（0，1）；
（2）n≤3．
【分析】（1）先利用待定系数法求出函数解析式为y＝x+1，然后计算自变量为0时对应的函数值得到A点坐标；
（2）当函数y＝﹣x+n与直线yx+1交点的坐标在点（1，2）的左侧时，满足当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝﹣x+n的值小于一次函数的值．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣1，0），（1，2）
∴，
解得，
该一次函数的表达式为y＝x+1，
令x＝0，则y＝1，
∴A（0，1）；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝﹣x+n的值小于一次函数的值，
∴x+1＞﹣x+n，
∴x，
∴，
解得n≤3．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解决问题的关键．
23．（6分）已知二次函数的图象的对称轴为x＝﹣1，函数的最小值为﹣4，且过点B（﹣2，5）．
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）y＝9（x+1）2﹣4；
（2）（0，5）． ．
【分析】（1）根据题意，可以设该函数的顶点式，再根据经过点B，即可求得该函数的关系式；
（2）将x＝0代入（1）中的函数解析式，求出y的值，再将y＝0代入（1）中的函数解析式，求出相应的x的值，从而可以得到该函数图象与坐标轴的交点坐标．
【解答】解：（1）由题意可知该函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），
设二次函数关系式为 y＝a（x+1）2﹣4（a≠0），
∵二次函数的图象过点 （﹣2，5），
∴.5＝a（﹣2+1）2﹣4，
解得a＝9，
∴二次函数的关系式是y＝9（x+1）2﹣4；
（2）令x＝0，则 y＝9×（0+1）2﹣4＝5，
∴图象与y轴的交点坐标为（0，5）；
令y＝0，则 0＝9（x+1）2﹣4，
解得x1，x2，
故图象与x轴的交点坐标是（，0）或（，0），
∴图象与坐标轴的交点坐标为（0，5）． ．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点坐标、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出该函数的解析式．
24．（6分）某校七年级有学生400人，为了解这个年级普及安全教育的情况，随机抽取了20名学生，进行安全教育考试，测试成绩（百分制）如下：
71，94，87，92，55，94，98，78，86，94
62，99，94，51，88，97，94，98，85，91
（1）请补全七年级20名学生安全教育测试成绩频数分布直方图；
（说明：成绩90分及以上为优秀，80～89为良好，80分以下为不合格）
（2）样本数据的平均数、中位数、众数、优秀率如表所示，请补充完整：
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
七年级 85.4 91.5 94 55%
（3）估计七年级成绩优秀的学生人数约为 220 人．
（4）学校有安全教育老师男女各2名，现从这4名老师中随机挑选2名参加“安全教育”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；频数（率）分布直方图；加权平均数；中位数；众数．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）将题干所提供的数据从小到大重新排列，再确定各组人数，从而补全图形；
（2）结合以上所整理的数据，根据中位数和众数的定义求解即可；
（3）用总人数乘以样本的优秀率即可；
（4）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）将这组数据重新排列为：
51，55，62，71，78，85，86，87，88，91，
92，94，94，94，94，94，97，98，98，99，
∴59.5～69.5的人数为1，79.5～89.5的人数为4人，89.5～100的人数为11人，
补全图形如下：
（2）这组数据的中位数为91.5（分），众数为94分，
故答案为：91.5，94；
（3）估计七年级成绩优秀的学生人数约为400×55%＝220（人），
故答案为：220；
（4）列表如下：
男 男 女 女
男 （男，男） （女，男） （女，男）
男 （男，男） （女，男） （女，男）
女 （男，女） （男，女） （女，女）
女 （男，女） （男，女） （女，女）
得到所有等可能的情况有12种，其中恰好抽中一男一女的情况有8种，
所以恰好选中“1男1女”的概率为．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
25．（7分）商场某种商品平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件商品应降价多少元？此时，每件商品盈利多少元？
（2）每件商品降价多少元，商场平均每天盈利最多？
【考点】二次函数的应用．
【专题】应用题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以列出相应的函数关系式，将函数关系式化为顶点式即可解答本题．
【解答】解：（1）设每件商品降价x元，由题意得，
（40﹣x）（20+2x）＝1200
解得：x1＝20，x2＝10
∵该商场为了尽快减少库存，
则x＝10不合题意，舍去．
∴x＝20，
∴40﹣x＝20，
即每件商品应降价20元，每件商品盈利20元；
（2）设商场每天盈利为y，每件商品降价x元，由题意可得，
y＝（40﹣x）（20+2x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∴当x＝15时，商场平均每天盈利最多，
即每件商品降价15元，商场平均每天盈利最多．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程或函数关系式进行解答．
26．（7分）已知：抛物线y1＝x2+bx+c经过点A（2，﹣3），B（4，5）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点B关于上述抛物线对称轴对称的点为E，且抛物线y2＝ax2（a≠0）与线段EB只有一个公共点．结合自己所画的函数图象，求出a的取值范围．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）y1＝x2﹣2x﹣3．
（2）a．
【分析】（1）通过待定系数法求解．
（2）由抛物线解析式可得抛物线对称轴，从而可得点E坐标，分类讨论a＜0与a＞0两种情况，分别求出抛物线经过点B，E的值，进而求解．
【解答】解：（1）将（2，﹣3），（4，5）代入y1＝x2+bx+c得，
解得，
∴y1＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵y1＝x2﹣2x﹣3，
∴抛物线对称轴为直线x1，
∴点E坐标为（﹣2，5），
当a＜0时，抛物线y2＝ax2开口向下，与线段BE无交点，
当a＞0时，抛物线开口向上，
当抛物线经过B（4，5）时，5＝16a，
解得a，
当抛物线经过（﹣2，5）时，5＝4a，
解得a，
∴a．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．通过分类讨论求解．
27．（8分）已知边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点，过点P作PE⊥PB，PE交射线DC于点E，过点E作E垂直AC所在的直线，垂足为点F．
（1）如图1，当E点在线段DC上时，求证：PB＝PE；
（2）在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能，直接写出此时AP的长，如果不能，请填“不存在”，AP ＝2 ；
（3）在点P的运动过程中，AP、PF、FC的长度是否满足某种数量关系？若满足，试写出解答过程；若不满足，试说明理由．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）详见解答过程．
（2）＝2．
（3）AP+FC＝OB．
【分析】（1）过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1，要证PB＝PE，只需证到△PGB≌△PHE即可；
（2）可分点E在线段DC上和点E在线段DC的延长线上两种情况讨论，通过计算就可求出符合要求的AP的长；
（3）连接BD，如图2，易证△BOP≌△PFE，则有BO＝PF，可得出最后结论．
【解答】（1）证明：过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1，
∵四边形ABCD是正方形，PG⊥BC，PH⊥DC，
∴∠GPC＝∠ACB＝∠ACD＝∠HPC＝45°．
∴PG＝PH，∠GPH＝∠PGB＝∠PHE＝90°，
∵PE⊥PB，
∴∠BPE＝90°，
∴∠BPG＝90°﹣∠GPE＝∠EPH，
∴△PGB≌△PHE（ASA），
∴PB＝PE．
（2）①若点E在线段DC上，如图1，
∵∠BPE＝∠BCE＝90°，
∴∠PBC+∠PEC＝180°，
∵∠PBC＜90°，
∴∠PEC＞90°．
若△PEC为等腰三角形，则EP＝EC．
∵∠EPC＝∠ECP＝45°，
∴∠PEC＝90°，与∠PEC＞90°矛盾，
∴点E在线段DC上时，△PEC不可能是等腰三角形
②若点E在线段DC的延长线上，如图2，
若△PEC是等腰三角形，
∵∠PCE＝135°，
∴CP＝CE，
∴∠CPE＝∠CEP＝22.5°，
∴∠APB＝180°﹣90°﹣22.5°＝67.5°，
∵∠PRC＝90°+∠PBR＝90°+∠CER，
∴∠PBR＝∠CER＝22.5°，
∴∠ABP＝67.5°，
∴∠ABP＝∠APB，
∴AP＝AB＝2．
故答案为：＝2．
（3）如图3，连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOP＝90°，
∵PE⊥PB，
∴∠BPE＝90°，
∴∠PBO＝90°﹣∠BPO＝∠EPF，
∵EF⊥PC，
∴∠PFE＝90°，
∴∠BOP＝∠PFE，
∴△BOP≌△PFE （AAS），
∴BO＝PF．
∵AP+FC+PF＝2BO，
∴AP+FC＝OB．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、四边形的内角和定理、三角形的内角和定理及外角性质等知识，有一 定的综合性，而通过添加辅助线证明三角形全等是解决本题的关键．
28．（8分）在平面直角坐标系xOy中，已知图形G上的两点M，N（点M，N不重合）和另一点P，给出如下定义：连接PM，PN，如果PM⊥PN，则称点P为点M，N的“条件拐点”．
（1）如图1，已知线段MN上的两点M（0，2），N（4，0）．
①点P1（1，3），P2（2，﹣1），P3（4，2）中，点M，N的“条件拐点”是 点P1和点P3 ；
②如果过点A（0，a）且平行于x轴的直线上存在点M，N的“条件拐点”，求a的取值范围；
（2）如图2，已知点F（0，1），T（0，t），过点F作直线l⊥y轴，点M，N在直线l上，且FM＝FN＝FT．如果直线y＝x﹣t上存在点M，N的“条件拐点”，直接写出t的取值范围．
【考点】一次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；新定义；推理能力．
【答案】（1）①点P1和点P3；
②1≤a1；
（2）t的取值为t≥3+2或t≤3﹣2．
【分析】（1）①根据题中PM⊥PN，可得出：PM2+PN2＝MN2，再根据三个点给出的坐标分别求出PM2和PN2，分别验证PM2+PN2＝MN2是否成立，即可求出答案；
②根据题意可知∠MPN＝90°和MN＝2，则可判断出点P在以MN的中点为圆心，以为半径的圆上，则根据过点A（0，a）且平行于x轴的直线上存在点M，N的“条件拐点”，可得出点B到此直线的距离d，根据中点求出点B的坐标，即可得出|a﹣1|，解出不等式即可求出答案；
（2）先计算直线l与坐标轴的交点坐标C（0，﹣t），D（t，0），根据FM＝FN＝FT确定点M，N，T在以F为圆心，以FT为半径的圆上，分情况讨论：当t≥1时，如图2；当0＜t＜1时，如图3；当﹣1＜t≤0时，如图4；当t≤﹣1时，如图5；分别根据点F到直线l的距离小于等于FT列不等式可解答．
【解答】解：（1）①∵M（0，2），N（4，0），
∴MN2＝（0﹣4）2+（2﹣0）2＝20，
当点P1（1，3）时，
则P1M2＝（0﹣1）2+（2﹣3）2＝2，（1﹣4）2+（3﹣0）2＝18，
∵2+18＝20，即P1M2MN2，
∴∠MPN＝90°，
∴PM⊥PN，
∴点P1是点M，N的“条件拐点”；
当点P2（2，﹣1）时，
则P2M2＝（2﹣0）2+（﹣1﹣2）2＝13，P2N2＝（2﹣4）2+（﹣1﹣0）2＝5，
∴13+5＝18≠20，即P2M2+P2N2≠MN2，
∴∠MPN≠90°，即PM与PN不垂直，
∴点P2不是点M，N的“条件拐点”；
当点P3（4，2）时，
则P3M2＝（4﹣0）+（2﹣2）2＝16，P3N2＝（4﹣4）2+（2﹣0）2＝4，
∵16+4＝20，即P3M2+P3N2＝MN2，
∴∠MPN＝90°，
∴PM⊥PN，
∴点P3是点M，N的“条件拐点”；
故答案为：点P1和点P3；
②根据①可得：MN＝2，
∵PM⊥PN，
∴∠MPN＝90°，
∴如图所示：点P在以MN的中点B为圆心，以为半径的圆上，
∵过点A（0，a）且平行于x轴的直线上存在点M，N的“条件拐点”，
∴如图所示，点B到此直线的距离d，
∵点B是MN的中点，且M（0，2），N（4，0），
∴点B的坐标为（2，1），
∴|a﹣1|，
解得：1≤a1；
（2）在直线y＝x﹣t中，当x＝0时，y＝﹣t，当y＝0时，x＝t，
∴C（0，﹣t），D（t，0），
∵FM＝FN＝FT，
∴M，N，T在以点F为圆心，FT为半径的圆上，
分三种情况：
①当t≥1时，如图2，过点F作FG⊥l于G，则FC＝t+1，FT＝t﹣1，
∵△FGC是等腰直角三角形，
∴FG，
∵直线y＝x﹣t上存在点M，N的“条件拐点”，
∴FG≤FT，
∴t﹣1，
∴t≥3+2；
②当0＜t＜1时，如图3，过点F作FG⊥l于G，则FC＝t+1，FT＝1﹣t，
∵直线y＝x﹣t上存在点M，N的“条件拐点”，
∴FG≤FT，
∴1﹣t，
∴t≤3﹣2；
③当﹣1＜t≤0时，如图4，过点F作FG⊥l于G，则FC＝t+1，FT＝1﹣t，
∵直线y＝x﹣t上存在点M，N的“条件拐点”，
∴FG≤FT，
∴1﹣t，
∴t≤3﹣2；
④当t≤﹣1时，如图5，过点F作FG⊥l于G，则FC＝﹣t﹣1，FT＝1﹣t，
∵直线y＝x﹣t上存在点M，N的“条件拐点”，
∴FG≤FT，
∴1﹣t，
∴t≤3+2；
综上，t的取值为t≥3+2或t≤3﹣2．
【点评】本题是一次函数的综合题，考查了新定义“条件拐点”的理解和运用，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质，一次函数的性质等知识，正确的作出图形和分类讨论是解题的关键．
考点卡片
1．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
2．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
3．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
4．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
5．提公因式法与公式法的综合运用
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
6．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
7．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
8．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
9．由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
10．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
11．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
12．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
13．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
14．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
15．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
16．一次函数图象与系数的关系
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0 y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0 y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
17．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
18．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
19．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
20．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
21．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
22．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．
①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．
23．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
24．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
25．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
26．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
27．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
28．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
29．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
30．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
31．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2） 180°＝360°．
32．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
33．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度）
34．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
35．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
36．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
37．坐标与图形变化-对称
（1）关于x轴对称
横坐标相等，纵坐标互为相反数．
（2）关于y轴对称
纵坐标相等，横坐标互为相反数．
（3）关于直线对称
①关于直线x＝m对称，P（a，b） P（2m﹣a，b）
②关于直线y＝n对称，P（a，b） P（a，2n﹣b）
38．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
39．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
40．频数（率）分布直方图
画频率分布直方图的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图．
注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容．
41．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
42．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
43．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
44．概率的意义
（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p．
（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
（3）概率取值范围：0≤p≤1．
（4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0．
（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．
（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题．
45．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
同课章节目录