2024—2025学年上学期广州初中数学九年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期广州初中数学九年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 504.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-05 15:00:44 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
2024—2025学年上学期广州初中数学九年级开学模拟试卷3
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知AE交CD于点O，AB∥CD，∠A＝50°，∠E＝15°，则∠C的度数为（ ）
A．50° B．65° C．35° D．15°
4．立夏是二十四节气中的第七个节气，是夏季的第一个节气，如图是我省某地立夏后某一周的最高气温折线统计图，则这一周每日最高气温的众数是（ ）
A．35 B．33 C．30 D．没有众数
5．下列运算正确的是（ ）
A．|| B．x3 x2＝x6
C．x2+x2＝x4 D．（3x2）2＝6x4
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，若CD＝3，则AB＝（ ）
A．1 B．3.5 C．4 D．6
7．已知关于x的方程x2+x﹣a＝0的一个根为2，则另一个根是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．6
8．某快递公司今年一月份完成投递的快递总件数为10万件，二月份、三月份每月投递的件数逐月增加，第一季度总投递件数为33.1万件，问：二、三月份平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为x，根据题意得方程（ ）
A．10（1+x）2＝33.1
B．10（1+x）+10（1+x）2＝33.1
C．10+10（1+x）2＝33.1
D．10+10（1+x）+10（1+x）2＝33.1
9．如图，在平面直角坐标系内有一个 ABCD，若A点坐标为（1，3），B点坐标为（1，1），C点坐标为（4，1），D点坐标为（4，3），直线y＝2x+b与 ABCD有交点，则b的取值范围是（ ）
A．﹣7≤b≤1 B．﹣5≤b≤﹣1 C．﹣1≤b≤1 D．﹣5≤b≤1
10．如图是同学们在“做环保护航者”的主题班会课上制作象征“健康快乐”的绿丝带（丝带的对边平行且宽度相同），丝带重叠的部分一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法判断
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若式子有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（5，0）与B（0，﹣4），那么关于x的不等式kx+b＜0的解集是 ．
13．分解因式：2a3+3a2﹣2a＝ ．
14．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多3，AB与AC的和为13，则AB的长为 ．
15．如图，已知AD∥BC，AB⊥AD，点E，F分别在射线AD，射线BC上，且点E，F关于BG对称．若AB＝AE＝2，则AG的长为 ．
16．如图，在Rt△ACB中，AC＝BC＝8，O为AB的中点，以O为直角顶点作等腰直角三角形OEF，与边AC，BC相交于点M，N．有下列结论：①AM＝CN；②CM+CN＝8；③S四边形OMCN＝6；④当M是AC的中点时，OM＝ON．其中正确结论的序号是 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）小刚按照某种规律写出4个方程：
第1个方程：x2+x﹣2＝0．
第2个方程：x2+2x﹣3＝0．
第3个方程：x2+3x﹣4＝0．
第4个方程：x2+4x﹣5＝0．
（1）按照此规律，请你写出第99个方程： ．
（2）按此规律写出第n个方程： ．这个方程是否有实数解？若有，请求出它的解；若没有，请说明理由．
18．（4分）如图，△ABE和△DCF的顶点C，E，F，B在同一直线上，点A，点D在BC两侧，已知AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．△ABE与△DCF全等吗？说明理由．
19．（6分）先化简，再求值：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中x，y＝2．
20．（6分）在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E是OD的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，在BD上作出点O，使OB＝2OE；
（2）在图2中过点A作线段CE的平行线AF，其中点F在BC上．
21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）连接BF，若∠ABC＝60°，CF＝5，求BF的长．
22．（10分）万众瞩目的2022年卡塔尔世界杯开幕后，为迎合市场需求，某商家计划购进A，B两款球衣，经调查，用30000元购买A款球衣的件数是用9000元购买B款球衣的件数的3倍，一件A款球衣的进价比一件B款球衣的进价多20元．
（1）求商家购进一件A，B款球衣的进价分别为多少元？
（2）若该商家购进A，B两款球衣共210件进行试销，其中A款球衣的件数不大于B款球衣的件数的2倍，且不小于100件，已知A款球衣的售价为320元/件，B款球衣的售价为280元/件，且全部售出，设购进A款球衣m件，求该商家销售这批商品的利润W与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，商家决定在试销活动中每售出一件A款球衣，就从一件A款球衣的利润中抽取a元支援贫困山区的儿童，求该商家售完所有球衣并支援贫困山区儿童后获得的最大收益．
23．（10分）如图1①②③，平面内三点O，M，N，如果将线段OM绕点O旋转90°得ON，称点N是点M关于点O的“等直点”，如果OM绕点O顺时针旋转90°得ON，称点N是点M关于点O的“正等直点”，如图1②．
（1）如图2，在平面直角坐标系中，已知点P（2，1）．
①在P1（﹣1，2），P2（2，﹣1），P3（1，﹣2）三点中， 是点P关于原点O的“等直点”；
②若直线l1：y＝kx+4交y轴于点M，若点N是直线l1上一点，且点N是点M关于点P的“等直点”，求直线l1的解析式；
（2）如图3，已知点A的坐标为（2，0），点B在直线l2：y＝3x上，若点B关于点A的“正等直点”C在坐标轴上，D是平面内一点，若四边形ABCD是平行四边形，直接写出点D的坐标．
24．（12分）如图1，在正方形ABCD的BC边的延长线上取点G，以CG为边作正方形CGFE，连接AF，取AF的中点M，连接DM，EM．
（1）请说明线段DM，EM的关系，不必说理；
（2）如图2，把正方形CGFE绕点C顺时针旋转，当点G在BC上时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；
（3）在旋转过程中，当D，E，F三点在一条直线上时，若AB＝13，CE＝5，请直接写出MF的长．
25．（12分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE＝AD，∠DAE+∠BAC＝180°．
（1）若α＝50°，则∠ADE＝ ；
（2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，
①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD＝CD；
②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD＝CF．
2024—2025学年上学期广州初中数学九年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．
2．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据最简二次根式的意义进行判断即可．
【解答】解：A.，因此选项A不符合题意；
B.，因此选项B不符合题意；
C.2，因此选项C不符合题意；
D.符合最简二次根式的意义，因此选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查最简二次根式的意义，掌握最简二次根式的意义是正确判断的前提．
3．如图，已知AE交CD于点O，AB∥CD，∠A＝50°，∠E＝15°，则∠C的度数为（ ）
A．50° B．65° C．35° D．15°
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】由平行线的性质可得∠DOE的度数，利用三角形外角的性质可得结果．
【解答】解：∵AB∥CD，∠A＝50°，
∴∠DOE＝∠A＝50°，
∵∠E＝15°，
∴∠C＝∠DOE﹣∠E＝50°﹣15°＝35°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和外角的性质，综合运用性质定理是解答此题的关键．
4．立夏是二十四节气中的第七个节气，是夏季的第一个节气，如图是我省某地立夏后某一周的最高气温折线统计图，则这一周每日最高气温的众数是（ ）
A．35 B．33 C．30 D．没有众数
【考点】折线统计图；众数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】B
【分析】根据众数的定义（众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据）即可得．
【解答】解：由图可知，这组数据中，33出现次数最多，
则这组数据的众数是33，
故选：B．
【点评】本题考查了众数，熟记定义是解题关键．
5．下列运算正确的是（ ）
A．|| B．x3 x2＝x6
C．x2+x2＝x4 D．（3x2）2＝6x4
【考点】幂的乘方与积的乘方；实数的性质；合并同类项；同底数幂的乘法．
【答案】A
【分析】分别利用绝对值以及同底数幂的乘法运算法则、合并同类项、积的乘方运算法则分别化简求出答案．
【解答】解：A、|1|1，正确，符合题意；
B、x3 x2＝x5，故此选项错误；
C、x2+x2＝2x2，故此选项错误；
D、（3x2）2＝9x4，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了绝对值以及同底数幂的乘法运算、合并同类项、积的乘方运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，若CD＝3，则AB＝（ ）
A．1 B．3.5 C．4 D．6
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点．CD＝3，
∴AB＝2CD＝2×3＝6，
故选：D．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
7．已知关于x的方程x2+x﹣a＝0的一个根为2，则另一个根是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．6
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题．
【答案】A
【分析】设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到2+t＝﹣1，然后解一元一次方程即可．
【解答】解：设方程的另一个根为t，
根据题意得2+t＝﹣1，解得t＝﹣3，
即方程的另一个根是﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
8．某快递公司今年一月份完成投递的快递总件数为10万件，二月份、三月份每月投递的件数逐月增加，第一季度总投递件数为33.1万件，问：二、三月份平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为x，根据题意得方程（ ）
A．10（1+x）2＝33.1
B．10（1+x）+10（1+x）2＝33.1
C．10+10（1+x）2＝33.1
D．10+10（1+x）+10（1+x）2＝33.1
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】根据该快递公司今年一月份及第一季度完成投递的快递总件数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：10+10（1+x）+10（1+x）2＝33.1．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系内有一个 ABCD，若A点坐标为（1，3），B点坐标为（1，1），C点坐标为（4，1），D点坐标为（4，3），直线y＝2x+b与 ABCD有交点，则b的取值范围是（ ）
A．﹣7≤b≤1 B．﹣5≤b≤﹣1 C．﹣1≤b≤1 D．﹣5≤b≤1
【考点】一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】D
【分析】当直线l：y＝2x+b经过B（1，1）时，解得b＝﹣1，当直线l：y＝2x+b经过D（4，3）时，解得b＝﹣5，即得当﹣5≤k≤﹣1时，直线l与矩形ABCD有交点．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，B点的坐标为（1，1），D点的坐标为（4，3），
当直线l：y＝2x+b经过B（1，1）时，1＝2×1+b，
解得b＝﹣1，
当直线l：y＝2x+b经过D（4，3）时，3＝2×4+b，
解得b＝﹣5，
由图可知：当﹣5≤b≤﹣1时，直线l与平行四边形ABCD有交点．
故选：D．
【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、矩形中心对称性、三角形面积等知识，解题的关键是求出直线l经过相关顶点时b的值，利用数形结合得到b的范围．
10．如图是同学们在“做环保护航者”的主题班会课上制作象征“健康快乐”的绿丝带（丝带的对边平行且宽度相同），丝带重叠的部分一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法判断
【考点】正方形的性质；菱形的判定与性质；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】B
【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵两条彩带宽度相同，
∴AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵S ABCD＝BC AE＝CD AF，AE＝AF，
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
故选：B．
【点评】本题考查正方形的性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，平行四边形的判定，解决本题的关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若式子有意义，则实数x的取值范围是 x≥﹣2022 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】x≥﹣2022．
【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．
【解答】解：根据题意得：2022+x≥0，
解得：x≥﹣2022．
故答案为：x≥﹣2022．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
12．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（5，0）与B（0，﹣4），那么关于x的不等式kx+b＜0的解集是 x＜5 ．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先利用图象可找到图象在x轴下方时x＜5，进而得到关于x的不等式kx+b＜0的解集是x＜5．
【解答】解：由题意可得：一次函数y＝kx+b中，y＜0时，图象在x轴下方，x＜5，
则关于x的不等式kx+b＜0的解集是x＜5，
故答案为：x＜5．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握数形结合思想．认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系．
13．分解因式：2a3+3a2﹣2a＝ a（2a﹣1）（a+2） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】a（2a﹣1）（a+2）．
【分析】原式提取公因式，再利用十字相乘法分解即可．
【解答】解：原式＝a（2a2+3a﹣2）
＝a（2a﹣1）（a+2）．
故答案为：a（2a﹣1）（a+2）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多3，AB与AC的和为13，则AB的长为 8 ．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【专题】三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三角形中线的定义得到BD＝CD，进而得到△ABD和△ADC的周长的差＝AB与AC的差，然后联立关于AB、AC的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可．
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝3，
即AB﹣AC＝3①，
又AB+AC＝13②，
①+②得2AB＝16，
解得AB＝8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了三角形的中线定义，根据周长的差得出边AB与AC的差等于3是解题的关键．
15．如图，已知AD∥BC，AB⊥AD，点E，F分别在射线AD，射线BC上，且点E，F关于BG对称．若AB＝AE＝2，则AG的长为 2+2 ．
【考点】轴对称的性质；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】2+2．
【分析】根据垂直的定义得到∠A＝90°，根据勾股定理得到BE2，根据轴对称的性质得到BG垂直平分EF，求得∠EBG＝∠FBG，根据平行线的性质得到∠EGB＝∠FBG，得到EG＝BE＝2，于是得到答案．
【解答】解：∵AB⊥AD，
∴∠A＝90°，
∵AB＝AE＝2，
∴BE2，
∵点E，F关于BG对称，
∴BG垂直平分EF，
∴BE＝BF，
∴∠EBG＝∠FBG，
∵AD∥BC，
∴∠EGB＝∠FBG，
∴∠EBG＝∠EGB，
∴EG＝BE＝2，
∴AG＝AE+EG＝2+2，
故答案为：2+2．
【点评】本题考查了轴对称的性质，平行线的性质，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
16．如图，在Rt△ACB中，AC＝BC＝8，O为AB的中点，以O为直角顶点作等腰直角三角形OEF，与边AC，BC相交于点M，N．有下列结论：①AM＝CN；②CM+CN＝8；③S四边形OMCN＝6；④当M是AC的中点时，OM＝ON．其中正确结论的序号是 ①②④ ．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由“ASA”可证△AOM≌△CON，可得AM＝CN，OM＝ON，S△AOM＝S△CON，即可求解．
【解答】解：连接OC，
∵在Rt△ACB中，AC＝BC＝8，O为AB的中点，
∴AO＝BO＝CO，∠ACO＝∠BCO＝∠A＝∠B＝45°，CO⊥AB，
∴∠AOM+∠MOC＝90°，且∠MOC+∠NOC＝90°，
∴∠AOM＝∠NOC，且AO＝CO，∠A＝∠BCO，
∴△AOM≌△CON（ASA）
∴AM＝CN，OM＝ON，S△AOM＝S△CON，
∴AC＝AM+CM＝CM+CN＝8
故①②④符合题意，
∵S四边形OMCN＝S△OMC+S△ONC＝S△OMC+S△AOM＝S△AOCS△ACB，
∴S四边形OMCN8×8＝16，
故③不符合题意；
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明△AOM≌△CON是本题的关键．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）小刚按照某种规律写出4个方程：
第1个方程：x2+x﹣2＝0．
第2个方程：x2+2x﹣3＝0．
第3个方程：x2+3x﹣4＝0．
第4个方程：x2+4x﹣5＝0．
（1）按照此规律，请你写出第99个方程： x2+99x﹣100＝0 ．
（2）按此规律写出第n个方程： x2+nx﹣（n+1）＝0 ．这个方程是否有实数解？若有，请求出它的解；若没有，请说明理由．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】（1）x2+99x﹣100＝0；
（2）x2+nx﹣（x+1）＝0，有实数解，x1＝1或x2＝﹣n﹣1．
【分析】（1）根据小刚写出的4个方程，易发现其规律是：第n个方程是x2+nx﹣（n+1）＝0，所以第99方程是x2+99x﹣100＝0；
（2）由（1）可知第n个方程是x2+nx﹣（n+1）＝0，利用因式分解法可得：（x﹣1）[x+（n+1）]＝0进而即可解答．
【解答】解：（1）第1个方程：x2+x﹣2＝0，
第2个方程：x2+2x﹣3＝0，
第3个方程：x2+3x﹣4＝0，
第4个方程：x2+4x﹣5＝0，
……
第n个方程：x2+nx﹣（n+1）＝0，
∴当n＝99时，x2+99x﹣100＝0．
故答案为：x2+99x﹣100＝0；
（2）第n个方程为x2+nx﹣（n+1）＝0，且这个方程有实数解，理由如下：
∵x2+nx﹣（n+1）＝0，
∴（x﹣1）（x+n+1）＝0，
∴x1＝1或x2＝﹣n﹣1．
故答案为：x2+nx﹣（n+1）＝0．
【点评】本题主要考查因式分解法解一元二次方程、数字规律等知识点，将方程右边化为0，左边化为积的形式，由利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
18．（4分）如图，△ABE和△DCF的顶点C，E，F，B在同一直线上，点A，点D在BC两侧，已知AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．△ABE与△DCF全等吗？说明理由．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】△ABE≌△DCF，见解析．
【分析】根据平行线的性质得出∠B＝∠C，再根据AAS证出△ABE≌△DCF．
【解答】解：△ABE≌△DCF．
理由如下：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（AAS）．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
19．（6分）先化简，再求值：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中x，y＝2．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】4xy+2y2，4．
【分析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）
＝（4x2+4xy+y2）﹣（4x2﹣y2）
＝4x2+4xy+y2﹣4x2+y2
＝4xy+2y2，
当x，y＝2时，原式＝4×（）×2+2×22＝﹣4+8＝4．
【点评】本题考查了整式的混合运算与求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
20．（6分）在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E是OD的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，在BD上作出点O，使OB＝2OE；
（2）在图2中过点A作线段CE的平行线AF，其中点F在BC上．
【考点】作图—复杂作图；三角形中位线定理；正方形的性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）见解答；
（2）见解答．
【分析】（1）根据正方形的性质作图；
（2）根据正方形的性质和平行四边形的性质作图．
【解答】解：
（1）如图1：点O即为所求；
（2）如图2：AF即为所求．
【点评】本题考查了复杂作图，掌握正方形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）连接BF，若∠ABC＝60°，CF＝5，求BF的长．
【考点】矩形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）5．
【分析】（1）由AC⊥BC，DE⊥BC，得AC∥DE，由四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，得AD∥CE，则四边形ACED是平行四边形，即可由∠ACE＝90°，根据矩形的定义证明四边形ACED是矩形；
（2）由平行四边形的性质和矩形的性质得AE＝CD＝AB，AF＝EF，AD＝CE＝CB＝3，因为∠ABC＝60°，所以△ABE是等边三角形，则AB＝AE＝BE＝2CE＝2CF＝6，∠AFB＝90°，所以AFAE＝3，即可根据勾股定理求得BF3．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵DE⊥BC，
∴AC∥DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，
∴AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵∠ACE＝90°，
∴四边形ACED是矩形．
（2）解：∵四边形ACED是矩形，四边形ABCD是平行四边形，
∴AE＝CD＝AB，AF＝EF＝CF＝DF＝5，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠AEB＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴BF⊥AE，AB＝AE＝BE＝2CE＝2CF＝2×5＝10，
∴∠AFB＝90°，AFAE10＝5，
∴BF5，
∴BF的长是5．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明AC∥DE及△ABC是等边三角形是解题的关键．
22．（10分）万众瞩目的2022年卡塔尔世界杯开幕后，为迎合市场需求，某商家计划购进A，B两款球衣，经调查，用30000元购买A款球衣的件数是用9000元购买B款球衣的件数的3倍，一件A款球衣的进价比一件B款球衣的进价多20元．
（1）求商家购进一件A，B款球衣的进价分别为多少元？
（2）若该商家购进A，B两款球衣共210件进行试销，其中A款球衣的件数不大于B款球衣的件数的2倍，且不小于100件，已知A款球衣的售价为320元/件，B款球衣的售价为280元/件，且全部售出，设购进A款球衣m件，求该商家销售这批商品的利润W与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，商家决定在试销活动中每售出一件A款球衣，就从一件A款球衣的利润中抽取a元支援贫困山区的儿童，求该商家售完所有球衣并支援贫困山区儿童后获得的最大收益．
【考点】一次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）一件A款球衣的进价为200元，一件B款球衣的进价为180元；
（2）W＝20m+21000（100≤m≤140）；
（3）当0＜a＜20时，该商家售完所有商品并支援贫困山区的儿童后获得的最大收益是（23800﹣140a）元；当a＝20时，该商家售完所有商品并支援贫困山区的儿童后获得的最大收益是21000元；当a＞20时，该商家售完所有商品并支援贫困山区的儿童后获得的最大收益是（23000﹣100a）元．
【分析】（1）设一件B款球衣的进价为x元，则一件A款球衣的进价为（x+20）元，根据“用30000元购买A款球衣的件数是用9000元购买B款球衣的件数的3倍，”列出方程，解方程即可求解；
（2）根据“A款球衣的件数不大于B款球衣的件数的2倍，且不小于100件”列出不等式组求得m的取值范围；再根据总利润等于两种商品利润的总和列式即可解决问题；
（3）设该商家售完所有商品并支援贫困山区的儿童后获得的收益是Q元，求得Q＝（20﹣a）m+21000，再分三种情况讨论即可求解．
【解答】解：（1）设一件B款球衣的进价为x元，则一件A款球衣的进价为（x+20）元，
根据题意得，，
解得x＝180，
经检验，x＝180是原方程的解，
∴x+20＝180+20＝200．
答：一件A款球衣的进价为200元，一件B款球衣的进价为180元；
（2）∵A款球衣的件数不大于B款球衣的件数的2倍，且不小于100件，
∴解得100≤m≤140，
根据题意得W＝（320﹣200）m+（280﹣180）（210﹣m），
化简得W＝20m+21000．
答：W＝20m+21000（100≤m≤140）；
（3）设该商家售完所有商品并支援贫困山区的儿童后获得的收益是Q元，
根据题意得Q＝20m+21000﹣am＝（20﹣a）m+21000，100≤m≤140，
当0＜a＜20时，Q随m的增大而增大，
∴m＝140时，Q最大，最大值为（20﹣a）×140+21000＝（23800﹣140a）元；
当a＝20时，Q＝21000元；
当a＞20时，Q随m的增大而减小，
∴m＝100时，Q最大，最大值为（20﹣a）×100+21000＝（23000﹣100a）元．
答：当0＜a＜20时，该商家售完所有商品并支援贫困山区的儿童后获得的最大收益是（23800﹣140a）元；
当a＝20时，该商家售完所有商品并支援贫困山区的儿童后获得的最大收益是21000元；
当a＞20时，该商家售完所有商品并支援贫困山区的儿童后获得的最大收益是（23000﹣100a）元．
【点评】本题考查分式方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．
23．（10分）如图1①②③，平面内三点O，M，N，如果将线段OM绕点O旋转90°得ON，称点N是点M关于点O的“等直点”，如果OM绕点O顺时针旋转90°得ON，称点N是点M关于点O的“正等直点”，如图1②．
（1）如图2，在平面直角坐标系中，已知点P（2，1）．
①在P1（﹣1，2），P2（2，﹣1），P3（1，﹣2）三点中， P1，P3 是点P关于原点O的“等直点”；
②若直线l1：y＝kx+4交y轴于点M，若点N是直线l1上一点，且点N是点M关于点P的“等直点”，求直线l1的解析式；
（2）如图3，已知点A的坐标为（2，0），点B在直线l2：y＝3x上，若点B关于点A的“正等直点”C在坐标轴上，D是平面内一点，若四边形ABCD是平行四边形，直接写出点D的坐标．
【考点】一次函数综合题．
【专题】一次函数及其应用；图形的全等；多边形与平行四边形；推理能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）①将OP顺时针旋转90°或逆时针旋转90°，求出旋转后点P的对应点坐标，即可求解；
②分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质可求点N坐标，代入解析式，可求解；
（2）分点C在x轴上和点C在y轴上，由平行四边形的性质可求解．
【解答】解：（1）如图2，连接OP，作PF⊥y轴，将OP绕点O顺时针旋转90°得到OE，过点E作EH⊥y轴，
∴PF＝2，OF＝1，∠PFO＝∠EHO＝90°，
∵将OP绕点O顺时针旋转90°得到OE，
∴OP＝OE，∠POE＝90°，
∴∠POF+∠EOH＝90°，
∵∠POF+∠FPO＝90°，
∴∠FPO＝∠EOH，
又∵∠PFO＝∠EHO＝90°，OE＝OP，
∴△PFO≌△OHE（AAS），
∴HE＝OF＝1，PF＝OH＝2，
∴点E（1，﹣2），
将OP绕点O顺时针旋转90°得到OG，
同理可求点G（﹣1，2），
∴P1，P3是点P关于原点O的“等直点”，
故答案为：P1，P3；
②∵y＝kx+4交y轴于点M，
∴点M（0，4），
∵点N是点M关于点P的“等直点”，
∴MP＝NP，MP⊥NP，
如图，当线段MP绕点P顺时针旋转90°得PN，过P作PQ⊥y轴于点Q，NK⊥PQ交QP的延长线于点K，
则∠MQP＝∠NKP＝90°，
∠QMP+∠QPM＝∠QPM+∠NPK＝90°，
∴∠QMP＝∠KPN，
∴△MPQ≌△PNK（AAS），
∴MQ＝PK＝4﹣1＝3，PQ＝NK＝2，
∴点N（5，3），
∵点N是直线l1上一点，
∴3＝5k+4，
解得k，
∴直线l1的解析式为：yx+4，
当线段MP绕点P逆时针旋转90°得PN，
同理可得点N（﹣1，﹣1），
∴﹣1＝﹣k+4，
解得k＝5，
∴直线l1的解析式为：y＝5x+4，
∴综上所述：直线l1的解析式为yx+4或y＝5x+4；
（2）如图3，当点C在x轴上时，
∵点A的坐标为（2，0），
∴OA＝2，
∵点C是点B关于点A的“正等直点”，
∴∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴点B的横坐标为2，
∴点B的坐标（2，6），
∴AB＝6＝AC，
∴OC＝8，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝6，
∴点D（8，﹣6）；
若点C在y轴上时，过点B作BE⊥x轴于E，
∵点C是点B关于点A的“正等直点”，
∴∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠BAE+∠CAO＝90°，
又∵∠CAO+∠ACO＝90°，
∴∠BAE＝∠ACO，
又∵AC＝AB，∠AOC＝∠AEB＝90°，
∴△ACO≌△BAE（AAS），
∴BE＝AO＝2，AE＝OC，
∴点B的纵坐标为﹣2，
∴点B坐标为（，﹣2），
∴EO，
∴CO＝2，
∴点C（0，），
设点D（x，y），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC与BD互相平分，
∴，
∴
∴点D（，），
综上所述：点D坐标为（8，﹣6）或（，）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，理解“等直点”的定义，并能运用是本题的关键．
24．（12分）如图1，在正方形ABCD的BC边的延长线上取点G，以CG为边作正方形CGFE，连接AF，取AF的中点M，连接DM，EM．
（1）请说明线段DM，EM的关系，不必说理；
（2）如图2，把正方形CGFE绕点C顺时针旋转，当点G在BC上时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；
（3）在旋转过程中，当D，E，F三点在一条直线上时，若AB＝13，CE＝5，请直接写出MF的长．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；分类讨论；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）DM＝EM，DM⊥EM．
（2）（1）中结论仍然成立，理由见解答．
（3）MF的长为或．
【分析】（1）作出辅助线，根据题意可证△AMK≌△FME，再证得△KDE是等腰直角三角形，即可得出结论．
（2）作出辅助线，根据题意可证△AMT≌△FME（AAS），再证得△TDE是等腰直角三角形，即可得出结论．
（3）作出辅助线，分两种情况讨论，即F在DC左右两侧的情况，即可求解．
【解答】解：（1）DM＝EM，DM⊥EM，理由如下：
如图，延长EM交AD于点K，
∵EF∥CG∥AD，
∴∠MAK＝∠MFE，∠MKA＝∠MEF，
∵M是AF的中点，
∴AM＝FM，
∴△AMK≌△FME（AAS），
∴AK＝EF＝EC，KM＝EM，
∵AD＝CD，
∴AD﹣AK＝CD﹣CE，即DK＝DE，
∵∠KDE＝90°，
∴△KDE是等腰直角三角形，
而KM＝EM，
∴DM＝EM，DM⊥EM．
（2）（1）中结论仍然成立，理由如下：
如图，延长EM，DA交于点T，
∵EF∥CG∥AD，
∴∠MAT＝∠MFE，∠MTA＝∠MEF，
∵M是AF的中点，
∴AM＝FM，
∴△AMT≌△FME（AAS），
∴AT＝EF＝EC，TM＝EM，
∵AD＝CD，
∴AD+AT＝CD+CE，即DT＝DE，
∵∠TDE＝90°，
∴△TDE是等腰直角三角形，
而TM＝EM，
∴DM＝EM，DM⊥EM．
（3）连接DE，过点M作MR⊥DE于点R，延长EM至H，使MH＝ME，连接AH，DH，
当F在DC右侧时，如图，
∵MH＝ME，∠AMH＝∠EMF，AM＝FM，
∴△AMH≌△FME（SAS），
∴AH＝EF＝EC，∠MAH＝∠MFE，
∴AH∥DF，
∴∠DAH+∠ADE＝180°，
∴∠DAH+∠CDE＝90°，
∴∠DCE+∠CDE＝90°，
∴∠DAH＝∠DCE，
∵DA＝DC，
∴△DAH≌△DCE（SAS），
∴DH＝DE，∠ADH＝∠CDE，
∴∠HDE＝∠ADC＝90°，
∵ME＝MH，
∴DH⊥EH，DM＝MH＝EM，
在Rt△CDE中，DE，
∵DM＝ME，DM⊥ME，MR⊥DE，
∴MRDE＝6＝DR＝RE，
∴FR＝EF+RE＝11，
在Rt△RMF中，MF；
当F在DC左侧时，如图，
同法可得DE＝12，MR＝6＝DR＝RE，
∴FR＝ER﹣FE＝6﹣5＝1，
在Rt△RMF中，MF，
综上，MF的长为或．
答：MF的长为或．
【点评】本题考查了四边形的综合应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形和全等三角形解决问题．
25．（12分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE＝AD，∠DAE+∠BAC＝180°．
（1）若α＝50°，则∠ADE＝ 40° ；
（2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，
①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD＝CD；
②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD＝CF．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）40°；
（2）①证明过程见解析；
②证明过程见解析．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝α，由三角形的内角和可得∠DAE＝2∠ABC＝100°，由等腰三角形的性质可求∠ADE的度数；
（2）①由平行四边形的性质可得AB∥EF，可得∠ABC＝∠EDC＝α，由三角形的内角和定理可求∠EDF+∠ADE＝90°，由等腰三角形的性质可得BD＝CD；
②由平行四边形的性质可得AE∥BF，AE＝BF，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得BF＝AE＝AD＝CD，可证得BD＝CF．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝α，
∴∠ABC＝∠ACB＝α，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+2∠ABC＝180°，
∴∠BAC+2×∠ABC＝180°，
∵∠DAE+∠BAC＝180°，
∴∠DAE＝2∠ABC＝100°，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED40°，
故答案为：40°；
（2）①证明：∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AB∥EF，
∴∠ABC＝∠EDC＝α，
∵∠DAE+∠BAC＝180°，2∠ABC+∠BAC＝180°，2∠ADE+∠DAE＝180°，
∴∠ABC+∠ADE＝90°，
∴∠EDC+∠ADE＝90°，
∴AD⊥BC，且AB＝AC，
∴BD＝CD，
②证明：∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AE∥BF，AE＝BF，
∴∠EAC＝∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝α，
∴∠EAC＝α，
∵∠DAE＝2∠ABC＝2α，
∴∠DAC＝∠ACB＝α，
∴AD＝CD，且AD＝AE，
∴BF＝AE＝AD＝CD，
∴BD＝CF．
【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，灵活运用这些性质进行推理是解本题的关键．
考点卡片
1．实数的性质
（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．
实数的倒数
乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．
2．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
3．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am an＝a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am an ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
4．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
5．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
6．提公因式法与公式法的综合运用
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
7．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
8．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
9．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
10．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
11．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
12．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
13．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
14．一次函数图象与系数的关系
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0 y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0 y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
15．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
16．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x．
17．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
18．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
19．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
20．三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
21．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
22．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
23．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
24．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
25．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
26．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R1，所以r：R＝1：1．
27．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
28．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
29．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
30．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
31．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
32．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
33．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
34．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
35．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
36．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
37．折线统计图
（1）定义：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．
（2）特点：折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．
（3）绘制折线图的步骤
①根据统计资料整理数据．
②先画纵轴，后画横轴，纵、横都要有单位，按纸面的大小来确定用一定单位表示一定的数量． ③根据数量的多少，在纵、横轴的恰当位置描出各点，然后把各点用线段顺序连接起来．
38．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．
2024—2025学年上学期广州初中数学九年级开学模拟试卷3
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知AE交CD于点O，AB∥CD，∠A＝50°，∠E＝15°，则∠C的度数为（ ）
A．50° B．65° C．35° D．15°
4．立夏是二十四节气中的第七个节气，是夏季的第一个节气，如图是我省某地立夏后某一周的最高气温折线统计图，则这一周每日最高气温的众数是（ ）
A．35 B．33 C．30 D．没有众数
5．下列运算正确的是（ ）
A．|| B．x3 x2＝x6
C．x2+x2＝x4 D．（3x2）2＝6x4
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，若CD＝3，则AB＝（ ）
A．1 B．3.5 C．4 D．6
7．已知关于x的方程x2+x﹣a＝0的一个根为2，则另一个根是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．6
8．某快递公司今年一月份完成投递的快递总件数为10万件，二月份、三月份每月投递的件数逐月增加，第一季度总投递件数为33.1万件，问：二、三月份平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为x，根据题意得方程（ ）
A．10（1+x）2＝33.1
B．10（1+x）+10（1+x）2＝33.1
C．10+10（1+x）2＝33.1
D．10+10（1+x）+10（1+x）2＝33.1
9．如图，在平面直角坐标系内有一个 ABCD，若A点坐标为（1，3），B点坐标为（1，1），C点坐标为（4，1），D点坐标为（4，3），直线y＝2x+b与 ABCD有交点，则b的取值范围是（ ）
A．﹣7≤b≤1 B．﹣5≤b≤﹣1 C．﹣1≤b≤1 D．﹣5≤b≤1
10．如图是同学们在“做环保护航者”的主题班会课上制作象征“健康快乐”的绿丝带（丝带的对边平行且宽度相同），丝带重叠的部分一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法判断
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若式子有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（5，0）与B（0，﹣4），那么关于x的不等式kx+b＜0的解集是 ．
13．分解因式：2a3+3a2﹣2a＝ ．
14．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多3，AB与AC的和为13，则AB的长为 ．
15．如图，已知AD∥BC，AB⊥AD，点E，F分别在射线AD，射线BC上，且点E，F关于BG对称．若AB＝AE＝2，则AG的长为 ．
16．如图，在Rt△ACB中，AC＝BC＝8，O为AB的中点，以O为直角顶点作等腰直角三角形OEF，与边AC，BC相交于点M，N．有下列结论：①AM＝CN；②CM+CN＝8；③S四边形OMCN＝6；④当M是AC的中点时，OM＝ON．其中正确结论的序号是 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）小刚按照某种规律写出4个方程：
第1个方程：x2+x﹣2＝0．
第2个方程：x2+2x﹣3＝0．
第3个方程：x2+3x﹣4＝0．
第4个方程：x2+4x﹣5＝0．
（1）按照此规律，请你写出第99个方程： ．
（2）按此规律写出第n个方程： ．这个方程是否有实数解？若有，请求出它的解；若没有，请说明理由．
18．（4分）如图，△ABE和△DCF的顶点C，E，F，B在同一直线上，点A，点D在BC两侧，已知AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．△ABE与△DCF全等吗？说明理由．
19．（6分）先化简，再求值：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中x，y＝2．
20．（6分）在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E是OD的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，在BD上作出点O，使OB＝2OE；
（2）在图2中过点A作线段CE的平行线AF，其中点F在BC上．
21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）连接BF，若∠ABC＝60°，CF＝5，求BF的长．
22．（10分）万众瞩目的2022年卡塔尔世界杯开幕后，为迎合市场需求，某商家计划购进A，B两款球衣，经调查，用30000元购买A款球衣的件数是用9000元购买B款球衣的件数的3倍，一件A款球衣的进价比一件B款球衣的进价多20元．
（1）求商家购进一件A，B款球衣的进价分别为多少元？
（2）若该商家购进A，B两款球衣共210件进行试销，其中A款球衣的件数不大于B款球衣的件数的2倍，且不小于100件，已知A款球衣的售价为320元/件，B款球衣的售价为280元/件，且全部售出，设购进A款球衣m件，求该商家销售这批商品的利润W与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，商家决定在试销活动中每售出一件A款球衣，就从一件A款球衣的利润中抽取a元支援贫困山区的儿童，求该商家售完所有球衣并支援贫困山区儿童后获得的最大收益．
23．（10分）如图1①②③，平面内三点O，M，N，如果将线段OM绕点O旋转90°得ON，称点N是点M关于点O的“等直点”，如果OM绕点O顺时针旋转90°得ON，称点N是点M关于点O的“正等直点”，如图1②．
（1）如图2，在平面直角坐标系中，已知点P（2，1）．
①在P1（﹣1，2），P2（2，﹣1），P3（1，﹣2）三点中， 是点P关于原点O的“等直点”；
②若直线l1：y＝kx+4交y轴于点M，若点N是直线l1上一点，且点N是点M关于点P的“等直点”，求直线l1的解析式；
（2）如图3，已知点A的坐标为（2，0），点B在直线l2：y＝3x上，若点B关于点A的“正等直点”C在坐标轴上，D是平面内一点，若四边形ABCD是平行四边形，直接写出点D的坐标．
24．（12分）如图1，在正方形ABCD的BC边的延长线上取点G，以CG为边作正方形CGFE，连接AF，取AF的中点M，连接DM，EM．
（1）请说明线段DM，EM的关系，不必说理；
（2）如图2，把正方形CGFE绕点C顺时针旋转，当点G在BC上时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；
（3）在旋转过程中，当D，E，F三点在一条直线上时，若AB＝13，CE＝5，请直接写出MF的长．
25．（12分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE＝AD，∠DAE+∠BAC＝180°．
（1）若α＝50°，则∠ADE＝ ；
（2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，
①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD＝CD；
②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD＝CF．
2024—2025学年上学期广州初中数学九年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．
2．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据最简二次根式的意义进行判断即可．
【解答】解：A.，因此选项A不符合题意；
B.，因此选项B不符合题意；
C.2，因此选项C不符合题意；
D.符合最简二次根式的意义，因此选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查最简二次根式的意义，掌握最简二次根式的意义是正确判断的前提．
3．如图，已知AE交CD于点O，AB∥CD，∠A＝50°，∠E＝15°，则∠C的度数为（ ）
A．50° B．65° C．35° D．15°
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】由平行线的性质可得∠DOE的度数，利用三角形外角的性质可得结果．
【解答】解：∵AB∥CD，∠A＝50°，
∴∠DOE＝∠A＝50°，
∵∠E＝15°，
∴∠C＝∠DOE﹣∠E＝50°﹣15°＝35°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和外角的性质，综合运用性质定理是解答此题的关键．
4．立夏是二十四节气中的第七个节气，是夏季的第一个节气，如图是我省某地立夏后某一周的最高气温折线统计图，则这一周每日最高气温的众数是（ ）
A．35 B．33 C．30 D．没有众数
【考点】折线统计图；众数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】B
【分析】根据众数的定义（众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据）即可得．
【解答】解：由图可知，这组数据中，33出现次数最多，
则这组数据的众数是33，
故选：B．
【点评】本题考查了众数，熟记定义是解题关键．
5．下列运算正确的是（ ）
A．|| B．x3 x2＝x6
C．x2+x2＝x4 D．（3x2）2＝6x4
【考点】幂的乘方与积的乘方；实数的性质；合并同类项；同底数幂的乘法．
【答案】A
【分析】分别利用绝对值以及同底数幂的乘法运算法则、合并同类项、积的乘方运算法则分别化简求出答案．
【解答】解：A、|1|1，正确，符合题意；
B、x3 x2＝x5，故此选项错误；
C、x2+x2＝2x2，故此选项错误；
D、（3x2）2＝9x4，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了绝对值以及同底数幂的乘法运算、合并同类项、积的乘方运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，若CD＝3，则AB＝（ ）
A．1 B．3.5 C．4 D．6
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点．CD＝3，
∴AB＝2CD＝2×3＝6，
故选：D．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
7．已知关于x的方程x2+x﹣a＝0的一个根为2，则另一个根是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．6
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题．
【答案】A
【分析】设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到2+t＝﹣1，然后解一元一次方程即可．
【解答】解：设方程的另一个根为t，
根据题意得2+t＝﹣1，解得t＝﹣3，
即方程的另一个根是﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
8．某快递公司今年一月份完成投递的快递总件数为10万件，二月份、三月份每月投递的件数逐月增加，第一季度总投递件数为33.1万件，问：二、三月份平均每月的增长率是多少？设平均每月增长的百分率为x，根据题意得方程（ ）
A．10（1+x）2＝33.1
B．10（1+x）+10（1+x）2＝33.1
C．10+10（1+x）2＝33.1
D．10+10（1+x）+10（1+x）2＝33.1
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】根据该快递公司今年一月份及第一季度完成投递的快递总件数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：10+10（1+x）+10（1+x）2＝33.1．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系内有一个 ABCD，若A点坐标为（1，3），B点坐标为（1，1），C点坐标为（4，1），D点坐标为（4，3），直线y＝2x+b与 ABCD有交点，则b的取值范围是（ ）
A．﹣7≤b≤1 B．﹣5≤b≤﹣1 C．﹣1≤b≤1 D．﹣5≤b≤1
【考点】一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】D
【分析】当直线l：y＝2x+b经过B（1，1）时，解得b＝﹣1，当直线l：y＝2x+b经过D（4，3）时，解得b＝﹣5，即得当﹣5≤k≤﹣1时，直线l与矩形ABCD有交点．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，B点的坐标为（1，1），D点的坐标为（4，3），
当直线l：y＝2x+b经过B（1，1）时，1＝2×1+b，
解得b＝﹣1，
当直线l：y＝2x+b经过D（4，3）时，3＝2×4+b，
解得b＝﹣5，
由图可知：当﹣5≤b≤﹣1时，直线l与平行四边形ABCD有交点．
故选：D．
【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、矩形中心对称性、三角形面积等知识，解题的关键是求出直线l经过相关顶点时b的值，利用数形结合得到b的范围．
10．如图是同学们在“做环保护航者”的主题班会课上制作象征“健康快乐”的绿丝带（丝带的对边平行且宽度相同），丝带重叠的部分一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法判断
【考点】正方形的性质；菱形的判定与性质；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】B
【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵两条彩带宽度相同，
∴AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵S ABCD＝BC AE＝CD AF，AE＝AF，
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
故选：B．
【点评】本题考查正方形的性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，平行四边形的判定，解决本题的关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若式子有意义，则实数x的取值范围是 x≥﹣2022 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】x≥﹣2022．
【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．
【解答】解：根据题意得：2022+x≥0，
解得：x≥﹣2022．
故答案为：x≥﹣2022．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
12．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（5，0）与B（0，﹣4），那么关于x的不等式kx+b＜0的解集是 x＜5 ．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先利用图象可找到图象在x轴下方时x＜5，进而得到关于x的不等式kx+b＜0的解集是x＜5．
【解答】解：由题意可得：一次函数y＝kx+b中，y＜0时，图象在x轴下方，x＜5，
则关于x的不等式kx+b＜0的解集是x＜5，
故答案为：x＜5．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握数形结合思想．认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系．
13．分解因式：2a3+3a2﹣2a＝ a（2a﹣1）（a+2） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】a（2a﹣1）（a+2）．
【分析】原式提取公因式，再利用十字相乘法分解即可．
【解答】解：原式＝a（2a2+3a﹣2）
＝a（2a﹣1）（a+2）．
故答案为：a（2a﹣1）（a+2）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多3，AB与AC的和为13，则AB的长为 8 ．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【专题】三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三角形中线的定义得到BD＝CD，进而得到△ABD和△ADC的周长的差＝AB与AC的差，然后联立关于AB、AC的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可．
【解答】解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝3，
即AB﹣AC＝3①，
又AB+AC＝13②，
①+②得2AB＝16，
解得AB＝8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了三角形的中线定义，根据周长的差得出边AB与AC的差等于3是解题的关键．
15．如图，已知AD∥BC，AB⊥AD，点E，F分别在射线AD，射线BC上，且点E，F关于BG对称．若AB＝AE＝2，则AG的长为 2+2 ．
【考点】轴对称的性质；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】2+2．
【分析】根据垂直的定义得到∠A＝90°，根据勾股定理得到BE2，根据轴对称的性质得到BG垂直平分EF，求得∠EBG＝∠FBG，根据平行线的性质得到∠EGB＝∠FBG，得到EG＝BE＝2，于是得到答案．
【解答】解：∵AB⊥AD，
∴∠A＝90°，
∵AB＝AE＝2，
∴BE2，
∵点E，F关于BG对称，
∴BG垂直平分EF，
∴BE＝BF，
∴∠EBG＝∠FBG，
∵AD∥BC，
∴∠EGB＝∠FBG，
∴∠EBG＝∠EGB，
∴EG＝BE＝2，
∴AG＝AE+EG＝2+2，
故答案为：2+2．
【点评】本题考查了轴对称的性质，平行线的性质，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
16．如图，在Rt△ACB中，AC＝BC＝8，O为AB的中点，以O为直角顶点作等腰直角三角形OEF，与边AC，BC相交于点M，N．有下列结论：①AM＝CN；②CM+CN＝8；③S四边形OMCN＝6；④当M是AC的中点时，OM＝ON．其中正确结论的序号是 ①②④ ．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由“ASA”可证△AOM≌△CON，可得AM＝CN，OM＝ON，S△AOM＝S△CON，即可求解．
【解答】解：连接OC，
∵在Rt△ACB中，AC＝BC＝8，O为AB的中点，
∴AO＝BO＝CO，∠ACO＝∠BCO＝∠A＝∠B＝45°，CO⊥AB，
∴∠AOM+∠MOC＝90°，且∠MOC+∠NOC＝90°，
∴∠AOM＝∠NOC，且AO＝CO，∠A＝∠BCO，
∴△AOM≌△CON（ASA）
∴AM＝CN，OM＝ON，S△AOM＝S△CON，
∴AC＝AM+CM＝CM+CN＝8
故①②④符合题意，
∵S四边形OMCN＝S△OMC+S△ONC＝S△OMC+S△AOM＝S△AOCS△ACB，
∴S四边形OMCN8×8＝16，
故③不符合题意；
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明△AOM≌△CON是本题的关键．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）小刚按照某种规律写出4个方程：
第1个方程：x2+x﹣2＝0．
第2个方程：x2+2x﹣3＝0．
第3个方程：x2+3x﹣4＝0．
第4个方程：x2+4x﹣5＝0．
（1）按照此规律，请你写出第99个方程： x2+99x﹣100＝0 ．
（2）按此规律写出第n个方程： x2+nx﹣（n+1）＝0 ．这个方程是否有实数解？若有，请求出它的解；若没有，请说明理由．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】（1）x2+99x﹣100＝0；
（2）x2+nx﹣（x+1）＝0，有实数解，x1＝1或x2＝﹣n﹣1．
【分析】（1）根据小刚写出的4个方程，易发现其规律是：第n个方程是x2+nx﹣（n+1）＝0，所以第99方程是x2+99x﹣100＝0；
（2）由（1）可知第n个方程是x2+nx﹣（n+1）＝0，利用因式分解法可得：（x﹣1）[x+（n+1）]＝0进而即可解答．
【解答】解：（1）第1个方程：x2+x﹣2＝0，
第2个方程：x2+2x﹣3＝0，
第3个方程：x2+3x﹣4＝0，
第4个方程：x2+4x﹣5＝0，
……
第n个方程：x2+nx﹣（n+1）＝0，
∴当n＝99时，x2+99x﹣100＝0．
故答案为：x2+99x﹣100＝0；
（2）第n个方程为x2+nx﹣（n+1）＝0，且这个方程有实数解，理由如下：
∵x2+nx﹣（n+1）＝0，
∴（x﹣1）（x+n+1）＝0，
∴x1＝1或x2＝﹣n﹣1．
故答案为：x2+nx﹣（n+1）＝0．
【点评】本题主要考查因式分解法解一元二次方程、数字规律等知识点，将方程右边化为0，左边化为积的形式，由利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
18．（4分）如图，△ABE和△DCF的顶点C，E，F，B在同一直线上，点A，点D在BC两侧，已知AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．△ABE与△DCF全等吗？说明理由．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】△ABE≌△DCF，见解析．
【分析】根据平行线的性质得出∠B＝∠C，再根据AAS证出△ABE≌△DCF．
【解答】解：△ABE≌△DCF．
理由如下：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（AAS）．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
19．（6分）先化简，再求值：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中x，y＝2．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】4xy+2y2，4．
【分析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）
＝（4x2+4xy+y2）﹣（4x2﹣y2）
＝4x2+4xy+y2﹣4x2+y2
＝4xy+2y2，
当x，y＝2时，原式＝4×（）×2+2×22＝﹣4+8＝4．
【点评】本题考查了整式的混合运算与求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
20．（6分）在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E是OD的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，在BD上作出点O，使OB＝2OE；
（2）在图2中过点A作线段CE的平行线AF，其中点F在BC上．
【考点】作图—复杂作图；三角形中位线定理；正方形的性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）见解答；
（2）见解答．
【分析】（1）根据正方形的性质作图；
（2）根据正方形的性质和平行四边形的性质作图．
【解答】解：
（1）如图1：点O即为所求；
（2）如图2：AF即为所求．
【点评】本题考查了复杂作图，掌握正方形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接AE交CD于点F．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）连接BF，若∠ABC＝60°，CF＝5，求BF的长．
【考点】矩形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）5．
【分析】（1）由AC⊥BC，DE⊥BC，得AC∥DE，由四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，得AD∥CE，则四边形ACED是平行四边形，即可由∠ACE＝90°，根据矩形的定义证明四边形ACED是矩形；
（2）由平行四边形的性质和矩形的性质得AE＝CD＝AB，AF＝EF，AD＝CE＝CB＝3，因为∠ABC＝60°，所以△ABE是等边三角形，则AB＝AE＝BE＝2CE＝2CF＝6，∠AFB＝90°，所以AFAE＝3，即可根据勾股定理求得BF3．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵DE⊥BC，
∴AC∥DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，
∴AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵∠ACE＝90°，
∴四边形ACED是矩形．
（2）解：∵四边形ACED是矩形，四边形ABCD是平行四边形，
∴AE＝CD＝AB，AF＝EF＝CF＝DF＝5，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠AEB＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴BF⊥AE，AB＝AE＝BE＝2CE＝2CF＝2×5＝10，
∴∠AFB＝90°，AFAE10＝5，
∴BF5，
∴BF的长是5．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明AC∥DE及△ABC是等边三角形是解题的关键．
22．（10分）万众瞩目的2022年卡塔尔世界杯开幕后，为迎合市场需求，某商家计划购进A，B两款球衣，经调查，用30000元购买A款球衣的件数是用9000元购买B款球衣的件数的3倍，一件A款球衣的进价比一件B款球衣的进价多20元．
（1）求商家购进一件A，B款球衣的进价分别为多少元？
（2）若该商家购进A，B两款球衣共210件进行试销，其中A款球衣的件数不大于B款球衣的件数的2倍，且不小于100件，已知A款球衣的售价为320元/件，B款球衣的售价为280元/件，且全部售出，设购进A款球衣m件，求该商家销售这批商品的利润W与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，商家决定在试销活动中每售出一件A款球衣，就从一件A款球衣的利润中抽取a元支援贫困山区的儿童，求该商家售完所有球衣并支援贫困山区儿童后获得的最大收益．
【考点】一次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）一件A款球衣的进价为200元，一件B款球衣的进价为180元；
（2）W＝20m+21000（100≤m≤140）；
（3）当0＜a＜20时，该商家售完所有商品并支援贫困山区的儿童后获得的最大收益是（23800﹣140a）元；当a＝20时，该商家售完所有商品并支援贫困山区的儿童后获得的最大收益是21000元；当a＞20时，该商家售完所有商品并支援贫困山区的儿童后获得的最大收益是（23000﹣100a）元．
【分析】（1）设一件B款球衣的进价为x元，则一件A款球衣的进价为（x+20）元，根据“用30000元购买A款球衣的件数是用9000元购买B款球衣的件数的3倍，”列出方程，解方程即可求解；
（2）根据“A款球衣的件数不大于B款球衣的件数的2倍，且不小于100件”列出不等式组求得m的取值范围；再根据总利润等于两种商品利润的总和列式即可解决问题；
（3）设该商家售完所有商品并支援贫困山区的儿童后获得的收益是Q元，求得Q＝（20﹣a）m+21000，再分三种情况讨论即可求解．
【解答】解：（1）设一件B款球衣的进价为x元，则一件A款球衣的进价为（x+20）元，
根据题意得，，
解得x＝180，
经检验，x＝180是原方程的解，
∴x+20＝180+20＝200．
答：一件A款球衣的进价为200元，一件B款球衣的进价为180元；
（2）∵A款球衣的件数不大于B款球衣的件数的2倍，且不小于100件，
∴解得100≤m≤140，
根据题意得W＝（320﹣200）m+（280﹣180）（210﹣m），
化简得W＝20m+21000．
答：W＝20m+21000（100≤m≤140）；
（3）设该商家售完所有商品并支援贫困山区的儿童后获得的收益是Q元，
根据题意得Q＝20m+21000﹣am＝（20﹣a）m+21000，100≤m≤140，
当0＜a＜20时，Q随m的增大而增大，
∴m＝140时，Q最大，最大值为（20﹣a）×140+21000＝（23800﹣140a）元；
当a＝20时，Q＝21000元；
当a＞20时，Q随m的增大而减小，
∴m＝100时，Q最大，最大值为（20﹣a）×100+21000＝（23000﹣100a）元．
答：当0＜a＜20时，该商家售完所有商品并支援贫困山区的儿童后获得的最大收益是（23800﹣140a）元；
当a＝20时，该商家售完所有商品并支援贫困山区的儿童后获得的最大收益是21000元；
当a＞20时，该商家售完所有商品并支援贫困山区的儿童后获得的最大收益是（23000﹣100a）元．
【点评】本题考查分式方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．
23．（10分）如图1①②③，平面内三点O，M，N，如果将线段OM绕点O旋转90°得ON，称点N是点M关于点O的“等直点”，如果OM绕点O顺时针旋转90°得ON，称点N是点M关于点O的“正等直点”，如图1②．
（1）如图2，在平面直角坐标系中，已知点P（2，1）．
①在P1（﹣1，2），P2（2，﹣1），P3（1，﹣2）三点中， P1，P3 是点P关于原点O的“等直点”；
②若直线l1：y＝kx+4交y轴于点M，若点N是直线l1上一点，且点N是点M关于点P的“等直点”，求直线l1的解析式；
（2）如图3，已知点A的坐标为（2，0），点B在直线l2：y＝3x上，若点B关于点A的“正等直点”C在坐标轴上，D是平面内一点，若四边形ABCD是平行四边形，直接写出点D的坐标．
【考点】一次函数综合题．
【专题】一次函数及其应用；图形的全等；多边形与平行四边形；推理能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）①将OP顺时针旋转90°或逆时针旋转90°，求出旋转后点P的对应点坐标，即可求解；
②分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质可求点N坐标，代入解析式，可求解；
（2）分点C在x轴上和点C在y轴上，由平行四边形的性质可求解．
【解答】解：（1）如图2，连接OP，作PF⊥y轴，将OP绕点O顺时针旋转90°得到OE，过点E作EH⊥y轴，
∴PF＝2，OF＝1，∠PFO＝∠EHO＝90°，
∵将OP绕点O顺时针旋转90°得到OE，
∴OP＝OE，∠POE＝90°，
∴∠POF+∠EOH＝90°，
∵∠POF+∠FPO＝90°，
∴∠FPO＝∠EOH，
又∵∠PFO＝∠EHO＝90°，OE＝OP，
∴△PFO≌△OHE（AAS），
∴HE＝OF＝1，PF＝OH＝2，
∴点E（1，﹣2），
将OP绕点O顺时针旋转90°得到OG，
同理可求点G（﹣1，2），
∴P1，P3是点P关于原点O的“等直点”，
故答案为：P1，P3；
②∵y＝kx+4交y轴于点M，
∴点M（0，4），
∵点N是点M关于点P的“等直点”，
∴MP＝NP，MP⊥NP，
如图，当线段MP绕点P顺时针旋转90°得PN，过P作PQ⊥y轴于点Q，NK⊥PQ交QP的延长线于点K，
则∠MQP＝∠NKP＝90°，
∠QMP+∠QPM＝∠QPM+∠NPK＝90°，
∴∠QMP＝∠KPN，
∴△MPQ≌△PNK（AAS），
∴MQ＝PK＝4﹣1＝3，PQ＝NK＝2，
∴点N（5，3），
∵点N是直线l1上一点，
∴3＝5k+4，
解得k，
∴直线l1的解析式为：yx+4，
当线段MP绕点P逆时针旋转90°得PN，
同理可得点N（﹣1，﹣1），
∴﹣1＝﹣k+4，
解得k＝5，
∴直线l1的解析式为：y＝5x+4，
∴综上所述：直线l1的解析式为yx+4或y＝5x+4；
（2）如图3，当点C在x轴上时，
∵点A的坐标为（2，0），
∴OA＝2，
∵点C是点B关于点A的“正等直点”，
∴∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴点B的横坐标为2，
∴点B的坐标（2，6），
∴AB＝6＝AC，
∴OC＝8，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝6，
∴点D（8，﹣6）；
若点C在y轴上时，过点B作BE⊥x轴于E，
∵点C是点B关于点A的“正等直点”，
∴∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠BAE+∠CAO＝90°，
又∵∠CAO+∠ACO＝90°，
∴∠BAE＝∠ACO，
又∵AC＝AB，∠AOC＝∠AEB＝90°，
∴△ACO≌△BAE（AAS），
∴BE＝AO＝2，AE＝OC，
∴点B的纵坐标为﹣2，
∴点B坐标为（，﹣2），
∴EO，
∴CO＝2，
∴点C（0，），
设点D（x，y），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC与BD互相平分，
∴，
∴
∴点D（，），
综上所述：点D坐标为（8，﹣6）或（，）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，理解“等直点”的定义，并能运用是本题的关键．
24．（12分）如图1，在正方形ABCD的BC边的延长线上取点G，以CG为边作正方形CGFE，连接AF，取AF的中点M，连接DM，EM．
（1）请说明线段DM，EM的关系，不必说理；
（2）如图2，把正方形CGFE绕点C顺时针旋转，当点G在BC上时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；
（3）在旋转过程中，当D，E，F三点在一条直线上时，若AB＝13，CE＝5，请直接写出MF的长．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；分类讨论；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）DM＝EM，DM⊥EM．
（2）（1）中结论仍然成立，理由见解答．
（3）MF的长为或．
【分析】（1）作出辅助线，根据题意可证△AMK≌△FME，再证得△KDE是等腰直角三角形，即可得出结论．
（2）作出辅助线，根据题意可证△AMT≌△FME（AAS），再证得△TDE是等腰直角三角形，即可得出结论．
（3）作出辅助线，分两种情况讨论，即F在DC左右两侧的情况，即可求解．
【解答】解：（1）DM＝EM，DM⊥EM，理由如下：
如图，延长EM交AD于点K，
∵EF∥CG∥AD，
∴∠MAK＝∠MFE，∠MKA＝∠MEF，
∵M是AF的中点，
∴AM＝FM，
∴△AMK≌△FME（AAS），
∴AK＝EF＝EC，KM＝EM，
∵AD＝CD，
∴AD﹣AK＝CD﹣CE，即DK＝DE，
∵∠KDE＝90°，
∴△KDE是等腰直角三角形，
而KM＝EM，
∴DM＝EM，DM⊥EM．
（2）（1）中结论仍然成立，理由如下：
如图，延长EM，DA交于点T，
∵EF∥CG∥AD，
∴∠MAT＝∠MFE，∠MTA＝∠MEF，
∵M是AF的中点，
∴AM＝FM，
∴△AMT≌△FME（AAS），
∴AT＝EF＝EC，TM＝EM，
∵AD＝CD，
∴AD+AT＝CD+CE，即DT＝DE，
∵∠TDE＝90°，
∴△TDE是等腰直角三角形，
而TM＝EM，
∴DM＝EM，DM⊥EM．
（3）连接DE，过点M作MR⊥DE于点R，延长EM至H，使MH＝ME，连接AH，DH，
当F在DC右侧时，如图，
∵MH＝ME，∠AMH＝∠EMF，AM＝FM，
∴△AMH≌△FME（SAS），
∴AH＝EF＝EC，∠MAH＝∠MFE，
∴AH∥DF，
∴∠DAH+∠ADE＝180°，
∴∠DAH+∠CDE＝90°，
∴∠DCE+∠CDE＝90°，
∴∠DAH＝∠DCE，
∵DA＝DC，
∴△DAH≌△DCE（SAS），
∴DH＝DE，∠ADH＝∠CDE，
∴∠HDE＝∠ADC＝90°，
∵ME＝MH，
∴DH⊥EH，DM＝MH＝EM，
在Rt△CDE中，DE，
∵DM＝ME，DM⊥ME，MR⊥DE，
∴MRDE＝6＝DR＝RE，
∴FR＝EF+RE＝11，
在Rt△RMF中，MF；
当F在DC左侧时，如图，
同法可得DE＝12，MR＝6＝DR＝RE，
∴FR＝ER﹣FE＝6﹣5＝1，
在Rt△RMF中，MF，
综上，MF的长为或．
答：MF的长为或．
【点评】本题考查了四边形的综合应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形和全等三角形解决问题．
25．（12分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE＝AD，∠DAE+∠BAC＝180°．
（1）若α＝50°，则∠ADE＝ 40° ；
（2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE，
①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD＝CD；
②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD＝CF．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）40°；
（2）①证明过程见解析；
②证明过程见解析．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝α，由三角形的内角和可得∠DAE＝2∠ABC＝100°，由等腰三角形的性质可求∠ADE的度数；
（2）①由平行四边形的性质可得AB∥EF，可得∠ABC＝∠EDC＝α，由三角形的内角和定理可求∠EDF+∠ADE＝90°，由等腰三角形的性质可得BD＝CD；
②由平行四边形的性质可得AE∥BF，AE＝BF，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得BF＝AE＝AD＝CD，可证得BD＝CF．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝α，
∴∠ABC＝∠ACB＝α，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+2∠ABC＝180°，
∴∠BAC+2×∠ABC＝180°，
∵∠DAE+∠BAC＝180°，
∴∠DAE＝2∠ABC＝100°，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED40°，
故答案为：40°；
（2）①证明：∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AB∥EF，
∴∠ABC＝∠EDC＝α，
∵∠DAE+∠BAC＝180°，2∠ABC+∠BAC＝180°，2∠ADE+∠DAE＝180°，
∴∠ABC+∠ADE＝90°，
∴∠EDC+∠ADE＝90°，
∴AD⊥BC，且AB＝AC，
∴BD＝CD，
②证明：∵四边形ABFE是平行四边形，
∴AE∥BF，AE＝BF，
∴∠EAC＝∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝α，
∴∠EAC＝α，
∵∠DAE＝2∠ABC＝2α，
∴∠DAC＝∠ACB＝α，
∴AD＝CD，且AD＝AE，
∴BF＝AE＝AD＝CD，
∴BD＝CF．
【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，灵活运用这些性质进行推理是解本题的关键．
考点卡片
1．实数的性质
（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．
实数的倒数
乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．
2．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
3．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am an＝a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am an ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
4．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
5．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
6．提公因式法与公式法的综合运用
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
7．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
8．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
9．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
10．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
11．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
12．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
13．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
14．一次函数图象与系数的关系
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0 y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0 y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
15．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
16．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x．
17．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
18．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
19．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
20．三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
21．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
22．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
23．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
24．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
25．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
26．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R1，所以r：R＝1：1．
27．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
28．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
29．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
30．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
31．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
32．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
33．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
34．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
35．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
36．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
37．折线统计图
（1）定义：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．
（2）特点：折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．
（3）绘制折线图的步骤
①根据统计资料整理数据．
②先画纵轴，后画横轴，纵、横都要有单位，按纸面的大小来确定用一定单位表示一定的数量． ③根据数量的多少，在纵、横轴的恰当位置描出各点，然后把各点用线段顺序连接起来．
38．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．
同课章节目录