2024—2025学年上学期杭州初中数学八年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期杭州初中数学八年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 313.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-05 15:03:13 | ||
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文档简介
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2024—2025学年上学期杭州初中数学八年级开学模拟试卷3
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列运算正确的是（ ）
A．a2 a3＝a6 B．3a﹣2a＝1
C．（﹣2a4）3＝﹣8a12 D．a6÷a2＝a3
2．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） B．2xy2＝2x y
C．（﹣x﹣1）2＝x2+2x+1 D．x2+2x+2＝x（x+2）+2
3．若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣2 B．x＞﹣2 C．x＜﹣2 D．x＝﹣2
4．已知样本数据个数为30，且被分成4组，各组数据个数之比为2：4：3：1，则第二小组频数和第三小组的频率分别为（ ）
A．0.4和0.3 B．0.4和9 C．12和0.3 D．12和9
5．下列各式中能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x+y）（﹣y﹣x） B．（x+y）（y+x）
C．（x+y）（y﹣x） D．（x﹣y）（y﹣x）
6．下列说法正确的共有（ ）
①等角的余角相等；
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③相等的角是对顶角；
④同位角相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．对于M＝x+1，，有以下两个结论：
①当x＞0时，M＞N；
②当x＜﹣1时，M＜N．
对于这两个结论，说法正确的是（ ）
A．①对②不对 B．①不对②对 C．①②均对 D．①②均不对
8．如图，AB∥CD，∠ABE∠EBF，∠DCE∠ECF，设∠ABE＝α，∠E＝β，∠F＝γ，则α，β，γ的数量关系是（ ）
A．4β﹣α+γ＝360° B．3β﹣α+γ＝360°
C．4β﹣α﹣γ＝360° D．3β﹣2α﹣γ＝360°
9．分式的值为2时，x的值是（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．3
10．如图，两个正方形的边长分别为a、b，若a+b＝7，ab＝3，则阴影部分的面积是（ ）
A．40 B． C．20 D．23
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）某种花的一粒花粉质量约为0.0056mg，用科学记数法表示为 mg．
12．（4分）已知，则 ， ．
13．（4分）若分式方程有增根x＝2，则a＝ ．
14．（4分）（1）已知am＝2，an＝3，则a3m﹣2n＝ ．
（2）已知2×8x×16＝223，则x＝ ．
15．（4分）如图，点D在△ABC的边AC的延长线上，DE∥BC，若∠A＝65°，∠B＝40°，则∠D的度数为 ．
16．（4分）观察下列算式：①1×3﹣22＝3﹣4＝﹣1；②2×4﹣32＝8﹣9＝﹣1；③3×5﹣42＝15﹣16＝﹣1，④4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1，…．按这个规律，第n个式子应表示为 ．（用含n的式子表示）
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（6分）3ax﹣18by+6bx﹣9ay
18．（8分）先化简，再求值：
（1）（2a﹣3）（3a+1）﹣6a（a﹣4），其中a．
（2），并任选一个你喜欢的m值代入求值．
19．（8分）某校七年级开展了“勿忘历史，吾辈自强”历史知识竞赛活动，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表（每组成绩含前一个分数，不含后一个分数，最后一组前后分数均包含）：
成绩/分 频数 百分比
第1段 50～60 2 4%
第2段 60～70 6 12%
第3段 70～80 9 b
第4段 80～90 a 36%
第5段 90～100 15 30%
请根据所给信息，解答下列问题
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）请补全频数分布直方图：
（3）现要将调查结果绘制成扇形统计图，求成绩在“90～100”这一分数段所对应的扇形圆心角是多少度？
20．（10分）已知直线AB∥CD，E是直线AB上一点，点O，F是平面内两点，且满足EO⊥FO．
（1）如图①，点F在直线AB上，点O在直线EF的上方，延长OF与CD交于点G，若∠OEF＝25°，求∠OGC的度数；
（2）如图②，点O在直线AB上，且位于点E右侧，点F位于直线AB与CD之间，过点F作FG⊥EF交直线CD于点G．求证：∠EFO＝∠FGD．
21．（10分）已知关于x，y的方程组（m，n为实数）．
（1）若m+4n＝5，试探究方程组的解x，y之间的关系；
（2）若方程组的解满足2x+3y＝0，求分式的值．
22．（12分）疫情过后，今年云南旅游市场强劲复苏．某旅行社今年春节租用A、B两种客房，用4800元租到A客房的数量与用4200元租到B客房的数量相同，今年每间A客房的租金比每间B客房的租金多30元，分别求今年该旅行社租用的A、B两种客房每间客房的租金．
23．（12分）如图，图1是长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，沿图中虚线（对称轴）剪开，用得到的四个全等的小长方形，拼成如图2所示的大正方形（无重叠无缝隙），设图2中小正方形（阴影部分）面积为S．
（1）用两种不同方法求s；（用含a、b的式子表示）
（2）请直接写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab这三个代数式之间的数量关系；
（3）利用（2）中结论，完成下列计算：
①若（x﹣y）2＝5，（x+y）2＝9，求xy的值：
②已知x﹣y＝﹣13，xy＝114，求x+y的值．
2024—2025学年上学期杭州初中数学八年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列运算正确的是（ ）
A．a2 a3＝a6 B．3a﹣2a＝1
C．（﹣2a4）3＝﹣8a12 D．a6÷a2＝a3
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法逐一判断即可．
【解答】解：A、a2 a3＝a5≠a6，本选项不符合题意；
B、3a﹣2a＝a≠1，本选项不符合题意；
C、（﹣2a4）3＝﹣8a12，本选项符合题意；
D、a6÷a2＝a4≠a3，本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查的是幂的运算性质，掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法是解决此题的关键．
2．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） B．2xy2＝2x y
C．（﹣x﹣1）2＝x2+2x+1 D．x2+2x+2＝x（x+2）+2
【考点】因式分解的意义．
【专题】因式分解；应用意识．
【答案】A
【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）符合因式分解的定义，故本选项符合题意；
B、2xy2＝2x y不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、（﹣x﹣1）2＝x2+2x+1是整式的乘法，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
D、x2+2x+2＝x（x+2）+2右边不是整式积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．
3．若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣2 B．x＞﹣2 C．x＜﹣2 D．x＝﹣2
【考点】分式有意义的条件．
【专题】常规题型．
【答案】A
【分析】直接利用分式有意义的条件得出x的取值范围．
【解答】解：∵分式在实数范围内有意义，
∴x+2≠0，
解得：x≠﹣2，
则x的取值范围是：x≠﹣2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
4．已知样本数据个数为30，且被分成4组，各组数据个数之比为2：4：3：1，则第二小组频数和第三小组的频率分别为（ ）
A．0.4和0.3 B．0.4和9 C．12和0.3 D．12和9
【考点】频数与频率．
【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念．
【答案】C
【分析】根据频数和频率的意义求解即可．
【解答】解：第二小组的频数为：3012，
第三小组的频率为：0.3，
故选：C．
【点评】本题考查频数和频率，理解频数和频率的意义是正确解答的前提．
5．下列各式中能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x+y）（﹣y﹣x） B．（x+y）（y+x）
C．（x+y）（y﹣x） D．（x﹣y）（y﹣x）
【考点】平方差公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】平方差公式要求有一项完全相同，另一项互为相反项，根据结构特点判断即可．
【解答】解：A．没有完全相同的项，不符合题意；
B．没有相反项，不符合题意；
C．原式＝（y+x）（y﹣x）＝y2﹣x2，符合题意；
D．没有完全相同的项，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了平方差公式，掌握公式的结构特点是解题的关键．
6．下列说法正确的共有（ ）
①等角的余角相等；
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③相等的角是对顶角；
④同位角相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】平行线的性质；余角和补角；对顶角、邻补角；同位角、内错角、同旁内角；平行公理及推论．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】①根据余角的性质判断即可；②根据平行公理判断即可；③根据对顶角的定义判断即可；④根据平行线的性质判断即可．
【解答】解：①等角的余角相等，说法正确；
②在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误；
③相等的角的边不一定互为反向延长线，所以不一定是对顶角，故原说法错误；
④两直线平行，同位角相等，故原说法错误．
所以说法正确的共有1个．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质、对顶角的定义，平行公理的知识以及余角的性质，熟记相关定义与性质是解答本题的关键．
7．对于M＝x+1，，有以下两个结论：
①当x＞0时，M＞N；
②当x＜﹣1时，M＜N．
对于这两个结论，说法正确的是（ ）
A．①对②不对 B．①不对②对 C．①②均对 D．①②均不对
【考点】分式的加减法．
【专题】分式；运算能力．
【答案】B
【分析】先运用作差法得到，然后再根据x的取值分类讨论即可解答．
【解答】解：∵，
∴当x＝1时，M＝N；当x＞0且x≠1时，M＞N，故①错误；
当x+1＜0，即x＜﹣1时，，则M＜N，即②正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了分式的加减、分式的大小比较等知识点，灵活运用分式的加减运算法则是解答本题的关键．
8．如图，AB∥CD，∠ABE∠EBF，∠DCE∠ECF，设∠ABE＝α，∠E＝β，∠F＝γ，则α，β，γ的数量关系是（ ）
A．4β﹣α+γ＝360° B．3β﹣α+γ＝360°
C．4β﹣α﹣γ＝360° D．3β﹣2α﹣γ＝360°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】A
【分析】过E作EN∥AB，过F作FQ∥AB，根据已知条件得出∠ABF＝3α，∠DCF＝4∠ECD，求出AB∥EN∥CD，AB∥FQ∥CD，根据平行线的性质得出∠ABE＝∠BEN＝α，∠ECD＝∠CEN，∠ABF+∠BFQ＝180°，∠DCF+∠CFQ＝180°，求出α+∠ECD＝β，3α+γ+4∠DCE＝360°，再求出答案即可．
【解答】解：过E作EN∥AB，过F作FQ∥AB，
∵∠ABE∠EBF，∠DCE∠ECF，∠ABE＝α，
∴∠ABF＝3α，∠DCF＝4∠ECD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EN∥CD，AB∥FQ∥CD，
∴∠ABE＝∠BEN＝α，∠ECD＝∠CEN，∠ABF+∠BFQ＝180°，∠DCF+∠CFQ＝180°，
∴∠ABE+∠ECD＝∠BEN+∠CEN＝∠BEC，∠ABF+∠BFQ+∠CFQ+∠DCF＝180°+180°＝360°，
即α+∠ECD＝β，3α+γ+4∠DCE＝360°，
∴∠ECD＝β﹣α，
∴3α+γ+4（β﹣α）＝360°，
即4β﹣α+γ＝360°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．
9．分式的值为2时，x的值是（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．3
【考点】分式的值．
【专题】计算题；分式；分式方程及应用．
【答案】B
【分析】由分式的值等于2，列出关系式2，即可求得x的值．
【解答】解：由题意知2，
则10＝2（x+4），
解得：x＝1，
经检验：x＝1是原分式方程的解，
∴x＝1，
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的值与解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．
10．如图，两个正方形的边长分别为a、b，若a+b＝7，ab＝3，则阴影部分的面积是（ ）
A．40 B． C．20 D．23
【考点】完全平方公式的几何背景．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】通过用两个正方形总的面积减去两个空白三角形的面积进行计算即可．
【解答】解：由题意可得阴影部分的面积为：
a2+b2a2（a+b）b
＝a2+b2a2abb2
，
∴当a+b＝7，ab＝3时，
原式20，
故选：C．
【点评】此题考查了完全平方公式几何背景的应用能力，关键是能根据图形准确列式，并能结合完全平方公式进行变式计算．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）某种花的一粒花粉质量约为0.0056mg，用科学记数法表示为 5.6×10﹣3 mg．
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】实数；数感．
【答案】5.6×10﹣3．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0056mg用科学记数法表示为5.6×10﹣3mg．
故答案为：5.6×10﹣3．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．（4分）已知，则 ， 0或 ．
【考点】二次根式的化简求值．
【专题】推理填空题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据已知，两边同时平方可以得到的值，平方后可得2，从而建立关系，可以得到的值，从而可以求得的值，从而解答本题．
【解答】解：∵，
∴．
∴．
∴．
即．
∵，
∴．
∵3，
∴或．
∵，
∴当时，原式．
当时，原式．
故答案为：，0或．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是灵活的将题目中的式子进行变形，从而变出所求式子需要的条件．
13．（4分）若分式方程有增根x＝2，则a＝ ﹣2 ．
【考点】分式方程的增根．
【专题】计算题；分式方程及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，把x＝2代入整式方程计算即可求出a的值．
【解答】解：去分母得：x+2+ax＝3x﹣6，
把x＝2代入得：4+2a＝0，
解得：a＝﹣2，
故答案为：﹣2
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14．（4分）（1）已知am＝2，an＝3，则a3m﹣2n＝ ．
（2）已知2×8x×16＝223，则x＝ 6 ．
【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】；6．
【分析】（1）利用同底数幂的乘法、除法和幂的乘方运算计算；
（2）利用同底数幂的乘法和幂的乘方运算计算．
【解答】解：（1）∵am＝2，an＝3，
∴a3m﹣2n
；
故答案为：；
（2）∵2×8x×16＝223，
∴21×24×23x＝223，
∴21+4+3x＝223，
∴1+4+3x＝23，
∴x＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法、除法和幂的乘方运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法、除法和幂的乘方运算法则．
15．（4分）如图，点D在△ABC的边AC的延长线上，DE∥BC，若∠A＝65°，∠B＝40°，则∠D的度数为 105° ．
【考点】平行线的性质．
【专题】证明题；推理填空题；转化思想；线段、角、相交线与平行线；三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由三角的内角和定理和角的和差求出∠ACB＝75°，再由平行线的性质求出∠CDE＝105°．
【解答】解：延长ED，如图所示：
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∠A＝65°，∠B＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B
＝180°﹣65°﹣40°
＝75°，
又∵DE∥BC，
∴∠ACB＝∠CDF，
∴∠CDE＝105°．
故答案为：105°．
【点评】本题综合考了三角形的内角为定理，平行线的性质，角的和差等知识点，重点掌握平行线的性质．
16．（4分）观察下列算式：①1×3﹣22＝3﹣4＝﹣1；②2×4﹣32＝8﹣9＝﹣1；③3×5﹣42＝15﹣16＝﹣1，④4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1，…．按这个规律，第n个式子应表示为 n（n+2）﹣（n+1）2＝﹣1 ．（用含n的式子表示）
【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算；列代数式．
【专题】规律型；运算能力；推理能力．
【答案】n（n+2）﹣（n+1）2＝﹣1．
【分析】由已知可得，式子的第一项是从1开始的相差2的两个数的乘积，第二项是2开始的自然数的平方，所得结果为﹣1．
【解答】解：∵①1×3﹣22＝3﹣4＝﹣1；②2×4﹣32＝8﹣9＝﹣1；③3×5﹣42＝15﹣16＝﹣1，④4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1，…，
∴第n个式子是n（n+2）﹣（n+1）2＝﹣1，
故答案为：n（n+2）﹣（n+1）2＝﹣1．
【点评】本题考查数字的变化规律，能够通过所给式子，探索出式子的一般规律是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（6分）3ax﹣18by+6bx﹣9ay
【考点】因式分解﹣分组分解法；因式分解﹣提公因式法．
【专题】整式；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】先分组得到原式＝（3ax﹣9ay）+（6bx﹣18by），然后利用提公因式分解因式．
【解答】解：原式＝（3ax﹣9ay）+（6bx﹣18by）
＝3a（x﹣3y）+6b（x﹣3y）
＝3（x﹣3y）（a+2b）．
【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解：分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．
18．（8分）先化简，再求值：
（1）（2a﹣3）（3a+1）﹣6a（a﹣4），其中a．
（2），并任选一个你喜欢的m值代入求值．
【考点】整式的混合运算—化简求值；分式的化简求值．
【专题】整式；分式；运算能力．
【答案】（1）17a﹣3，1；
（2），﹣2．
【分析】（1）先展开，再合并同类项，化简后将a的值代入；
（2）先把除化为乘，分解因式约分，化简后将原式有意义的m的值代入即可．
【解答】解：（1）原式＝6a2+2a﹣9a﹣3﹣6a2+24a
＝17a﹣3，
当a时，
原式＝173
＝4﹣3
＝1；
（2）原式
，
当m＝1时，
原式
＝﹣2．
【点评】本题考查整式和分式的化简求值，解题的关键是掌握整式和分式的相关运算法则，把所求式子化简．
19．（8分）某校七年级开展了“勿忘历史，吾辈自强”历史知识竞赛活动，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表（每组成绩含前一个分数，不含后一个分数，最后一组前后分数均包含）：
成绩/分 频数 百分比
第1段 50～60 2 4%
第2段 60～70 6 12%
第3段 70～80 9 b
第4段 80～90 a 36%
第5段 90～100 15 30%
请根据所给信息，解答下列问题
（1）a＝ 18 ，b＝ 0.18 ；
（2）请补全频数分布直方图：
（3）现要将调查结果绘制成扇形统计图，求成绩在“90～100”这一分数段所对应的扇形圆心角是多少度？
【考点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；频数（率）分布表．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）18、0.18；
（2）补全图形见解答；
（3）108°．
【分析】（1）根据频数分布表中的数据，依据频数、频率、数据总数之间的关系求解即可；
（2）根据（1）中a的值，可以将频数分布直方图补充完整；
（3）用360°乘以成绩在“90～100”这一分数段人数所占比例即可．
【解答】解：（1）a＝2÷0.04×0.36＝18，
b0.18，
故答案为：18，0.18；
（2）由（1）知，a＝18，
补全的频数分布直方图如图所示：
（3）360°×30%＝108°，
所以成绩在“90～100”这一分数段所对应的扇形圆心角是108°．
【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答．
20．（10分）已知直线AB∥CD，E是直线AB上一点，点O，F是平面内两点，且满足EO⊥FO．
（1）如图①，点F在直线AB上，点O在直线EF的上方，延长OF与CD交于点G，若∠OEF＝25°，求∠OGC的度数；
（2）如图②，点O在直线AB上，且位于点E右侧，点F位于直线AB与CD之间，过点F作FG⊥EF交直线CD于点G．求证：∠EFO＝∠FGD．
【考点】平行线的性质；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．
【答案】（1）65°．
（2）证明见解答．
【分析】（1）根据三角形内角和与平行线的性质分析即可；
（2）过点F作QF∥AB∥CD，利用两角之和是90°和平行线的性质分析即可．
【解答】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠AFO＝∠OGC，
在Rt△EOF中，
∠AFO＝90°﹣∠OEF＝90°﹣25°＝65°，
∴∠OGC＝65°．
（2）证明：如图②，作QF∥AB∥CD，
∴∠OEF＝∠EFQ，∠FGD＝∠QFG，
∵FG⊥EF，
∴∠EFQ+∠QFG＝90°，
∴∠OEF+∠FGD＝90°，
又∵∠OEF+∠EFO＝90°，
∴∠EFO＝∠FGD．
【点评】本题考查在直角三角形中，两个锐角互余和平行线的性质，根据平行线的性质对相等的角进行转化是关键．
21．（10分）已知关于x，y的方程组（m，n为实数）．
（1）若m+4n＝5，试探究方程组的解x，y之间的关系；
（2）若方程组的解满足2x+3y＝0，求分式的值．
【考点】解二元一次方程组；二元一次方程的解；二元一次方程组的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）x＝y；
（2）．
【分析】（1）求出方程组的解，即可得出x，y之间的关系；
（2）把方程组的解代入2x+3y＝0，可得8m+2n＝0，即4m+n＝0，可得n＝﹣4n，再代入所求式子计算即可．
【解答】解：（1）解方程组，得，
当m+4n＝5时，m＝5﹣4n，
则x＝5﹣4n﹣2n+3＝8﹣6n，y＝2（5﹣4n）+2n﹣2＝8﹣6n，
∴x＝y．
（2）由2x+3y＝0，可得2（m﹣2n+3）+3（2m+2n﹣2）＝0，
即8m+2n＝0，
∴4m+n＝0，
可得n＝﹣4m，
把n＝﹣4m代入分式得．
【点评】考查二元一次方程（组）的解法和应用，代入法是常用的方法．
22．（12分）疫情过后，今年云南旅游市场强劲复苏．某旅行社今年春节租用A、B两种客房，用4800元租到A客房的数量与用4200元租到B客房的数量相同，今年每间A客房的租金比每间B客房的租金多30元，分别求今年该旅行社租用的A、B两种客房每间客房的租金．
【考点】分式方程的应用．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】A客房每间客房的租金为240元，则B客房每间客房的租金为210元．
【分析】设A客房每间客房的租金为x元，则B客房每间客房的租金为（x﹣30）元．根据题意“用4800元租到A客房的数量与用4200元租到B客房的数量相同，”列出分式方程，解方程即可求解．
【解答】解：设A客房每间客房的租金为x元，则B客房每间客房的租金为（x﹣30）元．
根据题意，得．
解得x＝240．
经检验，x＝240是原方程的解，且符合题意，
则240﹣30＝210（元）．
答：A客房每间客房的租金为240元，则B客房每间客房的租金为210元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
23．（12分）如图，图1是长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，沿图中虚线（对称轴）剪开，用得到的四个全等的小长方形，拼成如图2所示的大正方形（无重叠无缝隙），设图2中小正方形（阴影部分）面积为S．
（1）用两种不同方法求s；（用含a、b的式子表示）
（2）请直接写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab这三个代数式之间的数量关系；
（3）利用（2）中结论，完成下列计算：
①若（x﹣y）2＝5，（x+y）2＝9，求xy的值：
②已知x﹣y＝﹣13，xy＝114，求x+y的值．
【考点】完全平方公式的几何背景．
【专题】整式；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）解答见解析；（2）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（3）1；（4）±25．
【分析】（1）利用大正方形的面积减去四个小正方形的面积和利用图形表示出小正方形的边长，利用正方形的面积公式解答即可；
（2）利用完全平方公式的意义解答即可；
（3）①利用（2）中等式，用整体代入的方法解答即可；
②利用完全平方公式和平方根的意义，利用整体代入的方法解答即可．
【解答】解：（1）方法一：
S＝大正方形的面积﹣4×小长方形的面积
＝（a+b）2﹣4ab，
方法二：
S＝小正方形的面积
＝（a﹣b）2；
（2）∵小正方形的面积为定值，
∴（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．
（3）①∵（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy
∴4xy＝9﹣5＝4，
∴xy＝1；
②∵（x﹣y）2+4xy＝（x+y）2，
∴（x+y）2＝（﹣13）2+4×114＝625，
∴x+y＝±25．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，完全平方公式，整体代入的思想方法，平方根的意义，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
考点卡片
1．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
2．科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值
|x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1
|x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）
3．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“ ”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
4．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
5．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
6．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am an＝a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am an ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
7．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
8．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
9．完全平方公式的几何背景
（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形
（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
10．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
11．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
12．因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：
3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
13．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
14．因式分解-分组分解法
1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．
2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．
例如：①ax+ay+bx+by
＝x（a+b）+y（a+b）
＝（a+b）（x+y）
②2xy﹣x2+1﹣y2
＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1
＝1﹣（x﹣y）2
＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）
15．分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
16．分式的值
分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．
17．分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
18．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
19．二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
20．二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
21．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
22．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
23．分式方程的增根
（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．
（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．
24．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
25．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
26．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
27．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
28．同位角、内错角、同旁内角
（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
29．平行公理及推论
（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．
（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．
30．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
31．频数与频率
（1）频数是指每个对象出现的次数．
（2）频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）．即频率＝频数÷总数
一般称落在不同小组中的数据个数为该组的频数，频数与数据总数的比值为频率．频率反映了各组频数的大小在总数中所占的分量．
32．频数（率）分布表
1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．
2、列频率分布表的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．
（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．
（3）将数据分组．
（4）列频率分布表．
33．频数（率）分布直方图
画频率分布直方图的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图．
注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容．
34．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
2024—2025学年上学期杭州初中数学八年级开学模拟试卷3
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列运算正确的是（ ）
A．a2 a3＝a6 B．3a﹣2a＝1
C．（﹣2a4）3＝﹣8a12 D．a6÷a2＝a3
2．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） B．2xy2＝2x y
C．（﹣x﹣1）2＝x2+2x+1 D．x2+2x+2＝x（x+2）+2
3．若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣2 B．x＞﹣2 C．x＜﹣2 D．x＝﹣2
4．已知样本数据个数为30，且被分成4组，各组数据个数之比为2：4：3：1，则第二小组频数和第三小组的频率分别为（ ）
A．0.4和0.3 B．0.4和9 C．12和0.3 D．12和9
5．下列各式中能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x+y）（﹣y﹣x） B．（x+y）（y+x）
C．（x+y）（y﹣x） D．（x﹣y）（y﹣x）
6．下列说法正确的共有（ ）
①等角的余角相等；
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③相等的角是对顶角；
④同位角相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．对于M＝x+1，，有以下两个结论：
①当x＞0时，M＞N；
②当x＜﹣1时，M＜N．
对于这两个结论，说法正确的是（ ）
A．①对②不对 B．①不对②对 C．①②均对 D．①②均不对
8．如图，AB∥CD，∠ABE∠EBF，∠DCE∠ECF，设∠ABE＝α，∠E＝β，∠F＝γ，则α，β，γ的数量关系是（ ）
A．4β﹣α+γ＝360° B．3β﹣α+γ＝360°
C．4β﹣α﹣γ＝360° D．3β﹣2α﹣γ＝360°
9．分式的值为2时，x的值是（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．3
10．如图，两个正方形的边长分别为a、b，若a+b＝7，ab＝3，则阴影部分的面积是（ ）
A．40 B． C．20 D．23
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）某种花的一粒花粉质量约为0.0056mg，用科学记数法表示为 mg．
12．（4分）已知，则 ， ．
13．（4分）若分式方程有增根x＝2，则a＝ ．
14．（4分）（1）已知am＝2，an＝3，则a3m﹣2n＝ ．
（2）已知2×8x×16＝223，则x＝ ．
15．（4分）如图，点D在△ABC的边AC的延长线上，DE∥BC，若∠A＝65°，∠B＝40°，则∠D的度数为 ．
16．（4分）观察下列算式：①1×3﹣22＝3﹣4＝﹣1；②2×4﹣32＝8﹣9＝﹣1；③3×5﹣42＝15﹣16＝﹣1，④4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1，…．按这个规律，第n个式子应表示为 ．（用含n的式子表示）
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（6分）3ax﹣18by+6bx﹣9ay
18．（8分）先化简，再求值：
（1）（2a﹣3）（3a+1）﹣6a（a﹣4），其中a．
（2），并任选一个你喜欢的m值代入求值．
19．（8分）某校七年级开展了“勿忘历史，吾辈自强”历史知识竞赛活动，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表（每组成绩含前一个分数，不含后一个分数，最后一组前后分数均包含）：
成绩/分 频数 百分比
第1段 50～60 2 4%
第2段 60～70 6 12%
第3段 70～80 9 b
第4段 80～90 a 36%
第5段 90～100 15 30%
请根据所给信息，解答下列问题
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）请补全频数分布直方图：
（3）现要将调查结果绘制成扇形统计图，求成绩在“90～100”这一分数段所对应的扇形圆心角是多少度？
20．（10分）已知直线AB∥CD，E是直线AB上一点，点O，F是平面内两点，且满足EO⊥FO．
（1）如图①，点F在直线AB上，点O在直线EF的上方，延长OF与CD交于点G，若∠OEF＝25°，求∠OGC的度数；
（2）如图②，点O在直线AB上，且位于点E右侧，点F位于直线AB与CD之间，过点F作FG⊥EF交直线CD于点G．求证：∠EFO＝∠FGD．
21．（10分）已知关于x，y的方程组（m，n为实数）．
（1）若m+4n＝5，试探究方程组的解x，y之间的关系；
（2）若方程组的解满足2x+3y＝0，求分式的值．
22．（12分）疫情过后，今年云南旅游市场强劲复苏．某旅行社今年春节租用A、B两种客房，用4800元租到A客房的数量与用4200元租到B客房的数量相同，今年每间A客房的租金比每间B客房的租金多30元，分别求今年该旅行社租用的A、B两种客房每间客房的租金．
23．（12分）如图，图1是长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，沿图中虚线（对称轴）剪开，用得到的四个全等的小长方形，拼成如图2所示的大正方形（无重叠无缝隙），设图2中小正方形（阴影部分）面积为S．
（1）用两种不同方法求s；（用含a、b的式子表示）
（2）请直接写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab这三个代数式之间的数量关系；
（3）利用（2）中结论，完成下列计算：
①若（x﹣y）2＝5，（x+y）2＝9，求xy的值：
②已知x﹣y＝﹣13，xy＝114，求x+y的值．
2024—2025学年上学期杭州初中数学八年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列运算正确的是（ ）
A．a2 a3＝a6 B．3a﹣2a＝1
C．（﹣2a4）3＝﹣8a12 D．a6÷a2＝a3
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法逐一判断即可．
【解答】解：A、a2 a3＝a5≠a6，本选项不符合题意；
B、3a﹣2a＝a≠1，本选项不符合题意；
C、（﹣2a4）3＝﹣8a12，本选项符合题意；
D、a6÷a2＝a4≠a3，本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查的是幂的运算性质，掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法是解决此题的关键．
2．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） B．2xy2＝2x y
C．（﹣x﹣1）2＝x2+2x+1 D．x2+2x+2＝x（x+2）+2
【考点】因式分解的意义．
【专题】因式分解；应用意识．
【答案】A
【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）符合因式分解的定义，故本选项符合题意；
B、2xy2＝2x y不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、（﹣x﹣1）2＝x2+2x+1是整式的乘法，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
D、x2+2x+2＝x（x+2）+2右边不是整式积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．
3．若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣2 B．x＞﹣2 C．x＜﹣2 D．x＝﹣2
【考点】分式有意义的条件．
【专题】常规题型．
【答案】A
【分析】直接利用分式有意义的条件得出x的取值范围．
【解答】解：∵分式在实数范围内有意义，
∴x+2≠0，
解得：x≠﹣2，
则x的取值范围是：x≠﹣2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
4．已知样本数据个数为30，且被分成4组，各组数据个数之比为2：4：3：1，则第二小组频数和第三小组的频率分别为（ ）
A．0.4和0.3 B．0.4和9 C．12和0.3 D．12和9
【考点】频数与频率．
【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念．
【答案】C
【分析】根据频数和频率的意义求解即可．
【解答】解：第二小组的频数为：3012，
第三小组的频率为：0.3，
故选：C．
【点评】本题考查频数和频率，理解频数和频率的意义是正确解答的前提．
5．下列各式中能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x+y）（﹣y﹣x） B．（x+y）（y+x）
C．（x+y）（y﹣x） D．（x﹣y）（y﹣x）
【考点】平方差公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】平方差公式要求有一项完全相同，另一项互为相反项，根据结构特点判断即可．
【解答】解：A．没有完全相同的项，不符合题意；
B．没有相反项，不符合题意；
C．原式＝（y+x）（y﹣x）＝y2﹣x2，符合题意；
D．没有完全相同的项，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了平方差公式，掌握公式的结构特点是解题的关键．
6．下列说法正确的共有（ ）
①等角的余角相等；
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③相等的角是对顶角；
④同位角相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】平行线的性质；余角和补角；对顶角、邻补角；同位角、内错角、同旁内角；平行公理及推论．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】①根据余角的性质判断即可；②根据平行公理判断即可；③根据对顶角的定义判断即可；④根据平行线的性质判断即可．
【解答】解：①等角的余角相等，说法正确；
②在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误；
③相等的角的边不一定互为反向延长线，所以不一定是对顶角，故原说法错误；
④两直线平行，同位角相等，故原说法错误．
所以说法正确的共有1个．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质、对顶角的定义，平行公理的知识以及余角的性质，熟记相关定义与性质是解答本题的关键．
7．对于M＝x+1，，有以下两个结论：
①当x＞0时，M＞N；
②当x＜﹣1时，M＜N．
对于这两个结论，说法正确的是（ ）
A．①对②不对 B．①不对②对 C．①②均对 D．①②均不对
【考点】分式的加减法．
【专题】分式；运算能力．
【答案】B
【分析】先运用作差法得到，然后再根据x的取值分类讨论即可解答．
【解答】解：∵，
∴当x＝1时，M＝N；当x＞0且x≠1时，M＞N，故①错误；
当x+1＜0，即x＜﹣1时，，则M＜N，即②正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了分式的加减、分式的大小比较等知识点，灵活运用分式的加减运算法则是解答本题的关键．
8．如图，AB∥CD，∠ABE∠EBF，∠DCE∠ECF，设∠ABE＝α，∠E＝β，∠F＝γ，则α，β，γ的数量关系是（ ）
A．4β﹣α+γ＝360° B．3β﹣α+γ＝360°
C．4β﹣α﹣γ＝360° D．3β﹣2α﹣γ＝360°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】A
【分析】过E作EN∥AB，过F作FQ∥AB，根据已知条件得出∠ABF＝3α，∠DCF＝4∠ECD，求出AB∥EN∥CD，AB∥FQ∥CD，根据平行线的性质得出∠ABE＝∠BEN＝α，∠ECD＝∠CEN，∠ABF+∠BFQ＝180°，∠DCF+∠CFQ＝180°，求出α+∠ECD＝β，3α+γ+4∠DCE＝360°，再求出答案即可．
【解答】解：过E作EN∥AB，过F作FQ∥AB，
∵∠ABE∠EBF，∠DCE∠ECF，∠ABE＝α，
∴∠ABF＝3α，∠DCF＝4∠ECD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EN∥CD，AB∥FQ∥CD，
∴∠ABE＝∠BEN＝α，∠ECD＝∠CEN，∠ABF+∠BFQ＝180°，∠DCF+∠CFQ＝180°，
∴∠ABE+∠ECD＝∠BEN+∠CEN＝∠BEC，∠ABF+∠BFQ+∠CFQ+∠DCF＝180°+180°＝360°，
即α+∠ECD＝β，3α+γ+4∠DCE＝360°，
∴∠ECD＝β﹣α，
∴3α+γ+4（β﹣α）＝360°，
即4β﹣α+γ＝360°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．
9．分式的值为2时，x的值是（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．3
【考点】分式的值．
【专题】计算题；分式；分式方程及应用．
【答案】B
【分析】由分式的值等于2，列出关系式2，即可求得x的值．
【解答】解：由题意知2，
则10＝2（x+4），
解得：x＝1，
经检验：x＝1是原分式方程的解，
∴x＝1，
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的值与解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．
10．如图，两个正方形的边长分别为a、b，若a+b＝7，ab＝3，则阴影部分的面积是（ ）
A．40 B． C．20 D．23
【考点】完全平方公式的几何背景．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】通过用两个正方形总的面积减去两个空白三角形的面积进行计算即可．
【解答】解：由题意可得阴影部分的面积为：
a2+b2a2（a+b）b
＝a2+b2a2abb2
，
∴当a+b＝7，ab＝3时，
原式20，
故选：C．
【点评】此题考查了完全平方公式几何背景的应用能力，关键是能根据图形准确列式，并能结合完全平方公式进行变式计算．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）某种花的一粒花粉质量约为0.0056mg，用科学记数法表示为 5.6×10﹣3 mg．
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】实数；数感．
【答案】5.6×10﹣3．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0056mg用科学记数法表示为5.6×10﹣3mg．
故答案为：5.6×10﹣3．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．（4分）已知，则 ， 0或 ．
【考点】二次根式的化简求值．
【专题】推理填空题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据已知，两边同时平方可以得到的值，平方后可得2，从而建立关系，可以得到的值，从而可以求得的值，从而解答本题．
【解答】解：∵，
∴．
∴．
∴．
即．
∵，
∴．
∵3，
∴或．
∵，
∴当时，原式．
当时，原式．
故答案为：，0或．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是灵活的将题目中的式子进行变形，从而变出所求式子需要的条件．
13．（4分）若分式方程有增根x＝2，则a＝ ﹣2 ．
【考点】分式方程的增根．
【专题】计算题；分式方程及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，把x＝2代入整式方程计算即可求出a的值．
【解答】解：去分母得：x+2+ax＝3x﹣6，
把x＝2代入得：4+2a＝0，
解得：a＝﹣2，
故答案为：﹣2
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14．（4分）（1）已知am＝2，an＝3，则a3m﹣2n＝ ．
（2）已知2×8x×16＝223，则x＝ 6 ．
【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】；6．
【分析】（1）利用同底数幂的乘法、除法和幂的乘方运算计算；
（2）利用同底数幂的乘法和幂的乘方运算计算．
【解答】解：（1）∵am＝2，an＝3，
∴a3m﹣2n
；
故答案为：；
（2）∵2×8x×16＝223，
∴21×24×23x＝223，
∴21+4+3x＝223，
∴1+4+3x＝23，
∴x＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法、除法和幂的乘方运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法、除法和幂的乘方运算法则．
15．（4分）如图，点D在△ABC的边AC的延长线上，DE∥BC，若∠A＝65°，∠B＝40°，则∠D的度数为 105° ．
【考点】平行线的性质．
【专题】证明题；推理填空题；转化思想；线段、角、相交线与平行线；三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由三角的内角和定理和角的和差求出∠ACB＝75°，再由平行线的性质求出∠CDE＝105°．
【解答】解：延长ED，如图所示：
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∠A＝65°，∠B＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B
＝180°﹣65°﹣40°
＝75°，
又∵DE∥BC，
∴∠ACB＝∠CDF，
∴∠CDE＝105°．
故答案为：105°．
【点评】本题综合考了三角形的内角为定理，平行线的性质，角的和差等知识点，重点掌握平行线的性质．
16．（4分）观察下列算式：①1×3﹣22＝3﹣4＝﹣1；②2×4﹣32＝8﹣9＝﹣1；③3×5﹣42＝15﹣16＝﹣1，④4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1，…．按这个规律，第n个式子应表示为 n（n+2）﹣（n+1）2＝﹣1 ．（用含n的式子表示）
【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算；列代数式．
【专题】规律型；运算能力；推理能力．
【答案】n（n+2）﹣（n+1）2＝﹣1．
【分析】由已知可得，式子的第一项是从1开始的相差2的两个数的乘积，第二项是2开始的自然数的平方，所得结果为﹣1．
【解答】解：∵①1×3﹣22＝3﹣4＝﹣1；②2×4﹣32＝8﹣9＝﹣1；③3×5﹣42＝15﹣16＝﹣1，④4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1，…，
∴第n个式子是n（n+2）﹣（n+1）2＝﹣1，
故答案为：n（n+2）﹣（n+1）2＝﹣1．
【点评】本题考查数字的变化规律，能够通过所给式子，探索出式子的一般规律是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（6分）3ax﹣18by+6bx﹣9ay
【考点】因式分解﹣分组分解法；因式分解﹣提公因式法．
【专题】整式；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】先分组得到原式＝（3ax﹣9ay）+（6bx﹣18by），然后利用提公因式分解因式．
【解答】解：原式＝（3ax﹣9ay）+（6bx﹣18by）
＝3a（x﹣3y）+6b（x﹣3y）
＝3（x﹣3y）（a+2b）．
【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解：分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．
18．（8分）先化简，再求值：
（1）（2a﹣3）（3a+1）﹣6a（a﹣4），其中a．
（2），并任选一个你喜欢的m值代入求值．
【考点】整式的混合运算—化简求值；分式的化简求值．
【专题】整式；分式；运算能力．
【答案】（1）17a﹣3，1；
（2），﹣2．
【分析】（1）先展开，再合并同类项，化简后将a的值代入；
（2）先把除化为乘，分解因式约分，化简后将原式有意义的m的值代入即可．
【解答】解：（1）原式＝6a2+2a﹣9a﹣3﹣6a2+24a
＝17a﹣3，
当a时，
原式＝173
＝4﹣3
＝1；
（2）原式
，
当m＝1时，
原式
＝﹣2．
【点评】本题考查整式和分式的化简求值，解题的关键是掌握整式和分式的相关运算法则，把所求式子化简．
19．（8分）某校七年级开展了“勿忘历史，吾辈自强”历史知识竞赛活动，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表（每组成绩含前一个分数，不含后一个分数，最后一组前后分数均包含）：
成绩/分 频数 百分比
第1段 50～60 2 4%
第2段 60～70 6 12%
第3段 70～80 9 b
第4段 80～90 a 36%
第5段 90～100 15 30%
请根据所给信息，解答下列问题
（1）a＝ 18 ，b＝ 0.18 ；
（2）请补全频数分布直方图：
（3）现要将调查结果绘制成扇形统计图，求成绩在“90～100”这一分数段所对应的扇形圆心角是多少度？
【考点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；频数（率）分布表．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）18、0.18；
（2）补全图形见解答；
（3）108°．
【分析】（1）根据频数分布表中的数据，依据频数、频率、数据总数之间的关系求解即可；
（2）根据（1）中a的值，可以将频数分布直方图补充完整；
（3）用360°乘以成绩在“90～100”这一分数段人数所占比例即可．
【解答】解：（1）a＝2÷0.04×0.36＝18，
b0.18，
故答案为：18，0.18；
（2）由（1）知，a＝18，
补全的频数分布直方图如图所示：
（3）360°×30%＝108°，
所以成绩在“90～100”这一分数段所对应的扇形圆心角是108°．
【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答．
20．（10分）已知直线AB∥CD，E是直线AB上一点，点O，F是平面内两点，且满足EO⊥FO．
（1）如图①，点F在直线AB上，点O在直线EF的上方，延长OF与CD交于点G，若∠OEF＝25°，求∠OGC的度数；
（2）如图②，点O在直线AB上，且位于点E右侧，点F位于直线AB与CD之间，过点F作FG⊥EF交直线CD于点G．求证：∠EFO＝∠FGD．
【考点】平行线的性质；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．
【答案】（1）65°．
（2）证明见解答．
【分析】（1）根据三角形内角和与平行线的性质分析即可；
（2）过点F作QF∥AB∥CD，利用两角之和是90°和平行线的性质分析即可．
【解答】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠AFO＝∠OGC，
在Rt△EOF中，
∠AFO＝90°﹣∠OEF＝90°﹣25°＝65°，
∴∠OGC＝65°．
（2）证明：如图②，作QF∥AB∥CD，
∴∠OEF＝∠EFQ，∠FGD＝∠QFG，
∵FG⊥EF，
∴∠EFQ+∠QFG＝90°，
∴∠OEF+∠FGD＝90°，
又∵∠OEF+∠EFO＝90°，
∴∠EFO＝∠FGD．
【点评】本题考查在直角三角形中，两个锐角互余和平行线的性质，根据平行线的性质对相等的角进行转化是关键．
21．（10分）已知关于x，y的方程组（m，n为实数）．
（1）若m+4n＝5，试探究方程组的解x，y之间的关系；
（2）若方程组的解满足2x+3y＝0，求分式的值．
【考点】解二元一次方程组；二元一次方程的解；二元一次方程组的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）x＝y；
（2）．
【分析】（1）求出方程组的解，即可得出x，y之间的关系；
（2）把方程组的解代入2x+3y＝0，可得8m+2n＝0，即4m+n＝0，可得n＝﹣4n，再代入所求式子计算即可．
【解答】解：（1）解方程组，得，
当m+4n＝5时，m＝5﹣4n，
则x＝5﹣4n﹣2n+3＝8﹣6n，y＝2（5﹣4n）+2n﹣2＝8﹣6n，
∴x＝y．
（2）由2x+3y＝0，可得2（m﹣2n+3）+3（2m+2n﹣2）＝0，
即8m+2n＝0，
∴4m+n＝0，
可得n＝﹣4m，
把n＝﹣4m代入分式得．
【点评】考查二元一次方程（组）的解法和应用，代入法是常用的方法．
22．（12分）疫情过后，今年云南旅游市场强劲复苏．某旅行社今年春节租用A、B两种客房，用4800元租到A客房的数量与用4200元租到B客房的数量相同，今年每间A客房的租金比每间B客房的租金多30元，分别求今年该旅行社租用的A、B两种客房每间客房的租金．
【考点】分式方程的应用．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】A客房每间客房的租金为240元，则B客房每间客房的租金为210元．
【分析】设A客房每间客房的租金为x元，则B客房每间客房的租金为（x﹣30）元．根据题意“用4800元租到A客房的数量与用4200元租到B客房的数量相同，”列出分式方程，解方程即可求解．
【解答】解：设A客房每间客房的租金为x元，则B客房每间客房的租金为（x﹣30）元．
根据题意，得．
解得x＝240．
经检验，x＝240是原方程的解，且符合题意，
则240﹣30＝210（元）．
答：A客房每间客房的租金为240元，则B客房每间客房的租金为210元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
23．（12分）如图，图1是长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，沿图中虚线（对称轴）剪开，用得到的四个全等的小长方形，拼成如图2所示的大正方形（无重叠无缝隙），设图2中小正方形（阴影部分）面积为S．
（1）用两种不同方法求s；（用含a、b的式子表示）
（2）请直接写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab这三个代数式之间的数量关系；
（3）利用（2）中结论，完成下列计算：
①若（x﹣y）2＝5，（x+y）2＝9，求xy的值：
②已知x﹣y＝﹣13，xy＝114，求x+y的值．
【考点】完全平方公式的几何背景．
【专题】整式；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）解答见解析；（2）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（3）1；（4）±25．
【分析】（1）利用大正方形的面积减去四个小正方形的面积和利用图形表示出小正方形的边长，利用正方形的面积公式解答即可；
（2）利用完全平方公式的意义解答即可；
（3）①利用（2）中等式，用整体代入的方法解答即可；
②利用完全平方公式和平方根的意义，利用整体代入的方法解答即可．
【解答】解：（1）方法一：
S＝大正方形的面积﹣4×小长方形的面积
＝（a+b）2﹣4ab，
方法二：
S＝小正方形的面积
＝（a﹣b）2；
（2）∵小正方形的面积为定值，
∴（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．
（3）①∵（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy
∴4xy＝9﹣5＝4，
∴xy＝1；
②∵（x﹣y）2+4xy＝（x+y）2，
∴（x+y）2＝（﹣13）2+4×114＝625，
∴x+y＝±25．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，完全平方公式，整体代入的思想方法，平方根的意义，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
考点卡片
1．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
2．科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值
|x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1
|x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）
3．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“ ”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
4．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
5．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
6．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am an＝a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am an ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
7．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
8．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
9．完全平方公式的几何背景
（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形
（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
10．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
11．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
12．因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：
3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
13．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
14．因式分解-分组分解法
1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．
2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．
例如：①ax+ay+bx+by
＝x（a+b）+y（a+b）
＝（a+b）（x+y）
②2xy﹣x2+1﹣y2
＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1
＝1﹣（x﹣y）2
＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）
15．分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
16．分式的值
分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．
17．分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
18．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
19．二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
20．二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
21．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
22．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
23．分式方程的增根
（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．
（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．
24．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
25．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
26．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
27．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
28．同位角、内错角、同旁内角
（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
29．平行公理及推论
（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．
（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．
30．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
31．频数与频率
（1）频数是指每个对象出现的次数．
（2）频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）．即频率＝频数÷总数
一般称落在不同小组中的数据个数为该组的频数，频数与数据总数的比值为频率．频率反映了各组频数的大小在总数中所占的分量．
32．频数（率）分布表
1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．
2、列频率分布表的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．
（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．
（3）将数据分组．
（4）列频率分布表．
33．频数（率）分布直方图
画频率分布直方图的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）确定分点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图．
注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容．
34．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
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