2024—2025学年上学期杭州初中数学九年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片）

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2024—2025学年上学期杭州初中数学九年级开学模拟试卷3
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．关于二次函数y＝2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（　　）
A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）
B．当x＜1时，y的值随x值的增大而减小
C．图象的顶点坐标为（﹣1，﹣3）
D．图象的对称轴在y轴的右侧
2．若把抛物线y＝x2﹣2x+1先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线的函数关系式为y＝ax2+bx+c，则b、c的值为（　　）
A．b＝2，c＝﹣2 B．b＝﹣6，c＝6 C．b＝﹣8，c＝14 D．b＝﹣8，c＝18
3．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（　　）
A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块
4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝2，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（　　）
A．（4，0） B．（6，0） C．（8，0） D．（10，0）
5．若抛物线是关于x的二次函数，那么m的值是（　　）
A．3 B．﹣2 C．2 D．2或3
6．已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离为5，则点P在（　　）
A．⊙O的内部 B．⊙O的外部
C．⊙O上或⊙O的内部 D．⊙O上或⊙O的外部
7．如图，AB是半圆O的直径，点D，C是半圆上的三等分点，则∠ACD的度数是（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
8．已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是（　　）
A．3cm B．6cm C．1.5cm D．cm
9．如图，扇形AOB的圆心角是60°，半径是，点C为弧AB的中点，过点C作CD∥OB交OA于点D，过点B作BE∥OA交DC延长线于点E，则图中阴影部分面积为（　　）
A． B． C． D．
10．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线y＝ax2+2ax﹣4（0＜a＜3）上，若x1＞x2，x1+x2＝1﹣a，则下列结论中正确的是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＝y2
C．y1＜y2 D．y1与y2的大小不确定
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）如果一个正多边形的每个外角都等于72°，那么它是正　 　边形．
12．（4分）抛物线y＝（x﹣1）（x+3）与x轴的交点坐标是　 　．
13．（4分）如图，已知扇形AOB的面积是360πcm2，它所在圆的直径是72cm，则这个扇形的弧长是 　 　cm．
14．（4分）已知A，B是抛物线y＝﹣x2+4上的两点，点A的横坐标为t，点B的横坐标为t+2，C为线段AB的中点，CD∥y轴，交抛物线于点D．
（1）抛物线的顶点坐标是 　 　；
（2）线段CD的长为 　 　．
15．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b≥x（ax+b）；④3a+c＜0．其中，正确的结论有 　 　个．
16．（4分）如图，已知一条排水管的截面圆半径OB＝10dm，水面宽AB是16dm，则截面水深CD是 　 　dm．
三．解答题（共7小题）
17．已知函数y＝（m2+m）．
（1）当函数是二次函数时，求m的值；
（2）当函数是一次函数时，求m的值．
18．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在一点P，使得S△PBCS△ABC，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
19．如图所示的平面直角坐标系中（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形），已知A（﹣3，3），B（﹣4，2），C（﹣1，1）．
（1）画出将△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1；
（2）画出以O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°后的△A2B2C2．
20．宁化府是山西太原百年老店，其酿造的醋深受人们的喜爱．春节前夕某款礼盒装食醋的成本为20元，当以每盒30元销售时，平均每天可卖出800盒．经市场调查发现，若一盒的售价每降低1元，则平均每天可多售出200盒．求每盒售价为多少元时，该款礼盒每天的销售利润最大，并求出最大利润．
21．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径．
22．某网点销售的粽子礼盒的成本为30元/盒，每天的销售量y（盒）与销售单价x元/盒（x≤50）之间的函数关系如图所示．
（1）从上周的销售数据显示，每天的销售量都不低于310盒，则上周的销售单价最高为多少元？
（2）若销售单价满足30＜x≤45，问销售单价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
23．阅读理解：
【材料一】若三个非零实数x，y，z中有一个数的平方等于另外两个数的积，则称三个实数x，y，z构成“友好数”．
【材料二】若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有．
问题解决：
（1）实数4，6，9可以构成“友好数”吗？请说明理由；
（2）若M1（t，y1），M2（t﹣1，y2），M3（t+1，y3）三点均在函数（k为常数且k≠0）的图象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“友好数”，求实数t的值；
（3）设三个实数x1，x2，x3是“友好数”且满足0＜x1＜x3＜x2，其中x1，x2是关于x的一元二次方程nx2+mx+n＝0（n≠0）的两个根，x3是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点的横坐标．
①a+b+c的值等于 　 　；
②设，求y关于x的函数关系式．
2024—2025学年上学期杭州初中数学九年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．关于二次函数y＝2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（　　）
A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）
B．当x＜1时，y的值随x值的增大而减小
C．图象的顶点坐标为（﹣1，﹣3）
D．图象的对称轴在y轴的右侧
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：∵y＝2x2+4x﹣1＝2（x+1）2﹣3，
∴当x＝0时，y＝﹣1，故选项A错误，
该函数的对称轴是直线x＝﹣1，
当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，∴当x＜1时，y随x的增大而减小是错误的，故选项B错误，图象的顶点坐标为（﹣1，﹣3），故选项C正确，
图象的对称轴在y轴的左侧，故选项D错误，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
2．若把抛物线y＝x2﹣2x+1先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线的函数关系式为y＝ax2+bx+c，则b、c的值为（　　）
A．b＝2，c＝﹣2 B．b＝﹣6，c＝6 C．b＝﹣8，c＝14 D．b＝﹣8，c＝18
【考点】二次函数图象与几何变换．
【答案】B
【分析】先把抛物线y＝x2﹣2x+1化为顶点式，再根据平移的性质得出平移后的抛物线解析式，与y＝ax2+bx+c相比较即可得出b、c的值．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+1可化为y＝（x﹣1）2，
∴把抛物线y＝x2﹣2x+1先向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得抛物线的解析式为
y＝（x﹣3）2﹣3，即y＝x2﹣6x+6，
∵所得到的抛物线的函数关系式为y＝ax2+bx+c，
∴b＝﹣6，c＝6．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
3．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（　　）
A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块
【考点】确定圆的条件．
【专题】应用题；压轴题．
【答案】B
【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小．
【解答】解：第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，就交于了圆心，进而可得到半径的长．
故选：B．
【点评】解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．
4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝2，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（　　）
A．（4，0） B．（6，0） C．（8，0） D．（10，0）
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】根据抛物线的对称性及对称轴求解．
【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝2，与x轴一个交点坐标为（﹣2，0），
∴抛物线与x轴另一交点坐标为（6，0），
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数图象的轴对称性质．
5．若抛物线是关于x的二次函数，那么m的值是（　　）
A．3 B．﹣2 C．2 D．2或3
【考点】二次函数的定义．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】C
【分析】根据二次函数的最高指数是2，二次项系数不等于0列出方程求解即可．
【解答】解：由题意得，m2﹣5m+8＝2且m﹣3≠0，
解得m1＝2，m2＝3，且m≠3，
所以，m＝2．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的定义，要注意二次项系数不等于0．
6．已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离为5，则点P在（　　）
A．⊙O的内部 B．⊙O的外部
C．⊙O上或⊙O的内部 D．⊙O上或⊙O的外部
【考点】点与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系；几何直观．
【答案】B
【分析】根据：①点P在圆外 d＞r．②点P在圆上 d＝r．③点P在圆内 d＜r，即可判断．
【解答】解：∵r＝4，d＝5，
∴d＞r，
∴点P在⊙O外．
故选：B．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
7．如图，AB是半圆O的直径，点D，C是半圆上的三等分点，则∠ACD的度数是（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【考点】圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；几何直观；运算能力．
【答案】B
【分析】连接OC，OD，根据圆心角、弧、弦的关系求得∠AOD的度数，再利用圆周角定理即可求得答案．
【解答】解：如图，连接OC，OD，
∵C，D是半圆上的三等分点，
∴，
∴∠AOD＝∠COD＝∠BOC180°＝60°，
∴∠ACD∠AOD＝30°，
故选：B．
【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理，结合已知条件求得∠AOD的度数是解题的关键．
8．已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是（　　）
A．3cm B．6cm C．1.5cm D．cm
【考点】圆的认识．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】B
【分析】利用圆的直径为圆中最长的弦求解．
【解答】解：∵圆的直径为圆中最长的弦，
∴⊙O中最长的弦长为2×3＝6（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
9．如图，扇形AOB的圆心角是60°，半径是，点C为弧AB的中点，过点C作CD∥OB交OA于点D，过点B作BE∥OA交DC延长线于点E，则图中阴影部分面积为（　　）
A． B． C． D．
【考点】扇形面积的计算；平行线的性质；垂径定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】连接OC，过C作CF∥OA交OB于F，作CH⊥OB与H，求出CH和CF长，从图中可看出阴影部分的面积＝S四边形BECF，然后依面积公式计算即可．
【解答】解：连接OC，过C作CF∥OA交OB于F，作CH⊥OB与H，
∵点C为弧AB的中点，
∴∠AOC＝∠BOC∠AOB30°，
∵OC，
∴HCOC，
∵CF∥OA，
∴∠CFB＝∠AOB＝60°，
∴sin60°，
∴CF1，
∵CD∥OB，
∴∠BOC＝∠DCO，
∴OD＝CD，
∵CD∥OB，CF∥OA，
∴四边形CDOF是菱形，
∴OF＝OD＝CF＝1，
∴BF＝OB﹣OF1，
∵OA＝OB，
∴AD＝BF，
∴S阴影＝S四边形BECF＝BF CH＝（1）．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的判定性质，解直角三角形，扇形的面积的应用，利用割补法把不规则图形转化成规则图形求解的能力，再把阴影部分的面积转化为平行四边形的面积求解．
10．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线y＝ax2+2ax﹣4（0＜a＜3）上，若x1＞x2，x1+x2＝1﹣a，则下列结论中正确的是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＝y2
C．y1＜y2 D．y1与y2的大小不确定
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【答案】A
【分析】可以运用“作差法”比较y1与y2的大小，y1与y2是自变量取x1、x2时，对应的函数值，代值后对式子因式分解，判断结论的符号即可．
【解答】解：将x1代入抛物线，得y1＝ax12+2ax1﹣4，将x2代入抛物线，得y2＝ax22+2ax2﹣4，
y1﹣y2＝a（x12﹣x22）+2a（x1﹣x2）
＝a（x1﹣x2）（x1+x2）+2a（x1﹣x2）
＝a（x1﹣x2）（x1+x2+2）
∵x1+x2＝1﹣a，
∴y1﹣y2＝a（x1﹣x2）（3﹣a），
∵0＜a＜3，x1＞x2，
∴y1﹣y2＞0，即y1＞y2．
故选：A．
【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，在比较大小时用作差法是常用的比较方法．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）如果一个正多边形的每个外角都等于72°，那么它是正　5　边形．
【考点】多边形内角与外角．
【专题】计算题；正多边形与圆；几何直观；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的度数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．
【解答】解：这个正多边形的边数：360°÷72°＝5．
故答案为：5
【点评】本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．
12．（4分）抛物线y＝（x﹣1）（x+3）与x轴的交点坐标是　（1，0），（﹣3，0）　．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念．
【答案】（1，0），（﹣3，0）．
【分析】对于y＝（x﹣1）（x+3），令y＝0，即0＝（x﹣1）（x+3），解得x＝﹣3或1，即可求解．
【解答】解：对于y＝（x﹣1）（x+3），令y＝0，即0＝（x﹣1）（x+3），
解得x＝﹣3或1，
故答案为（1，0），（﹣3，0）．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
13．（4分）如图，已知扇形AOB的面积是360πcm2，它所在圆的直径是72cm，则这个扇形的弧长是 　20π　cm．
【考点】扇形面积的计算；弧长的计算．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】20π．
【分析】扇形面积计算公式：S扇形lr（其中l为扇形的弧长，r是扇形的半径），由此即可计算．
【解答】解：设扇形的弧长是l cm，半径是r cm，
由题意得：lr＝360π，
∵扇形所在圆的直径是72cm，
∴扇形所在圆的半径r＝36cm，
∴l＝20π（cm），
∴这个扇形的弧长是20πcm．
故答案为：20π．
【点评】本题考查扇形面积的计算，弧长的计算，关键是掌握扇形面积的计算公式．
14．（4分）已知A，B是抛物线y＝﹣x2+4上的两点，点A的横坐标为t，点B的横坐标为t+2，C为线段AB的中点，CD∥y轴，交抛物线于点D．
（1）抛物线的顶点坐标是 　（0，4）　；
（2）线段CD的长为 　1　．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）（0，4）；
（2）1．
【分析】（1）根据二次函数表达式特点可求顶点坐标；
（2）由题意写出A、B的坐标，再根据中点坐标得出C点坐标，再由CD∥y轴得出D点坐标即可．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+4，
∴抛物线的顶点坐标是（0，4），
故答案为：（0，4），
（2）依据题意可知，点A的坐标为 （t，﹣t2+4），点B的坐标为（t+2，﹣（t+2）2+4），即为 （t+2，﹣t2﹣4t），
∵C为线段AB的中点，
∴C的坐标为 （t+1，﹣t2﹣2t+2），
∵CD∥y轴，
∴点D的坐标为（t+1，﹣t2﹣2t+3），
∴CD＝|（﹣t2﹣2t+3）﹣（﹣t2﹣2t+2）|＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的相关知识点是解决本题的关键．
15．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b≥x（ax+b）；④3a+c＜0．其中，正确的结论有 　3　个．
【考点】二次函数与不等式（组）；二次函数图象与系数的关系．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】3．
【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与y轴交点可得a，b，c的符号，从而判断①；再根据二次函数的对称性，与x轴的交点可得当x＝﹣2时，y＞0，可判断②；再根据x＝﹣1时，y取最大值可得a﹣b+c≥ax2+bx+c，从而判断③；最后根据x＝1时，y＝a+b+c，结合b＝2a，可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x＝﹣1，即1，
∴b＝2a，则b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点横坐标在0和1之间，
则与x轴的另一个交点在﹣2和﹣3之间，
∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故②错误；
∵x＝﹣1时，y＝ax2+bx+c的最大值是a﹣b+c，
∴a﹣b+c≥ax2+bx+c，
∴a﹣b≥ax2+bx，即a﹣b≥x（ax+b），故③正确；
∵当x＝1时，y＝a+b+c＜0，b＝2a，
∴a+2a+c＝3a+c＜0，故④正确；
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点．
16．（4分）如图，已知一条排水管的截面圆半径OB＝10dm，水面宽AB是16dm，则截面水深CD是 　4　dm．
【考点】垂径定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】4．
【分析】由题意知OD⊥AB，交AB于点C，由垂径定理可得出BC的长，再根据勾股定理求出OC的长，然后由CD＝OD﹣OC即可求解．
【解答】解：由题意知OD⊥AB，交AB于点C，
∵AB＝16dm，
∴BCAB＝8（dm），
在Rt△OBC中，OB＝10dm，BC＝8dm，
∴OC6（dm），
∴CD＝OD﹣OC＝10﹣6＝4（dm）．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出OC的长是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
17．已知函数y＝（m2+m）．
（1）当函数是二次函数时，求m的值；
（2）当函数是一次函数时，求m的值．
【考点】二次函数的定义；一次函数的定义．
【专题】函数思想．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）这个式子是二次函数的条件是：m2﹣2m+2＝2并且m2+m≠0；
（2）这个式子是一次函数的条件是：m2﹣2m+2＝1并且m2+m≠0．
【解答】解：（1）依题意，得m2﹣2m+2＝2，
解得m＝2或m＝0；
又因m2+m≠0，
解得m≠0且m≠﹣1；
因此m＝2．
（2）依题意，得m2﹣2m+2＝1，
解得m＝1；
又因m2+m≠0，
解得m≠0且m≠﹣1；
因此m＝1．
【点评】本题主要考查一次函数与二次函数的定义与一般形式．
18．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在一点P，使得S△PBCS△ABC，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）（﹣2，3）或（3，﹣12）．
【分析】（1）把A（﹣3，0），B（1，0）两点，代入抛物线y＝ax2+bx+3，解方程组即可得到抛物线的解析式；
（2）分别求得A、B、C的坐标，与BC的解析式y＝﹣3x+3；作PE∥x轴交BC于E，设点P的横坐标为t，分别求得P点坐标为（t，﹣t2﹣2t+3）与E点坐标为（，﹣t2﹣2t+3）；然后利用S△PBCS△ABC列方程解答即可．
【解答】解：（1）由抛物线与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，代入抛物线y＝ax2+bx+3得：
，
解得：；
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）存在，理由如下：
∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB＝4，
抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于点C，
令x＝0，则y＝3，
∴C点坐标为（0，3），OC＝3，
∴S△ABCAB OC4×3＝6，
∴S△PBCS△ABC＝3；
作PE∥x轴交BC于E，如图：
设BC的解析式为：y＝kx+b，将B、C代入得：
，
解得：，
∴BC的解析式为：y＝﹣3x+3；
设点P的横坐标为t，则P（t，﹣t2﹣2t+3），
则E的纵坐标为：﹣3x+3＝﹣t2﹣2t+3，解得：x，
∴E（，﹣t2﹣2t+3）；
∴PEt，
∴S△PBC3＝3，
解得：t＝﹣2或3；
∴P点纵坐标为：﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3；或﹣（3）2﹣2×（3）+3＝﹣12，
∴点P的坐标为（﹣2，3）或（3，﹣12）．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，直角三角形的判定等，解题的关键是方程思想的应用．
19．如图所示的平面直角坐标系中（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形），已知A（﹣3，3），B（﹣4，2），C（﹣1，1）．
（1）画出将△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1；
（2）画出以O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°后的△A2B2C2．
【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣平移变换．
【专题】作图题；网格型；平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（1）图形见解答；
（2）图形见解答．
【分析】（1）根据平移的性质即可画出将△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1；
（2）根据旋转的性质即可画出以O为旋转中心，将△ABC顺时旋转90°后的△A2B2C2．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，作图﹣平移变换，解决本题的关键是作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
20．宁化府是山西太原百年老店，其酿造的醋深受人们的喜爱．春节前夕某款礼盒装食醋的成本为20元，当以每盒30元销售时，平均每天可卖出800盒．经市场调查发现，若一盒的售价每降低1元，则平均每天可多售出200盒．求每盒售价为多少元时，该款礼盒每天的销售利润最大，并求出最大利润．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】当每盒的售价为27元时，该款礼盒每天的销售利润最大，最大利润是9800元．
【分析】设每盒降价x元，每天的销售利润为w元，根据每一盒的利润×销售的数量＝获得的利润列出函数解析式，再根据函数的性质求最值．
【解答】解：设每盒降价x元，每天的销售利润为w元，
由题意得y＝（30﹣20﹣x）（800+200x）
＝（10﹣x）（800+200x）
＝﹣200x2+1200x+8000
＝﹣200（x﹣3）2+9800，
∵﹣200＜0，
∴当x＝3时，w有最大值，最大值为9800，
此时，30﹣3＝27（元）．
答：当每盒的售价为27元时，该款礼盒每天的销售利润最大，最大利润是9800元．
【点评】此题考查二次函数的应用，掌握销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键．
21．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径．
【考点】圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】（1）见解析；
（2）5．
【分析】（1）首先延长CE交⊙O于点P，由垂径定理可证得∠BCP＝∠BDC，又由C是BD的中点，易证得∠BDC＝∠CBD，继而可证得CF＝BF；
（2）由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB＝90°，然后由勾股定理求得AB的长，继而求得答案．
【解答】（1）证明：延长CE交⊙O于点P，
∵CE⊥AB，
∴，
∴∠BCP＝∠BDC，
∵C是的中点，
∴CD＝CB，
∴∠BDC＝∠CBD，
∴∠CBD＝∠BCP，
∴CF＝BF；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD＝6，AC＝8，
∴BC＝6，
在Rt△ABC中，，
∴⊙O的半径为5．
【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定以及勾股定理，解题的关键是掌握在同圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角．
22．某网点销售的粽子礼盒的成本为30元/盒，每天的销售量y（盒）与销售单价x元/盒（x≤50）之间的函数关系如图所示．
（1）从上周的销售数据显示，每天的销售量都不低于310盒，则上周的销售单价最高为多少元？
（2）若销售单价满足30＜x≤45，问销售单价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据图象可知，销售单价越高，销售量越低，从而可以得到销售量不低于310盒，销售单价在45～50之前，然后求出这一段对应的函数解析式，令函数值不低于310，即可得到最高的销售单价；
（2）根据函数图象中的数据，可以得到30＜x≤45对应的函数解析式，然后即可得到利润与销售单价的函数关系，再根据二次函数的性质，即可得到最大利润．
【解答】解：（1）当45≤x≤50时，设y与x函数关系式为y＝kx+b，
∵当x＝45时，y＝350，当x＝50时，y＝250，
∴，得，
即当45≤x≤50时，y＝﹣20x+1250，
令﹣20x+1250≥310，得x≤47，
∴上周的销售单价最高为47元；
（2）当30＜x≤45时，设y与x函数关系式为y＝mx+n，
∵当x＝30时，y＝500，当x＝45时，y＝350，
∴，得，
即当30＜x≤45时，y与x函数关系式为y＝﹣10x+800，
设获得的利润为w元，
w＝（﹣10x+800）（x﹣30）＝﹣10（x﹣55）2+6250，
∵30＜x≤45，
∴当x＝45时，w取得最大值，此时w＝5250，
答：当销售单价定为45元时，每天获得的利润最大，最大利润为5250元．
【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和二次函数的性质解答．
23．阅读理解：
【材料一】若三个非零实数x，y，z中有一个数的平方等于另外两个数的积，则称三个实数x，y，z构成“友好数”．
【材料二】若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有．
问题解决：
（1）实数4，6，9可以构成“友好数”吗？请说明理由；
（2）若M1（t，y1），M2（t﹣1，y2），M3（t+1，y3）三点均在函数（k为常数且k≠0）的图象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“友好数”，求实数t的值；
（3）设三个实数x1，x2，x3是“友好数”且满足0＜x1＜x3＜x2，其中x1，x2是关于x的一元二次方程nx2+mx+n＝0（n≠0）的两个根，x3是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点的横坐标．
①a+b+c的值等于 　0　；
②设，求y关于x的函数关系式．
【考点】二次函数综合题．
【专题】新定义；反比例函数及其应用；二次函数的应用；函数的综合应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）4，6，9可以构成“友好数”，理由见解答过程；
（2）或 ；
（3）①0；
②y＝x2﹣x﹣1．
【分析】（1）根据62＝4×9，知4，6，9可以构成“友好数”；
（2）根据y1，y2，y3构成“友好数”，分三种可能：①，由题得，即t2＝（t﹣1）（t+1），无解，②，由题得，即（t﹣1）2＝t（t+1），解得，③，由题得，即（t+1）2＝t（t﹣1），解得；
（3）①由三个实数x1，x2，x3是“友好数”，且满足0＜x1＜x3＜x2，可得x32＝x1 x2，而x1，x2是关于x的一元二次方程nx2+mx+n＝0（n≠0）的两个根，有x1 x21，即可得x3＝1，故a+b+c＝0；
②由a+b+c＝0，得：，即得x﹣1，从而y（）2x2﹣x﹣1．
【解答】解：（1）∵62＝4×9，
∴4，6，9可以构成“友好数”；
（2）∵y1，y2，y3构成“友好数”，
∴有三种可能：
①，由题得，即t2＝（t﹣1）（t+1），无解，
②，由题得，即（t﹣1）2＝t（t+1），解得，
③，由题得，即（t+1）2＝t（t﹣1），解得，
∴满足条件的或 ．
（3）①∵三个实数x1，x2，x3是“友好数”，且满足0＜x1＜x3＜x2，
∴x32＝x1 x2，
∵x1，x2是关于x的一元二次方程nx2+mx+n＝0（n≠0）的两个根，
∴x1 x21，
∴x32＝1，
而0＜x3，
∴x3＝1，
∴x3＝1是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点的横坐标，
∴a+b+c＝0；
故答案为：0；
②由①得：a+b+c＝0，
两边同除以a得：，
∴x﹣1，
∴y（）2x2﹣x﹣1，
∴y关于x的函数关系式为：y＝x2﹣x﹣1．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及新定义“友好数”，反比例函数，一元二次方程等知识，解题的关键是理解“友好数”概念及分类思想的应用．
考点卡片
1．一次函数的定义
（1）一次函数的定义：
一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
（2）注意：
①又一次函数的定义可知：函数为一次函数 其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式．
②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．
③一般情况下自变量的取值范围是任意实数．
④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数．
2．二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．
3．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
4．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
5．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．
①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．
6．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
7．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
8．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
9．二次函数与不等式（组）
二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系
①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围．
②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
10．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
11．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
12．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
13．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
14．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
15．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2） 180°＝360°．
16．圆的认识
（1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
（2）与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
17．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
18．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
19．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
20．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外 d＞r
②点P在圆上 d＝r
①点P在圆内 d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
21．确定圆的条件
不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
22．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
23．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
24．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
25．作图-旋转变换
（1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．