2024—2025学年上学期深圳初中数学八年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期深圳初中数学八年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 383.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-05 15:06:09 | ||
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文档简介
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2024—2025学年上学期深圳初中数学八年级开学模拟试卷3
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．计算a4÷（﹣a2）的结果是（ ）
A．a2 B．a C．﹣a2 D．﹣a6
2．“瓦当”是中国古代用以装饰美化建筑物檐头的建筑附件，其图案各式各样，属于中国特有的文化艺术遗产．下列“瓦当”的图案中，是轴对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．同位角相等
B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．三角形的三条高线交于一点
D．两边及一角分别相等的两个三角形全等
4．滴雨的重量是0.00025千克，用科学记数法表示为（ ）
A．2.5×10﹣4千克 B．2.5×10﹣3千克
C．﹣2.5×104千克 D．﹣2.5×103千克
5．如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
6．如图，一副三角板按图中位置摆放．若AB∥CE，则∠1的度数是（ ）
A．95° B．100° C．105° D．120°
7．下列事件为不可能事件的是（ ）
A．某射击运动员射击一次，射中靶心
B．掷一次骰子，向上一面的点数是3
C．找到一个三角形，其内角和是360°
D．经过城市中某一有交通信号灯的路口遇到红灯
8．如果二次三项式x2﹣8x+m是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A．±16 B．16 C．4 D．﹣16
9．今年5月1日，我市某商场停车场的停车量为2000辆次，其中两轮电动车平均停车费为每辆1元一次，小汽车平均停车费为每辆5元一次，若两轮电动车停车辆数为x辆次，停车的总收入为y元，则y与x的关系式为（ ）
A．y＝﹣4x+10000 B．y＝﹣3x+8000
C．y＝﹣2x+4000 D．y＝﹣4x+5000
10．已知点P在∠AOB的平分线上，点P到OA的距离为14，点Q是OB边上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．PQ＞14 B．PQ≥14 C．PQ＜14 D．PQ≤14
11．甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，甲、乙两车离B地的距离y（km）与甲车行驶时间x（h）关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．甲车比乙车提前出发1h
B．甲车的速度为80km/h
C．当乙车到达A地时，甲车距离B地80km
D．t的值为5.2
12．如图是两个全等的直角三角形拼成的图形，且点B，C，D在同一直线上，连结AE．设AB＝a，BC＝b，则△ACE的面积可以表示为（ ）
A．a2﹣b2 B． C．a2+b2 D．
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
13．小满是二十四节气的第八个节气，食野菜是小满的风俗之一，用野菜做玉米团子是最常见的一种食用方法，小亮家做了10个团子，其中有3个团子里加了鸡蛋，若每个团子形状相同，被选中的机会相等，则小亮从中随机挑选一个正好是加了鸡蛋的团子的概率是 ．
14．22021×（﹣0.5）2020＝ ．
15．如图，两个正方形的边长分别为a，b（a＞b），若a+b＝10，ab＝6，则阴影部分的面积为 ．
16．如图，C为线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，则有以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③DP＝DE；④△PCD为轴对称图形；⑤∠AOB＝60°．以上结论正确的是 （填序号）．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（8分）计算：
（1）（x﹣2y）（x+2y）﹣y（x﹣4y）；
（2）|﹣6|+（π﹣3.14）0﹣（）﹣1．
18．（6分）阅读：在计算（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+ +x+1）的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
【观察】①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
……
（1）【归纳】由此可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+ +x+1）＝ ；
（2）【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：22023+22022+22021+ +22+2+1＝ ；
（3）计算：220﹣219+218﹣217+ ﹣23+22﹣2+1＝ ；
（4）若x5+x4+x3+x2+x+1＝0，求x2022的值．
19．（6分）现有5根小木棒，长度分别为2、3、4、5、7（单位：cm），从中任意取出3根．列出所选的3根小木棒的所有可能情况，它们发生的可能性相同吗？
20．（8分）如图，C、E分别在AB、DF上，小华想知道∠ACE和∠DEC是否互补，但是他又没有带量角器，只带了一副三角尺，于是他想了这样一个办法：首先连接CF，再找出CF的中点O，然后连接EO并延长EO和直线AB相交于点B，经过测量，他发现EO＝BO，因此他得出结论：∠ACE和∠DEC互补．请将小华的想法补充完整：
∵CF和BE相交于点O，
∴∠COB＝∠EOF；（ ）
而O是CF的中点，那么CO＝FO，又已知EO＝BO，
∴△COB≌△FOE，（ ）
∴BC＝EF，（全等三角形对应边相等）
∴∠BCO＝∠F，（ ）
∴AB∥DF，（ ）
∴∠ACE和∠DEC互补．（ ）
21．（7分）（1）如图，在平面直角坐标系中，画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）如图，在9×6的正方形网格中，线段AB，BC的端点均在格点（每个小正方形的顶点）上，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．
（Ⅰ）在图①中，选取一个格点D，连接AD，BD，CD，使△ABD和△BCD都是直角三角形；
（Ⅱ）在图②中，选取一个格点E，连接AE，BE，CE，使△ABE和△BCE都是以BE为直角边的直角三角形，且其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍．
22．（8分）如图，在△ABC中，三个内角的角平分线交于点O，OE⊥BC于点E．
（1）求∠ABO+∠BCO+∠CAO的度数；
（2）求证：∠BOD＝∠COE．
23．（9分）如图，E，F分别是正方形ABCD的边AB，AD所在直线上的点（不与点A重合），且EC⊥CF，M为BD、EF的交点．
（1）如图（1），求证：BE＝DF；
（2）如图（2），求的值；
（3）如图（3），正方形ABCD的边长为6，P为线段AD上一点，AP＝1，连结PM．记BC边的中点为N，连结MN，若MN，则△PMF的面积为 ．（在横线上直接写出答案）
2024—2025学年上学期深圳初中数学八年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．计算a4÷（﹣a2）的结果是（ ）
A．a2 B．a C．﹣a2 D．﹣a6
【考点】同底数幂的除法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝﹣a2，
故选：C．
【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
2．“瓦当”是中国古代用以装饰美化建筑物檐头的建筑附件，其图案各式各样，属于中国特有的文化艺术遗产．下列“瓦当”的图案中，是轴对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断后即可求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故选项错误；
B、是轴对称图形，故选项正确；
C、不是轴对称图形，故选项错误；
D、不是轴对称图形，故选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，轴对称图形的关键是寻找对称轴．
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．同位角相等
B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．三角形的三条高线交于一点
D．两边及一角分别相等的两个三角形全等
【考点】全等三角形的判定；同位角、内错角、同旁内角；平行公理及推论．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质，平行公理，垂心的定义，全等三角形的判定定理逐项分析判断即可求解．
【解答】解：A．两直线平行，同位角相等，故该选项不正确，不符合题意；
B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项正确，符合题意；
C．三角形的三条高线所在的直线交于一点，故该选项不正确，不符合题意；
D．两边及两边的夹角分别相等的两个三角形全等，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了行线的性质，平行公理，垂心的定义，全等三角形的判定定理，熟练掌握以上性质定理是解题的关键．
4．滴雨的重量是0.00025千克，用科学记数法表示为（ ）
A．2.5×10﹣4千克 B．2.5×10﹣3千克
C．﹣2.5×104千克 D．﹣2.5×103千克
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】应用题．
【答案】A
【分析】小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 25千克＝2.5×10﹣4千克．
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5．如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．
【专题】作图题；图形的全等；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，根据SSS可得到三角形全等．
【解答】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，
故选：D．
【点评】本题主要考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理．
6．如图，一副三角板按图中位置摆放．若AB∥CE，则∠1的度数是（ ）
A．95° B．100° C．105° D．120°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；几何直观；运算能力．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质可得∠BCE＝∠B，再根据三角形的外角性质可得∠1的度数．
【解答】解：∵AB∥CE，
∴∠BCE＝∠B＝60°，
∴∠1＝∠BCE+∠E＝60°+45°＝105°．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质和三角形的外角性质，解题关键是结合图形合理利用平行线的性质和三角形的外角性质进行角的转化和计算．
7．下列事件为不可能事件的是（ ）
A．某射击运动员射击一次，射中靶心
B．掷一次骰子，向上一面的点数是3
C．找到一个三角形，其内角和是360°
D．经过城市中某一有交通信号灯的路口遇到红灯
【考点】随机事件；三角形内角和定理．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】C
【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件，是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此逐一判断即可得答案．
【解答】解：A．某射击运动员射击一次，命中靶心可能发生，也可能不发生，属于随机事件，故A不符合题意，
B．掷一次骰子，向上一面的点数是3可能发生，也可能不发生，属于随机事件，故B不符合题意；
C．找到一个三角形，其内角和为360°，是不可能发生的事件，故C符合题意，
D．经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握定义是解题关键．
8．如果二次三项式x2﹣8x+m是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A．±16 B．16 C．4 D．﹣16
【考点】完全平方式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】先根据乘积二倍项确定出这两个数是4和x，再根据完全平方公式的平方项列式求解即可．
【解答】解：∵﹣8x＝﹣2×4 x，
∴m＝42＝16，
得m＝16，
故选：B．
【点评】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，根据乘积二倍项确定出这两个数是求解的关键．
9．今年5月1日，我市某商场停车场的停车量为2000辆次，其中两轮电动车平均停车费为每辆1元一次，小汽车平均停车费为每辆5元一次，若两轮电动车停车辆数为x辆次，停车的总收入为y元，则y与x的关系式为（ ）
A．y＝﹣4x+10000 B．y＝﹣3x+8000
C．y＝﹣2x+4000 D．y＝﹣4x+5000
【考点】函数关系式．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】A
【分析】已知两轮电动车停车辆数为x辆次，则小汽车停车辆数为（2000﹣x）辆次，结合已知条件，根据停车总收入等于两种车的停车收入之和即可得出答案．
【解答】解：∵两轮电动车停车辆数为x辆次，
∴小汽车停车辆数为（2000﹣x）辆次，
∵两轮电动车平均停车费为每辆1元一次，小汽车平均停车费为每辆5元一次，
∴y＝x+5（2000﹣x），
整理得：y＝﹣4x+10000，
故选：A．
【点评】本题考查一次函数的实际应用，根据题干已知条件，找到等量关系是解题的关键．
10．已知点P在∠AOB的平分线上，点P到OA的距离为14，点Q是OB边上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．PQ＞14 B．PQ≥14 C．PQ＜14 D．PQ≤14
【考点】角平分线的性质；垂线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为14，再根据垂线段最短解答．
【解答】解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于14，
∴点P到OB的距离为14，
∵点Q是OB边上的任意一点，
∴PQ≥14．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．
11．甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，甲、乙两车离B地的距离y（km）与甲车行驶时间x（h）关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．甲车比乙车提前出发1h
B．甲车的速度为80km/h
C．当乙车到达A地时，甲车距离B地80km
D．t的值为5.2
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】D
【分析】根据图象，求出甲车、乙车速度，再逐项判断即可．
【解答】解：由图象可知，甲车比乙车早出发1h，
故A正确，不符合题意；
由图象知，甲走完全程所需时间为6h，
∴甲车的速度为：80（km/h），
故B正确，不符合题意；
由图象得，甲、乙两车相遇时所走路程都是240km，
甲车所用时间为3（h），
∴乙车所用时间为3﹣1＝2（h），
∴乙车速度为120（km/h），
∴乙车到达A地所用时间为4（h），
即t＝4+1＝5，
此时甲距离B地的距离为（6﹣5）×80＝80（km），
故C正确，不符合题，D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用问题，根据图象图象中的信息和路程，速度，时间的关系解答是解题关键．
12．如图是两个全等的直角三角形拼成的图形，且点B，C，D在同一直线上，连结AE．设AB＝a，BC＝b，则△ACE的面积可以表示为（ ）
A．a2﹣b2 B． C．a2+b2 D．
【考点】全等三角形的判定与性质；全等图形．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】D
【分析】根据勾股定理求出AC，根据全等三角形的性质得出AC＝CE，∠ACB＝∠CED，根据直角三角形的性质推出AC⊥CE，根据三角形面积公式求解即可．
【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝a，BC＝b，
∴AC，
∵Rt△ABC≌Rt△CDE，
∴AC＝CE，∠ACB＝∠CED，
∵∠CED+∠ECD＝90°，
∴∠ACB+∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝180°﹣90°＝90°，
∴AC⊥CE，
∴△ACE的面积AC CE，
故选：D．
【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
13．小满是二十四节气的第八个节气，食野菜是小满的风俗之一，用野菜做玉米团子是最常见的一种食用方法，小亮家做了10个团子，其中有3个团子里加了鸡蛋，若每个团子形状相同，被选中的机会相等，则小亮从中随机挑选一个正好是加了鸡蛋的团子的概率是 ．
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】．
【分析】用加鸡蛋的团子的数量除以所有团子的数量即可求得答案．
【解答】解：∵10个团子中有3个团子里加了鸡蛋，
∴小亮从中随机挑选一个正好是加了鸡蛋的团子的概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式，解题的关键是了解概率的求法，难度不大．
14．22021×（﹣0.5）2020＝ 2 ．
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】2．
【分析】根据积的乘方运算法则及同底数幂的逆向运用即可计算．
【解答】解：原式＝22020×2×0.52020
＝（2×0.5）2020×2
＝12020×2
＝1×2
＝2，
故答案为：2．
【点评】此题考查了幂的乘方与积的乘方，熟记相关法则是解题的关键．
15．如图，两个正方形的边长分别为a，b（a＞b），若a+b＝10，ab＝6，则阴影部分的面积为 41 ．
【考点】完全平方公式的几何背景．
【专题】应用题；转化思想；整体思想；运算能力．
【答案】41
【分析】把阴影部分的面积转化成两个正方形的面积之和减去△ABD的面积再减去△BEF的面积，形成关于a，b的代数式，再逆用完全平方公式把代数式转化成a+b与ab的形式，然后代入求值．
【解答】解：S阴影＝S大正方形+S小正方形﹣S△ABD﹣S△BEF
＝a2+b2a2b（a+b）
a2b2ab
（a2+b2+2ab）ab
（a+b）2ab
∵a+b＝10，ab＝6；
∴原式1026
100﹣9
＝41
故答案为：41．
【点评】该题考查了不规则图形面积的求法与完全平方公式的逆用，解题的关键是把不规则图形面积转化为规则图形的面积减去规则图形的面积．
16．如图，C为线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，则有以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③DP＝DE；④△PCD为轴对称图形；⑤∠AOB＝60°．以上结论正确的是 ①②⑤ （填序号）．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；轴对称图形．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】①②⑤．
【分析】证明△ACD≌△BCE，可得AD＝BE，故结论①正确．证明△ACP≌△BCQ可得CP＝CQ，可得到△PCQ为等边三角形，从而得到PQ∥AE，故结论②正确．再由DC＝DE，∠PCQ＝∠CPQ＝60°，可得∠DPC＞60°，从而得到DP≠DC，DP≠DE，故结论③不正确．根据CP＝CQ，可得△PCQ为等腰三角形为轴对称图形，故结论④正确．根据∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，可得结论⑤正确．
【解答】解：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，故结论①正确．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
又∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠ACP＝∠BCQ＝60°，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（AAS），
∴CP＝CQ，
又∵∠PCQ＝60°，
∴△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC＝∠DCE＝60°，
∴PQ∥AE，故结论②正确．
∵CP＝CQ，
∴△PCQ为等腰三角形为轴对称图形，
不能证明△PCD是等腰三角形，故结论④不正确．
∵DC＝DE，∠PCQ＝∠CPQ＝60°，
∴∠DPC＞60°，
∴DP≠DC，
又∵DC＝DE，
∴DP≠DE，故结论③不正确．
∵∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，故结论⑤正确．
综上，可得正确的结论有4个：①②⑤．
故答案为：①②⑤．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（8分）计算：
（1）（x﹣2y）（x+2y）﹣y（x﹣4y）；
（2）|﹣6|+（π﹣3.14）0﹣（）﹣1．
【考点】平方差公式；零指数幂；负整数指数幂；实数的运算；单项式乘多项式．
【专题】实数；整式；运算能力．
【答案】（1）x2﹣xy；
（2）10．
【分析】（1）先计算乘法，再合并同类项即可得答案；
（2）根据绝对值的意义、零指数幂的意义、负整数指数幂的意义解答即可．
【解答】解：（1）原式＝x2﹣4y2﹣xy+4y2
＝x2﹣xy；
（2）原式＝6+1﹣（﹣3）
＝6+1+3
＝10．
【点评】本题主要考查实数的运算和整式的运算，解题的关键是熟练掌握实数的运算和整式的运算的运算法则．
18．（6分）阅读：在计算（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+ +x+1）的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
【观察】①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
……
（1）【归纳】由此可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+ +x+1）＝ xn+1﹣1 ；
（2）【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：22023+22022+22021+ +22+2+1＝ 22024﹣1 ；
（3）计算：220﹣219+218﹣217+ ﹣23+22﹣2+1＝ ；
（4）若x5+x4+x3+x2+x+1＝0，求x2022的值．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】规律型；实数；整式；运算能力．
【答案】（1）xn+1﹣1；
（2）22024﹣1；
（3）；
（4）1．
【分析】（1）根据已知式子的变化规律，可以得到所求式子的结果；
（2）利用（2）中变化规律，将所求式子变形，然后计算即可；
（3）将220﹣219+218﹣217+ ﹣23+22﹣2+1转化为（﹣2）20+（﹣2）19+（﹣2）18+（﹣2）17+ +（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）+1，再利用（1）中变化规律进而得出答案；
（4）利用（1）中变化规律得出x的值，进而得出答案．
【解答】解：（1）①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…；
∴（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+ +x+1）＝xn+1﹣1，
故答案为：xn+1﹣1；
（2）22023+22022+22021+ +22+2+1
＝（2﹣1）（22023+22022+22021+ +22+2+1）
＝22024﹣1，
故答案为：22024﹣1；
（3）220﹣219+218﹣217+ ﹣23+22﹣2+1
＝（﹣2）20+（﹣2）19+（﹣2）18+（﹣2）17+ +（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）+1
；
故答案为：；
（4）∵（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1＝0，
∴x＝±1，
∵x5+x4+x3+x2+x+1＝0，
∴x≠1，x＝﹣1，
∴x2022＝（﹣1）2022＝1．
【点评】此题主要考查平方差公式以及数字变化规律、整式的混合运算，正确得出式子之间的变化规律是解题关键．
19．（6分）现有5根小木棒，长度分别为2、3、4、5、7（单位：cm），从中任意取出3根．列出所选的3根小木棒的所有可能情况，它们发生的可能性相同吗？
【考点】可能性的大小．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】见解析．
【分析】首先根据题意利用列举法，即可求得所选的3根小木棒的所有可能情况．
【解答】解：根据题意可得：所选的3根小木棒的所有可能情况为：（2、3、4），（2、3、5），（2、3、7），（2、4、5），（2、4、7），（2、5、7），（3、4、5），（3、4、7），（3、5、7），（4、5、7）；
它们发生的可能性相同．
【点评】此题考查了可能性的大小，概率公式，此题难度不大，注意要不重不漏的列举出所有的结果，注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（8分）如图，C、E分别在AB、DF上，小华想知道∠ACE和∠DEC是否互补，但是他又没有带量角器，只带了一副三角尺，于是他想了这样一个办法：首先连接CF，再找出CF的中点O，然后连接EO并延长EO和直线AB相交于点B，经过测量，他发现EO＝BO，因此他得出结论：∠ACE和∠DEC互补．请将小华的想法补充完整：
∵CF和BE相交于点O，
∴∠COB＝∠EOF；（ 对顶角相等 ）
而O是CF的中点，那么CO＝FO，又已知EO＝BO，
∴△COB≌△FOE，（ SAS ）
∴BC＝EF，（全等三角形对应边相等）
∴∠BCO＝∠F，（ 全等三角形的对应角相等 ）
∴AB∥DF，（ 内错角相等，两直线平行 ）
∴∠ACE和∠DEC互补．（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力．
【答案】对顶角相等，SAS，全等三角形的对应角相等，内错角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补．
【分析】由“SAS”可证△COB≌△FOE，可得∠BCO＝∠F，可证AB∥DF，可得结论．
【解答】解：∵CF和BE相交于点O，
∴∠COB＝∠EOF；（对顶角相等），
而O是CF的中点，那么CO＝FO，又已知EO＝BO，
∴△COB≌△FOE（SAS），
∴BC＝EF，（全等三角形对应边相等），
∴∠BCO＝∠F，（全等三角形的对应角相等），
∴AB∥DF，（内错角相等，两直线平行），
∴∠ACE和∠DEC互补．（两直线平行，同旁内角互补），
故答案为：对顶角相等，SAS，全等三角形的对应角相等，内错角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
21．（7分）（1）如图，在平面直角坐标系中，画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）如图，在9×6的正方形网格中，线段AB，BC的端点均在格点（每个小正方形的顶点）上，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．
（Ⅰ）在图①中，选取一个格点D，连接AD，BD，CD，使△ABD和△BCD都是直角三角形；
（Ⅱ）在图②中，选取一个格点E，连接AE，BE，CE，使△ABE和△BCE都是以BE为直角边的直角三角形，且其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍．
【考点】作图﹣轴对称变换；勾股定理；勾股定理的逆定理．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）见解答．
（2）（Ⅰ）见解答．
（Ⅱ）见解答．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）（Ⅰ）结合直角三角形的定义作图即可；（Ⅱ）根据直角三角形的定义以及三角形的面积关系作图即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）（Ⅰ）如图①，点D即为所求．
（Ⅱ）如图②，点E即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、勾股定理，熟练掌握轴对称的性质以及勾股定理是解答本题的关键．
22．（8分）如图，在△ABC中，三个内角的角平分线交于点O，OE⊥BC于点E．
（1）求∠ABO+∠BCO+∠CAO的度数；
（2）求证：∠BOD＝∠COE．
【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．
【专题】计算题；证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据角平分线的定义及三角形内角和定理解答即可；
（2）先根据三角形内角与外角的关系求出∠BOD与∠BCO的关系，再根据OE⊥BC解答即可．
【解答】（1）解：∵AD、BM、CN分别是△ABC的三个内角的角平分线，
∴∠ABO∠ABC，∠BCO∠ACB，∠CAO∠CAB．
又∵∠ABC+∠ACB+∠CAB＝180°，
∴∠ABO+∠BCO+∠CAO（∠ABC+∠ACB+∠CAB）180°＝90°；
（2）证明：∵∠BOD＝∠BAO+∠ABO，∠BAO＝∠CAO，
∴∠BOD＝∠CAO+∠ABO（∠BAC+∠ABC）（180°﹣∠ACB）＝90°∠ACB＝90°﹣∠BCO．
又∵OE⊥BC，
∴∠OEC＝90°，
∴∠COE＝90°﹣∠ECO．
∴∠BOD＝∠COE．
【点评】本题考查的知识点为三角形内角和定理、角平分线的性质及直角三角形的性质，有一定的综合性但难度适中．
23．（9分）如图，E，F分别是正方形ABCD的边AB，AD所在直线上的点（不与点A重合），且EC⊥CF，M为BD、EF的交点．
（1）如图（1），求证：BE＝DF；
（2）如图（2），求的值；
（3）如图（3），正方形ABCD的边长为6，P为线段AD上一点，AP＝1，连结PM．记BC边的中点为N，连结MN，若MN，则△PMF的面积为 7 ．（在横线上直接写出答案）
【考点】四边形综合题．
【专题】压轴题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力；应用意识．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）；
（3）7．
【分析】（1）证明△CBE≌△CDF（AAS）即可解决问题；
（2）过M作MH⊥AD于H，连接AC，由∠BAD＝∠ECF＝90°，得A、F、C、E四点共圆，可证BD与EF的交点M即是经过A、F、C、E的圆的圆心，故EM＝FM，MH是△AEF的中位线，即有MHAE，而△MED是等腰直角三角形，得MHMD，即可得；
（3）过点F作FT⊥BC交BC的延长线于T，交BD的延长线于H，连接CH．过点M作MJ⊥AD于J，证明△BME≌△HMF（AAS），推出BM＝MH，由BN＝CN，推出MNCH，可得CH＝2，由四边形CDFT是矩形，推出CT＝DF，CD＝TF＝6，∠DFT＝∠DFH＝90°，设CT＝DF＝x，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBE＝∠BCD＝∠ADC＝∠CDF＝90°，
∵EC⊥CF，
∴∠ECF＝90°，
∵∠BCD＝∠ECF＝90°，
∴∠BCE＝∠DCF，
∵CB＝CD，
∴△CBE≌△CDF（AAS），
∴CE＝CF．
（2）解：过M作MH⊥AD于H，连接AC，如图：
∵∠BAD＝∠ECF＝90°，
∴A、F、C、E四点共圆，
∵四边形ABCD是正方形，
∴直线BD是AC的垂直平分线，即经过A、F、C、E的圆的圆心在直线BD上，
∵∠EAF＝90°，
∴EF是经过A、F、C、E的圆的直径，即经过A、F、C、E的圆的圆心在EF上，
∴BD与EF的交点M即是经过A、F、C、E的圆的圆心，
∴EM＝FM，
∵MH⊥AD，
∴MH∥AE，
∴MH是△AEF的中位线，
∴MHAE，
在Rt△MED中，∠MDH＝45°，
∴△MED是等腰直角三角形，
∴MDMH，即MHMD，
∴AEMD，
∴；
（3）过点F作FT⊥BC交BC的延长线于T，交BD的延长线于H，连接CH．过点M作MJ⊥AD于J，如图：
∵∠BCD＝∠T＝90°，
∴TH∥CD∥AB，
∴∠MBE＝∠MHF，
同（2）可证ME＝MF，
又∠BME＝∠FMH，
∴△BME≌△HMF（AAS），
∴BM＝MH，
∵BN＝CN，
∴MNCH，
∵MN，
∴CH＝2，
∵∠T＝∠TCD＝∠CDF＝90°，
∴四边形CDFT是矩形，
∴CT＝DF，CD＝TF＝6，∠DFT＝∠DFH＝90°，
设CT＝DF＝x，
∵∠HDF＝∠ADB＝45°，∠DFH＝90°，
∴DF＝FH＝x，
在Rt△CTH中，CH2＝CT2+TH2，
∴（2）2＝x2+（x+6）2，
∴x＝2或﹣8（舍弃），
∵AP＝1，由（1）知BE＝DF，
∴BE＝DF＝2，PF＝AD﹣AP+DF＝6﹣1+2＝7，AE＝AB﹣BE＝4，
∵MJ⊥AD，
∴∠MJD＝∠A＝90°，
∴MJ∥AE，
∵EM＝MF，
∴AJ＝JF，
∴MJAE＝2，
∴S△PMF PF MJ7×2＝7．
故答案为7．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
考点卡片
1．科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值
|x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1
|x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）
2．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
3．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
4．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
5．单项式乘多项式
（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：
①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．
6．完全平方公式的几何背景
（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形
（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
7．完全平方式
完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式．
a2±2ab+b2＝（a±b）2
完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”
8．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
9．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
10．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
11．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
12．函数关系式
用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
注意：
①函数解析式是等式．
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数．
13．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
14．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
15．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
16．同位角、内错角、同旁内角
（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
17．平行公理及推论
（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．
（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．
18．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
19．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
20．全等图形
（1）全等形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形．
（2）全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（3）三角形全等的符号
“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．
（4）对应顶点、对应边、对应角
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．
21．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
22．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
23．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
24．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
25．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
26．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
27．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
28．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
29．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
30．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
31．随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
32．可能性的大小
随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：
（1）理论计算又分为如下两种情况：
第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．
（2）实验估算又分为如下两种情况：
第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．
第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．
33．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
2024—2025学年上学期深圳初中数学八年级开学模拟试卷3
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．计算a4÷（﹣a2）的结果是（ ）
A．a2 B．a C．﹣a2 D．﹣a6
2．“瓦当”是中国古代用以装饰美化建筑物檐头的建筑附件，其图案各式各样，属于中国特有的文化艺术遗产．下列“瓦当”的图案中，是轴对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．同位角相等
B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．三角形的三条高线交于一点
D．两边及一角分别相等的两个三角形全等
4．滴雨的重量是0.00025千克，用科学记数法表示为（ ）
A．2.5×10﹣4千克 B．2.5×10﹣3千克
C．﹣2.5×104千克 D．﹣2.5×103千克
5．如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
6．如图，一副三角板按图中位置摆放．若AB∥CE，则∠1的度数是（ ）
A．95° B．100° C．105° D．120°
7．下列事件为不可能事件的是（ ）
A．某射击运动员射击一次，射中靶心
B．掷一次骰子，向上一面的点数是3
C．找到一个三角形，其内角和是360°
D．经过城市中某一有交通信号灯的路口遇到红灯
8．如果二次三项式x2﹣8x+m是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A．±16 B．16 C．4 D．﹣16
9．今年5月1日，我市某商场停车场的停车量为2000辆次，其中两轮电动车平均停车费为每辆1元一次，小汽车平均停车费为每辆5元一次，若两轮电动车停车辆数为x辆次，停车的总收入为y元，则y与x的关系式为（ ）
A．y＝﹣4x+10000 B．y＝﹣3x+8000
C．y＝﹣2x+4000 D．y＝﹣4x+5000
10．已知点P在∠AOB的平分线上，点P到OA的距离为14，点Q是OB边上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．PQ＞14 B．PQ≥14 C．PQ＜14 D．PQ≤14
11．甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，甲、乙两车离B地的距离y（km）与甲车行驶时间x（h）关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．甲车比乙车提前出发1h
B．甲车的速度为80km/h
C．当乙车到达A地时，甲车距离B地80km
D．t的值为5.2
12．如图是两个全等的直角三角形拼成的图形，且点B，C，D在同一直线上，连结AE．设AB＝a，BC＝b，则△ACE的面积可以表示为（ ）
A．a2﹣b2 B． C．a2+b2 D．
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
13．小满是二十四节气的第八个节气，食野菜是小满的风俗之一，用野菜做玉米团子是最常见的一种食用方法，小亮家做了10个团子，其中有3个团子里加了鸡蛋，若每个团子形状相同，被选中的机会相等，则小亮从中随机挑选一个正好是加了鸡蛋的团子的概率是 ．
14．22021×（﹣0.5）2020＝ ．
15．如图，两个正方形的边长分别为a，b（a＞b），若a+b＝10，ab＝6，则阴影部分的面积为 ．
16．如图，C为线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，则有以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③DP＝DE；④△PCD为轴对称图形；⑤∠AOB＝60°．以上结论正确的是 （填序号）．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（8分）计算：
（1）（x﹣2y）（x+2y）﹣y（x﹣4y）；
（2）|﹣6|+（π﹣3.14）0﹣（）﹣1．
18．（6分）阅读：在计算（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+ +x+1）的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
【观察】①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
……
（1）【归纳】由此可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+ +x+1）＝ ；
（2）【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：22023+22022+22021+ +22+2+1＝ ；
（3）计算：220﹣219+218﹣217+ ﹣23+22﹣2+1＝ ；
（4）若x5+x4+x3+x2+x+1＝0，求x2022的值．
19．（6分）现有5根小木棒，长度分别为2、3、4、5、7（单位：cm），从中任意取出3根．列出所选的3根小木棒的所有可能情况，它们发生的可能性相同吗？
20．（8分）如图，C、E分别在AB、DF上，小华想知道∠ACE和∠DEC是否互补，但是他又没有带量角器，只带了一副三角尺，于是他想了这样一个办法：首先连接CF，再找出CF的中点O，然后连接EO并延长EO和直线AB相交于点B，经过测量，他发现EO＝BO，因此他得出结论：∠ACE和∠DEC互补．请将小华的想法补充完整：
∵CF和BE相交于点O，
∴∠COB＝∠EOF；（ ）
而O是CF的中点，那么CO＝FO，又已知EO＝BO，
∴△COB≌△FOE，（ ）
∴BC＝EF，（全等三角形对应边相等）
∴∠BCO＝∠F，（ ）
∴AB∥DF，（ ）
∴∠ACE和∠DEC互补．（ ）
21．（7分）（1）如图，在平面直角坐标系中，画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）如图，在9×6的正方形网格中，线段AB，BC的端点均在格点（每个小正方形的顶点）上，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．
（Ⅰ）在图①中，选取一个格点D，连接AD，BD，CD，使△ABD和△BCD都是直角三角形；
（Ⅱ）在图②中，选取一个格点E，连接AE，BE，CE，使△ABE和△BCE都是以BE为直角边的直角三角形，且其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍．
22．（8分）如图，在△ABC中，三个内角的角平分线交于点O，OE⊥BC于点E．
（1）求∠ABO+∠BCO+∠CAO的度数；
（2）求证：∠BOD＝∠COE．
23．（9分）如图，E，F分别是正方形ABCD的边AB，AD所在直线上的点（不与点A重合），且EC⊥CF，M为BD、EF的交点．
（1）如图（1），求证：BE＝DF；
（2）如图（2），求的值；
（3）如图（3），正方形ABCD的边长为6，P为线段AD上一点，AP＝1，连结PM．记BC边的中点为N，连结MN，若MN，则△PMF的面积为 ．（在横线上直接写出答案）
2024—2025学年上学期深圳初中数学八年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．计算a4÷（﹣a2）的结果是（ ）
A．a2 B．a C．﹣a2 D．﹣a6
【考点】同底数幂的除法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝﹣a2，
故选：C．
【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
2．“瓦当”是中国古代用以装饰美化建筑物檐头的建筑附件，其图案各式各样，属于中国特有的文化艺术遗产．下列“瓦当”的图案中，是轴对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断后即可求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故选项错误；
B、是轴对称图形，故选项正确；
C、不是轴对称图形，故选项错误；
D、不是轴对称图形，故选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，轴对称图形的关键是寻找对称轴．
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．同位角相等
B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．三角形的三条高线交于一点
D．两边及一角分别相等的两个三角形全等
【考点】全等三角形的判定；同位角、内错角、同旁内角；平行公理及推论．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质，平行公理，垂心的定义，全等三角形的判定定理逐项分析判断即可求解．
【解答】解：A．两直线平行，同位角相等，故该选项不正确，不符合题意；
B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项正确，符合题意；
C．三角形的三条高线所在的直线交于一点，故该选项不正确，不符合题意；
D．两边及两边的夹角分别相等的两个三角形全等，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了行线的性质，平行公理，垂心的定义，全等三角形的判定定理，熟练掌握以上性质定理是解题的关键．
4．滴雨的重量是0.00025千克，用科学记数法表示为（ ）
A．2.5×10﹣4千克 B．2.5×10﹣3千克
C．﹣2.5×104千克 D．﹣2.5×103千克
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】应用题．
【答案】A
【分析】小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 25千克＝2.5×10﹣4千克．
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5．如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．
【专题】作图题；图形的全等；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，根据SSS可得到三角形全等．
【解答】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，
故选：D．
【点评】本题主要考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理．
6．如图，一副三角板按图中位置摆放．若AB∥CE，则∠1的度数是（ ）
A．95° B．100° C．105° D．120°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；几何直观；运算能力．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质可得∠BCE＝∠B，再根据三角形的外角性质可得∠1的度数．
【解答】解：∵AB∥CE，
∴∠BCE＝∠B＝60°，
∴∠1＝∠BCE+∠E＝60°+45°＝105°．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质和三角形的外角性质，解题关键是结合图形合理利用平行线的性质和三角形的外角性质进行角的转化和计算．
7．下列事件为不可能事件的是（ ）
A．某射击运动员射击一次，射中靶心
B．掷一次骰子，向上一面的点数是3
C．找到一个三角形，其内角和是360°
D．经过城市中某一有交通信号灯的路口遇到红灯
【考点】随机事件；三角形内角和定理．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】C
【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件，是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此逐一判断即可得答案．
【解答】解：A．某射击运动员射击一次，命中靶心可能发生，也可能不发生，属于随机事件，故A不符合题意，
B．掷一次骰子，向上一面的点数是3可能发生，也可能不发生，属于随机事件，故B不符合题意；
C．找到一个三角形，其内角和为360°，是不可能发生的事件，故C符合题意，
D．经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握定义是解题关键．
8．如果二次三项式x2﹣8x+m是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A．±16 B．16 C．4 D．﹣16
【考点】完全平方式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】先根据乘积二倍项确定出这两个数是4和x，再根据完全平方公式的平方项列式求解即可．
【解答】解：∵﹣8x＝﹣2×4 x，
∴m＝42＝16，
得m＝16，
故选：B．
【点评】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，根据乘积二倍项确定出这两个数是求解的关键．
9．今年5月1日，我市某商场停车场的停车量为2000辆次，其中两轮电动车平均停车费为每辆1元一次，小汽车平均停车费为每辆5元一次，若两轮电动车停车辆数为x辆次，停车的总收入为y元，则y与x的关系式为（ ）
A．y＝﹣4x+10000 B．y＝﹣3x+8000
C．y＝﹣2x+4000 D．y＝﹣4x+5000
【考点】函数关系式．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】A
【分析】已知两轮电动车停车辆数为x辆次，则小汽车停车辆数为（2000﹣x）辆次，结合已知条件，根据停车总收入等于两种车的停车收入之和即可得出答案．
【解答】解：∵两轮电动车停车辆数为x辆次，
∴小汽车停车辆数为（2000﹣x）辆次，
∵两轮电动车平均停车费为每辆1元一次，小汽车平均停车费为每辆5元一次，
∴y＝x+5（2000﹣x），
整理得：y＝﹣4x+10000，
故选：A．
【点评】本题考查一次函数的实际应用，根据题干已知条件，找到等量关系是解题的关键．
10．已知点P在∠AOB的平分线上，点P到OA的距离为14，点Q是OB边上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．PQ＞14 B．PQ≥14 C．PQ＜14 D．PQ≤14
【考点】角平分线的性质；垂线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为14，再根据垂线段最短解答．
【解答】解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于14，
∴点P到OB的距离为14，
∵点Q是OB边上的任意一点，
∴PQ≥14．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．
11．甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，甲、乙两车离B地的距离y（km）与甲车行驶时间x（h）关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．甲车比乙车提前出发1h
B．甲车的速度为80km/h
C．当乙车到达A地时，甲车距离B地80km
D．t的值为5.2
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】D
【分析】根据图象，求出甲车、乙车速度，再逐项判断即可．
【解答】解：由图象可知，甲车比乙车早出发1h，
故A正确，不符合题意；
由图象知，甲走完全程所需时间为6h，
∴甲车的速度为：80（km/h），
故B正确，不符合题意；
由图象得，甲、乙两车相遇时所走路程都是240km，
甲车所用时间为3（h），
∴乙车所用时间为3﹣1＝2（h），
∴乙车速度为120（km/h），
∴乙车到达A地所用时间为4（h），
即t＝4+1＝5，
此时甲距离B地的距离为（6﹣5）×80＝80（km），
故C正确，不符合题，D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用问题，根据图象图象中的信息和路程，速度，时间的关系解答是解题关键．
12．如图是两个全等的直角三角形拼成的图形，且点B，C，D在同一直线上，连结AE．设AB＝a，BC＝b，则△ACE的面积可以表示为（ ）
A．a2﹣b2 B． C．a2+b2 D．
【考点】全等三角形的判定与性质；全等图形．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】D
【分析】根据勾股定理求出AC，根据全等三角形的性质得出AC＝CE，∠ACB＝∠CED，根据直角三角形的性质推出AC⊥CE，根据三角形面积公式求解即可．
【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝a，BC＝b，
∴AC，
∵Rt△ABC≌Rt△CDE，
∴AC＝CE，∠ACB＝∠CED，
∵∠CED+∠ECD＝90°，
∴∠ACB+∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝180°﹣90°＝90°，
∴AC⊥CE，
∴△ACE的面积AC CE，
故选：D．
【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
13．小满是二十四节气的第八个节气，食野菜是小满的风俗之一，用野菜做玉米团子是最常见的一种食用方法，小亮家做了10个团子，其中有3个团子里加了鸡蛋，若每个团子形状相同，被选中的机会相等，则小亮从中随机挑选一个正好是加了鸡蛋的团子的概率是 ．
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】．
【分析】用加鸡蛋的团子的数量除以所有团子的数量即可求得答案．
【解答】解：∵10个团子中有3个团子里加了鸡蛋，
∴小亮从中随机挑选一个正好是加了鸡蛋的团子的概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式，解题的关键是了解概率的求法，难度不大．
14．22021×（﹣0.5）2020＝ 2 ．
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】2．
【分析】根据积的乘方运算法则及同底数幂的逆向运用即可计算．
【解答】解：原式＝22020×2×0.52020
＝（2×0.5）2020×2
＝12020×2
＝1×2
＝2，
故答案为：2．
【点评】此题考查了幂的乘方与积的乘方，熟记相关法则是解题的关键．
15．如图，两个正方形的边长分别为a，b（a＞b），若a+b＝10，ab＝6，则阴影部分的面积为 41 ．
【考点】完全平方公式的几何背景．
【专题】应用题；转化思想；整体思想；运算能力．
【答案】41
【分析】把阴影部分的面积转化成两个正方形的面积之和减去△ABD的面积再减去△BEF的面积，形成关于a，b的代数式，再逆用完全平方公式把代数式转化成a+b与ab的形式，然后代入求值．
【解答】解：S阴影＝S大正方形+S小正方形﹣S△ABD﹣S△BEF
＝a2+b2a2b（a+b）
a2b2ab
（a2+b2+2ab）ab
（a+b）2ab
∵a+b＝10，ab＝6；
∴原式1026
100﹣9
＝41
故答案为：41．
【点评】该题考查了不规则图形面积的求法与完全平方公式的逆用，解题的关键是把不规则图形面积转化为规则图形的面积减去规则图形的面积．
16．如图，C为线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，则有以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③DP＝DE；④△PCD为轴对称图形；⑤∠AOB＝60°．以上结论正确的是 ①②⑤ （填序号）．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；轴对称图形．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】①②⑤．
【分析】证明△ACD≌△BCE，可得AD＝BE，故结论①正确．证明△ACP≌△BCQ可得CP＝CQ，可得到△PCQ为等边三角形，从而得到PQ∥AE，故结论②正确．再由DC＝DE，∠PCQ＝∠CPQ＝60°，可得∠DPC＞60°，从而得到DP≠DC，DP≠DE，故结论③不正确．根据CP＝CQ，可得△PCQ为等腰三角形为轴对称图形，故结论④正确．根据∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，可得结论⑤正确．
【解答】解：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，故结论①正确．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
又∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠ACP＝∠BCQ＝60°，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（AAS），
∴CP＝CQ，
又∵∠PCQ＝60°，
∴△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC＝∠DCE＝60°，
∴PQ∥AE，故结论②正确．
∵CP＝CQ，
∴△PCQ为等腰三角形为轴对称图形，
不能证明△PCD是等腰三角形，故结论④不正确．
∵DC＝DE，∠PCQ＝∠CPQ＝60°，
∴∠DPC＞60°，
∴DP≠DC，
又∵DC＝DE，
∴DP≠DE，故结论③不正确．
∵∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，故结论⑤正确．
综上，可得正确的结论有4个：①②⑤．
故答案为：①②⑤．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（8分）计算：
（1）（x﹣2y）（x+2y）﹣y（x﹣4y）；
（2）|﹣6|+（π﹣3.14）0﹣（）﹣1．
【考点】平方差公式；零指数幂；负整数指数幂；实数的运算；单项式乘多项式．
【专题】实数；整式；运算能力．
【答案】（1）x2﹣xy；
（2）10．
【分析】（1）先计算乘法，再合并同类项即可得答案；
（2）根据绝对值的意义、零指数幂的意义、负整数指数幂的意义解答即可．
【解答】解：（1）原式＝x2﹣4y2﹣xy+4y2
＝x2﹣xy；
（2）原式＝6+1﹣（﹣3）
＝6+1+3
＝10．
【点评】本题主要考查实数的运算和整式的运算，解题的关键是熟练掌握实数的运算和整式的运算的运算法则．
18．（6分）阅读：在计算（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+ +x+1）的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
【观察】①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
……
（1）【归纳】由此可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+ +x+1）＝ xn+1﹣1 ；
（2）【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：22023+22022+22021+ +22+2+1＝ 22024﹣1 ；
（3）计算：220﹣219+218﹣217+ ﹣23+22﹣2+1＝ ；
（4）若x5+x4+x3+x2+x+1＝0，求x2022的值．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】规律型；实数；整式；运算能力．
【答案】（1）xn+1﹣1；
（2）22024﹣1；
（3）；
（4）1．
【分析】（1）根据已知式子的变化规律，可以得到所求式子的结果；
（2）利用（2）中变化规律，将所求式子变形，然后计算即可；
（3）将220﹣219+218﹣217+ ﹣23+22﹣2+1转化为（﹣2）20+（﹣2）19+（﹣2）18+（﹣2）17+ +（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）+1，再利用（1）中变化规律进而得出答案；
（4）利用（1）中变化规律得出x的值，进而得出答案．
【解答】解：（1）①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…；
∴（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+ +x+1）＝xn+1﹣1，
故答案为：xn+1﹣1；
（2）22023+22022+22021+ +22+2+1
＝（2﹣1）（22023+22022+22021+ +22+2+1）
＝22024﹣1，
故答案为：22024﹣1；
（3）220﹣219+218﹣217+ ﹣23+22﹣2+1
＝（﹣2）20+（﹣2）19+（﹣2）18+（﹣2）17+ +（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）+1
；
故答案为：；
（4）∵（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1＝0，
∴x＝±1，
∵x5+x4+x3+x2+x+1＝0，
∴x≠1，x＝﹣1，
∴x2022＝（﹣1）2022＝1．
【点评】此题主要考查平方差公式以及数字变化规律、整式的混合运算，正确得出式子之间的变化规律是解题关键．
19．（6分）现有5根小木棒，长度分别为2、3、4、5、7（单位：cm），从中任意取出3根．列出所选的3根小木棒的所有可能情况，它们发生的可能性相同吗？
【考点】可能性的大小．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】见解析．
【分析】首先根据题意利用列举法，即可求得所选的3根小木棒的所有可能情况．
【解答】解：根据题意可得：所选的3根小木棒的所有可能情况为：（2、3、4），（2、3、5），（2、3、7），（2、4、5），（2、4、7），（2、5、7），（3、4、5），（3、4、7），（3、5、7），（4、5、7）；
它们发生的可能性相同．
【点评】此题考查了可能性的大小，概率公式，此题难度不大，注意要不重不漏的列举出所有的结果，注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（8分）如图，C、E分别在AB、DF上，小华想知道∠ACE和∠DEC是否互补，但是他又没有带量角器，只带了一副三角尺，于是他想了这样一个办法：首先连接CF，再找出CF的中点O，然后连接EO并延长EO和直线AB相交于点B，经过测量，他发现EO＝BO，因此他得出结论：∠ACE和∠DEC互补．请将小华的想法补充完整：
∵CF和BE相交于点O，
∴∠COB＝∠EOF；（ 对顶角相等 ）
而O是CF的中点，那么CO＝FO，又已知EO＝BO，
∴△COB≌△FOE，（ SAS ）
∴BC＝EF，（全等三角形对应边相等）
∴∠BCO＝∠F，（ 全等三角形的对应角相等 ）
∴AB∥DF，（ 内错角相等，两直线平行 ）
∴∠ACE和∠DEC互补．（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力．
【答案】对顶角相等，SAS，全等三角形的对应角相等，内错角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补．
【分析】由“SAS”可证△COB≌△FOE，可得∠BCO＝∠F，可证AB∥DF，可得结论．
【解答】解：∵CF和BE相交于点O，
∴∠COB＝∠EOF；（对顶角相等），
而O是CF的中点，那么CO＝FO，又已知EO＝BO，
∴△COB≌△FOE（SAS），
∴BC＝EF，（全等三角形对应边相等），
∴∠BCO＝∠F，（全等三角形的对应角相等），
∴AB∥DF，（内错角相等，两直线平行），
∴∠ACE和∠DEC互补．（两直线平行，同旁内角互补），
故答案为：对顶角相等，SAS，全等三角形的对应角相等，内错角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
21．（7分）（1）如图，在平面直角坐标系中，画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）如图，在9×6的正方形网格中，线段AB，BC的端点均在格点（每个小正方形的顶点）上，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．
（Ⅰ）在图①中，选取一个格点D，连接AD，BD，CD，使△ABD和△BCD都是直角三角形；
（Ⅱ）在图②中，选取一个格点E，连接AE，BE，CE，使△ABE和△BCE都是以BE为直角边的直角三角形，且其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍．
【考点】作图﹣轴对称变换；勾股定理；勾股定理的逆定理．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）见解答．
（2）（Ⅰ）见解答．
（Ⅱ）见解答．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）（Ⅰ）结合直角三角形的定义作图即可；（Ⅱ）根据直角三角形的定义以及三角形的面积关系作图即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）（Ⅰ）如图①，点D即为所求．
（Ⅱ）如图②，点E即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、勾股定理，熟练掌握轴对称的性质以及勾股定理是解答本题的关键．
22．（8分）如图，在△ABC中，三个内角的角平分线交于点O，OE⊥BC于点E．
（1）求∠ABO+∠BCO+∠CAO的度数；
（2）求证：∠BOD＝∠COE．
【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．
【专题】计算题；证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据角平分线的定义及三角形内角和定理解答即可；
（2）先根据三角形内角与外角的关系求出∠BOD与∠BCO的关系，再根据OE⊥BC解答即可．
【解答】（1）解：∵AD、BM、CN分别是△ABC的三个内角的角平分线，
∴∠ABO∠ABC，∠BCO∠ACB，∠CAO∠CAB．
又∵∠ABC+∠ACB+∠CAB＝180°，
∴∠ABO+∠BCO+∠CAO（∠ABC+∠ACB+∠CAB）180°＝90°；
（2）证明：∵∠BOD＝∠BAO+∠ABO，∠BAO＝∠CAO，
∴∠BOD＝∠CAO+∠ABO（∠BAC+∠ABC）（180°﹣∠ACB）＝90°∠ACB＝90°﹣∠BCO．
又∵OE⊥BC，
∴∠OEC＝90°，
∴∠COE＝90°﹣∠ECO．
∴∠BOD＝∠COE．
【点评】本题考查的知识点为三角形内角和定理、角平分线的性质及直角三角形的性质，有一定的综合性但难度适中．
23．（9分）如图，E，F分别是正方形ABCD的边AB，AD所在直线上的点（不与点A重合），且EC⊥CF，M为BD、EF的交点．
（1）如图（1），求证：BE＝DF；
（2）如图（2），求的值；
（3）如图（3），正方形ABCD的边长为6，P为线段AD上一点，AP＝1，连结PM．记BC边的中点为N，连结MN，若MN，则△PMF的面积为 7 ．（在横线上直接写出答案）
【考点】四边形综合题．
【专题】压轴题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力；应用意识．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）；
（3）7．
【分析】（1）证明△CBE≌△CDF（AAS）即可解决问题；
（2）过M作MH⊥AD于H，连接AC，由∠BAD＝∠ECF＝90°，得A、F、C、E四点共圆，可证BD与EF的交点M即是经过A、F、C、E的圆的圆心，故EM＝FM，MH是△AEF的中位线，即有MHAE，而△MED是等腰直角三角形，得MHMD，即可得；
（3）过点F作FT⊥BC交BC的延长线于T，交BD的延长线于H，连接CH．过点M作MJ⊥AD于J，证明△BME≌△HMF（AAS），推出BM＝MH，由BN＝CN，推出MNCH，可得CH＝2，由四边形CDFT是矩形，推出CT＝DF，CD＝TF＝6，∠DFT＝∠DFH＝90°，设CT＝DF＝x，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBE＝∠BCD＝∠ADC＝∠CDF＝90°，
∵EC⊥CF，
∴∠ECF＝90°，
∵∠BCD＝∠ECF＝90°，
∴∠BCE＝∠DCF，
∵CB＝CD，
∴△CBE≌△CDF（AAS），
∴CE＝CF．
（2）解：过M作MH⊥AD于H，连接AC，如图：
∵∠BAD＝∠ECF＝90°，
∴A、F、C、E四点共圆，
∵四边形ABCD是正方形，
∴直线BD是AC的垂直平分线，即经过A、F、C、E的圆的圆心在直线BD上，
∵∠EAF＝90°，
∴EF是经过A、F、C、E的圆的直径，即经过A、F、C、E的圆的圆心在EF上，
∴BD与EF的交点M即是经过A、F、C、E的圆的圆心，
∴EM＝FM，
∵MH⊥AD，
∴MH∥AE，
∴MH是△AEF的中位线，
∴MHAE，
在Rt△MED中，∠MDH＝45°，
∴△MED是等腰直角三角形，
∴MDMH，即MHMD，
∴AEMD，
∴；
（3）过点F作FT⊥BC交BC的延长线于T，交BD的延长线于H，连接CH．过点M作MJ⊥AD于J，如图：
∵∠BCD＝∠T＝90°，
∴TH∥CD∥AB，
∴∠MBE＝∠MHF，
同（2）可证ME＝MF，
又∠BME＝∠FMH，
∴△BME≌△HMF（AAS），
∴BM＝MH，
∵BN＝CN，
∴MNCH，
∵MN，
∴CH＝2，
∵∠T＝∠TCD＝∠CDF＝90°，
∴四边形CDFT是矩形，
∴CT＝DF，CD＝TF＝6，∠DFT＝∠DFH＝90°，
设CT＝DF＝x，
∵∠HDF＝∠ADB＝45°，∠DFH＝90°，
∴DF＝FH＝x，
在Rt△CTH中，CH2＝CT2+TH2，
∴（2）2＝x2+（x+6）2，
∴x＝2或﹣8（舍弃），
∵AP＝1，由（1）知BE＝DF，
∴BE＝DF＝2，PF＝AD﹣AP+DF＝6﹣1+2＝7，AE＝AB﹣BE＝4，
∵MJ⊥AD，
∴∠MJD＝∠A＝90°，
∴MJ∥AE，
∵EM＝MF，
∴AJ＝JF，
∴MJAE＝2，
∴S△PMF PF MJ7×2＝7．
故答案为7．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
考点卡片
1．科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值
|x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1
|x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）
2．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
3．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
4．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
5．单项式乘多项式
（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：
①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．
6．完全平方公式的几何背景
（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形
（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
7．完全平方式
完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式．
a2±2ab+b2＝（a±b）2
完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”
8．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
9．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
10．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
11．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
12．函数关系式
用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
注意：
①函数解析式是等式．
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数．
13．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
14．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
15．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
16．同位角、内错角、同旁内角
（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
17．平行公理及推论
（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．
（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．
18．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
19．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
20．全等图形
（1）全等形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形．
（2）全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（3）三角形全等的符号
“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．
（4）对应顶点、对应边、对应角
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．
21．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
22．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
23．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
24．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
25．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
26．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
27．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
28．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
29．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
30．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
31．随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
32．可能性的大小
随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：
（1）理论计算又分为如下两种情况：
第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．
（2）实验估算又分为如下两种情况：
第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．
第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．
33．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
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