2024—2025学年上学期深圳初中数学九年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期深圳初中数学九年级开学模拟试卷3（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 384.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-05 15:07:22 | ||
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文档简介
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2024—2025学年上学期深圳初中数学九年级开学模拟试卷3
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．多项式x2m﹣xm提取公因式xm后，另一个因式是（ ）
A．x2﹣1 B．xm﹣1 C．xm D．x2m﹣1
2．如图，物业公司计划在小区内修建一个电动车充电桩，要求到A，B，C三个出口的距离都相等，则充电桩应建在（ ）
A．△ABC的三条高的交点处
B．△ABC的三条角平分线的交点处
C．△ABC的三条中线的交点处
D．△ABC的三条边的垂直平分线的交点处
3．方程x2﹣2x+1＝0的解是（ ）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝﹣1
C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝﹣1
4．某地通信公司调低了长途电话的收费标准，每分钟费用降低了25%，因此按原收费标准6元的通话时间，在新标准下可多通话5分钟．问前后两种收费标准每分钟收费各是多少元？如果设原收费标准每分钟收x元，则可列方程（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E，若BF：FD＝3：1，BC＝10，则CE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD中点，连接OE，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．AB＝AD B．OEAB C．∠DOE＝∠EOC D．∠EOD＝∠EDO
7．如图，已知△ABC的周长是16，AM，BM和CM分别平分∠BAC，∠ABC和∠ACB，过点M作BC的垂线交BC于点D，且MD＝4，则△ABC的面积是（ ）
A．32 B．42 C．48 D．64
8．某数学兴趣小组准备了4张卡片，正面依次书写“备”“战”“中”“考”，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面汉字恰能组成“备考”的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在正方形ABCD中，AB＝2．若以CD边为底边向其形外作等腰直角△DCE，连接BE，则BE的长为（ ）
A． B．2 C． D．2
10．在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（ ）
A．10 B． C．10或 D．10或
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．某工厂生产电子芯片，质检部门对同一批产品进行随机抽样检测，检测结果统计如表：由此估计，从这批芯片中取10000枚芯片，约有 个合格品．
抽查数n 1000 2000 3000 4000 5000
合格品数m 957 1926 2868 3844 4810
合格品频率 0.957 0.963 0.956 0.961 0.962
12．若m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的解，则代数式4m﹣2m2+2的值是 ．
13．已知a+b＝2，则a2﹣b2+2a+6b+2的值为 ．
14．某市政府去年投入3亿元用于保障性住房建设，并规划投入资金逐年增加，明年将投入12亿元用于保障性住房建设．这两年中投入资金的年平均增长率是 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，将纸片沿过点C的直线翻折，使点B恰好落在x轴上的点B′处，折痕交AB于点D．若OC＝9，，则折痕CD所在直线的解析式为 ．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（5分）先化简：（a），然后给a选择一个你喜欢的数代入求值．
17．（9分）用适当的方法解方程：
（1）（x﹣3）2﹣9＝0；
（2）x2﹣2x﹣5＝0；
（3）x2﹣6x﹣27＝0；
（4）（x﹣3）2+4k（x﹣3）＝0．
18．（6分）在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（1，2）．是否在坐标轴上存在一点P，使得△PAB为直角三角形，求出P点坐标．
19．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为t s．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
20．（8分）关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，求：
（1）求a的范围；
（2）设x1，x2为方程的两个根，且xx2+x4，求a的值？
21．（9分）某商店销售某种品牌的蜂蜜，购进时的价格是30元/千克．根据市场调查：在一段时间内，销售单价x（元/千克）与销售量y（千克）之间满足的关系如图所示．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）要使该商店销售这种蜂蜜获得11250元的销售利润且让利于顾客，则该蜂蜜的销售单价应定为多少元？
22．（10分）已知，如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝3，CD＝2，AD＝5，P从D出发沿射线DA运动，且P的速度为每秒1个单位长度，设P的运动时间为t，△PBC的面积为S．
（1）写出当0≤t≤5时，S与t的函数关系式．
（2）是否存在时刻t使△PBC的周长最小？若存在，在图中画出P的位置（只需标明数量关系，不要求证明），并求出t取何值时，△PBC的周长最小；若不存在，请说明理由．
（3）当t为何值时，△PBC为直角三角形，请写出推理过程（利用图2解题）．
2024—2025学年上学期深圳初中数学九年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．多项式x2m﹣xm提取公因式xm后，另一个因式是（ ）
A．x2﹣1 B．xm﹣1 C．xm D．x2m﹣1
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【专题】常规题型．
【答案】B
【分析】直接提取公因式xm，进而得出答案．
【解答】解：∵x2m﹣xm
＝xm（xm﹣1），
故选：B．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确利用同底数幂的除法运算法则是解题关键．
2．如图，物业公司计划在小区内修建一个电动车充电桩，要求到A，B，C三个出口的距离都相等，则充电桩应建在（ ）
A．△ABC的三条高的交点处
B．△ABC的三条角平分线的交点处
C．△ABC的三条中线的交点处
D．△ABC的三条边的垂直平分线的交点处
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线的性质可进行求解．
【解答】解：由题意可知：当充电桩到A，B，C三个出口的距离都相等时，
则充电桩应建在△ABC的三条边的垂直平分线的交点处；
故选：D．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
3．方程x2﹣2x+1＝0的解是（ ）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝﹣1
C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝﹣1
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【答案】A
【分析】方程利用完全平方公式变形，开方即可求出解．
【解答】解：方程整理得：（x﹣1）2＝0，
开方得：x﹣1＝0，
解得：x1＝x2＝1，
故选：A．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．某地通信公司调低了长途电话的收费标准，每分钟费用降低了25%，因此按原收费标准6元的通话时间，在新标准下可多通话5分钟．问前后两种收费标准每分钟收费各是多少元？如果设原收费标准每分钟收x元，则可列方程（ ）
A． B． C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】根据原收费标准与现收费标准间的关系，可得出现收费标准每分钟收（1﹣25%）x元，根据“按原收费标准6元的通话时间，在新标准下可多通话5分钟”，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵该地通信公司调低了长途电话的收费标准，每分钟费用降低了25%，且原收费标准每分钟收x元，
∴现收费标准每分钟收（1﹣25%）x元．
根据题意得：5，
即5．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
5．如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E，若BF：FD＝3：1，BC＝10，则CE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】B
【分析】过点D作DH∥AE，交BC于H，根据平行线分线段成比例定理得到，计算即可．
【解答】解：过点D作DH∥AE，交BC于H，
则1，3，
∴，
∵BC＝10，
∴CE＝4，
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD中点，连接OE，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．AB＝AD B．OEAB C．∠DOE＝∠EOC D．∠EOD＝∠EDO
【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】C
【分析】由菱形的性质可得AB＝AD＝CD，AC⊥BD，由直角三角形的性质可得OE＝DE＝CECDAB，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD，AC⊥BD，BO＝DO，故选项A不合题意，
∵点E是CD的中点，
∴OE＝DE＝CECDAB，故选项B不合题意；
∴∠EOD＝∠EDO，故选项D不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
7．如图，已知△ABC的周长是16，AM，BM和CM分别平分∠BAC，∠ABC和∠ACB，过点M作BC的垂线交BC于点D，且MD＝4，则△ABC的面积是（ ）
A．32 B．42 C．48 D．64
【考点】角平分线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】过M作ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，根据角平分线的性质得出ME＝MD＝MF＝4，根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：如图，过M作ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，
∵MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，MD⊥BC，MD＝4，
∴ME＝MD＝4，MF＝MD＝4，
∵△ABC的周长是16，
∴AB+BC+AC＝16，
∴△ABC的面积S＝S△AMC+S△BCM+S△ABM
AC×MFBC×DMAB×ME
AC×4BC×4AB×4
＝2（AC+BC+AB）
＝2×16
＝32，
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质求出DM＝ME＝ME＝4是解此题的关键．
8．某数学兴趣小组准备了4张卡片，正面依次书写“备”“战”“中”“考”，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面汉字恰能组成“备考”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】A
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：
备 战 中 考
备 战备 中备 考备
战 备战 中战 考战
中 备中 战中 考中
考 备考 战考 中考
由表知，共有12种等可能结果，其中这两张卡片的正面汉字恰能组成“备考”的有2种结果，
所以这两张卡片的正面汉字恰能组成“备考”的概率为，
故选：A．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
9．如图，在正方形ABCD中，AB＝2．若以CD边为底边向其形外作等腰直角△DCE，连接BE，则BE的长为（ ）
A． B．2 C． D．2
【考点】正方形的性质；等腰直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】C
【分析】作EF⊥BC于F，如图，根据等腰直角三角形的性质可得DE＝CE，再利用正方形的性质得CB＝CD＝2，进而利用勾股定理解答即可．
【解答】解：如图，过点E作EF⊥BC于F，
∵在正方形ABCD中，AB＝2．若以CD边为底边向其形外作等腰直角△DCE，
∴CE＝DE，∠DCE＝45°，
∴∠ECF＝45°，
∴CF＝EF1，
∴BF＝BC+CF＝3，
∴BE，
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
10．在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（ ）
A．10 B． C．10或 D．10或
【考点】图形的剪拼；直角三角形的性质；勾股定理．
【专题】压轴题．
【答案】C
【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理求出斜边上的中线，最后即可求出斜边的长．
【解答】解：①如图：
因为CD2，
点D是斜边AB的中点，
所以AB＝2CD＝4，
②如图：
因为CE5，
点E是斜边AB的中点，
所以AB＝2CE＝10，
原直角三角形纸片的斜边长是10或，
故选：C．
【点评】此题考查了图形的剪拼，解题的关键是能够根据题意画出图形，在解题时要注意分两种情况画图，不要漏解．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．某工厂生产电子芯片，质检部门对同一批产品进行随机抽样检测，检测结果统计如表：由此估计，从这批芯片中取10000枚芯片，约有 9600 个合格品．
抽查数n 1000 2000 3000 4000 5000
合格品数m 957 1926 2868 3844 4810
合格品频率 0.957 0.963 0.956 0.961 0.962
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】9600．
【分析】总数量乘以电子芯片合格的概率估计值即可得出答案．
【解答】解：由此估计，从这批芯片中任取一枚芯片是合格品的概率约为0.96，
所以从这批芯片中取10000枚芯片，约有9600个合格品．
故答案为：9600．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
12．若m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的解，则代数式4m﹣2m2+2的值是 ﹣4 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】计算题；整体思想；整式；一元二次方程及应用；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先由方程的解的含义，得出m2﹣2m﹣3＝0，变形得m2﹣2m＝3，再将要求的代数式提取公因式﹣2，然后将m2﹣2m＝3代入，计算即可．
【解答】解：∵m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的解，
∴m2﹣2m﹣3＝0，
∴m2﹣2m＝3，
∴4m﹣2m2+2
＝﹣2（m2﹣2m）+2
＝﹣2×3+2
＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了利用一元二次方程的解的含义在代数式求值中的应用，明确一元二次方程的解的含义并将要求的代数式正确变形是解题的关键．
13．已知a+b＝2，则a2﹣b2+2a+6b+2的值为 10 ．
【考点】因式分解的应用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据a+b的值，对题目中所求式子进行变形即可解答本题．
【解答】解：∵a+b＝2，
∴a2﹣b2+2a+6b+2
＝（a+b）（a﹣b）+2a+6b+2
＝2（a﹣b）+2a+6b+2
＝2a﹣2b+2a+6b+2
＝4a+4b+2
＝4（a+b）+2
＝4×2+2
＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查平方差公式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用分解因式的方法解答．
14．某市政府去年投入3亿元用于保障性住房建设，并规划投入资金逐年增加，明年将投入12亿元用于保障性住房建设．这两年中投入资金的年平均增长率是 100% ．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），今年年要投入资金是3（1+x）万元，在今年的基础上再增长x，就是明年的资金投入3（1+x）（1+x），由此可列出方程3（1+x）2＝12，求解即可．
【解答】解：设这两年中投入资金的平均年增长率是x，由题意得：
3（1+x）2＝12，
解得：x1＝1 x2＝﹣3（不合题意舍去）．
答：这两年中投入资金的平均年增长率约是100%．
故答案为：100%．
【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数＝增长后的量．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，将纸片沿过点C的直线翻折，使点B恰好落在x轴上的点B′处，折痕交AB于点D．若OC＝9，，则折痕CD所在直线的解析式为 yx+9 ．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；矩形的性质；坐标与图形变化﹣对称；翻折变换（折叠问题）．
【专题】一次函数及其应用；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】yx+9．
【分析】由题意求得AB＝OC＝9，OA＝BC＝15，∠COA＝∠OAB＝90°，C（0，9），根据折叠的性质得出B′C＝BC＝15，B′D＝BD，利用勾股定理求得OB′＝12，则AB′＝3，设AD＝m，则B′D＝BD＝9﹣m，利用勾股定理得到m2+32＝（9﹣m）2，解得m＝4，求得D（15，4），然后利用待定系数法即可求得直线CD的解析式．
【解答】解：∵OC＝9，，
∴BC＝15，
∵四边形OABC是矩形，
∴AB＝OC＝9，OA＝BC＝15，∠COA＝∠OAB＝90°，
∴C（0，9），
∵将纸片沿过点C的直线翻折，使点B恰好落在x轴上的点B′处，折痕交AB于点D，
∴B′C＝BC＝15，B′D＝BD，
在Rt△COB′中，OB′12，
∴AB′＝15﹣12＝3，
设AD＝m，则B′D＝BD＝9﹣m，
Rt△AB′D中，AD2+B′A2＝B′D2，
即m2+32＝（9﹣m）2，
解得m＝4，
∴D（15，4），
设CD所在直线解析式为y＝kx+b，
把C、D两点坐标分别代入得：，
解得：，
∴CD所在直线解析式为yx+9，
故答案为：yx+9．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，矩形的性质，坐标与图象变化﹣对称，折叠的性质，勾股定理的应用，求得C、D的坐标是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（5分）先化简：（a），然后给a选择一个你喜欢的数代入求值．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；符号意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则化简得出答案．
【解答】解：原式
＝a﹣1，
当a＝3时，原式＝2．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．
17．（9分）用适当的方法解方程：
（1）（x﹣3）2﹣9＝0；
（2）x2﹣2x﹣5＝0；
（3）x2﹣6x﹣27＝0；
（4）（x﹣3）2+4k（x﹣3）＝0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣直接开平方法；解一元二次方程﹣配方法；解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝0，x2＝6；
（2）x1＝1，x2＝1；
（3）x1＝9，x2＝﹣3；
（4）x1＝3，x2＝3﹣4k．
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用配方法解方程；
（3）利用因式分解法解方程；
（4）利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）（x﹣3+3）（x﹣3﹣3）＝0，
x﹣3+3＝0或x﹣3﹣3＝0，
所以x1＝0，x2＝6；
（2）x2﹣2x＝5，
x2﹣2x+1＝6，
（x﹣1）2＝6，
x﹣1＝±，
所以x1＝1，x2＝1；
（3）（x﹣9）（x+3）＝0，
x﹣9＝0或x+3＝0，
所以x1＝9，x2＝﹣3；
（4）（x﹣3）（x﹣3+4k）＝0，
x﹣3＝0或x﹣3+4k＝0，
所以x1＝3，x2＝3﹣4k．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
18．（6分）在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（1，2）．是否在坐标轴上存在一点P，使得△PAB为直角三角形，求出P点坐标．
【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理；坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】分三种情形：点A为直角顶点，点B为直角顶点，点P直角顶点，画出图形求解即可．
【解答】解：如图，
（1）∠BAP＝90°，易得P1（0，﹣1）．
（2）∠ABP＝90°，易得P2（3，0），P3（0，3）．
（3）∠BPA＝90°，以AB为直径画⊙O′与x轴，y轴分别交于P4、P5、P6，
可得P4（1，0），P5（0，1），P6（0，1）．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理和坐标与图形性质的理解和掌握，此题有一定的拔高难度，属于中档题．
19．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为t s．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
【考点】矩形的判定与性质；菱形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，据此求得t的值；
（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ＝CQ，列方程求得运动的时间t；
（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长＝4×10，根据菱形的面积求出面积即可．
【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，
∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，
由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，
在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，
当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t＝16﹣t，得t＝8，
故当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；
（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，
∴四边形AQCP为平行四边形，
∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形
即16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，
故当t＝6s时，四边形AQCP为菱形；
（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，
则周长为4×10cm＝40cm；
面积为10cm×8cm＝80cm2．
【点评】本题考查了菱形、矩形的判定与性质．解决此题注意结合方程的思想解题．
20．（8分）关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，求：
（1）求a的范围；
（2）设x1，x2为方程的两个根，且xx2+x4，求a的值？
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）a且a≠﹣2；
（2）﹣2或﹣2．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到a+2≠0且Δ＝（﹣3）2﹣4×（a+2）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2，x1x2，再利用xx2+x4得到 4，然后解关于a的方程即可．
【解答】解：（1）根据题意得a+2≠0且Δ＝（﹣3）2﹣4×（a+2）≥0，
解得a且a≠﹣2，
即a的取值范围为a且a≠﹣2；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2，x1x2，
∵xx2+x4，
∴x1x2（x1+x2）＝4，
∴ 4，
整理得（a+2）2，
解得a1＝﹣2，a2＝﹣2，
经检验，a1＝﹣2，a2＝﹣2都是原方程的解，
即a的值为﹣2或﹣2．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．
21．（9分）某商店销售某种品牌的蜂蜜，购进时的价格是30元/千克．根据市场调查：在一段时间内，销售单价x（元/千克）与销售量y（千克）之间满足的关系如图所示．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）要使该商店销售这种蜂蜜获得11250元的销售利润且让利于顾客，则该蜂蜜的销售单价应定为多少元？
【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用．
【专题】一元二次方程及应用；一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）y＝﹣10x+1000（30≤x≤100）；
（2）销售单价应定为每千克40元．
【分析】（1）观察函数图象，找出点的坐标，再利用待定系数法即可求出y与x的函数解析式；
（2）利用总利润＝每千克的销售利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
将（60，400），（50，500）代入y＝kx+b，
得：，
解得：，
∴y与x的函数解析式为y＝﹣10x+1000（30≤x≤100）；
（2）依题意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）＝11250，
整理得：x2﹣130x+3600＝0，
解得：x1＝40，x2＝90（不符合题意，舍去）．
答：销售单价应定为每千克40元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据图中点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
22．（10分）已知，如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝3，CD＝2，AD＝5，P从D出发沿射线DA运动，且P的速度为每秒1个单位长度，设P的运动时间为t，△PBC的面积为S．
（1）写出当0≤t≤5时，S与t的函数关系式．
（2）是否存在时刻t使△PBC的周长最小？若存在，在图中画出P的位置（只需标明数量关系，不要求证明），并求出t取何值时，△PBC的周长最小；若不存在，请说明理由．
（3）当t为何值时，△PBC为直角三角形，请写出推理过程（利用图2解题）．
【考点】相似形综合题；直角梯形；轴对称﹣最短路线问题；相似三角形的判定与性质．
【专题】代数几何综合题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）分别求出△ABP、△CDP、梯形ABCD的面积，再根据图形得出S＝S梯形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP代入求出即可；
（2）要使△PBC的周长最小，因为BC的值确定，只要PC+PB最小即可，作B关于AD的对称点E，连接CE交AD于P，则此时△PBC的周长最小，根据三角形相似得出比例式，代入即可求出t的值；
（3）先求出BC长，分为三种情况，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【解答】
（1）解：S＝S梯形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP，
（AB+CD）×ADAB×APCD×DP，
（3+2）×53×（5﹣t）2×t，
t+5，
即当0≤t≤5时，S与t的函数关系式是st+5．
（2）解：存在时刻t使△PBC的周长最小，如图2所示：
作B关于AD的对称点E，连接CE交AD于P，此时△PBC的周长最小，即存在时刻t使△PBC的周长最小，
∵AB∥CD，
∴△CDP∽△EAP，
∴，
∴，
解得：t＝2，
即当t＝2时，△PBC的周长最小．
（3）解：过C作CM⊥AB于M，
∵∠A＝90°，AB∥CD，
∴∠BMC＝90°，∠A＝∠D＝∠AMC＝90°，
∴四边形AMCD是矩形，
∴DC＝AM＝2，AD＝CM＝5，BM＝3﹣2＝1，
在Rt△BMC中，由勾股定理得：BC，
有三种情况：
①∠BPC＝90°时，
∵∠BPC＝∠BAD＝∠CDA＝90°，
∴∠ABP+∠APB＝90°，∠APB+∠DPC＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABP＝∠DPC，
∵∠BAD＝∠CDA，
∴△ABP∽△DPC，
∴，
∴，
解得：t1＝2，t2＝3；
②当∠PCB＝90°时，如图3，
∵DP2+DC2＝PC2，PC2+BC2＝BP2＝AB2+AP2，
∴t2+22+（）2＝32+（5﹣t）2，
解得：t＝0.4；
③当∠PBC＝90°时，如图6，
由勾股定理得：BP2+BC2＝PC2＝DP2+DC2，
所以[32+（t﹣5）2]+（）2＝t2+22，
解得：t＝5.6；
答：当t是2或3或0.4或5.6时，△PBC是直角三角形．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，梯形性质，三角形的面积，最短路线问题的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
考点卡片
1．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
2．因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
3．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
4．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
5．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
6．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
7．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
8．解一元二次方程-公式法
（1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
9．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
10．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
11．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
12．由实际问题抽象出分式方程
由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．
（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．
13．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
14．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
15．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
16．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
17．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
18．直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
19．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
20．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
21．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
22．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R1，所以r：R＝1：1．
23．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
24．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度）
25．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
26．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
27．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
28．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
29．直角梯形
直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
边：有一条腰与底边垂直，另一条腰不垂直．
角：有两个内角是直角．
过不是直角的一个顶点作梯形的高，则把直角梯形分割成一个矩形和直角三角形．这是常用的一种作辅助线的方法．
30．坐标与图形变化-对称
（1）关于x轴对称
横坐标相等，纵坐标互为相反数．
（2）关于y轴对称
纵坐标相等，横坐标互为相反数．
（3）关于直线对称
①关于直线x＝m对称，P（a，b） P（2m﹣a，b）
②关于直线y＝n对称，P（a，b） P（a，2n﹣b）
31．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
32．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
33．图形的剪拼
平面构成设计的基础知识，图形拼摆使学生初步理解基本形图形拼摆的概念、构成，以及基本形在平面构成设计中的意义．运用形象与空间关系的规律，设计出新颖的图形拼摆图案．2．学习用分割、组合的方法获得基本形，在教师指导下进行巧妙组合、色彩搭配，图形拼摆完成简单的平面构成设计．培养、锻炼学生的组合造型能力和空间想象能力，发展抽象思维．3．通过动手拼摆、操作，使学生初步了解分解构成的原理，增强设计意识，并在小组活动中培养学生的操作、观察、表达及思维能力，培养探索意识和合作精神．
34．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
35．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
36．相似形综合题
主要考查相似三角形的判定与性质，其中穿插全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，难度大．
37．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
38．利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
2024—2025学年上学期深圳初中数学九年级开学模拟试卷3
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．多项式x2m﹣xm提取公因式xm后，另一个因式是（ ）
A．x2﹣1 B．xm﹣1 C．xm D．x2m﹣1
2．如图，物业公司计划在小区内修建一个电动车充电桩，要求到A，B，C三个出口的距离都相等，则充电桩应建在（ ）
A．△ABC的三条高的交点处
B．△ABC的三条角平分线的交点处
C．△ABC的三条中线的交点处
D．△ABC的三条边的垂直平分线的交点处
3．方程x2﹣2x+1＝0的解是（ ）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝﹣1
C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝﹣1
4．某地通信公司调低了长途电话的收费标准，每分钟费用降低了25%，因此按原收费标准6元的通话时间，在新标准下可多通话5分钟．问前后两种收费标准每分钟收费各是多少元？如果设原收费标准每分钟收x元，则可列方程（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E，若BF：FD＝3：1，BC＝10，则CE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD中点，连接OE，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．AB＝AD B．OEAB C．∠DOE＝∠EOC D．∠EOD＝∠EDO
7．如图，已知△ABC的周长是16，AM，BM和CM分别平分∠BAC，∠ABC和∠ACB，过点M作BC的垂线交BC于点D，且MD＝4，则△ABC的面积是（ ）
A．32 B．42 C．48 D．64
8．某数学兴趣小组准备了4张卡片，正面依次书写“备”“战”“中”“考”，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面汉字恰能组成“备考”的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在正方形ABCD中，AB＝2．若以CD边为底边向其形外作等腰直角△DCE，连接BE，则BE的长为（ ）
A． B．2 C． D．2
10．在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（ ）
A．10 B． C．10或 D．10或
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．某工厂生产电子芯片，质检部门对同一批产品进行随机抽样检测，检测结果统计如表：由此估计，从这批芯片中取10000枚芯片，约有 个合格品．
抽查数n 1000 2000 3000 4000 5000
合格品数m 957 1926 2868 3844 4810
合格品频率 0.957 0.963 0.956 0.961 0.962
12．若m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的解，则代数式4m﹣2m2+2的值是 ．
13．已知a+b＝2，则a2﹣b2+2a+6b+2的值为 ．
14．某市政府去年投入3亿元用于保障性住房建设，并规划投入资金逐年增加，明年将投入12亿元用于保障性住房建设．这两年中投入资金的年平均增长率是 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，将纸片沿过点C的直线翻折，使点B恰好落在x轴上的点B′处，折痕交AB于点D．若OC＝9，，则折痕CD所在直线的解析式为 ．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（5分）先化简：（a），然后给a选择一个你喜欢的数代入求值．
17．（9分）用适当的方法解方程：
（1）（x﹣3）2﹣9＝0；
（2）x2﹣2x﹣5＝0；
（3）x2﹣6x﹣27＝0；
（4）（x﹣3）2+4k（x﹣3）＝0．
18．（6分）在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（1，2）．是否在坐标轴上存在一点P，使得△PAB为直角三角形，求出P点坐标．
19．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为t s．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
20．（8分）关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，求：
（1）求a的范围；
（2）设x1，x2为方程的两个根，且xx2+x4，求a的值？
21．（9分）某商店销售某种品牌的蜂蜜，购进时的价格是30元/千克．根据市场调查：在一段时间内，销售单价x（元/千克）与销售量y（千克）之间满足的关系如图所示．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）要使该商店销售这种蜂蜜获得11250元的销售利润且让利于顾客，则该蜂蜜的销售单价应定为多少元？
22．（10分）已知，如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝3，CD＝2，AD＝5，P从D出发沿射线DA运动，且P的速度为每秒1个单位长度，设P的运动时间为t，△PBC的面积为S．
（1）写出当0≤t≤5时，S与t的函数关系式．
（2）是否存在时刻t使△PBC的周长最小？若存在，在图中画出P的位置（只需标明数量关系，不要求证明），并求出t取何值时，△PBC的周长最小；若不存在，请说明理由．
（3）当t为何值时，△PBC为直角三角形，请写出推理过程（利用图2解题）．
2024—2025学年上学期深圳初中数学九年级开学模拟试卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．多项式x2m﹣xm提取公因式xm后，另一个因式是（ ）
A．x2﹣1 B．xm﹣1 C．xm D．x2m﹣1
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【专题】常规题型．
【答案】B
【分析】直接提取公因式xm，进而得出答案．
【解答】解：∵x2m﹣xm
＝xm（xm﹣1），
故选：B．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确利用同底数幂的除法运算法则是解题关键．
2．如图，物业公司计划在小区内修建一个电动车充电桩，要求到A，B，C三个出口的距离都相等，则充电桩应建在（ ）
A．△ABC的三条高的交点处
B．△ABC的三条角平分线的交点处
C．△ABC的三条中线的交点处
D．△ABC的三条边的垂直平分线的交点处
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线的性质可进行求解．
【解答】解：由题意可知：当充电桩到A，B，C三个出口的距离都相等时，
则充电桩应建在△ABC的三条边的垂直平分线的交点处；
故选：D．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
3．方程x2﹣2x+1＝0的解是（ ）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝﹣1
C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝﹣1
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【答案】A
【分析】方程利用完全平方公式变形，开方即可求出解．
【解答】解：方程整理得：（x﹣1）2＝0，
开方得：x﹣1＝0，
解得：x1＝x2＝1，
故选：A．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．某地通信公司调低了长途电话的收费标准，每分钟费用降低了25%，因此按原收费标准6元的通话时间，在新标准下可多通话5分钟．问前后两种收费标准每分钟收费各是多少元？如果设原收费标准每分钟收x元，则可列方程（ ）
A． B． C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】根据原收费标准与现收费标准间的关系，可得出现收费标准每分钟收（1﹣25%）x元，根据“按原收费标准6元的通话时间，在新标准下可多通话5分钟”，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵该地通信公司调低了长途电话的收费标准，每分钟费用降低了25%，且原收费标准每分钟收x元，
∴现收费标准每分钟收（1﹣25%）x元．
根据题意得：5，
即5．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
5．如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E，若BF：FD＝3：1，BC＝10，则CE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】B
【分析】过点D作DH∥AE，交BC于H，根据平行线分线段成比例定理得到，计算即可．
【解答】解：过点D作DH∥AE，交BC于H，
则1，3，
∴，
∵BC＝10，
∴CE＝4，
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD中点，连接OE，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．AB＝AD B．OEAB C．∠DOE＝∠EOC D．∠EOD＝∠EDO
【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】C
【分析】由菱形的性质可得AB＝AD＝CD，AC⊥BD，由直角三角形的性质可得OE＝DE＝CECDAB，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD，AC⊥BD，BO＝DO，故选项A不合题意，
∵点E是CD的中点，
∴OE＝DE＝CECDAB，故选项B不合题意；
∴∠EOD＝∠EDO，故选项D不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
7．如图，已知△ABC的周长是16，AM，BM和CM分别平分∠BAC，∠ABC和∠ACB，过点M作BC的垂线交BC于点D，且MD＝4，则△ABC的面积是（ ）
A．32 B．42 C．48 D．64
【考点】角平分线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】过M作ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，根据角平分线的性质得出ME＝MD＝MF＝4，根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：如图，过M作ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，
∵MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，MD⊥BC，MD＝4，
∴ME＝MD＝4，MF＝MD＝4，
∵△ABC的周长是16，
∴AB+BC+AC＝16，
∴△ABC的面积S＝S△AMC+S△BCM+S△ABM
AC×MFBC×DMAB×ME
AC×4BC×4AB×4
＝2（AC+BC+AB）
＝2×16
＝32，
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质求出DM＝ME＝ME＝4是解此题的关键．
8．某数学兴趣小组准备了4张卡片，正面依次书写“备”“战”“中”“考”，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面汉字恰能组成“备考”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】A
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：
备 战 中 考
备 战备 中备 考备
战 备战 中战 考战
中 备中 战中 考中
考 备考 战考 中考
由表知，共有12种等可能结果，其中这两张卡片的正面汉字恰能组成“备考”的有2种结果，
所以这两张卡片的正面汉字恰能组成“备考”的概率为，
故选：A．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
9．如图，在正方形ABCD中，AB＝2．若以CD边为底边向其形外作等腰直角△DCE，连接BE，则BE的长为（ ）
A． B．2 C． D．2
【考点】正方形的性质；等腰直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】C
【分析】作EF⊥BC于F，如图，根据等腰直角三角形的性质可得DE＝CE，再利用正方形的性质得CB＝CD＝2，进而利用勾股定理解答即可．
【解答】解：如图，过点E作EF⊥BC于F，
∵在正方形ABCD中，AB＝2．若以CD边为底边向其形外作等腰直角△DCE，
∴CE＝DE，∠DCE＝45°，
∴∠ECF＝45°，
∴CF＝EF1，
∴BF＝BC+CF＝3，
∴BE，
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
10．在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（ ）
A．10 B． C．10或 D．10或
【考点】图形的剪拼；直角三角形的性质；勾股定理．
【专题】压轴题．
【答案】C
【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理求出斜边上的中线，最后即可求出斜边的长．
【解答】解：①如图：
因为CD2，
点D是斜边AB的中点，
所以AB＝2CD＝4，
②如图：
因为CE5，
点E是斜边AB的中点，
所以AB＝2CE＝10，
原直角三角形纸片的斜边长是10或，
故选：C．
【点评】此题考查了图形的剪拼，解题的关键是能够根据题意画出图形，在解题时要注意分两种情况画图，不要漏解．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．某工厂生产电子芯片，质检部门对同一批产品进行随机抽样检测，检测结果统计如表：由此估计，从这批芯片中取10000枚芯片，约有 9600 个合格品．
抽查数n 1000 2000 3000 4000 5000
合格品数m 957 1926 2868 3844 4810
合格品频率 0.957 0.963 0.956 0.961 0.962
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】9600．
【分析】总数量乘以电子芯片合格的概率估计值即可得出答案．
【解答】解：由此估计，从这批芯片中任取一枚芯片是合格品的概率约为0.96，
所以从这批芯片中取10000枚芯片，约有9600个合格品．
故答案为：9600．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
12．若m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的解，则代数式4m﹣2m2+2的值是 ﹣4 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】计算题；整体思想；整式；一元二次方程及应用；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先由方程的解的含义，得出m2﹣2m﹣3＝0，变形得m2﹣2m＝3，再将要求的代数式提取公因式﹣2，然后将m2﹣2m＝3代入，计算即可．
【解答】解：∵m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的解，
∴m2﹣2m﹣3＝0，
∴m2﹣2m＝3，
∴4m﹣2m2+2
＝﹣2（m2﹣2m）+2
＝﹣2×3+2
＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了利用一元二次方程的解的含义在代数式求值中的应用，明确一元二次方程的解的含义并将要求的代数式正确变形是解题的关键．
13．已知a+b＝2，则a2﹣b2+2a+6b+2的值为 10 ．
【考点】因式分解的应用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据a+b的值，对题目中所求式子进行变形即可解答本题．
【解答】解：∵a+b＝2，
∴a2﹣b2+2a+6b+2
＝（a+b）（a﹣b）+2a+6b+2
＝2（a﹣b）+2a+6b+2
＝2a﹣2b+2a+6b+2
＝4a+4b+2
＝4（a+b）+2
＝4×2+2
＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查平方差公式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用分解因式的方法解答．
14．某市政府去年投入3亿元用于保障性住房建设，并规划投入资金逐年增加，明年将投入12亿元用于保障性住房建设．这两年中投入资金的年平均增长率是 100% ．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），今年年要投入资金是3（1+x）万元，在今年的基础上再增长x，就是明年的资金投入3（1+x）（1+x），由此可列出方程3（1+x）2＝12，求解即可．
【解答】解：设这两年中投入资金的平均年增长率是x，由题意得：
3（1+x）2＝12，
解得：x1＝1 x2＝﹣3（不合题意舍去）．
答：这两年中投入资金的平均年增长率约是100%．
故答案为：100%．
【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数＝增长后的量．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，将纸片沿过点C的直线翻折，使点B恰好落在x轴上的点B′处，折痕交AB于点D．若OC＝9，，则折痕CD所在直线的解析式为 yx+9 ．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；矩形的性质；坐标与图形变化﹣对称；翻折变换（折叠问题）．
【专题】一次函数及其应用；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】yx+9．
【分析】由题意求得AB＝OC＝9，OA＝BC＝15，∠COA＝∠OAB＝90°，C（0，9），根据折叠的性质得出B′C＝BC＝15，B′D＝BD，利用勾股定理求得OB′＝12，则AB′＝3，设AD＝m，则B′D＝BD＝9﹣m，利用勾股定理得到m2+32＝（9﹣m）2，解得m＝4，求得D（15，4），然后利用待定系数法即可求得直线CD的解析式．
【解答】解：∵OC＝9，，
∴BC＝15，
∵四边形OABC是矩形，
∴AB＝OC＝9，OA＝BC＝15，∠COA＝∠OAB＝90°，
∴C（0，9），
∵将纸片沿过点C的直线翻折，使点B恰好落在x轴上的点B′处，折痕交AB于点D，
∴B′C＝BC＝15，B′D＝BD，
在Rt△COB′中，OB′12，
∴AB′＝15﹣12＝3，
设AD＝m，则B′D＝BD＝9﹣m，
Rt△AB′D中，AD2+B′A2＝B′D2，
即m2+32＝（9﹣m）2，
解得m＝4，
∴D（15，4），
设CD所在直线解析式为y＝kx+b，
把C、D两点坐标分别代入得：，
解得：，
∴CD所在直线解析式为yx+9，
故答案为：yx+9．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，矩形的性质，坐标与图象变化﹣对称，折叠的性质，勾股定理的应用，求得C、D的坐标是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（5分）先化简：（a），然后给a选择一个你喜欢的数代入求值．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；符号意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则化简得出答案．
【解答】解：原式
＝a﹣1，
当a＝3时，原式＝2．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．
17．（9分）用适当的方法解方程：
（1）（x﹣3）2﹣9＝0；
（2）x2﹣2x﹣5＝0；
（3）x2﹣6x﹣27＝0；
（4）（x﹣3）2+4k（x﹣3）＝0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣直接开平方法；解一元二次方程﹣配方法；解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝0，x2＝6；
（2）x1＝1，x2＝1；
（3）x1＝9，x2＝﹣3；
（4）x1＝3，x2＝3﹣4k．
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用配方法解方程；
（3）利用因式分解法解方程；
（4）利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）（x﹣3+3）（x﹣3﹣3）＝0，
x﹣3+3＝0或x﹣3﹣3＝0，
所以x1＝0，x2＝6；
（2）x2﹣2x＝5，
x2﹣2x+1＝6，
（x﹣1）2＝6，
x﹣1＝±，
所以x1＝1，x2＝1；
（3）（x﹣9）（x+3）＝0，
x﹣9＝0或x+3＝0，
所以x1＝9，x2＝﹣3；
（4）（x﹣3）（x﹣3+4k）＝0，
x﹣3＝0或x﹣3+4k＝0，
所以x1＝3，x2＝3﹣4k．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
18．（6分）在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（1，2）．是否在坐标轴上存在一点P，使得△PAB为直角三角形，求出P点坐标．
【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理；坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】分三种情形：点A为直角顶点，点B为直角顶点，点P直角顶点，画出图形求解即可．
【解答】解：如图，
（1）∠BAP＝90°，易得P1（0，﹣1）．
（2）∠ABP＝90°，易得P2（3，0），P3（0，3）．
（3）∠BPA＝90°，以AB为直径画⊙O′与x轴，y轴分别交于P4、P5、P6，
可得P4（1，0），P5（0，1），P6（0，1）．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理和坐标与图形性质的理解和掌握，此题有一定的拔高难度，属于中档题．
19．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为t s．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
【考点】矩形的判定与性质；菱形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，据此求得t的值；
（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ＝CQ，列方程求得运动的时间t；
（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长＝4×10，根据菱形的面积求出面积即可．
【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，
∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，
由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，
在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，
当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t＝16﹣t，得t＝8，
故当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；
（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，
∴四边形AQCP为平行四边形，
∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形
即16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，
故当t＝6s时，四边形AQCP为菱形；
（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，
则周长为4×10cm＝40cm；
面积为10cm×8cm＝80cm2．
【点评】本题考查了菱形、矩形的判定与性质．解决此题注意结合方程的思想解题．
20．（8分）关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，求：
（1）求a的范围；
（2）设x1，x2为方程的两个根，且xx2+x4，求a的值？
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）a且a≠﹣2；
（2）﹣2或﹣2．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到a+2≠0且Δ＝（﹣3）2﹣4×（a+2）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2，x1x2，再利用xx2+x4得到 4，然后解关于a的方程即可．
【解答】解：（1）根据题意得a+2≠0且Δ＝（﹣3）2﹣4×（a+2）≥0，
解得a且a≠﹣2，
即a的取值范围为a且a≠﹣2；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2，x1x2，
∵xx2+x4，
∴x1x2（x1+x2）＝4，
∴ 4，
整理得（a+2）2，
解得a1＝﹣2，a2＝﹣2，
经检验，a1＝﹣2，a2＝﹣2都是原方程的解，
即a的值为﹣2或﹣2．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．
21．（9分）某商店销售某种品牌的蜂蜜，购进时的价格是30元/千克．根据市场调查：在一段时间内，销售单价x（元/千克）与销售量y（千克）之间满足的关系如图所示．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）要使该商店销售这种蜂蜜获得11250元的销售利润且让利于顾客，则该蜂蜜的销售单价应定为多少元？
【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用．
【专题】一元二次方程及应用；一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）y＝﹣10x+1000（30≤x≤100）；
（2）销售单价应定为每千克40元．
【分析】（1）观察函数图象，找出点的坐标，再利用待定系数法即可求出y与x的函数解析式；
（2）利用总利润＝每千克的销售利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
将（60，400），（50，500）代入y＝kx+b，
得：，
解得：，
∴y与x的函数解析式为y＝﹣10x+1000（30≤x≤100）；
（2）依题意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）＝11250，
整理得：x2﹣130x+3600＝0，
解得：x1＝40，x2＝90（不符合题意，舍去）．
答：销售单价应定为每千克40元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据图中点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
22．（10分）已知，如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝3，CD＝2，AD＝5，P从D出发沿射线DA运动，且P的速度为每秒1个单位长度，设P的运动时间为t，△PBC的面积为S．
（1）写出当0≤t≤5时，S与t的函数关系式．
（2）是否存在时刻t使△PBC的周长最小？若存在，在图中画出P的位置（只需标明数量关系，不要求证明），并求出t取何值时，△PBC的周长最小；若不存在，请说明理由．
（3）当t为何值时，△PBC为直角三角形，请写出推理过程（利用图2解题）．
【考点】相似形综合题；直角梯形；轴对称﹣最短路线问题；相似三角形的判定与性质．
【专题】代数几何综合题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）分别求出△ABP、△CDP、梯形ABCD的面积，再根据图形得出S＝S梯形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP代入求出即可；
（2）要使△PBC的周长最小，因为BC的值确定，只要PC+PB最小即可，作B关于AD的对称点E，连接CE交AD于P，则此时△PBC的周长最小，根据三角形相似得出比例式，代入即可求出t的值；
（3）先求出BC长，分为三种情况，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【解答】
（1）解：S＝S梯形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP，
（AB+CD）×ADAB×APCD×DP，
（3+2）×53×（5﹣t）2×t，
t+5，
即当0≤t≤5时，S与t的函数关系式是st+5．
（2）解：存在时刻t使△PBC的周长最小，如图2所示：
作B关于AD的对称点E，连接CE交AD于P，此时△PBC的周长最小，即存在时刻t使△PBC的周长最小，
∵AB∥CD，
∴△CDP∽△EAP，
∴，
∴，
解得：t＝2，
即当t＝2时，△PBC的周长最小．
（3）解：过C作CM⊥AB于M，
∵∠A＝90°，AB∥CD，
∴∠BMC＝90°，∠A＝∠D＝∠AMC＝90°，
∴四边形AMCD是矩形，
∴DC＝AM＝2，AD＝CM＝5，BM＝3﹣2＝1，
在Rt△BMC中，由勾股定理得：BC，
有三种情况：
①∠BPC＝90°时，
∵∠BPC＝∠BAD＝∠CDA＝90°，
∴∠ABP+∠APB＝90°，∠APB+∠DPC＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABP＝∠DPC，
∵∠BAD＝∠CDA，
∴△ABP∽△DPC，
∴，
∴，
解得：t1＝2，t2＝3；
②当∠PCB＝90°时，如图3，
∵DP2+DC2＝PC2，PC2+BC2＝BP2＝AB2+AP2，
∴t2+22+（）2＝32+（5﹣t）2，
解得：t＝0.4；
③当∠PBC＝90°时，如图6，
由勾股定理得：BP2+BC2＝PC2＝DP2+DC2，
所以[32+（t﹣5）2]+（）2＝t2+22，
解得：t＝5.6；
答：当t是2或3或0.4或5.6时，△PBC是直角三角形．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，梯形性质，三角形的面积，最短路线问题的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
考点卡片
1．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
2．因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
3．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
4．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
5．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
6．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
7．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
8．解一元二次方程-公式法
（1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
9．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
10．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
11．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
12．由实际问题抽象出分式方程
由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．
（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．
13．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
14．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
15．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
16．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
17．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
18．直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
19．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
20．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
21．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
22．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R1，所以r：R＝1：1．
23．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
24．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度）
25．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
26．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
27．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
28．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
29．直角梯形
直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
边：有一条腰与底边垂直，另一条腰不垂直．
角：有两个内角是直角．
过不是直角的一个顶点作梯形的高，则把直角梯形分割成一个矩形和直角三角形．这是常用的一种作辅助线的方法．
30．坐标与图形变化-对称
（1）关于x轴对称
横坐标相等，纵坐标互为相反数．
（2）关于y轴对称
纵坐标相等，横坐标互为相反数．
（3）关于直线对称
①关于直线x＝m对称，P（a，b） P（2m﹣a，b）
②关于直线y＝n对称，P（a，b） P（a，2n﹣b）
31．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
32．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
33．图形的剪拼
平面构成设计的基础知识，图形拼摆使学生初步理解基本形图形拼摆的概念、构成，以及基本形在平面构成设计中的意义．运用形象与空间关系的规律，设计出新颖的图形拼摆图案．2．学习用分割、组合的方法获得基本形，在教师指导下进行巧妙组合、色彩搭配，图形拼摆完成简单的平面构成设计．培养、锻炼学生的组合造型能力和空间想象能力，发展抽象思维．3．通过动手拼摆、操作，使学生初步了解分解构成的原理，增强设计意识，并在小组活动中培养学生的操作、观察、表达及思维能力，培养探索意识和合作精神．
34．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
35．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
36．相似形综合题
主要考查相似三角形的判定与性质，其中穿插全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，难度大．
37．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
38．利用频率估计概率
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
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