2024—2025学年上学期广州初中数学九年级开学模拟试卷1（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期广州初中数学九年级开学模拟试卷1（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 574.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-05 15:09:21 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
2024—2025学年上学期广州初中数学九年级开学模拟试卷1
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）三条线段首尾相连，能组成直角三角形的是（ ）
A．1，1，2 B．2，，4 C．3，4， D．8，，10
3．（3分）下面是一位同学做的四道题：①4a+3b＝7ab；②﹣（﹣2a2b3）3＝8a6b9；③（a+b）2＝a2+b2；④0.1a．
其中做对的一道题的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4．（3分）直角三角形中有两条边的长分别为4，8，则此直角三角形斜边上的中线长等于（ ）
A．4 B．4 C．4或4 D．4或2
5．（3分）近日，杭州亚运会游泳选拔赛已开赛，其中参加男子100米自由泳的甲、乙、丙、丁四位运动员的5次比赛的平均成绩和方差S2如表所示：
甲 乙 丙 丁
（秒） 48.67 49.05 48.67 49.03
S2（秒2） 0.03 0.07 0.06 0.04
若要选拔一名速度快且发挥稳定的运动员参加亚运会集训营，根据表中数据应选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（3分）将矩形纸片的长减少cm，宽不变，就成为一个面积为8cm2的正方形纸片，则原矩形纸片的面积为（ ）
A．10cm2 B．12cm2 C．20cm2 D．24cm2
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，若再添加一个条件，不能推出四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．BCCD B．∠A＝90° C．AD＝BC D．AB∥CD
8．（3分）如图，直线y＝kx（k≠0）和直线y＝mx+n（m≠0）相交于点A（2，3），则不等式kx≤mx+n的解集为（ ）
A．x≥3 B．x≤3 C．x≥2 D．x≤2
9．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的周长等于（ ）
A．14 B．20 C．24 D．28
10．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3，2）到原点的距离是（ ）
A．1 B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分），则m+n＝ ．
12．（3分）一次函数y＝（1﹣2m）x+m﹣1的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围是 ．
13．（3分）在 ABCD中，若∠B＝30°，则∠C＝ °．
14．（3分）计算（6） （6）＝ ．
15．（3分）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝3，BC＝5，分别以AB，AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边三角形ACN，连接MN，D，E，F，G分别是MB，BC，CN，MN的中点，则四边形DEFG的周长为 ．
16．（3分）已知一次函数y＝ax+b（a，b为常数），x与y的部分对应值如右表所示．那么方程ax+b＝0的解是 ，不等式ax+b＞0的解集是 .
x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3
y 6 4 2 0 ﹣2 ﹣4
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来．
18．（4分）已知：平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE，CF，若∠BAE＝∠DCF．求证：△ABE≌△CDF．
19．（6分）（1）化简求值：，其中m2．
（2）如图，正比例函数y＝﹣2x与一次函数y＝kx+b的图象相交于点P，求这个一次函数的解析式．
20．（6分）如图，AC是矩形ABCD的对角线．
（1）作AC的垂直平分线MN，MN交AD于点E，交BC于点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）在（1）所作的图形中，连接AF，CE，求证：四边形AECF是菱形．
21．（8分）光明学校为了提高学生的“甲流病毒防范”意识，特组织了一场“防疫”知识竞赛，学校在八、九年级中分别随机抽取了50名学生的成绩（分数）进行整理分析，已知成绩（分数）x均为整数，且分为A，B，C，D，E五个等级，分别是：
A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：60≤x＜70，E：0≤x＜60．并给出了部分信息：
①八年级B等级中由低到高的10个分数为：80，80，81，83，83，83，84，84，85，85；
②两个年级学生“防疫”知识竞赛分数统计图：
③两个年级学生“防疫”知识竞赛分数样本数据的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
八年级 84 a 76
九年级 84 81 75
（1）直接写出a，m的值；
（2）若分数不低于80分表示该生对“防疫”知识掌握较好，该校八年级有学生1800人，九年级有学生1900人，请估计该校八、九年级所有学生中，对“防疫”知识掌握较好的学生人数．
22．（10分）周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发0.8小时后达到中心书城，逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往滨海公园．如图是他们离家路程s（km）与小明离家时间t（h）的关系图，请根据图回答下列问题：
（1）小明家到滨海公园的路程为 km，小明出发 小时后爸爸驾车出发；
（2）图中A点表示的实际意义是 ；
（3）小明从中心书城到滨海公园的平均速度为 km/h，小明爸爸驾车的平均速度为 km/h；
（4）爸爸驾车经过 小时追上小明．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线l2：y＝mx+4的图象分别与x轴，y轴交于C、B两点，C为AO中点，M（1，3）和N（3，3）是第一象限的两个点，连接MN．
（1）求直线l2的函数解析式；
（2）将线段MN向左平移n个单位，若与直线l1，l2同时有公共点，求n的取值范围；
（3）直线y＝a分别与直线l1，直线l2交于点E和点F，当EF＝1时，求a的值．
24．（12分）【问题发现】如图1所示，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得△ADE，连接CE、DB，根据条件填空：
①∠ACE的度数为 °；②若CE＝2，则CA的值为 ；
【类比探究】如图2所示，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且满足∠EAF＝45°，BE＝1，DF＝2，求正方形ABCD的边长；
【拓展延伸】如图3所示，在四边形ABCD中，CD＝CB，∠BAD+∠BCD＝90°，AC、BD为对角线，且满足ACCD，若AD＝3，AB＝4，请直接写出BD的值．
25．（12分）在平面直角坐标系中，OB在x轴上，OC＝BC＝7，∠OCB＝90°，D为OB的中点，若E为射线CO上任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点，G为EF的中点，延长CG交OB于点H．
（1）求C点的坐标．
（2）在点E运动过程中（不与点O，点C重合），请证明以C、E、H、F为顶点的四边形总是矩形．
（3）若OE＝3．请直接写出直线CH的解析式．
2024—2025学年上学期广州初中数学九年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．
2．（3分）三条线段首尾相连，能组成直角三角形的是（ ）
A．1，1，2 B．2，，4 C．3，4， D．8，，10
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力．
【答案】C
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、12+12≠22，不可以组成直角三角形，
故本选项不符合题意；
B、22+42≠（5）2，不可以组成直角三角形，
故本选项不符合题意；
C、（）2+32＝42，可以组成直角三角形，
故本选项符合题意；
D、82+（）2≠102，不可以组成直角三角形，
故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3．（3分）下面是一位同学做的四道题：①4a+3b＝7ab；②﹣（﹣2a2b3）3＝8a6b9；③（a+b）2＝a2+b2；④0.1a．
其中做对的一道题的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【考点】二次根式的性质与化简；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．
【专题】整式；二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据整式的加减，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式以及二次根式的化简逐项进行判断即可．
【解答】解：①4a与3b不是同类项，不能合并，因此①不正确，不符合题意；
②﹣（﹣2a2b3）3＝﹣（﹣8a6b9）＝8a6b9，因此②正确，符合题意；
③（a+b）2＝a2+2ab+b2，因此③不正确，不符合题意；
④|a||a|，因此④不正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查整式的加减，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式以及二次根式的化简，掌握合并同类项，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式以及二次根式的化简的方法是正确判断的前提．
4．（3分）直角三角形中有两条边的长分别为4，8，则此直角三角形斜边上的中线长等于（ ）
A．4 B．4 C．4或4 D．4或2
【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理．
【专题】分类讨论．
【答案】D
【分析】先根据勾股定理求得斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求其斜边上的中线，注意题中没有指明已知的两边是直角边还是斜边故应该分情况进行讨论．
【解答】解：①当4和8均为直角边时，斜边＝4，则斜边上的中线＝2；
②当4为直角边，8为斜边时，则斜边上的中线＝4．
故选：D．
【点评】此题主要考查勾股定理及直角三角形斜边上的中线的综合运用．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
5．（3分）近日，杭州亚运会游泳选拔赛已开赛，其中参加男子100米自由泳的甲、乙、丙、丁四位运动员的5次比赛的平均成绩和方差S2如表所示：
甲 乙 丙 丁
（秒） 48.67 49.05 48.67 49.03
S2（秒2） 0.03 0.07 0.06 0.04
若要选拔一名速度快且发挥稳定的运动员参加亚运会集训营，根据表中数据应选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【考点】方差；算术平均数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】A
【分析】此题有两个要求：①平均成绩较低，②状态稳定．于是应选平均数较小、方差较小的运动员参赛．
【解答】解：甲和丙的平均数较小，所以在甲和丙两人中选一人参加比赛，
由于甲的方差比丙小，所以甲更稳定，故选甲参加比赛．
故选：A．
【点评】本题考查平均数和方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
6．（3分）将矩形纸片的长减少cm，宽不变，就成为一个面积为8cm2的正方形纸片，则原矩形纸片的面积为（ ）
A．10cm2 B．12cm2 C．20cm2 D．24cm2
【考点】二次根式的应用．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】设原矩形纸片的长为x cm，根据“将矩形纸片的长减少cm，宽不变，就成为一个面积为8m2的正方形纸片”得：原矩形的宽为（x） cm，正方形的边长也是（x） cm，据此根据正方形的面积求出x，进而可求出原矩形的面积．
【解答】解：设原矩形纸片的长为x cm，
∵将矩形纸片的长减少cm，宽不变，就成为一个面积为8m2的正方形纸片，
∴原矩形纸片的宽为（x） cm，
∴正方形纸片的边长为（x） cm，
∴（x）2＝8，
解得：x1＝3，x2（不合题意，舍去），
∴x2，
∴原矩形纸片的面积为：2312（cm2）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了矩形和正方形的面积，解答此题的关键是理解原“矩形的长原矩形的宽”，正方形的边长＝原矩形的宽．
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，若再添加一个条件，不能推出四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．BCCD B．∠A＝90° C．AD＝BC D．AB∥CD
【考点】矩形的判定．
【答案】A
【分析】A、根据条件不能确定∠BAD的度数，所以添加此条件，不能推出四边形ABCD是矩形；
B、先根据两组对边分别平行证明其是平行四边形，再由有一个角是直角的平行四边形，可得矩形；
C、先根据一组对边平行且相等可得其是平行四边形，同理可得矩形；
D、直接根据两组对边分别平行证明其是平行四边形，再由有一个角是直角的平行四边形，可得矩形．
【解答】解：A、如图1，∵AD∥BC，∠D＝90°，
∴∠C＝90°，
连接BD，
tan∠DBC，
∵BCCD，
∴tan∠DBC，
∴∠DBC＝30°，
如图1所示，点A不确定，∠BAD不一定等于90°，可以组成矩形，也可以组成其他四边形，
所以添加选项A不能推出四边形ABCD是矩形；
B、如图2，∵∠D＝90°，∠A＝90°，
∴∠A+∠D＝180°，
∴AB∥DC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠D＝90°，
∴ ABCD是矩形，
所以添加选项B可以推出四边形ABCD是矩形；
C、∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠D＝90°，
∴ ABCD是矩形，
所以添加选项C可以推出四边形ABCD是矩形；
D、∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠D＝90°，
∴ ABCD是矩形，
所以添加选项D可以推出四边形ABCD是矩形；
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定，熟练掌握矩形的判定是关键，常运用“有一个角是直角的平行四边形是矩形”这一方法来判定．
8．（3分）如图，直线y＝kx（k≠0）和直线y＝mx+n（m≠0）相交于点A（2，3），则不等式kx≤mx+n的解集为（ ）
A．x≥3 B．x≤3 C．x≥2 D．x≤2
【考点】一次函数与一元一次不等式；两条直线相交或平行问题．
【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观．
【答案】D
【分析】写出直线y＝kx（k≠0）在直线y＝mx+n（m≠0）下方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：由图可知，不等式kx≤mx+n的解集为x≤2；
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
9．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的周长等于（ ）
A．14 B．20 C．24 D．28
【考点】菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】B
【分析】由菱形的性质可得AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，AC⊥BD，由勾股定理可求AB的长，即可求解．
【解答】解：设AC与BD交点为O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，
∴AB5，
∴菱形ABCD的周长＝4×5＝20，
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，求出AB的长是本题的关键．
10．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3，2）到原点的距离是（ ）
A．1 B． C． D．
【考点】勾股定理；两点间的距离公式．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据勾股定理求解即可．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点P（3，2）到原点的距离，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分），则m+n＝ ﹣3 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】﹣3．
【分析】直接利用算术平方根有意义的条件得出m，n的值进而得出答案．
【解答】解：∵，n﹣5≥0，5﹣n≥0，
∴n＝5，m＝﹣8，
故m+n＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据题意正确得出m，n的值是解题关键．
12．（3分）一次函数y＝（1﹣2m）x+m﹣1的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围是 m＞1 ．
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力．
【答案】m＞1．
【分析】根据已知条件“一次函数y＝（1﹣2m）x+m﹣1的图象经过第一、二、四象限”可知k＜0，b＞0，据此列不等式组求得k的取值范围，在该范围内可以找到满足条件的k的值．
【解答】解：∵函数y＝（1﹣2m）x+m﹣1的图象经过第一、二、四象限，
∴，
解得：m＞1．
故答案为：m＞1．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
13．（3分）在 ABCD中，若∠B＝30°，则∠C＝ 150 °．
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】150°．
【分析】根据平行四边形的邻角互补即可得出∠C的度数．
【解答】解：∵在 ABCD中∠B＝30°，
∴∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣30°＝150°．
故答案为：150°．
【点评】本题考查平行四边形的性质，比较简单，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角互补的性质．
14．（3分）计算（6） （6）＝ ﹣31 ．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．
【解答】解：原式＝（）2﹣62
＝5﹣36
＝﹣31．
故答案为：﹣31．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键．
15．（3分）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝3，BC＝5，分别以AB，AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边三角形ACN，连接MN，D，E，F，G分别是MB，BC，CN，MN的中点，则四边形DEFG的周长为 14 ．
【考点】中点四边形；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；三角形中位线定理．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】14．
【分析】连接BN、CM，作NP⊥BC于P，证△CAM≌△NAB（SAS），得CM＝NB，由三角形中位线定理证出四边形DEFG是菱形，得DE＝DG＝EF＝FGBN，由直角三角形的性质得PCCN，PNPC，则BP，由勾股定理求出BN＝7，进而得出答案．
【解答】解：连接BN、CM，作NP⊥BC于P，如图所示：
∵△ABM和△ACN是等边三角形，
∴AB＝AM，AN＝AC＝CN＝3，∠BAM＝∠CAN＝∠ACN＝60°，
∴∠BAM+∠BAC＝∠CAN+∠BAC，
即∠CAM＝∠NAB，
在△CAM和△NAB中，，
∴△CAM≌△NAB（SAS），
∴CM＝NB，
∵D，E，F，G分别是MB，BC，CN，MN的中点，
∴DG是△BMN的中位线，EF是△BCN的中位线，DE是△BCM的中位线，
∴DG∥BN，DGBN，EF∥BN，EFBN，DECM，
∴DG∥EF，DG＝EF，DG＝DE，
∴四边形DEFG是平行四边形，
又∵DG＝DE，
∴四边形DEFG是菱形，
∴DE＝DG＝EF＝FGBN，
∵∠ACB＝60°，
∴∠NCP＝180°﹣∠ACB﹣∠ACN＝60°，
∵NP⊥BC，
∴∠CNP＝90°﹣60°＝30°，
∴PCCN，PNPC，
∴BP＝BC+PC＝5，
∴BN7，
∴DE＝DG＝EF＝FGBN，
∴四边形DEFG的周长＝414，
故答案为：14．
【点评】本题考查了中点四边形、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
16．（3分）已知一次函数y＝ax+b（a，b为常数），x与y的部分对应值如右表所示．那么方程ax+b＝0的解是 x＝1 ，不等式ax+b＞0的解集是 x＜1 .
x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3
y 6 4 2 0 ﹣2 ﹣4
【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的性质；一次函数与一元一次方程．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】x＝1，x＜1．
【分析】根据表格可知一次函数过点（1，0），故当x＝1时，y＝0，由y随着x增大而减小，即可确定不等式的解集．
【解答】解：根据表格可知，一次函数过点（1，0），且y随着x增大而减小，
∴方程ax+b＝0的解是x＝1，不等式ax+b＞0的解集是：x＜1，
故答案为：x＝1，x＜1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣1＜x≤2．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣2≤0，得：x≤2，
解不等式3x+2＞﹣1，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（4分）已知：平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE，CF，若∠BAE＝∠DCF．求证：△ABE≌△CDF．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定．
【专题】三角形；图形的全等；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】见解析．
【分析】先根据平行四边形的性质得出AB∥CD，AB＝CD，再由平行线的性质得出∠ABD＝∠CDB，最后直接利用角边角证明即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA）．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质和全等三角形的判定定理，熟练掌握知识点并能够灵活运用解题的关键．
19．（6分）（1）化简求值：，其中m2．
（2）如图，正比例函数y＝﹣2x与一次函数y＝kx+b的图象相交于点P，求这个一次函数的解析式．
【考点】分式的化简求值；待定系数法求一次函数解析式；两条直线相交或平行问题．
【专题】分式；一次函数及其应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算可得；
（2）根据图象先求出点P的坐标，再结合直线y＝kx+b经过点（1，0），利用待定系数法求解可得．
【解答】解：（1）原式
，
当m2时，
原式
＝1﹣2；
（2）由图象知点P的横坐标为1，代入y＝﹣2x得y＝2，
∴点P的坐标为（﹣1，2），
由图象知y＝kx+b还经过点（1，0），
将点（﹣1，2）、（1，0）代入方程组，得：，
解得，
∴一次函数的函数关系是为y＝﹣x+1．
【点评】本题主要考查分式的化简求值与待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则、结合图形得出点P的坐标及待定系数法求函数解析式的能力．
20．（6分）如图，AC是矩形ABCD的对角线．
（1）作AC的垂直平分线MN，MN交AD于点E，交BC于点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）在（1）所作的图形中，连接AF，CE，求证：四边形AECF是菱形．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；菱形的判定；矩形的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；矩形 菱形 正方形；尺规作图；几何直观；推理能力．
【答案】（1）作图见解析部分；
（2）证明见解析部分．
【分析】（1）利用尺规作出线段AC的垂直平分线MN；
（2）设AC与EF相交于点O，证得△AOE≌△COF得到OE＝OF，进而证得四边形AECF为平行四边形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可证得结论．
【解答】（1）解：如图，直线MN即为所求；
（2）证明：设AC与EF相交于点O，
∵EF是AC的垂直平分，
∴EF⊥AC，且AO＝CO，
∴∠AOE＝∠COF＝90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴四边形AECF为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，矩形的性质，菱形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．（8分）光明学校为了提高学生的“甲流病毒防范”意识，特组织了一场“防疫”知识竞赛，学校在八、九年级中分别随机抽取了50名学生的成绩（分数）进行整理分析，已知成绩（分数）x均为整数，且分为A，B，C，D，E五个等级，分别是：
A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：60≤x＜70，E：0≤x＜60．并给出了部分信息：
①八年级B等级中由低到高的10个分数为：80，80，81，83，83，83，84，84，85，85；
②两个年级学生“防疫”知识竞赛分数统计图：
③两个年级学生“防疫”知识竞赛分数样本数据的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
八年级 84 a 76
九年级 84 81 75
（1）直接写出a，m的值；
（2）若分数不低于80分表示该生对“防疫”知识掌握较好，该校八年级有学生1800人，九年级有学生1900人，请估计该校八、九年级所有学生中，对“防疫”知识掌握较好的学生人数．
【考点】众数；用样本估计总体；加权平均数；中位数．
【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念；运算能力．
【答案】（1）a＝84，m＝30；
（2）2068．
【分析】（1）根据中位数的定义可求出中位数，根据各组频率之和等于100%，即可求出m的值；
（2）求出样本中，八年级、九年级学生分数不低于80分的所占的百分比，估计总体中分数不低于80分的所占的百分比，进而求出相应的人数．
【解答】解：（1）将八年级这50名学生的成绩从小到大排列，处在第25、26位的两个数的平均数是84，即因此中位数是84，即a＝84，
1﹣22%﹣36%﹣6%﹣6%＝30%，即m＝30，
答：a＝84，m＝30；
（2）18001900×（22%+30%）
＝1080+988
＝2068（人），
答：该校八年级1800名学生，九年级1900名学生中，对“防疫”知识掌握较好的学生人数大约有2068人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提，掌握频率是解决问题的关键．
22．（10分）周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发0.8小时后达到中心书城，逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往滨海公园．如图是他们离家路程s（km）与小明离家时间t（h）的关系图，请根据图回答下列问题：
（1）小明家到滨海公园的路程为 30 km，小明出发 2.5 小时后爸爸驾车出发；
（2）图中A点表示的实际意义是 2.5小时后小明继续坐公交车到滨海公园 ；
（3）小明从中心书城到滨海公园的平均速度为 12 km/h，小明爸爸驾车的平均速度为 30 km/h；
（4）爸爸驾车经过 小时追上小明．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）30，2.5；
（2）2.5小时后小明继续坐公交车到滨海公园；
（3）12；30；
（4）．
【分析】（1）根据图象中数据即可得出结论；
（2）根据点A的坐标即可得到点A的实际意义；
（3）根据相应的路程除以时间，即可得出速度；
（4）设爸爸驾车经t小时追上小明，根据爸爸的路程＝小明的路程列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）由图可得，小明家到滨海公园的路程是30km；
小明出发2.5小时后爸爸驾车出发，
故答案为：30，2.5；
（2）由图可得，A点表示2.5小时后小明继续坐公交车到滨海公园，
故答案为：2.5小时后小明继续坐公交车到滨海公园；
（3）小明从中心书城到滨海公园的平均速度为12（km/h），
小明爸爸驾车的平均速度为30（km/h），
故答案为：12；30；
（4）设爸爸驾车经t小时追上小明，
则12+12t＝30t，
解得t，
∴爸爸驾车经小时追上小明，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数的应用，以及行程问题的数量关系的运用，解答时理清函数图象的意义是解答此题的关键．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线l2：y＝mx+4的图象分别与x轴，y轴交于C、B两点，C为AO中点，M（1，3）和N（3，3）是第一象限的两个点，连接MN．
（1）求直线l2的函数解析式；
（2）将线段MN向左平移n个单位，若与直线l1，l2同时有公共点，求n的取值范围；
（3）直线y＝a分别与直线l1，直线l2交于点E和点F，当EF＝1时，求a的值．
【考点】一次函数综合题．
【专题】代数综合题；分类讨论；数据分析观念；推理能力．
【答案】（1）y＝2x+4；（2）2≤n≤3.5；（3）a＝6或2．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）当点M和点G重合时，符合题设要求，此时，n＝2，当点N和点H重合时，符合题设要求，此时，n＝3.5，进而求解；
（3）当y＝a时，即y＝2x+4＝a，y＝x+4＝a，则x，x＝a﹣4，则|a﹣4|＝1，即可求解．
【解答】解：（1）令y＝x+4＝0，则x＝﹣4，即点A（﹣4，0），
∵C为AO中点，则点C（﹣2，0），
将点C的坐标代入y＝mx+4得：0＝﹣2m+4，
解得：m＝2，
即直线l2的函数解析式为：y＝2x+4；
（2）延长NM分别交两条直线于点G、H，
当y＝3时，则y＝2x+4＝3，则x，即点H（，3），
当y＝3时，则y＝x+4＝3，则x＝﹣1，即点G（﹣1，3）；
当点M和点G重合时，符合题设要求，此时，n＝2，
当点N和点H重合时，符合题设要求，此时，n＝3.5，
即2≤n≤3.5；
（3）当y＝a时，即y＝2x+4＝a，y＝x+4＝a，
则x，x＝a﹣4，
则|a﹣4|＝1，
则a＝6或2．
【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、绝对值的运用、图形的平移等，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏．
24．（12分）【问题发现】如图1所示，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得△ADE，连接CE、DB，根据条件填空：
①∠ACE的度数为 45 °；②若CE＝2，则CA的值为 ；
【类比探究】如图2所示，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且满足∠EAF＝45°，BE＝1，DF＝2，求正方形ABCD的边长；
【拓展延伸】如图3所示，在四边形ABCD中，CD＝CB，∠BAD+∠BCD＝90°，AC、BD为对角线，且满足ACCD，若AD＝3，AB＝4，请直接写出BD的值．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】【问题发现】①45；
②；
【类比探究】；
【拓展延伸】．
【分析】【问题发现】①根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质解答即可；
②根据等腰直角三角形的性质得出AC即可；
【类比探究】将△ABE绕A逆时针旋转90°得△ADG，根据旋转的性质和SAS证明△GAF≌△EAF，进而利用全等三角形的性质和正方形的性质解答即可；
【拓展延伸】将△ADC绕C逆时针旋转至△ABE，连接AE，根据旋转的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．
【解答】【问题发现】解：①将△ABC绕点A逆时针旋转90°得△ADE，
∴∠DAB＝∠CAE＝90°，CA＝EA，
∴∠ACE＝45°，
故答案为：45；
②∵△CAE是等腰直角三角形，∠ACE＝45°，
∴AC＝CE cos45°＝2，
故答案为：；
【类比探究】解：将△ABE绕A逆时针旋转90°得△ADG，如图所示：
∵△ABE绕A逆时针旋转90°得△ADG，
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，BE＝DG＝1，∠ABE＝∠ADG＝90°，
∵∠ADC+∠ADG＝180°，
∴G、D、C共线，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝∠DAG+∠DAF＝45°＝∠EAF，
即∠FAG＝∠EAF，
在△GAF与△EAF中，
，
∴△GAF≌△EAF（SAS），
∴EF＝GF，
∵GF＝GD+DF＝1+2＝3，
∴EF＝3，
设正方形ABCD边长为x，则CE＝x﹣1，CF＝x﹣2，
在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2，
∴（x﹣1）2+（x﹣2）2＝32，
解得：x或x（舍去），
∴正方形ABCD的边长为；
【拓展延伸】解：将△ADC绕C逆时针旋转至△CBE，连接AE，如图所示：
∴AD＝BE，CA＝CE，∠ACD＝∠ECB，∠ADC＝∠EBC，
∵CD＝CB，
∴∠BCD＝∠ACE，，
∴△DCB∽△ACE，
∴，
∵∠BAD+∠BCD＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝270°，
∵∠ADC＝∠EBC，
∴∠ABC+∠EBC＝270°，
∴∠ABE＝90°，
∴AE，
∴BD．
【点评】此题是四边形综合题，考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，关键是根据SAS证明三角形全等，以及利用相似三角形的判定和性质解答．
25．（12分）在平面直角坐标系中，OB在x轴上，OC＝BC＝7，∠OCB＝90°，D为OB的中点，若E为射线CO上任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点，G为EF的中点，延长CG交OB于点H．
（1）求C点的坐标．
（2）在点E运动过程中（不与点O，点C重合），请证明以C、E、H、F为顶点的四边形总是矩形．
（3）若OE＝3．请直接写出直线CH的解析式．
【考点】一次函数综合题．
【专题】证明题；代数几何综合题；分类讨论；待定系数法；矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【答案】（1）C（7，7）；
（2）证明见解析过程；
（3）直线CH的解析式为：y＝7x﹣42或yx．
【分析】（1）连接CD，先求解OB14，再根据直角三角形斜边上的中线的性质可得CD＝ODOB＝7，从而可得答案．
（2）当点E在线段OC上时，连接CD，DG，证明CG＝GH＝EG＝FG，可得四边形CEHF为矩形；当点E在CO延长线上时，同理可得四边形CEHF为矩形．
（3）连接EH，点E在线段OC上，由勾股定理可得OH6，H（6，0），可得直线CH的解析式；点E在CO的延长线上，同理可得OH＝6，H（﹣6，0），同理可得直线CH的解析式．
【解答】解：（1）如图1，连接CD，
∵OC＝BC＝7，∠OCB＝90°，
∴OB14，
又∵D为OB的中点，
∴CD⊥OB，CD＝ODOB＝7，
∴C（7，7）；
（2）证明：分别连接CD，DG，FH，EH，
如图2，当点E在线段OC上时，
∵DF⊥DE，G为EF的中点，
∴DG＝EG＝FGEF，
∵∠OCB＝90°，G为EF的中点，
∴CG＝EG＝FGEF，
∴DG＝CG，
∴∠DCG＝∠CDG，
∵CD⊥OB，
∴∠DCG+∠GHD＝∠CDG+∠GDH＝90°，
∴∠GHD＝∠GDH，
∴GH＝GD，
∴CG＝EG＝FG＝GH，
∴四边形CEHF为矩形；
如图3，当点E在CO的延长线上时，
∵DF⊥DE，G为EF的中点，
∴DG＝EG＝FGEF，
∵∠OCB＝90°，
∴∠ECF＝90°，
∵G为EF的中点，
∴CG＝EG＝FGEF，
∴DG＝CG，
∴∠DCG＝∠CDG，
∵CD⊥OB，
∴∠DCG+∠GHD＝∠CDG+∠GDH＝90°，
∴∠GHD＝∠GDH，
∴GH＝GD，
∴CG＝EG＝FG＝GH，
∴四边形CEHF为矩形；
（3）如图2，当点E在线段OC上时，
∵OC＝BC，∠OCB＝90°，
∴∠EOH＝45°，
由（2）得四边形CEHF为矩形，
∴∠OEH＝90°，
∴△EOH是等腰直角三角形，
∵OE＝3，
∴OH6，
∴H（6，0），
设直线CH的解析式为：y＝kx+b，将H（6，0），C（7，7）代入得，
，解得，
∴直线CH的解析式为：y＝7x﹣42；
如图3，当点E在CO的延长线上时，
∵OC＝BC，∠OCB＝90°，
∴∠COB＝45°，
∴∠EOH＝45°，
由（2）得四边形CEHF为矩形，
∴∠OEH＝90°，
∴△EOH是等腰直角三角形，
∵OE＝3，
∴OH6，
∴H（﹣6，0），
设直线CH的解析式为：y＝kx+b，将H（﹣6，0），C（7，7）代入得，
，解得，
∴直线CH的解析式为：yx．
【点评】本题考查的是坐标与图形，等腰直角三角形的定义与性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，矩形的判定与性质，作出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解决本题的关键．
考点卡片
1．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
2．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
3．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
4．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
5．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③|a|（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
（a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
6．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
7．二次根式的应用
把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．
二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．
8．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
9．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
10．两点间的距离公式
两点间的距离公式：
设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB．
说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式．
11．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
12．一次函数图象与系数的关系
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0 y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0 y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
13．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
14．一次函数与一元一次方程
一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标．
15．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x．
16．两条直线相交或平行问题
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．
（1）两条直线的交点问题
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
（2）两条直线的平行问题
若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．
17．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
18．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
19．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
20．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
21．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
22．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
23．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
24．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
25．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
26．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
27．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
28．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度）
29．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
30．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
31．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
32．中点四边形
瓦里尼翁平行四边形（Varignon parallelogram）是四边形的一个特殊内接四边形．顺次连结四边形各边中点而成的四边形是平行四边形，称为瓦里尼翁平行四边形．它的面积是原四边形面积的一半，这个平行四边形是瓦里尼翁（P．Varignon）发现的．
33．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
34．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
35．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
36．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
37．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
38．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
39．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
40．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
41．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
2024—2025学年上学期广州初中数学九年级开学模拟试卷1
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）三条线段首尾相连，能组成直角三角形的是（ ）
A．1，1，2 B．2，，4 C．3，4， D．8，，10
3．（3分）下面是一位同学做的四道题：①4a+3b＝7ab；②﹣（﹣2a2b3）3＝8a6b9；③（a+b）2＝a2+b2；④0.1a．
其中做对的一道题的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4．（3分）直角三角形中有两条边的长分别为4，8，则此直角三角形斜边上的中线长等于（ ）
A．4 B．4 C．4或4 D．4或2
5．（3分）近日，杭州亚运会游泳选拔赛已开赛，其中参加男子100米自由泳的甲、乙、丙、丁四位运动员的5次比赛的平均成绩和方差S2如表所示：
甲 乙 丙 丁
（秒） 48.67 49.05 48.67 49.03
S2（秒2） 0.03 0.07 0.06 0.04
若要选拔一名速度快且发挥稳定的运动员参加亚运会集训营，根据表中数据应选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（3分）将矩形纸片的长减少cm，宽不变，就成为一个面积为8cm2的正方形纸片，则原矩形纸片的面积为（ ）
A．10cm2 B．12cm2 C．20cm2 D．24cm2
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，若再添加一个条件，不能推出四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．BCCD B．∠A＝90° C．AD＝BC D．AB∥CD
8．（3分）如图，直线y＝kx（k≠0）和直线y＝mx+n（m≠0）相交于点A（2，3），则不等式kx≤mx+n的解集为（ ）
A．x≥3 B．x≤3 C．x≥2 D．x≤2
9．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的周长等于（ ）
A．14 B．20 C．24 D．28
10．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3，2）到原点的距离是（ ）
A．1 B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分），则m+n＝ ．
12．（3分）一次函数y＝（1﹣2m）x+m﹣1的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围是 ．
13．（3分）在 ABCD中，若∠B＝30°，则∠C＝ °．
14．（3分）计算（6） （6）＝ ．
15．（3分）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝3，BC＝5，分别以AB，AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边三角形ACN，连接MN，D，E，F，G分别是MB，BC，CN，MN的中点，则四边形DEFG的周长为 ．
16．（3分）已知一次函数y＝ax+b（a，b为常数），x与y的部分对应值如右表所示．那么方程ax+b＝0的解是 ，不等式ax+b＞0的解集是 .
x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3
y 6 4 2 0 ﹣2 ﹣4
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来．
18．（4分）已知：平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE，CF，若∠BAE＝∠DCF．求证：△ABE≌△CDF．
19．（6分）（1）化简求值：，其中m2．
（2）如图，正比例函数y＝﹣2x与一次函数y＝kx+b的图象相交于点P，求这个一次函数的解析式．
20．（6分）如图，AC是矩形ABCD的对角线．
（1）作AC的垂直平分线MN，MN交AD于点E，交BC于点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）在（1）所作的图形中，连接AF，CE，求证：四边形AECF是菱形．
21．（8分）光明学校为了提高学生的“甲流病毒防范”意识，特组织了一场“防疫”知识竞赛，学校在八、九年级中分别随机抽取了50名学生的成绩（分数）进行整理分析，已知成绩（分数）x均为整数，且分为A，B，C，D，E五个等级，分别是：
A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：60≤x＜70，E：0≤x＜60．并给出了部分信息：
①八年级B等级中由低到高的10个分数为：80，80，81，83，83，83，84，84，85，85；
②两个年级学生“防疫”知识竞赛分数统计图：
③两个年级学生“防疫”知识竞赛分数样本数据的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
八年级 84 a 76
九年级 84 81 75
（1）直接写出a，m的值；
（2）若分数不低于80分表示该生对“防疫”知识掌握较好，该校八年级有学生1800人，九年级有学生1900人，请估计该校八、九年级所有学生中，对“防疫”知识掌握较好的学生人数．
22．（10分）周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发0.8小时后达到中心书城，逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往滨海公园．如图是他们离家路程s（km）与小明离家时间t（h）的关系图，请根据图回答下列问题：
（1）小明家到滨海公园的路程为 km，小明出发 小时后爸爸驾车出发；
（2）图中A点表示的实际意义是 ；
（3）小明从中心书城到滨海公园的平均速度为 km/h，小明爸爸驾车的平均速度为 km/h；
（4）爸爸驾车经过 小时追上小明．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线l2：y＝mx+4的图象分别与x轴，y轴交于C、B两点，C为AO中点，M（1，3）和N（3，3）是第一象限的两个点，连接MN．
（1）求直线l2的函数解析式；
（2）将线段MN向左平移n个单位，若与直线l1，l2同时有公共点，求n的取值范围；
（3）直线y＝a分别与直线l1，直线l2交于点E和点F，当EF＝1时，求a的值．
24．（12分）【问题发现】如图1所示，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得△ADE，连接CE、DB，根据条件填空：
①∠ACE的度数为 °；②若CE＝2，则CA的值为 ；
【类比探究】如图2所示，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且满足∠EAF＝45°，BE＝1，DF＝2，求正方形ABCD的边长；
【拓展延伸】如图3所示，在四边形ABCD中，CD＝CB，∠BAD+∠BCD＝90°，AC、BD为对角线，且满足ACCD，若AD＝3，AB＝4，请直接写出BD的值．
25．（12分）在平面直角坐标系中，OB在x轴上，OC＝BC＝7，∠OCB＝90°，D为OB的中点，若E为射线CO上任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点，G为EF的中点，延长CG交OB于点H．
（1）求C点的坐标．
（2）在点E运动过程中（不与点O，点C重合），请证明以C、E、H、F为顶点的四边形总是矩形．
（3）若OE＝3．请直接写出直线CH的解析式．
2024—2025学年上学期广州初中数学九年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．
2．（3分）三条线段首尾相连，能组成直角三角形的是（ ）
A．1，1，2 B．2，，4 C．3，4， D．8，，10
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力．
【答案】C
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、12+12≠22，不可以组成直角三角形，
故本选项不符合题意；
B、22+42≠（5）2，不可以组成直角三角形，
故本选项不符合题意；
C、（）2+32＝42，可以组成直角三角形，
故本选项符合题意；
D、82+（）2≠102，不可以组成直角三角形，
故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3．（3分）下面是一位同学做的四道题：①4a+3b＝7ab；②﹣（﹣2a2b3）3＝8a6b9；③（a+b）2＝a2+b2；④0.1a．
其中做对的一道题的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【考点】二次根式的性质与化简；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．
【专题】整式；二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据整式的加减，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式以及二次根式的化简逐项进行判断即可．
【解答】解：①4a与3b不是同类项，不能合并，因此①不正确，不符合题意；
②﹣（﹣2a2b3）3＝﹣（﹣8a6b9）＝8a6b9，因此②正确，符合题意；
③（a+b）2＝a2+2ab+b2，因此③不正确，不符合题意；
④|a||a|，因此④不正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查整式的加减，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式以及二次根式的化简，掌握合并同类项，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式以及二次根式的化简的方法是正确判断的前提．
4．（3分）直角三角形中有两条边的长分别为4，8，则此直角三角形斜边上的中线长等于（ ）
A．4 B．4 C．4或4 D．4或2
【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理．
【专题】分类讨论．
【答案】D
【分析】先根据勾股定理求得斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求其斜边上的中线，注意题中没有指明已知的两边是直角边还是斜边故应该分情况进行讨论．
【解答】解：①当4和8均为直角边时，斜边＝4，则斜边上的中线＝2；
②当4为直角边，8为斜边时，则斜边上的中线＝4．
故选：D．
【点评】此题主要考查勾股定理及直角三角形斜边上的中线的综合运用．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
5．（3分）近日，杭州亚运会游泳选拔赛已开赛，其中参加男子100米自由泳的甲、乙、丙、丁四位运动员的5次比赛的平均成绩和方差S2如表所示：
甲 乙 丙 丁
（秒） 48.67 49.05 48.67 49.03
S2（秒2） 0.03 0.07 0.06 0.04
若要选拔一名速度快且发挥稳定的运动员参加亚运会集训营，根据表中数据应选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【考点】方差；算术平均数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】A
【分析】此题有两个要求：①平均成绩较低，②状态稳定．于是应选平均数较小、方差较小的运动员参赛．
【解答】解：甲和丙的平均数较小，所以在甲和丙两人中选一人参加比赛，
由于甲的方差比丙小，所以甲更稳定，故选甲参加比赛．
故选：A．
【点评】本题考查平均数和方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
6．（3分）将矩形纸片的长减少cm，宽不变，就成为一个面积为8cm2的正方形纸片，则原矩形纸片的面积为（ ）
A．10cm2 B．12cm2 C．20cm2 D．24cm2
【考点】二次根式的应用．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】设原矩形纸片的长为x cm，根据“将矩形纸片的长减少cm，宽不变，就成为一个面积为8m2的正方形纸片”得：原矩形的宽为（x） cm，正方形的边长也是（x） cm，据此根据正方形的面积求出x，进而可求出原矩形的面积．
【解答】解：设原矩形纸片的长为x cm，
∵将矩形纸片的长减少cm，宽不变，就成为一个面积为8m2的正方形纸片，
∴原矩形纸片的宽为（x） cm，
∴正方形纸片的边长为（x） cm，
∴（x）2＝8，
解得：x1＝3，x2（不合题意，舍去），
∴x2，
∴原矩形纸片的面积为：2312（cm2）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了矩形和正方形的面积，解答此题的关键是理解原“矩形的长原矩形的宽”，正方形的边长＝原矩形的宽．
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，若再添加一个条件，不能推出四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．BCCD B．∠A＝90° C．AD＝BC D．AB∥CD
【考点】矩形的判定．
【答案】A
【分析】A、根据条件不能确定∠BAD的度数，所以添加此条件，不能推出四边形ABCD是矩形；
B、先根据两组对边分别平行证明其是平行四边形，再由有一个角是直角的平行四边形，可得矩形；
C、先根据一组对边平行且相等可得其是平行四边形，同理可得矩形；
D、直接根据两组对边分别平行证明其是平行四边形，再由有一个角是直角的平行四边形，可得矩形．
【解答】解：A、如图1，∵AD∥BC，∠D＝90°，
∴∠C＝90°，
连接BD，
tan∠DBC，
∵BCCD，
∴tan∠DBC，
∴∠DBC＝30°，
如图1所示，点A不确定，∠BAD不一定等于90°，可以组成矩形，也可以组成其他四边形，
所以添加选项A不能推出四边形ABCD是矩形；
B、如图2，∵∠D＝90°，∠A＝90°，
∴∠A+∠D＝180°，
∴AB∥DC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠D＝90°，
∴ ABCD是矩形，
所以添加选项B可以推出四边形ABCD是矩形；
C、∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠D＝90°，
∴ ABCD是矩形，
所以添加选项C可以推出四边形ABCD是矩形；
D、∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠D＝90°，
∴ ABCD是矩形，
所以添加选项D可以推出四边形ABCD是矩形；
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定，熟练掌握矩形的判定是关键，常运用“有一个角是直角的平行四边形是矩形”这一方法来判定．
8．（3分）如图，直线y＝kx（k≠0）和直线y＝mx+n（m≠0）相交于点A（2，3），则不等式kx≤mx+n的解集为（ ）
A．x≥3 B．x≤3 C．x≥2 D．x≤2
【考点】一次函数与一元一次不等式；两条直线相交或平行问题．
【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观．
【答案】D
【分析】写出直线y＝kx（k≠0）在直线y＝mx+n（m≠0）下方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：由图可知，不等式kx≤mx+n的解集为x≤2；
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
9．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的周长等于（ ）
A．14 B．20 C．24 D．28
【考点】菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】B
【分析】由菱形的性质可得AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，AC⊥BD，由勾股定理可求AB的长，即可求解．
【解答】解：设AC与BD交点为O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，
∴AB5，
∴菱形ABCD的周长＝4×5＝20，
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，求出AB的长是本题的关键．
10．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3，2）到原点的距离是（ ）
A．1 B． C． D．
【考点】勾股定理；两点间的距离公式．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据勾股定理求解即可．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点P（3，2）到原点的距离，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分），则m+n＝ ﹣3 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】﹣3．
【分析】直接利用算术平方根有意义的条件得出m，n的值进而得出答案．
【解答】解：∵，n﹣5≥0，5﹣n≥0，
∴n＝5，m＝﹣8，
故m+n＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据题意正确得出m，n的值是解题关键．
12．（3分）一次函数y＝（1﹣2m）x+m﹣1的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围是 m＞1 ．
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力．
【答案】m＞1．
【分析】根据已知条件“一次函数y＝（1﹣2m）x+m﹣1的图象经过第一、二、四象限”可知k＜0，b＞0，据此列不等式组求得k的取值范围，在该范围内可以找到满足条件的k的值．
【解答】解：∵函数y＝（1﹣2m）x+m﹣1的图象经过第一、二、四象限，
∴，
解得：m＞1．
故答案为：m＞1．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
13．（3分）在 ABCD中，若∠B＝30°，则∠C＝ 150 °．
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】150°．
【分析】根据平行四边形的邻角互补即可得出∠C的度数．
【解答】解：∵在 ABCD中∠B＝30°，
∴∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣30°＝150°．
故答案为：150°．
【点评】本题考查平行四边形的性质，比较简单，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角互补的性质．
14．（3分）计算（6） （6）＝ ﹣31 ．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．
【解答】解：原式＝（）2﹣62
＝5﹣36
＝﹣31．
故答案为：﹣31．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键．
15．（3分）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝3，BC＝5，分别以AB，AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边三角形ACN，连接MN，D，E，F，G分别是MB，BC，CN，MN的中点，则四边形DEFG的周长为 14 ．
【考点】中点四边形；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；三角形中位线定理．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】14．
【分析】连接BN、CM，作NP⊥BC于P，证△CAM≌△NAB（SAS），得CM＝NB，由三角形中位线定理证出四边形DEFG是菱形，得DE＝DG＝EF＝FGBN，由直角三角形的性质得PCCN，PNPC，则BP，由勾股定理求出BN＝7，进而得出答案．
【解答】解：连接BN、CM，作NP⊥BC于P，如图所示：
∵△ABM和△ACN是等边三角形，
∴AB＝AM，AN＝AC＝CN＝3，∠BAM＝∠CAN＝∠ACN＝60°，
∴∠BAM+∠BAC＝∠CAN+∠BAC，
即∠CAM＝∠NAB，
在△CAM和△NAB中，，
∴△CAM≌△NAB（SAS），
∴CM＝NB，
∵D，E，F，G分别是MB，BC，CN，MN的中点，
∴DG是△BMN的中位线，EF是△BCN的中位线，DE是△BCM的中位线，
∴DG∥BN，DGBN，EF∥BN，EFBN，DECM，
∴DG∥EF，DG＝EF，DG＝DE，
∴四边形DEFG是平行四边形，
又∵DG＝DE，
∴四边形DEFG是菱形，
∴DE＝DG＝EF＝FGBN，
∵∠ACB＝60°，
∴∠NCP＝180°﹣∠ACB﹣∠ACN＝60°，
∵NP⊥BC，
∴∠CNP＝90°﹣60°＝30°，
∴PCCN，PNPC，
∴BP＝BC+PC＝5，
∴BN7，
∴DE＝DG＝EF＝FGBN，
∴四边形DEFG的周长＝414，
故答案为：14．
【点评】本题考查了中点四边形、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
16．（3分）已知一次函数y＝ax+b（a，b为常数），x与y的部分对应值如右表所示．那么方程ax+b＝0的解是 x＝1 ，不等式ax+b＞0的解集是 x＜1 .
x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3
y 6 4 2 0 ﹣2 ﹣4
【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的性质；一次函数与一元一次方程．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】x＝1，x＜1．
【分析】根据表格可知一次函数过点（1，0），故当x＝1时，y＝0，由y随着x增大而减小，即可确定不等式的解集．
【解答】解：根据表格可知，一次函数过点（1，0），且y随着x增大而减小，
∴方程ax+b＝0的解是x＝1，不等式ax+b＞0的解集是：x＜1，
故答案为：x＝1，x＜1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣1＜x≤2．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣2≤0，得：x≤2，
解不等式3x+2＞﹣1，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（4分）已知：平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE，CF，若∠BAE＝∠DCF．求证：△ABE≌△CDF．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定．
【专题】三角形；图形的全等；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】见解析．
【分析】先根据平行四边形的性质得出AB∥CD，AB＝CD，再由平行线的性质得出∠ABD＝∠CDB，最后直接利用角边角证明即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA）．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质和全等三角形的判定定理，熟练掌握知识点并能够灵活运用解题的关键．
19．（6分）（1）化简求值：，其中m2．
（2）如图，正比例函数y＝﹣2x与一次函数y＝kx+b的图象相交于点P，求这个一次函数的解析式．
【考点】分式的化简求值；待定系数法求一次函数解析式；两条直线相交或平行问题．
【专题】分式；一次函数及其应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算可得；
（2）根据图象先求出点P的坐标，再结合直线y＝kx+b经过点（1，0），利用待定系数法求解可得．
【解答】解：（1）原式
，
当m2时，
原式
＝1﹣2；
（2）由图象知点P的横坐标为1，代入y＝﹣2x得y＝2，
∴点P的坐标为（﹣1，2），
由图象知y＝kx+b还经过点（1，0），
将点（﹣1，2）、（1，0）代入方程组，得：，
解得，
∴一次函数的函数关系是为y＝﹣x+1．
【点评】本题主要考查分式的化简求值与待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则、结合图形得出点P的坐标及待定系数法求函数解析式的能力．
20．（6分）如图，AC是矩形ABCD的对角线．
（1）作AC的垂直平分线MN，MN交AD于点E，交BC于点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）在（1）所作的图形中，连接AF，CE，求证：四边形AECF是菱形．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；菱形的判定；矩形的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；矩形 菱形 正方形；尺规作图；几何直观；推理能力．
【答案】（1）作图见解析部分；
（2）证明见解析部分．
【分析】（1）利用尺规作出线段AC的垂直平分线MN；
（2）设AC与EF相交于点O，证得△AOE≌△COF得到OE＝OF，进而证得四边形AECF为平行四边形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可证得结论．
【解答】（1）解：如图，直线MN即为所求；
（2）证明：设AC与EF相交于点O，
∵EF是AC的垂直平分，
∴EF⊥AC，且AO＝CO，
∴∠AOE＝∠COF＝90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴四边形AECF为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，矩形的性质，菱形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．（8分）光明学校为了提高学生的“甲流病毒防范”意识，特组织了一场“防疫”知识竞赛，学校在八、九年级中分别随机抽取了50名学生的成绩（分数）进行整理分析，已知成绩（分数）x均为整数，且分为A，B，C，D，E五个等级，分别是：
A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：60≤x＜70，E：0≤x＜60．并给出了部分信息：
①八年级B等级中由低到高的10个分数为：80，80，81，83，83，83，84，84，85，85；
②两个年级学生“防疫”知识竞赛分数统计图：
③两个年级学生“防疫”知识竞赛分数样本数据的平均数、中位数、众数如下：
平均数 中位数 众数
八年级 84 a 76
九年级 84 81 75
（1）直接写出a，m的值；
（2）若分数不低于80分表示该生对“防疫”知识掌握较好，该校八年级有学生1800人，九年级有学生1900人，请估计该校八、九年级所有学生中，对“防疫”知识掌握较好的学生人数．
【考点】众数；用样本估计总体；加权平均数；中位数．
【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念；运算能力．
【答案】（1）a＝84，m＝30；
（2）2068．
【分析】（1）根据中位数的定义可求出中位数，根据各组频率之和等于100%，即可求出m的值；
（2）求出样本中，八年级、九年级学生分数不低于80分的所占的百分比，估计总体中分数不低于80分的所占的百分比，进而求出相应的人数．
【解答】解：（1）将八年级这50名学生的成绩从小到大排列，处在第25、26位的两个数的平均数是84，即因此中位数是84，即a＝84，
1﹣22%﹣36%﹣6%﹣6%＝30%，即m＝30，
答：a＝84，m＝30；
（2）18001900×（22%+30%）
＝1080+988
＝2068（人），
答：该校八年级1800名学生，九年级1900名学生中，对“防疫”知识掌握较好的学生人数大约有2068人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提，掌握频率是解决问题的关键．
22．（10分）周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发0.8小时后达到中心书城，逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往滨海公园．如图是他们离家路程s（km）与小明离家时间t（h）的关系图，请根据图回答下列问题：
（1）小明家到滨海公园的路程为 30 km，小明出发 2.5 小时后爸爸驾车出发；
（2）图中A点表示的实际意义是 2.5小时后小明继续坐公交车到滨海公园 ；
（3）小明从中心书城到滨海公园的平均速度为 12 km/h，小明爸爸驾车的平均速度为 30 km/h；
（4）爸爸驾车经过 小时追上小明．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）30，2.5；
（2）2.5小时后小明继续坐公交车到滨海公园；
（3）12；30；
（4）．
【分析】（1）根据图象中数据即可得出结论；
（2）根据点A的坐标即可得到点A的实际意义；
（3）根据相应的路程除以时间，即可得出速度；
（4）设爸爸驾车经t小时追上小明，根据爸爸的路程＝小明的路程列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）由图可得，小明家到滨海公园的路程是30km；
小明出发2.5小时后爸爸驾车出发，
故答案为：30，2.5；
（2）由图可得，A点表示2.5小时后小明继续坐公交车到滨海公园，
故答案为：2.5小时后小明继续坐公交车到滨海公园；
（3）小明从中心书城到滨海公园的平均速度为12（km/h），
小明爸爸驾车的平均速度为30（km/h），
故答案为：12；30；
（4）设爸爸驾车经t小时追上小明，
则12+12t＝30t，
解得t，
∴爸爸驾车经小时追上小明，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数的应用，以及行程问题的数量关系的运用，解答时理清函数图象的意义是解答此题的关键．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线l2：y＝mx+4的图象分别与x轴，y轴交于C、B两点，C为AO中点，M（1，3）和N（3，3）是第一象限的两个点，连接MN．
（1）求直线l2的函数解析式；
（2）将线段MN向左平移n个单位，若与直线l1，l2同时有公共点，求n的取值范围；
（3）直线y＝a分别与直线l1，直线l2交于点E和点F，当EF＝1时，求a的值．
【考点】一次函数综合题．
【专题】代数综合题；分类讨论；数据分析观念；推理能力．
【答案】（1）y＝2x+4；（2）2≤n≤3.5；（3）a＝6或2．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）当点M和点G重合时，符合题设要求，此时，n＝2，当点N和点H重合时，符合题设要求，此时，n＝3.5，进而求解；
（3）当y＝a时，即y＝2x+4＝a，y＝x+4＝a，则x，x＝a﹣4，则|a﹣4|＝1，即可求解．
【解答】解：（1）令y＝x+4＝0，则x＝﹣4，即点A（﹣4，0），
∵C为AO中点，则点C（﹣2，0），
将点C的坐标代入y＝mx+4得：0＝﹣2m+4，
解得：m＝2，
即直线l2的函数解析式为：y＝2x+4；
（2）延长NM分别交两条直线于点G、H，
当y＝3时，则y＝2x+4＝3，则x，即点H（，3），
当y＝3时，则y＝x+4＝3，则x＝﹣1，即点G（﹣1，3）；
当点M和点G重合时，符合题设要求，此时，n＝2，
当点N和点H重合时，符合题设要求，此时，n＝3.5，
即2≤n≤3.5；
（3）当y＝a时，即y＝2x+4＝a，y＝x+4＝a，
则x，x＝a﹣4，
则|a﹣4|＝1，
则a＝6或2．
【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、绝对值的运用、图形的平移等，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏．
24．（12分）【问题发现】如图1所示，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得△ADE，连接CE、DB，根据条件填空：
①∠ACE的度数为 45 °；②若CE＝2，则CA的值为 ；
【类比探究】如图2所示，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且满足∠EAF＝45°，BE＝1，DF＝2，求正方形ABCD的边长；
【拓展延伸】如图3所示，在四边形ABCD中，CD＝CB，∠BAD+∠BCD＝90°，AC、BD为对角线，且满足ACCD，若AD＝3，AB＝4，请直接写出BD的值．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】【问题发现】①45；
②；
【类比探究】；
【拓展延伸】．
【分析】【问题发现】①根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质解答即可；
②根据等腰直角三角形的性质得出AC即可；
【类比探究】将△ABE绕A逆时针旋转90°得△ADG，根据旋转的性质和SAS证明△GAF≌△EAF，进而利用全等三角形的性质和正方形的性质解答即可；
【拓展延伸】将△ADC绕C逆时针旋转至△ABE，连接AE，根据旋转的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．
【解答】【问题发现】解：①将△ABC绕点A逆时针旋转90°得△ADE，
∴∠DAB＝∠CAE＝90°，CA＝EA，
∴∠ACE＝45°，
故答案为：45；
②∵△CAE是等腰直角三角形，∠ACE＝45°，
∴AC＝CE cos45°＝2，
故答案为：；
【类比探究】解：将△ABE绕A逆时针旋转90°得△ADG，如图所示：
∵△ABE绕A逆时针旋转90°得△ADG，
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，BE＝DG＝1，∠ABE＝∠ADG＝90°，
∵∠ADC+∠ADG＝180°，
∴G、D、C共线，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝∠DAG+∠DAF＝45°＝∠EAF，
即∠FAG＝∠EAF，
在△GAF与△EAF中，
，
∴△GAF≌△EAF（SAS），
∴EF＝GF，
∵GF＝GD+DF＝1+2＝3，
∴EF＝3，
设正方形ABCD边长为x，则CE＝x﹣1，CF＝x﹣2，
在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2，
∴（x﹣1）2+（x﹣2）2＝32，
解得：x或x（舍去），
∴正方形ABCD的边长为；
【拓展延伸】解：将△ADC绕C逆时针旋转至△CBE，连接AE，如图所示：
∴AD＝BE，CA＝CE，∠ACD＝∠ECB，∠ADC＝∠EBC，
∵CD＝CB，
∴∠BCD＝∠ACE，，
∴△DCB∽△ACE，
∴，
∵∠BAD+∠BCD＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝270°，
∵∠ADC＝∠EBC，
∴∠ABC+∠EBC＝270°，
∴∠ABE＝90°，
∴AE，
∴BD．
【点评】此题是四边形综合题，考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，关键是根据SAS证明三角形全等，以及利用相似三角形的判定和性质解答．
25．（12分）在平面直角坐标系中，OB在x轴上，OC＝BC＝7，∠OCB＝90°，D为OB的中点，若E为射线CO上任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点，G为EF的中点，延长CG交OB于点H．
（1）求C点的坐标．
（2）在点E运动过程中（不与点O，点C重合），请证明以C、E、H、F为顶点的四边形总是矩形．
（3）若OE＝3．请直接写出直线CH的解析式．
【考点】一次函数综合题．
【专题】证明题；代数几何综合题；分类讨论；待定系数法；矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【答案】（1）C（7，7）；
（2）证明见解析过程；
（3）直线CH的解析式为：y＝7x﹣42或yx．
【分析】（1）连接CD，先求解OB14，再根据直角三角形斜边上的中线的性质可得CD＝ODOB＝7，从而可得答案．
（2）当点E在线段OC上时，连接CD，DG，证明CG＝GH＝EG＝FG，可得四边形CEHF为矩形；当点E在CO延长线上时，同理可得四边形CEHF为矩形．
（3）连接EH，点E在线段OC上，由勾股定理可得OH6，H（6，0），可得直线CH的解析式；点E在CO的延长线上，同理可得OH＝6，H（﹣6，0），同理可得直线CH的解析式．
【解答】解：（1）如图1，连接CD，
∵OC＝BC＝7，∠OCB＝90°，
∴OB14，
又∵D为OB的中点，
∴CD⊥OB，CD＝ODOB＝7，
∴C（7，7）；
（2）证明：分别连接CD，DG，FH，EH，
如图2，当点E在线段OC上时，
∵DF⊥DE，G为EF的中点，
∴DG＝EG＝FGEF，
∵∠OCB＝90°，G为EF的中点，
∴CG＝EG＝FGEF，
∴DG＝CG，
∴∠DCG＝∠CDG，
∵CD⊥OB，
∴∠DCG+∠GHD＝∠CDG+∠GDH＝90°，
∴∠GHD＝∠GDH，
∴GH＝GD，
∴CG＝EG＝FG＝GH，
∴四边形CEHF为矩形；
如图3，当点E在CO的延长线上时，
∵DF⊥DE，G为EF的中点，
∴DG＝EG＝FGEF，
∵∠OCB＝90°，
∴∠ECF＝90°，
∵G为EF的中点，
∴CG＝EG＝FGEF，
∴DG＝CG，
∴∠DCG＝∠CDG，
∵CD⊥OB，
∴∠DCG+∠GHD＝∠CDG+∠GDH＝90°，
∴∠GHD＝∠GDH，
∴GH＝GD，
∴CG＝EG＝FG＝GH，
∴四边形CEHF为矩形；
（3）如图2，当点E在线段OC上时，
∵OC＝BC，∠OCB＝90°，
∴∠EOH＝45°，
由（2）得四边形CEHF为矩形，
∴∠OEH＝90°，
∴△EOH是等腰直角三角形，
∵OE＝3，
∴OH6，
∴H（6，0），
设直线CH的解析式为：y＝kx+b，将H（6，0），C（7，7）代入得，
，解得，
∴直线CH的解析式为：y＝7x﹣42；
如图3，当点E在CO的延长线上时，
∵OC＝BC，∠OCB＝90°，
∴∠COB＝45°，
∴∠EOH＝45°，
由（2）得四边形CEHF为矩形，
∴∠OEH＝90°，
∴△EOH是等腰直角三角形，
∵OE＝3，
∴OH6，
∴H（﹣6，0），
设直线CH的解析式为：y＝kx+b，将H（﹣6，0），C（7，7）代入得，
，解得，
∴直线CH的解析式为：yx．
【点评】本题考查的是坐标与图形，等腰直角三角形的定义与性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，矩形的判定与性质，作出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解决本题的关键．
考点卡片
1．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
2．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
3．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
4．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
5．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③|a|（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
（a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
6．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
7．二次根式的应用
把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．
二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．
8．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
9．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
10．两点间的距离公式
两点间的距离公式：
设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB．
说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式．
11．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
12．一次函数图象与系数的关系
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0 y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0 y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
13．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
14．一次函数与一元一次方程
一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标．
15．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x．
16．两条直线相交或平行问题
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．
（1）两条直线的交点问题
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
（2）两条直线的平行问题
若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．
17．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
18．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
19．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
20．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
21．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
22．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
23．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
24．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
25．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
26．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
27．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
28．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度）
29．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
30．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
31．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
32．中点四边形
瓦里尼翁平行四边形（Varignon parallelogram）是四边形的一个特殊内接四边形．顺次连结四边形各边中点而成的四边形是平行四边形，称为瓦里尼翁平行四边形．它的面积是原四边形面积的一半，这个平行四边形是瓦里尼翁（P．Varignon）发现的．
33．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
34．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
35．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
36．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
37．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
38．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
39．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
40．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
41．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
同课章节目录