2024—2025学年上学期广州初中数学九年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期广州初中数学九年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 525.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-05 15:11:00 | ||
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文档简介
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2024—2025学年上学期广州初中数学九年级开学模拟试卷2
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）△ABC中，已知AB＝1，AC＝2．要使∠B是直角，BC的长度是（ ）
A． B． C．3 D．或
3．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C．2 D．3
4．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+3＝0化成（x+a）2＝b的形式，则a、b的值分别是（ ）
A．3，12 B．﹣3，12 C．3，6 D．﹣3，6
5．（3分）一次函数y＝kx﹣5和y＝2x+b（k、b为常数）的图象关于y轴对称，则k，b的值分别为（ ）
A．k＝2，b＝5 B．k＝﹣2，b＝5 C．k＝2，b＝﹣5 D．k＝﹣2，b＝﹣5
6．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边BC的中点，AB＝4，则OE的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
7．（3分）如图，EM经过圆心O，EM⊥CD于M，若CD＝4，EM＝6，则所在圆的半径为（ ）
A．3 B．4 C． D．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（ ）
A．3 B．6 C．5 D．4
9．（3分）生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度y（cm）与观察时间x（天）的关系，并画出如图所示的图象（CD∥x轴），该植物最高的高度是（ ）
A．50cm B．20cm C．16cm D．26cm
10．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，点P、M分别是BD和BC上的动点，且点M与点B、C不重合，则PM+PC的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D．4
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（3分）已知点A（3a+6，a+4），B（﹣3，2），AB∥x轴，点P为直线AB上一点，且PA＝2PB，则点P的坐标为 ．
13．（3分）如图，点E在正方形ABCD的CD边上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，若四边形AECF的面积为16，DE＝3，则AE的长度为 ．
14．（3分）已知直线y＝3mx﹣4+6m（m为常数，且m≠0），当m变化时，坐标原点到直线的最大距离是 ．
15．（3分）若一元二次方程x2+2x﹣m＝0无实数根，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过第 象限．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ACD＝60°，连接AC，BD，线段AC上存在动点E，连接DE，以DE为边，向左侧作等边△DEF，当点E从C运动至A时，点F所经过路径的长度为 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）计算
（1）；
（2）（1）（1）+6（1）2．
18．（4分）如图，在 ABCD中，点O是对角线AC中点，过点O作AC的垂线，分别与边AB、CD交于点F、E．
（1）求证：△AOF≌△COE；
（2）连接AE、CF，求证：四边形AFCE是菱形．
19．（6分）关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为满足条件的最小负整数，求出此时方程的根．
20．（6分）某校举办了一次趣味数学竞赛，满分100分，学生得分均为整数，达到成绩60分及以上为合格，达到90分及以上为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩如下（单位：分）
甲组：30，60，60，60，60，60，70，90，90，100
乙组：50，60，60，60，70，70，70，70，80，90
组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率
甲组 68 a 376 90% 30%
乙组 b c 90% 10%
（1）以上成绩统计分析表中a＝ 分，b＝ 分，c＝ 分；
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了70分，在我们小组中属中游略偏上!”观察上面表格判断，小明可能是甲、乙哪个组的学生？并说明理由．
（3）计算乙组成绩的方差，如果你是该校数学竞赛的教练员，从平均分和方差的角度考虑，现在需要你选一组同学代表学校参加复赛，你会选择哪组？并说明理由．
21．（8分）在平面直角坐标系中，有一条直线经过点（1，1）和点（﹣2，﹣5），求这条直线的表达式．
22．（10分）如图，已知菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，E是BC边上一动点，F是CD边上一动点，且BE＝CF，连接AE、AF．
（1）∠EAF的度数是 ；
（2）求证：AE＝AF；
（3）延长AF交BC的延长线于点G，当∠BAE＝30°时，求点F到BG的距离
23．（10分）为实现2020年脱贫目标，某屯结合自身丰富的山水资源，大力发展旅游业，在乡政府的支持下，以家家入股的形式办起了农家客栈，专门接待游客，客栈共有80间客房．其中游客居住房间数y（间）与房间单价x（元）之间的函数图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若每个房间的价格不低于60元且不超过130元，对于游客所居住的每个房间，客栈每天需支出12元的各种费用，房价定为多少元时，客栈每天获利最大？最大利润是多少？
24．（12分）平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线yx+b交y轴于A，x轴于B，S△AOB＝8．
（1）求b的值；
（2）点C为射线BA上一动点，连接OC，以C为边作等边△OCD，点D在OC的右侧，求点D的纵坐标；
（3）在（2）的条件下，连接AD、BD，△BOC的面积是△ACD的面积的2倍，M是x轴上一点，连接DM，若∠DMB﹣∠DBM＝90°，求点M坐标．
25．（12分）点P是矩形ABCD的边BC上一动点，连接AP、DP，将△ABP、△DCP分别沿AP、DP翻折，得到△AB'P、△DC'P．
（1）如图1，PB'交AD于点M，PC'交AD于N，N在M的右侧，求证：PM+MN+PN＝AD；
（2）如图2，当P、B'、C'共线时，称点P为BC边上的“叠合点”．
①在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，点P为BC边上的“叠合点”，求DP的长；
②若在矩形ABCD中，AD＝4AB，点P是BC边上的“叠合点”，则 ．
2024—2025学年上学期广州初中数学九年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，判断各选项即可得出答案．
【解答】解：A、，含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、是最简二次根式，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2．（3分）△ABC中，已知AB＝1，AC＝2．要使∠B是直角，BC的长度是（ ）
A． B． C．3 D．或
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】先分析得出AC为斜边，AB为直角边，所以BC用勾股定理可求．
【解答】解：∵∠B是直角，故AC为△ABC的斜边，AB为直角边，
∴BC．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，用勾股定理的逆定理进行计算是解题关键．
3．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C．2 D．3
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】利用二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B、C进行判断．根据二次根式的性质对D进行判断．
【解答】解：A、与不能合并，所以A选项的计算错误；
B、原式，所以B选项的计算正确；
C、原式＝2，所以C选项的计算错误；
D、原式，所以D选项的计算错误．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
4．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+3＝0化成（x+a）2＝b的形式，则a、b的值分别是（ ）
A．3，12 B．﹣3，12 C．3，6 D．﹣3，6
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．
【解答】解：∵x2﹣6x+3＝0，
∴x2﹣6x＝﹣3，
则x2﹣6x+9＝﹣3+9，即（x﹣3）2＝6，
∴x＝﹣3，b＝6，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
5．（3分）一次函数y＝kx﹣5和y＝2x+b（k、b为常数）的图象关于y轴对称，则k，b的值分别为（ ）
A．k＝2，b＝5 B．k＝﹣2，b＝5 C．k＝2，b＝﹣5 D．k＝﹣2，b＝﹣5
【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】先求出y＝kx﹣5图象与y轴交点，则此交点在函数y＝2x+b图象上，求出b＝﹣5．再求出y＝2x﹣5与x轴的交点坐标为（，0），则y＝kx﹣5的图象经过点（，0），即可求出k＝﹣2．
【解答】解：∵当x＝0时，y＝kx﹣5＝﹣5，
∴y＝kx﹣5图象与y轴交于点（0，﹣5）．
∵（0，﹣5）关于y轴对称点就是本身，
∴（0，﹣5）在函数y＝2x+b图象上．
∴b＝﹣5．
∴一次函数y＝2x﹣5，它与x轴的交点坐标为（，0）．
∵y＝kx﹣5的图象与y＝2x﹣5的图象关于y轴对称，
∴y＝kx﹣5的图象经过点（，0），则0k﹣5，
∴k＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
6．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边BC的中点，AB＝4，则OE的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
【考点】三角形中位线定理；平行四边形的性质．
【答案】D
【分析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA＝OC；再根据点E是BC的中点，得出OE是△ABC的中位线，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC；
又∵点E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴根据三角形的中位线定理可得：AB＝2OE＝4．
则OE＝2
故选：D．
【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．还考查了三角形中位线的性质：三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半．
7．（3分）如图，EM经过圆心O，EM⊥CD于M，若CD＝4，EM＝6，则所在圆的半径为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】连接OC，设弧CED所在圆的半径为R，则OC＝R，OM＝6﹣R，根据垂径定理求出CM＝2，再在Rt△OMC中，根据勾股定理得出方程，求出即可．
【解答】解：如图，连接OC，
设弧CED所在圆的半径为R，则OC＝R，OM＝6﹣R，
∵EM经过圆心O，EM⊥CD于M，CD＝4，
∴CM＝DMCD＝2，
在Rt△OMC中，由勾股定理得：OC2＝OM2+CM2，
即R2＝（6﹣R）2+22，
解得：R，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（ ）
A．3 B．6 C．5 D．4
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；展开与折叠；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】由四边形ABCD为矩形，得到∠BAD为直角，由折叠得到EF⊥BD，AE＝EF，AB＝BF，利用勾股定理求出BD的长，由BD﹣BF求出DF的长，在Rt△DEF中，设EF＝x，表示出ED，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出DE的长．
【解答】解：∵矩形ABCD，
∴∠BAD＝90°，
由折叠可得，EF⊥BD，AE＝EF，AB＝BF，
在Rt△ABD中，AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，
根据勾股定理得：BD＝10，即FD＝10﹣6＝4，
设EF＝AE＝x，则有ED＝8﹣x，
根据勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
则DE＝8﹣3＝5，
故选：C．
【点评】此题考查了翻折变换，矩形的性质，以及勾股定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
9．（3分）生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度y（cm）与观察时间x（天）的关系，并画出如图所示的图象（CD∥x轴），该植物最高的高度是（ ）
A．50cm B．20cm C．16cm D．26cm
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】C
【分析】根据函数图象中的数据，可以计算出当0≤x≤50时，y与x的函数解析式，然后将x＝50代入函数解析式求出相应的y的值，从而可以写出该植物最高的高度．
【解答】解：当0≤x≤50时，设y与x的函数解析式为y＝kx+b，
∵点（0，6），（30，12）在该函数图象上，
∴，
解得，
即当0≤x≤50时，y与x的函数解析式为y＝0.2x+6，
当x＝50时，y＝0.2×50+6＝16，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．
10．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，点P、M分别是BD和BC上的动点，且点M与点B、C不重合，则PM+PC的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【考点】轴对称﹣最短路线问题；菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】连接AC，过点A作AM⊥BC，垂足为M，交BD于点P，根据菱形的性质可得BD垂直平分AC，从而可得PA＝PC，则PC+PM＝PA+PM，当A，P，M三点共线，且AM⊥BC时，PC+PM有最小值，然后在Rt△ABM中，进行计算即可解答．
【解答】解：连接AC，过点A作AM⊥BC，垂足为M，交BD于点P，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，
∴PA＝PC，
∴PC+PM＝PA+PM＝AM，此时PM+PC有最小值，
在Rt△ABM中，AB＝4，∠ABC＝60°，
∴∠BAM＝90°﹣∠ABC＝30°，
∴BMAB＝2，
∴AMBM＝2，
∴PM+PC的最小值是2，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，轴对称﹣最短路线问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是 x≥﹣6 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】x≥﹣6．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，列式计算即可得到答案．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x+6≥0，
∴x≥﹣6，
故答案为：x≥﹣6．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键．
12．（3分）已知点A（3a+6，a+4），B（﹣3，2），AB∥x轴，点P为直线AB上一点，且PA＝2PB，则点P的坐标为 （﹣6，2）或（﹣2，2） ．
【考点】坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【答案】（﹣6，2）或（﹣2，2）．
【分析】根据AB∥x轴，则A，B的纵坐标相等，求得a的值，进而确定A的坐标，根据PA＝2PB即可求解．
【解答】解：∵A（3a+6，a+4），B（﹣3，2），AB∥x轴，
∴a+4＝2，
解得a＝﹣2，
∴3a+6＝0，
∴A（0，2），
设P（m，2），
①当P在AB的延长线上时，PA＝2PB，0﹣m＝2（﹣3﹣m），
解得m＝﹣6，
∴P（﹣6，2），
②当P在线段AB上时，PA＝2PB，0﹣m＝2（m+3），
解得m＝﹣2，
∴P（﹣2，2），
③当P在BA的延长线上时，PA＜PB，不符合题意，
综上所述，点P的坐标为P（﹣6，2）或P（﹣2，2），
故答案为：（﹣6，2）或（﹣2，2）．
【点评】本题考查了坐标与图形，利用数形结合求得B点的坐标是解题的关键．
13．（3分）如图，点E在正方形ABCD的CD边上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，若四边形AECF的面积为16，DE＝3，则AE的长度为 5 ．
【考点】旋转的性质；勾股定理；正方形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】5．
【分析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．
【解答】解：∵把△ADE顺时针旋转△ABF的位置，
∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于16，
∴AD＝DC＝4，
∵DE＝3，
∴Rt△ADE中，AE5，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键．
14．（3分）已知直线y＝3mx﹣4+6m（m为常数，且m≠0），当m变化时，坐标原点到直线的最大距离是 2 ．
【考点】一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】2．
【分析】根据题意，设原点到直线的距离为d，将直线变形分析可得直线经过定点（﹣2，﹣4），设M（﹣2，﹣4），分析可得d≤|OM|，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设原点到直线的距离为d，
∵直线y＝3mx﹣4+6m＝3m（x+2）﹣4，
∴直线恒过定点（﹣2，﹣4），设M（﹣2，4），
则d≤|OM|2，
∴原点到直线的距离的最大值等于2，
故答案为：2．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，直线过定点问题，涉及两点间距离的计算，属于基础题，
15．（3分）若一元二次方程x2+2x﹣m＝0无实数根，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过第 一 象限．
【考点】根的判别式；一次函数的性质．
【专题】一元二次方程及应用；一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】一．
【分析】根据方程无实数根得出b2﹣4ac＜0，代入数据即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出m的取值范围，再根据m的取值范围来确定一次函数系数k、b的范围，由此即可得出一次函数经过的象限，此题得解．
【解答】解：由已知得：Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣m）＝4+4m＜0，
解得：m＜﹣1．
∵一次函数y＝（m+1）x+m﹣1中，k＝m+1＜0，b＝m﹣1＜0，
∴该一次函数图象在第二、三、四象限，不经过第一象限．
故答案为一．
【点评】本题考查了根的判别式以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是找出m的取值范围．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ACD＝60°，连接AC，BD，线段AC上存在动点E，连接DE，以DE为边，向左侧作等边△DEF，当点E从C运动至A时，点F所经过路径的长度为 4 ．
【考点】轨迹；等边三角形的判定与性质；矩形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】4．
【分析】设AC，BD交于点O，当E运动到点A时，F点运动到G点，连接DF，可证得△CDE≌△ODF，从而∠DOF＝∠CDO＝60°，从而得出F点在与OD成60° 的线段OG上运动，进一步得出结果．
【解答】解：设AC，BD交于点O，当E运动到点A时，F点运动到G点，
连接DF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OD，CD＝AB＝2，∠ADC＝90°，
∴OC＝OD，
∴∠ACD＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴∠CDO＝∠CDO＝60°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠CDO＝90°﹣60°＝30°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝DF，∠EDF＝60°，
∴∠EDF＝∠CDO，
∴∠EDF﹣∠ODE＝∠CDO﹣∠ODE，
∴∠ODF＝∠CDE，
∴△CDE≌△ODF（SAS），
∴∠DOF＝∠CDO＝60°，
∴F点在与OD成60° 的线段OG上运动，
∵∠ADG＝60°，
∴∠ODG＝∠ADG+∠ADO＝90°，
∴OG＝2OD＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）计算
（1）；
（2）（1）（1）+6（1）2．
【考点】二次根式的混合运算；平方差公式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）3；
（2）0．
【分析】（1）先根据二次根式的乘法运算，然后把二次根式化为最简二次根式候合并即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式计算．
【解答】解：（1）原式2
2
＝3；
（2）原式＝5﹣1+2（1+23）
＝4+24﹣2
＝0．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18．（4分）如图，在 ABCD中，点O是对角线AC中点，过点O作AC的垂线，分别与边AB、CD交于点F、E．
（1）求证：△AOF≌△COE；
（2）连接AE、CF，求证：四边形AFCE是菱形．
【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质．
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】证明见解答．
【分析】（1）由平行线的性质得出∠OAF＝∠OCE．证出AO＝CO．由ASA证明△AOF≌△COE即可；
（2）由全等三角形的性质得出AE＝CF，证出四边形AFCE为平行四边形，再由EF⊥AC，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠OAE＝∠OCF．
∵O是AC中点，∴AO＝CO．
在△AOE和△COF中，
．
∴△AOF≌△COE（ASA）．
（2）四边形AFCE为菱形，理由如下：
∵△AOF≌△COE，
∴AF＝CE．
又AF∥CE，
∴四边形AFCE为平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AFCE为菱形．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及菱形的判定，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
19．（6分）关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为满足条件的最小负整数，求出此时方程的根．
【考点】根的判别式；解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】因式分解；判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）k；
（2）x1＝1，x2＝2．
【分析】（1）根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4×（﹣k）＞0，然后解不等式即可；
（2）利用k的取值范围得到k的最小负整数为﹣2，则方程化为x2﹣3x+2＝0，然后利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4×（﹣k）＞0，
解得k．
故k的取值范围为k；
（2）k的最小负整数为﹣2，此时方程化为x2﹣3x+2＝0，
（x﹣1）（x﹣2）＝0，
x﹣1＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝1，x2＝2．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
20．（6分）某校举办了一次趣味数学竞赛，满分100分，学生得分均为整数，达到成绩60分及以上为合格，达到90分及以上为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩如下（单位：分）
甲组：30，60，60，60，60，60，70，90，90，100
乙组：50，60，60，60，70，70，70，70，80，90
组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率
甲组 68 a 376 90% 30%
乙组 b c 90% 10%
（1）以上成绩统计分析表中a＝ 60 分，b＝ 68 分，c＝ 70 分；
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了70分，在我们小组中属中游略偏上!”观察上面表格判断，小明可能是甲、乙哪个组的学生？并说明理由．
（3）计算乙组成绩的方差，如果你是该校数学竞赛的教练员，从平均分和方差的角度考虑，现在需要你选一组同学代表学校参加复赛，你会选择哪组？并说明理由．
【考点】方差；算术平均数；中位数．
【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念；运算能力．
【答案】（1）60，68，70；（2）小亮得了70分，在小组中属中游略偏上，说明中位数小于70，因此在甲组；
（3）选择甲组，虽然甲组的方差大，数据不稳定，但是甲组的合格率、优秀率都高于乙组，并且有考满分的同学，很有可能获得个人第一名．
【分析】（1）计算甲组的中位数，乙组的平均数和中位数，进而得出答案，
（2）根据中位数的意义，可以判断所在的组的中位数小于70，因此得出在甲组，
（3）从平均分和方差等方面说明理由．
【解答】解：（1）甲组成绩从小到大排列处在第5、6位的两个数都是60，因此中位数是60，即a＝60，
（50+60×3+70×4+80+90）÷10＝68分，即b＝68，
乙组成绩从小到大排列处在第5、6位的两个数都是70，因此中位数是70，即c＝70，
故答案为：60，68，70；
（2）小亮得了70分，在小组中属中游略偏上，说明中位数小于70，因此在甲组，
（3）（70﹣68）2×4+（80﹣68）2+（90﹣68）2]＝116，
选择甲组，虽然甲组的方差大，数据不稳定，但是甲组的合格率、优秀率都高于乙组，并且有考满分的同学，很有可能获得个人第一名．
【点评】考查众数、中位数、平均数的意义和计算方法，理解各个统计量的意义及各个统计量所反映数据的特点是解决问题的关键．
21．（8分）在平面直角坐标系中，有一条直线经过点（1，1）和点（﹣2，﹣5），求这条直线的表达式．
【考点】待定系数法求一次函数解析式．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】y＝2x﹣1．
【分析】直线的解析式都是一次函数的形式，设其解析式为y＝kx+b（k≠0）；已知直线上两点的坐标，利用待定系数法可得直线解析式．
【解答】解：设这条直线的表达式是y＝kx+b（k≠0），
将（1，1）和（﹣2，﹣5）代入得：
，
解得，
∴这条直线的表达式是y＝2x﹣1．
【点评】本题侧重考查求直线解析式的题目，需掌握待定系数法求函数解析式的步骤．
22．（10分）如图，已知菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，E是BC边上一动点，F是CD边上一动点，且BE＝CF，连接AE、AF．
（1）∠EAF的度数是 60° ；
（2）求证：AE＝AF；
（3）延长AF交BC的延长线于点G，当∠BAE＝30°时，求点F到BG的距离
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）60°；
（2）见解答过程；
（3）点F到BG的距离．
【分析】（1）根据菱形的性质，判断△ABC是正三角形，证明△ABE≌△ACF，进而得到答案；
（2）根据△ABE≌△ACF求解；
（3）当∠BAE＝30°时，∠B＝60°，得到AE⊥BC，再利用勾股定理和三角形中位线求解．
【解答】解：（1）连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是正三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°，
∴∠ACF＝∠ACB＝60°，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴∠BAE＝∠CAF，
∴∠EAF＝∠EAC+∠CAF＝∠EAC+∠BAE＝60°，
故答案为60°；
（2）由（1）可知，△ABE≌△ACF，
∴AE＝AF，
（3）当∠BAE＝30°时，
∵∠B＝60°，
∴∠AEB＝90°，
∵∴△ABC是正三角形，
∴E为BC中点，
∴F为CD中点，
在Rt△ABE中，AB＝6，BE＝3，
∴AE3，
过点F作FH⊥CG于点H，
∵F为CD中点，FH∥AE，
∴FH为△AEG中位线，
∴FH，
∴点F到BG的距离．
【点评】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，解题关键是借助菱形的性质证明三角形全等和判定是等边三角形求解．
23．（10分）为实现2020年脱贫目标，某屯结合自身丰富的山水资源，大力发展旅游业，在乡政府的支持下，以家家入股的形式办起了农家客栈，专门接待游客，客栈共有80间客房．其中游客居住房间数y（间）与房间单价x（元）之间的函数图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若每个房间的价格不低于60元且不超过130元，对于游客所居住的每个房间，客栈每天需支出12元的各种费用，房价定为多少元时，客栈每天获利最大？最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用；待定系数法求一次函数解析式．
【专题】一次函数及其应用；二次函数的应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式；
（2）根据题意可以得到利润与x之间的函数解析式，从而可以求得最大利润．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
，解得，
即y与x之间的函数关系式是y＝﹣0.5x+110；
（2）设客栈每天获得的利润为m元，
m＝x（﹣0.5x+110）﹣12（﹣0.5x+110）＝﹣0.5x2+116x﹣1320，
＝﹣0.5（x﹣116）2+5408，
∵60≤x≤130，
∴当x＝116时，m取得最大值，此时m＝5408，
答：房价定为116元时，客栈每天获利最大，最大利润是5408元．
【点评】本题考查运用待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
24．（12分）平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线yx+b交y轴于A，x轴于B，S△AOB＝8．
（1）求b的值；
（2）点C为射线BA上一动点，连接OC，以C为边作等边△OCD，点D在OC的右侧，求点D的纵坐标；
（3）在（2）的条件下，连接AD、BD，△BOC的面积是△ACD的面积的2倍，M是x轴上一点，连接DM，若∠DMB﹣∠DBM＝90°，求点M坐标．
【考点】一次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）b＝4；（2）点D的纵坐标是2；（3）M（）或M（7，0）．
【分析】（1）由直线yx+b交y轴于A，x轴于B可得A（0，b），B（b，0），则OA＝b，OBb，根据S△AOB＝8即可求得b的值；
（2）过点O作OE⊥AB于E，过点D作DF⊥x轴于F，由（1）可得OA＝4，OB＝4，可得∠ABO＝60°，OE＝2，由等边△OCD可得∠COD＝60°，OC＝OD，根据三角形的内角和以及平角的定义可得∠1+∠BOC＝120°，∠2+∠BOC＝120°，可得∠1＝∠2，由AAS可得△OEC≌△OFD，即可得DF＝OE＝2，即点D的纵坐标的值；
（3）分两种情况：①点C在线段AB上，②点C在线段AB延长线上，过点C作CE⊥OB于E，过点D作DF⊥AB于F，过点D作DN⊥OB于N，根据全等三角形的判定和性质求出CE，BC，再利用△BOC的面积是△ACD的面积的2倍以及直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵直线yx+b交y轴于A，x轴于B，
∴A（0，b），B（b，0），
∴OA＝b，OBb，
∵S△AOB＝8，
∴OB OAb×b＝8，即b2＝48，
∴b＝4；
（2）过点O作OE⊥AB于E，过点D作DF⊥x轴于F，
由（1）得OA＝4，OB＝4，
∵∠AOB＝90°，
∴AB8，
∴∠ABO＝60°，
∵OE⊥AB，
∴∠OEC＝90°，∠BOE＝30°，OE＝2，
∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝60°，OC＝OD，
∵∠ABO＝60°，
∴∠1+∠BOC＝120°，∠2+∠BOC＝120°，
∴∠1＝∠2，
∵OE⊥AB，DF⊥x轴，
∴∠OEC＝∠OFD＝90°，
∴△OEC≌△OFD（AAS），
∴DF＝OE＝2，即点D的纵坐标是2；
（3）分两种情况：①点C在线段AB上，如图2，
过点C作CE⊥OB于E，过点D作DF⊥AB于F，过点D作DN⊥OB于N，
∴∠DFC＝∠CEO＝90°，
∵△OCD是等边三角形，
∴∠OCD＝60°，OC＝CD，
∵∠ABO＝60°，
∴∠DCF+∠BCO＝120°，∠BCO+∠BOC＝120°，
∴∠DCF＝∠BOC，
∴△OEC≌△CFD（AAS），
∴DF＝CE，CF＝OE，
∵△BOC的面积是△ACD的面积的2倍，
∴2S△ACD＝2AC DF＝S△BOCOB CE＝2CE，
∴AC＝2，
在Rt△AOB中，OB＝4，OA＝4，
∴AB8，
∴BC＝6，
在Rt△CBE中，∠CBE＝60°，BC＝6，
∴BE＝3，CE＝3，
∴DF＝CE＝3，OE＝CF＝OB﹣BE＝4﹣3＝1，BF＝BC+CF＝6+1＝7，
在Rt△DFB中，BD2，
由（2）得点D的纵坐标是2，
∴DN＝2，
∴BN8，
∵∠DMB﹣∠DBM＝90°，∠DMB＝∠MDN+90°，
∴∠DBM＝∠MDN，
∵tan∠DBN，
∴tan∠MDN，
∴MN，
∴OM＝BN﹣OB﹣MN＝8﹣4，
∴点M坐标为（，0）；
②点C在线段AB延长线上，
过点C作CE⊥OB于E，过点D作DF⊥AB于F，过点D作DN⊥OB于N，
∴∠DFC＝∠CEO＝90°，
∵△OCD是等边三角形，
∴∠OCD＝∠COD＝60°，OC＝CD，
∵∠ABO＝60°，
∴∠BOC+∠BCO＝120°，∠DOE+∠BOC＝120°，
∴∠DOE＝∠BCO，
∵∠DCF＝∠BCO+∠OCD＝∠BCO+60°，∠COE＝∠COD+∠DOE＝∠DOE+60°，
∴∠DCF＝∠COE，
∴△DCF≌△COE（AAS），
∴DF＝CE，CF＝OE，
∵△BOC的面积是△ACD的面积的2倍，
∴2S△ACD＝2AC DF＝S△BOCOB CE＝2CE，
∴AC＝2，
在Rt△AOB中，OB＝4，OA＝4，
∴AB8，
∴BC＝10，
在Rt△CBE中，∠CBE＝60°，BC＝10，
∴BE＝5，CE＝5，
∴DF＝CE＝5，OE＝CF＝BE﹣OB＝5﹣4＝1，BF＝BC﹣CF＝9，
在Rt△DFB中，BD2，
由（2）得点D的纵坐标是2，
∴DN＝2，
∴BN12，
∵∠DMB﹣∠DBM＝90°，∠DMB＝∠MDN+90°，
∴∠DBM＝∠MDN，
∵tan∠DBN，
∴tan∠MDN，
∴MN＝1，
∴OM＝BN﹣OB﹣MN＝12﹣4﹣1＝7，
∴点M坐标为（7，0）．
综上，点M坐标为M（）或M（7，0）．
【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，构造全等三角形是解本题的关键．
25．（12分）点P是矩形ABCD的边BC上一动点，连接AP、DP，将△ABP、△DCP分别沿AP、DP翻折，得到△AB'P、△DC'P．
（1）如图1，PB'交AD于点M，PC'交AD于N，N在M的右侧，求证：PM+MN+PN＝AD；
（2）如图2，当P、B'、C'共线时，称点P为BC边上的“叠合点”．
①在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，点P为BC边上的“叠合点”，求DP的长；
②若在矩形ABCD中，AD＝4AB，点P是BC边上的“叠合点”，则 7±4 ．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）①2或4；
②7±4．
【分析】（1）利用平行线的性质翻折变换的性质证明MA＝MB，NP＝ND，可得结论；
（2）①由矩形的性质得出AB＝CD＝4，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝90°，设CP＝x，则BP＝10﹣x，由勾股定理得出102＝42+（10﹣x）2+42+x2，求得x＝2或x＝8，则可求出答案；
②设CP＝x，则BP＝4AB﹣x，由矩形的性质及勾股定理得出4AB2＝AB2+（4AB﹣x）2+AB2+x2，求出x＝（2）AB或x＝（2）AB，则可求出答案．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠APB＝∠PAM，
由翻折的性质可知∠APB＝∠APM，
∴∠APM＝∠PAM，
∴MA＝MP，
同法可证NP＝DN，
∴PM+MN+KN＝AM+MN+DN＝AD；
（2）①∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝90°，
设CP＝x，则BP＝10﹣x，
在Rt△ABP中，AP2＝AB2+BP2＝42+（10﹣x）2，
在Rt△CDP中，DP2＝CD2+CP2＝42+x2，
由折叠的性质可知，∠APB＝∠APB'，∠DPC＝∠DPC'，
∴∠APD＝∠APB'+∠DPC'（∠BPB'+∠CPC'）＝90°，
在Rt△APD中，AD2＝AP2+DP2，
∴102＝42+（10﹣x）2+42+x2，
解得x＝2或x＝8，
∴CP的长为2或8，
当CP＝2时，DP2；
当CP＝8时，DP4；
综上所述，DP的长为2或4；
②∵四边形ABCD是矩形，AD＝4AB，
∴AB＝CD，AD＝BC＝4AB，∠B＝∠C＝90°，
设CP＝x，则BP＝4AB﹣x，
在Rt△ABP中，AP2＝AB2+BP2＝AB2+（4AB﹣x）2，
在Rt△CDP中，DP2＝CD2+CP2＝AB2+x2，
由①得，∠APD＝90°，
在Rt△APD中，AD2＝AP2+DP2，
∴4AB2＝AB2+（4AB﹣x）2+AB2+x2，
解得x＝（2）AB或x＝（2）AB，
当CP＝（2）AB时，BP＝（2）AB，
∴7﹣4；
当CP＝（2）AB时，BP＝（2）AB，
∴7+4；
综上所述，的值为7±4．
故答案为：7±4．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
考点卡片
1．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
2．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
3．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
4．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
5．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
6．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
7．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
8．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
9．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
10．一次函数图象与几何变换
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；
（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；
（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．
（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）
11．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
12．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
13．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
14．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
15．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
16．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
17．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
18．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
19．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
20．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
21．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
22．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度）
23．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
24．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
25．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
26．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
27．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
28．轨迹
轨迹 数学概念轨迹数学概念：在数学中，轨迹是由满足坐标关系的特定方程的所有点，或由一个点、线或运动曲面构成的曲线或其他形状．所有的形状，如圆、椭圆、抛物线、双曲线等．
29．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
30．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
31．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
32．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
33．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
34．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
2024—2025学年上学期广州初中数学九年级开学模拟试卷2
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）△ABC中，已知AB＝1，AC＝2．要使∠B是直角，BC的长度是（ ）
A． B． C．3 D．或
3．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C．2 D．3
4．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+3＝0化成（x+a）2＝b的形式，则a、b的值分别是（ ）
A．3，12 B．﹣3，12 C．3，6 D．﹣3，6
5．（3分）一次函数y＝kx﹣5和y＝2x+b（k、b为常数）的图象关于y轴对称，则k，b的值分别为（ ）
A．k＝2，b＝5 B．k＝﹣2，b＝5 C．k＝2，b＝﹣5 D．k＝﹣2，b＝﹣5
6．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边BC的中点，AB＝4，则OE的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
7．（3分）如图，EM经过圆心O，EM⊥CD于M，若CD＝4，EM＝6，则所在圆的半径为（ ）
A．3 B．4 C． D．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（ ）
A．3 B．6 C．5 D．4
9．（3分）生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度y（cm）与观察时间x（天）的关系，并画出如图所示的图象（CD∥x轴），该植物最高的高度是（ ）
A．50cm B．20cm C．16cm D．26cm
10．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，点P、M分别是BD和BC上的动点，且点M与点B、C不重合，则PM+PC的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D．4
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（3分）已知点A（3a+6，a+4），B（﹣3，2），AB∥x轴，点P为直线AB上一点，且PA＝2PB，则点P的坐标为 ．
13．（3分）如图，点E在正方形ABCD的CD边上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，若四边形AECF的面积为16，DE＝3，则AE的长度为 ．
14．（3分）已知直线y＝3mx﹣4+6m（m为常数，且m≠0），当m变化时，坐标原点到直线的最大距离是 ．
15．（3分）若一元二次方程x2+2x﹣m＝0无实数根，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过第 象限．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ACD＝60°，连接AC，BD，线段AC上存在动点E，连接DE，以DE为边，向左侧作等边△DEF，当点E从C运动至A时，点F所经过路径的长度为 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）计算
（1）；
（2）（1）（1）+6（1）2．
18．（4分）如图，在 ABCD中，点O是对角线AC中点，过点O作AC的垂线，分别与边AB、CD交于点F、E．
（1）求证：△AOF≌△COE；
（2）连接AE、CF，求证：四边形AFCE是菱形．
19．（6分）关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为满足条件的最小负整数，求出此时方程的根．
20．（6分）某校举办了一次趣味数学竞赛，满分100分，学生得分均为整数，达到成绩60分及以上为合格，达到90分及以上为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩如下（单位：分）
甲组：30，60，60，60，60，60，70，90，90，100
乙组：50，60，60，60，70，70，70，70，80，90
组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率
甲组 68 a 376 90% 30%
乙组 b c 90% 10%
（1）以上成绩统计分析表中a＝ 分，b＝ 分，c＝ 分；
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了70分，在我们小组中属中游略偏上!”观察上面表格判断，小明可能是甲、乙哪个组的学生？并说明理由．
（3）计算乙组成绩的方差，如果你是该校数学竞赛的教练员，从平均分和方差的角度考虑，现在需要你选一组同学代表学校参加复赛，你会选择哪组？并说明理由．
21．（8分）在平面直角坐标系中，有一条直线经过点（1，1）和点（﹣2，﹣5），求这条直线的表达式．
22．（10分）如图，已知菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，E是BC边上一动点，F是CD边上一动点，且BE＝CF，连接AE、AF．
（1）∠EAF的度数是 ；
（2）求证：AE＝AF；
（3）延长AF交BC的延长线于点G，当∠BAE＝30°时，求点F到BG的距离
23．（10分）为实现2020年脱贫目标，某屯结合自身丰富的山水资源，大力发展旅游业，在乡政府的支持下，以家家入股的形式办起了农家客栈，专门接待游客，客栈共有80间客房．其中游客居住房间数y（间）与房间单价x（元）之间的函数图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若每个房间的价格不低于60元且不超过130元，对于游客所居住的每个房间，客栈每天需支出12元的各种费用，房价定为多少元时，客栈每天获利最大？最大利润是多少？
24．（12分）平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线yx+b交y轴于A，x轴于B，S△AOB＝8．
（1）求b的值；
（2）点C为射线BA上一动点，连接OC，以C为边作等边△OCD，点D在OC的右侧，求点D的纵坐标；
（3）在（2）的条件下，连接AD、BD，△BOC的面积是△ACD的面积的2倍，M是x轴上一点，连接DM，若∠DMB﹣∠DBM＝90°，求点M坐标．
25．（12分）点P是矩形ABCD的边BC上一动点，连接AP、DP，将△ABP、△DCP分别沿AP、DP翻折，得到△AB'P、△DC'P．
（1）如图1，PB'交AD于点M，PC'交AD于N，N在M的右侧，求证：PM+MN+PN＝AD；
（2）如图2，当P、B'、C'共线时，称点P为BC边上的“叠合点”．
①在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，点P为BC边上的“叠合点”，求DP的长；
②若在矩形ABCD中，AD＝4AB，点P是BC边上的“叠合点”，则 ．
2024—2025学年上学期广州初中数学九年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，判断各选项即可得出答案．
【解答】解：A、，含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、是最简二次根式，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2．（3分）△ABC中，已知AB＝1，AC＝2．要使∠B是直角，BC的长度是（ ）
A． B． C．3 D．或
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】先分析得出AC为斜边，AB为直角边，所以BC用勾股定理可求．
【解答】解：∵∠B是直角，故AC为△ABC的斜边，AB为直角边，
∴BC．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，用勾股定理的逆定理进行计算是解题关键．
3．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C．2 D．3
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】利用二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B、C进行判断．根据二次根式的性质对D进行判断．
【解答】解：A、与不能合并，所以A选项的计算错误；
B、原式，所以B选项的计算正确；
C、原式＝2，所以C选项的计算错误；
D、原式，所以D选项的计算错误．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
4．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+3＝0化成（x+a）2＝b的形式，则a、b的值分别是（ ）
A．3，12 B．﹣3，12 C．3，6 D．﹣3，6
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．
【解答】解：∵x2﹣6x+3＝0，
∴x2﹣6x＝﹣3，
则x2﹣6x+9＝﹣3+9，即（x﹣3）2＝6，
∴x＝﹣3，b＝6，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
5．（3分）一次函数y＝kx﹣5和y＝2x+b（k、b为常数）的图象关于y轴对称，则k，b的值分别为（ ）
A．k＝2，b＝5 B．k＝﹣2，b＝5 C．k＝2，b＝﹣5 D．k＝﹣2，b＝﹣5
【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】先求出y＝kx﹣5图象与y轴交点，则此交点在函数y＝2x+b图象上，求出b＝﹣5．再求出y＝2x﹣5与x轴的交点坐标为（，0），则y＝kx﹣5的图象经过点（，0），即可求出k＝﹣2．
【解答】解：∵当x＝0时，y＝kx﹣5＝﹣5，
∴y＝kx﹣5图象与y轴交于点（0，﹣5）．
∵（0，﹣5）关于y轴对称点就是本身，
∴（0，﹣5）在函数y＝2x+b图象上．
∴b＝﹣5．
∴一次函数y＝2x﹣5，它与x轴的交点坐标为（，0）．
∵y＝kx﹣5的图象与y＝2x﹣5的图象关于y轴对称，
∴y＝kx﹣5的图象经过点（，0），则0k﹣5，
∴k＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
6．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边BC的中点，AB＝4，则OE的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
【考点】三角形中位线定理；平行四边形的性质．
【答案】D
【分析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA＝OC；再根据点E是BC的中点，得出OE是△ABC的中位线，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC；
又∵点E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴根据三角形的中位线定理可得：AB＝2OE＝4．
则OE＝2
故选：D．
【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．还考查了三角形中位线的性质：三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半．
7．（3分）如图，EM经过圆心O，EM⊥CD于M，若CD＝4，EM＝6，则所在圆的半径为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】连接OC，设弧CED所在圆的半径为R，则OC＝R，OM＝6﹣R，根据垂径定理求出CM＝2，再在Rt△OMC中，根据勾股定理得出方程，求出即可．
【解答】解：如图，连接OC，
设弧CED所在圆的半径为R，则OC＝R，OM＝6﹣R，
∵EM经过圆心O，EM⊥CD于M，CD＝4，
∴CM＝DMCD＝2，
在Rt△OMC中，由勾股定理得：OC2＝OM2+CM2，
即R2＝（6﹣R）2+22，
解得：R，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（ ）
A．3 B．6 C．5 D．4
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；展开与折叠；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】由四边形ABCD为矩形，得到∠BAD为直角，由折叠得到EF⊥BD，AE＝EF，AB＝BF，利用勾股定理求出BD的长，由BD﹣BF求出DF的长，在Rt△DEF中，设EF＝x，表示出ED，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出DE的长．
【解答】解：∵矩形ABCD，
∴∠BAD＝90°，
由折叠可得，EF⊥BD，AE＝EF，AB＝BF，
在Rt△ABD中，AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，
根据勾股定理得：BD＝10，即FD＝10﹣6＝4，
设EF＝AE＝x，则有ED＝8﹣x，
根据勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
则DE＝8﹣3＝5，
故选：C．
【点评】此题考查了翻折变换，矩形的性质，以及勾股定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
9．（3分）生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度y（cm）与观察时间x（天）的关系，并画出如图所示的图象（CD∥x轴），该植物最高的高度是（ ）
A．50cm B．20cm C．16cm D．26cm
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】C
【分析】根据函数图象中的数据，可以计算出当0≤x≤50时，y与x的函数解析式，然后将x＝50代入函数解析式求出相应的y的值，从而可以写出该植物最高的高度．
【解答】解：当0≤x≤50时，设y与x的函数解析式为y＝kx+b，
∵点（0，6），（30，12）在该函数图象上，
∴，
解得，
即当0≤x≤50时，y与x的函数解析式为y＝0.2x+6，
当x＝50时，y＝0.2×50+6＝16，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．
10．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，点P、M分别是BD和BC上的动点，且点M与点B、C不重合，则PM+PC的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【考点】轴对称﹣最短路线问题；菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】连接AC，过点A作AM⊥BC，垂足为M，交BD于点P，根据菱形的性质可得BD垂直平分AC，从而可得PA＝PC，则PC+PM＝PA+PM，当A，P，M三点共线，且AM⊥BC时，PC+PM有最小值，然后在Rt△ABM中，进行计算即可解答．
【解答】解：连接AC，过点A作AM⊥BC，垂足为M，交BD于点P，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，
∴PA＝PC，
∴PC+PM＝PA+PM＝AM，此时PM+PC有最小值，
在Rt△ABM中，AB＝4，∠ABC＝60°，
∴∠BAM＝90°﹣∠ABC＝30°，
∴BMAB＝2，
∴AMBM＝2，
∴PM+PC的最小值是2，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，轴对称﹣最短路线问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是 x≥﹣6 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】x≥﹣6．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，列式计算即可得到答案．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x+6≥0，
∴x≥﹣6，
故答案为：x≥﹣6．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键．
12．（3分）已知点A（3a+6，a+4），B（﹣3，2），AB∥x轴，点P为直线AB上一点，且PA＝2PB，则点P的坐标为 （﹣6，2）或（﹣2，2） ．
【考点】坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【答案】（﹣6，2）或（﹣2，2）．
【分析】根据AB∥x轴，则A，B的纵坐标相等，求得a的值，进而确定A的坐标，根据PA＝2PB即可求解．
【解答】解：∵A（3a+6，a+4），B（﹣3，2），AB∥x轴，
∴a+4＝2，
解得a＝﹣2，
∴3a+6＝0，
∴A（0，2），
设P（m，2），
①当P在AB的延长线上时，PA＝2PB，0﹣m＝2（﹣3﹣m），
解得m＝﹣6，
∴P（﹣6，2），
②当P在线段AB上时，PA＝2PB，0﹣m＝2（m+3），
解得m＝﹣2，
∴P（﹣2，2），
③当P在BA的延长线上时，PA＜PB，不符合题意，
综上所述，点P的坐标为P（﹣6，2）或P（﹣2，2），
故答案为：（﹣6，2）或（﹣2，2）．
【点评】本题考查了坐标与图形，利用数形结合求得B点的坐标是解题的关键．
13．（3分）如图，点E在正方形ABCD的CD边上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，若四边形AECF的面积为16，DE＝3，则AE的长度为 5 ．
【考点】旋转的性质；勾股定理；正方形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】5．
【分析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．
【解答】解：∵把△ADE顺时针旋转△ABF的位置，
∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于16，
∴AD＝DC＝4，
∵DE＝3，
∴Rt△ADE中，AE5，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键．
14．（3分）已知直线y＝3mx﹣4+6m（m为常数，且m≠0），当m变化时，坐标原点到直线的最大距离是 2 ．
【考点】一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】2．
【分析】根据题意，设原点到直线的距离为d，将直线变形分析可得直线经过定点（﹣2，﹣4），设M（﹣2，﹣4），分析可得d≤|OM|，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设原点到直线的距离为d，
∵直线y＝3mx﹣4+6m＝3m（x+2）﹣4，
∴直线恒过定点（﹣2，﹣4），设M（﹣2，4），
则d≤|OM|2，
∴原点到直线的距离的最大值等于2，
故答案为：2．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，直线过定点问题，涉及两点间距离的计算，属于基础题，
15．（3分）若一元二次方程x2+2x﹣m＝0无实数根，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过第 一 象限．
【考点】根的判别式；一次函数的性质．
【专题】一元二次方程及应用；一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】一．
【分析】根据方程无实数根得出b2﹣4ac＜0，代入数据即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出m的取值范围，再根据m的取值范围来确定一次函数系数k、b的范围，由此即可得出一次函数经过的象限，此题得解．
【解答】解：由已知得：Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣m）＝4+4m＜0，
解得：m＜﹣1．
∵一次函数y＝（m+1）x+m﹣1中，k＝m+1＜0，b＝m﹣1＜0，
∴该一次函数图象在第二、三、四象限，不经过第一象限．
故答案为一．
【点评】本题考查了根的判别式以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是找出m的取值范围．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ACD＝60°，连接AC，BD，线段AC上存在动点E，连接DE，以DE为边，向左侧作等边△DEF，当点E从C运动至A时，点F所经过路径的长度为 4 ．
【考点】轨迹；等边三角形的判定与性质；矩形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】4．
【分析】设AC，BD交于点O，当E运动到点A时，F点运动到G点，连接DF，可证得△CDE≌△ODF，从而∠DOF＝∠CDO＝60°，从而得出F点在与OD成60° 的线段OG上运动，进一步得出结果．
【解答】解：设AC，BD交于点O，当E运动到点A时，F点运动到G点，
连接DF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OD，CD＝AB＝2，∠ADC＝90°，
∴OC＝OD，
∴∠ACD＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴∠CDO＝∠CDO＝60°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠CDO＝90°﹣60°＝30°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝DF，∠EDF＝60°，
∴∠EDF＝∠CDO，
∴∠EDF﹣∠ODE＝∠CDO﹣∠ODE，
∴∠ODF＝∠CDE，
∴△CDE≌△ODF（SAS），
∴∠DOF＝∠CDO＝60°，
∴F点在与OD成60° 的线段OG上运动，
∵∠ADG＝60°，
∴∠ODG＝∠ADG+∠ADO＝90°，
∴OG＝2OD＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）计算
（1）；
（2）（1）（1）+6（1）2．
【考点】二次根式的混合运算；平方差公式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）3；
（2）0．
【分析】（1）先根据二次根式的乘法运算，然后把二次根式化为最简二次根式候合并即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式计算．
【解答】解：（1）原式2
2
＝3；
（2）原式＝5﹣1+2（1+23）
＝4+24﹣2
＝0．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18．（4分）如图，在 ABCD中，点O是对角线AC中点，过点O作AC的垂线，分别与边AB、CD交于点F、E．
（1）求证：△AOF≌△COE；
（2）连接AE、CF，求证：四边形AFCE是菱形．
【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质．
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】证明见解答．
【分析】（1）由平行线的性质得出∠OAF＝∠OCE．证出AO＝CO．由ASA证明△AOF≌△COE即可；
（2）由全等三角形的性质得出AE＝CF，证出四边形AFCE为平行四边形，再由EF⊥AC，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠OAE＝∠OCF．
∵O是AC中点，∴AO＝CO．
在△AOE和△COF中，
．
∴△AOF≌△COE（ASA）．
（2）四边形AFCE为菱形，理由如下：
∵△AOF≌△COE，
∴AF＝CE．
又AF∥CE，
∴四边形AFCE为平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AFCE为菱形．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及菱形的判定，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
19．（6分）关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为满足条件的最小负整数，求出此时方程的根．
【考点】根的判别式；解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】因式分解；判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）k；
（2）x1＝1，x2＝2．
【分析】（1）根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4×（﹣k）＞0，然后解不等式即可；
（2）利用k的取值范围得到k的最小负整数为﹣2，则方程化为x2﹣3x+2＝0，然后利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4×（﹣k）＞0，
解得k．
故k的取值范围为k；
（2）k的最小负整数为﹣2，此时方程化为x2﹣3x+2＝0，
（x﹣1）（x﹣2）＝0，
x﹣1＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝1，x2＝2．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
20．（6分）某校举办了一次趣味数学竞赛，满分100分，学生得分均为整数，达到成绩60分及以上为合格，达到90分及以上为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩如下（单位：分）
甲组：30，60，60，60，60，60，70，90，90，100
乙组：50，60，60，60，70，70，70，70，80，90
组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率
甲组 68 a 376 90% 30%
乙组 b c 90% 10%
（1）以上成绩统计分析表中a＝ 60 分，b＝ 68 分，c＝ 70 分；
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了70分，在我们小组中属中游略偏上!”观察上面表格判断，小明可能是甲、乙哪个组的学生？并说明理由．
（3）计算乙组成绩的方差，如果你是该校数学竞赛的教练员，从平均分和方差的角度考虑，现在需要你选一组同学代表学校参加复赛，你会选择哪组？并说明理由．
【考点】方差；算术平均数；中位数．
【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念；运算能力．
【答案】（1）60，68，70；（2）小亮得了70分，在小组中属中游略偏上，说明中位数小于70，因此在甲组；
（3）选择甲组，虽然甲组的方差大，数据不稳定，但是甲组的合格率、优秀率都高于乙组，并且有考满分的同学，很有可能获得个人第一名．
【分析】（1）计算甲组的中位数，乙组的平均数和中位数，进而得出答案，
（2）根据中位数的意义，可以判断所在的组的中位数小于70，因此得出在甲组，
（3）从平均分和方差等方面说明理由．
【解答】解：（1）甲组成绩从小到大排列处在第5、6位的两个数都是60，因此中位数是60，即a＝60，
（50+60×3+70×4+80+90）÷10＝68分，即b＝68，
乙组成绩从小到大排列处在第5、6位的两个数都是70，因此中位数是70，即c＝70，
故答案为：60，68，70；
（2）小亮得了70分，在小组中属中游略偏上，说明中位数小于70，因此在甲组，
（3）（70﹣68）2×4+（80﹣68）2+（90﹣68）2]＝116，
选择甲组，虽然甲组的方差大，数据不稳定，但是甲组的合格率、优秀率都高于乙组，并且有考满分的同学，很有可能获得个人第一名．
【点评】考查众数、中位数、平均数的意义和计算方法，理解各个统计量的意义及各个统计量所反映数据的特点是解决问题的关键．
21．（8分）在平面直角坐标系中，有一条直线经过点（1，1）和点（﹣2，﹣5），求这条直线的表达式．
【考点】待定系数法求一次函数解析式．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】y＝2x﹣1．
【分析】直线的解析式都是一次函数的形式，设其解析式为y＝kx+b（k≠0）；已知直线上两点的坐标，利用待定系数法可得直线解析式．
【解答】解：设这条直线的表达式是y＝kx+b（k≠0），
将（1，1）和（﹣2，﹣5）代入得：
，
解得，
∴这条直线的表达式是y＝2x﹣1．
【点评】本题侧重考查求直线解析式的题目，需掌握待定系数法求函数解析式的步骤．
22．（10分）如图，已知菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，E是BC边上一动点，F是CD边上一动点，且BE＝CF，连接AE、AF．
（1）∠EAF的度数是 60° ；
（2）求证：AE＝AF；
（3）延长AF交BC的延长线于点G，当∠BAE＝30°时，求点F到BG的距离
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）60°；
（2）见解答过程；
（3）点F到BG的距离．
【分析】（1）根据菱形的性质，判断△ABC是正三角形，证明△ABE≌△ACF，进而得到答案；
（2）根据△ABE≌△ACF求解；
（3）当∠BAE＝30°时，∠B＝60°，得到AE⊥BC，再利用勾股定理和三角形中位线求解．
【解答】解：（1）连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是正三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°，
∴∠ACF＝∠ACB＝60°，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴∠BAE＝∠CAF，
∴∠EAF＝∠EAC+∠CAF＝∠EAC+∠BAE＝60°，
故答案为60°；
（2）由（1）可知，△ABE≌△ACF，
∴AE＝AF，
（3）当∠BAE＝30°时，
∵∠B＝60°，
∴∠AEB＝90°，
∵∴△ABC是正三角形，
∴E为BC中点，
∴F为CD中点，
在Rt△ABE中，AB＝6，BE＝3，
∴AE3，
过点F作FH⊥CG于点H，
∵F为CD中点，FH∥AE，
∴FH为△AEG中位线，
∴FH，
∴点F到BG的距离．
【点评】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，解题关键是借助菱形的性质证明三角形全等和判定是等边三角形求解．
23．（10分）为实现2020年脱贫目标，某屯结合自身丰富的山水资源，大力发展旅游业，在乡政府的支持下，以家家入股的形式办起了农家客栈，专门接待游客，客栈共有80间客房．其中游客居住房间数y（间）与房间单价x（元）之间的函数图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若每个房间的价格不低于60元且不超过130元，对于游客所居住的每个房间，客栈每天需支出12元的各种费用，房价定为多少元时，客栈每天获利最大？最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用；待定系数法求一次函数解析式．
【专题】一次函数及其应用；二次函数的应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式；
（2）根据题意可以得到利润与x之间的函数解析式，从而可以求得最大利润．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
，解得，
即y与x之间的函数关系式是y＝﹣0.5x+110；
（2）设客栈每天获得的利润为m元，
m＝x（﹣0.5x+110）﹣12（﹣0.5x+110）＝﹣0.5x2+116x﹣1320，
＝﹣0.5（x﹣116）2+5408，
∵60≤x≤130，
∴当x＝116时，m取得最大值，此时m＝5408，
答：房价定为116元时，客栈每天获利最大，最大利润是5408元．
【点评】本题考查运用待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
24．（12分）平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线yx+b交y轴于A，x轴于B，S△AOB＝8．
（1）求b的值；
（2）点C为射线BA上一动点，连接OC，以C为边作等边△OCD，点D在OC的右侧，求点D的纵坐标；
（3）在（2）的条件下，连接AD、BD，△BOC的面积是△ACD的面积的2倍，M是x轴上一点，连接DM，若∠DMB﹣∠DBM＝90°，求点M坐标．
【考点】一次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）b＝4；（2）点D的纵坐标是2；（3）M（）或M（7，0）．
【分析】（1）由直线yx+b交y轴于A，x轴于B可得A（0，b），B（b，0），则OA＝b，OBb，根据S△AOB＝8即可求得b的值；
（2）过点O作OE⊥AB于E，过点D作DF⊥x轴于F，由（1）可得OA＝4，OB＝4，可得∠ABO＝60°，OE＝2，由等边△OCD可得∠COD＝60°，OC＝OD，根据三角形的内角和以及平角的定义可得∠1+∠BOC＝120°，∠2+∠BOC＝120°，可得∠1＝∠2，由AAS可得△OEC≌△OFD，即可得DF＝OE＝2，即点D的纵坐标的值；
（3）分两种情况：①点C在线段AB上，②点C在线段AB延长线上，过点C作CE⊥OB于E，过点D作DF⊥AB于F，过点D作DN⊥OB于N，根据全等三角形的判定和性质求出CE，BC，再利用△BOC的面积是△ACD的面积的2倍以及直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵直线yx+b交y轴于A，x轴于B，
∴A（0，b），B（b，0），
∴OA＝b，OBb，
∵S△AOB＝8，
∴OB OAb×b＝8，即b2＝48，
∴b＝4；
（2）过点O作OE⊥AB于E，过点D作DF⊥x轴于F，
由（1）得OA＝4，OB＝4，
∵∠AOB＝90°，
∴AB8，
∴∠ABO＝60°，
∵OE⊥AB，
∴∠OEC＝90°，∠BOE＝30°，OE＝2，
∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝60°，OC＝OD，
∵∠ABO＝60°，
∴∠1+∠BOC＝120°，∠2+∠BOC＝120°，
∴∠1＝∠2，
∵OE⊥AB，DF⊥x轴，
∴∠OEC＝∠OFD＝90°，
∴△OEC≌△OFD（AAS），
∴DF＝OE＝2，即点D的纵坐标是2；
（3）分两种情况：①点C在线段AB上，如图2，
过点C作CE⊥OB于E，过点D作DF⊥AB于F，过点D作DN⊥OB于N，
∴∠DFC＝∠CEO＝90°，
∵△OCD是等边三角形，
∴∠OCD＝60°，OC＝CD，
∵∠ABO＝60°，
∴∠DCF+∠BCO＝120°，∠BCO+∠BOC＝120°，
∴∠DCF＝∠BOC，
∴△OEC≌△CFD（AAS），
∴DF＝CE，CF＝OE，
∵△BOC的面积是△ACD的面积的2倍，
∴2S△ACD＝2AC DF＝S△BOCOB CE＝2CE，
∴AC＝2，
在Rt△AOB中，OB＝4，OA＝4，
∴AB8，
∴BC＝6，
在Rt△CBE中，∠CBE＝60°，BC＝6，
∴BE＝3，CE＝3，
∴DF＝CE＝3，OE＝CF＝OB﹣BE＝4﹣3＝1，BF＝BC+CF＝6+1＝7，
在Rt△DFB中，BD2，
由（2）得点D的纵坐标是2，
∴DN＝2，
∴BN8，
∵∠DMB﹣∠DBM＝90°，∠DMB＝∠MDN+90°，
∴∠DBM＝∠MDN，
∵tan∠DBN，
∴tan∠MDN，
∴MN，
∴OM＝BN﹣OB﹣MN＝8﹣4，
∴点M坐标为（，0）；
②点C在线段AB延长线上，
过点C作CE⊥OB于E，过点D作DF⊥AB于F，过点D作DN⊥OB于N，
∴∠DFC＝∠CEO＝90°，
∵△OCD是等边三角形，
∴∠OCD＝∠COD＝60°，OC＝CD，
∵∠ABO＝60°，
∴∠BOC+∠BCO＝120°，∠DOE+∠BOC＝120°，
∴∠DOE＝∠BCO，
∵∠DCF＝∠BCO+∠OCD＝∠BCO+60°，∠COE＝∠COD+∠DOE＝∠DOE+60°，
∴∠DCF＝∠COE，
∴△DCF≌△COE（AAS），
∴DF＝CE，CF＝OE，
∵△BOC的面积是△ACD的面积的2倍，
∴2S△ACD＝2AC DF＝S△BOCOB CE＝2CE，
∴AC＝2，
在Rt△AOB中，OB＝4，OA＝4，
∴AB8，
∴BC＝10，
在Rt△CBE中，∠CBE＝60°，BC＝10，
∴BE＝5，CE＝5，
∴DF＝CE＝5，OE＝CF＝BE﹣OB＝5﹣4＝1，BF＝BC﹣CF＝9，
在Rt△DFB中，BD2，
由（2）得点D的纵坐标是2，
∴DN＝2，
∴BN12，
∵∠DMB﹣∠DBM＝90°，∠DMB＝∠MDN+90°，
∴∠DBM＝∠MDN，
∵tan∠DBN，
∴tan∠MDN，
∴MN＝1，
∴OM＝BN﹣OB﹣MN＝12﹣4﹣1＝7，
∴点M坐标为（7，0）．
综上，点M坐标为M（）或M（7，0）．
【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，构造全等三角形是解本题的关键．
25．（12分）点P是矩形ABCD的边BC上一动点，连接AP、DP，将△ABP、△DCP分别沿AP、DP翻折，得到△AB'P、△DC'P．
（1）如图1，PB'交AD于点M，PC'交AD于N，N在M的右侧，求证：PM+MN+PN＝AD；
（2）如图2，当P、B'、C'共线时，称点P为BC边上的“叠合点”．
①在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，点P为BC边上的“叠合点”，求DP的长；
②若在矩形ABCD中，AD＝4AB，点P是BC边上的“叠合点”，则 7±4 ．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）①2或4；
②7±4．
【分析】（1）利用平行线的性质翻折变换的性质证明MA＝MB，NP＝ND，可得结论；
（2）①由矩形的性质得出AB＝CD＝4，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝90°，设CP＝x，则BP＝10﹣x，由勾股定理得出102＝42+（10﹣x）2+42+x2，求得x＝2或x＝8，则可求出答案；
②设CP＝x，则BP＝4AB﹣x，由矩形的性质及勾股定理得出4AB2＝AB2+（4AB﹣x）2+AB2+x2，求出x＝（2）AB或x＝（2）AB，则可求出答案．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠APB＝∠PAM，
由翻折的性质可知∠APB＝∠APM，
∴∠APM＝∠PAM，
∴MA＝MP，
同法可证NP＝DN，
∴PM+MN+KN＝AM+MN+DN＝AD；
（2）①∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝90°，
设CP＝x，则BP＝10﹣x，
在Rt△ABP中，AP2＝AB2+BP2＝42+（10﹣x）2，
在Rt△CDP中，DP2＝CD2+CP2＝42+x2，
由折叠的性质可知，∠APB＝∠APB'，∠DPC＝∠DPC'，
∴∠APD＝∠APB'+∠DPC'（∠BPB'+∠CPC'）＝90°，
在Rt△APD中，AD2＝AP2+DP2，
∴102＝42+（10﹣x）2+42+x2，
解得x＝2或x＝8，
∴CP的长为2或8，
当CP＝2时，DP2；
当CP＝8时，DP4；
综上所述，DP的长为2或4；
②∵四边形ABCD是矩形，AD＝4AB，
∴AB＝CD，AD＝BC＝4AB，∠B＝∠C＝90°，
设CP＝x，则BP＝4AB﹣x，
在Rt△ABP中，AP2＝AB2+BP2＝AB2+（4AB﹣x）2，
在Rt△CDP中，DP2＝CD2+CP2＝AB2+x2，
由①得，∠APD＝90°，
在Rt△APD中，AD2＝AP2+DP2，
∴4AB2＝AB2+（4AB﹣x）2+AB2+x2，
解得x＝（2）AB或x＝（2）AB，
当CP＝（2）AB时，BP＝（2）AB，
∴7﹣4；
当CP＝（2）AB时，BP＝（2）AB，
∴7+4；
综上所述，的值为7±4．
故答案为：7±4．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
考点卡片
1．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
2．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
3．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
4．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
5．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
6．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
7．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
8．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
9．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
10．一次函数图象与几何变换
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；
（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；
（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．
（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）
11．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
12．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
13．一次函数综合题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
14．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
15．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
16．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
17．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
18．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
19．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
20．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
21．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
22．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度）
23．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
24．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
25．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
26．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
27．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
28．轨迹
轨迹 数学概念轨迹数学概念：在数学中，轨迹是由满足坐标关系的特定方程的所有点，或由一个点、线或运动曲面构成的曲线或其他形状．所有的形状，如圆、椭圆、抛物线、双曲线等．
29．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
30．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
31．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
32．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
33．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
34．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
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