2024—2025学年上学期杭州初中数学八年级开学模拟试卷1（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期杭州初中数学八年级开学模拟试卷1（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 437.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-05 15:15:11 | ||
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文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
2024—2025学年上学期杭州初中数学八年级开学模拟试卷1
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连…”，我国民间流传有许多“24节气歌”，下面四幅手绘作品，它们依次分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列四个命题中，真命题是（ ）
A．互补的两个角必有一条公共边
B．同旁内角互补
C．同位角不相等，两直线不平行
D．一个角的补角大于这个角
3．（3分）已知三角形的两边长分别为4，6，则第三边长的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）以下列各组数为边长的线段，可以组成直角三角形的是（ ）
A．2，3，3 B．4，5，6 C．5，12，13 D．7，7，7
5．（3分）三条公路围成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个学校，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个学校应建在（ ）
A．三角形三条边的垂直平分线的交点处
B．三角形三条角平分线的交点处
C．三角形三条高的交点处
D．以上位置都不对
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝40°，AD＝BD，则∠ACD＝（ ）
A．20° B．30° C．40° D．45°
7．（3分）如图1，一块三角形的玻璃打碎成四块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最简单的办法是（ ）
A．只带①去 B．带②③去 C．只带④去 D．带①③去
8．（3分）如图，已知∠AOB的内部有两点C，D．
（1）以点O为圆心，以适当长为半径作弧，交OA于点E，交OB于点F；
（2）分别以E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点G；
（3）作射线OG；
（4）连接CD，分别以C，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；
（5）作直线MN，交OG于点P．
根据以上信息，甲、乙两个同学分别写出了一个结论：
甲：点P到OA，OB的距离相等；乙：点P到点C，D的距离相等．
其中结论正确的是（ ）
A．甲同学 B．乙同学
C．甲、乙两同学 D．甲、乙两同学都错误
9．（3分）等腰三角形的底角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．40° B．80° C．100° D．100°或40°
10．（3分）如图①，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，将△ABC放置在平面直角坐标系中，使点A与原点重合，点C在x轴正半轴上．将△ABC按如图②方式顺时针滚动（无滑动），则滚动2022次后，点B的横坐标为（ ）
A．2022+673 B．2022+674 C．2023+674 D．2023+673
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，3）与点B关于y轴对称，则点B的坐标为 ．
12．（4分）等腰三角形的两条边长分别为2和5，则这个三角形的周长等于 ．
13．（4分）不等式5x﹣3＜3x+5的解是 ．
14．（4分）在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，△BCD为等边三角形，且AD＝2，则四边形ABCD的周长为 ．
15．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠1＝∠2，BC＝6cm，那么BD的长 cm．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，0），在y轴上取一点C使△ABC为等腰三角形，符合条件的C点有 个．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（6分）解下列不等式（组）并在数轴上表示：
（1）4；
（2）．
18．（8分）解方程组和不等式组：
（1）；
（2）．
19．（8分）如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，AF＝CE，求证：DE＝BF．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为点A（﹣3，0），点B（0，4）．
（1）△ABO的面积为 ；
（2）点C坐标为（m，4），△ABC的面积等于△ABO的面积的一半，则m的值为 ．
21．（10分）敕勒川，阴山下，天似穹庐，笼盖四野．天苍苍，野茫茫，风吹草低见牛羊，河套地区地势平坦、土地肥沃，适合大规模农牧．现有一片草场，草匀速生长，如果放牧360只羊，4周可以将草全部吃完．如果放牧210只羊，9周才能将草全部吃完．（假设每只羊每周吃的草量相等）
（1）求这片草场每周生长的草量和牧民进驻前原有草量的比；
（2）如果牧民准备在这片草场放牧8周，那么最多可以放牧多少只羊？
22．（12分）综合与实践
一段平直的天然气主管道l同侧有A，B两个小镇，A，B到主管道l的距离分别是2km和3km，AB＝x km．现计划在主管道上选择一个合适的点P，向A，B两个小镇铺设天然气管道，使铺设管道的总长度最短．
数学小组设计了两种铺设管道的方案：
（1）方案一：如图1，设该方案中管道长度为d1，且d1＝PA+AB（其中AP⊥l），d1＝ km（用含x的式子表示）．
（2）方案二：如图2，设该方案中管道长度为d2，且d2＝PA+PB（其中点B′与点B关于l对称，AB′与l交于点P）．为了计算d2的长，过点A作BB′的垂线，垂足是D，如图3所示，计算得d2＝ km（用含x的式子表示）．
（3）归纳推理：
①当x＝4时，比较大小：d1 d2（填“＞”、“＝”或“＜”）；
②当x＝6时，比较大小：d1 d2 （填“＞”、“＝”或“＜”）．
（4）方案选择：请你参考方框中的方法指导，就x的取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？
方法指导 当不易直接比较两个正数的大小时．可以对它们的平方进行比较． 要比较d1，d2的大小，比较，的大小即可． 当0时，d1﹣d2＞0，即d1＞d2． 当0时，d1﹣d2＝0，即d1＝d2． 当0时，d1﹣d2＜0，即d1＜d2．
23．（12分）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线MN过点A，且MN∥BC，点D是直线MN上一点，不与点A重合．
（1）若点E是图1中线段AB上一点，且DE＝DA，请判断线段DE与DA的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接BD，过点D作DP⊥DB交线段AC于点P，求证：△ADP≌△EDB；
（3）如图3，在图1的基础上，改变点D的位置后，连接BD，过点D作DP⊥DB交线段CA的延长线于点P，请判断线段DB与DP的数量关系，并说明理由．
2024—2025学年上学期杭州初中数学八年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连…”，我国民间流传有许多“24节气歌”，下面四幅手绘作品，它们依次分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2．（3分）下列四个命题中，真命题是（ ）
A．互补的两个角必有一条公共边
B．同旁内角互补
C．同位角不相等，两直线不平行
D．一个角的补角大于这个角
【考点】命题与定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．
【答案】C
【分析】A．根据两角互补的定义，直接进行判断；
B．同旁内角互补的前提是两直线平行，即可进行判断；
C．根据平行线的判定，即可进行判断；
D．根据补角的定义，即可进行判断，动手试试吧！
【解答】解：A．互补的两角不一定有一条公共边，故错误，不符合题意；
B．同旁内角不一定互补，故错误，不符合题意；
C．同位角不相等，两直线不平行，故正确，符合题意；
D．一个角的补角不一定大于这个角，故错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查命题与定理，掌握相关的定理是解题的关键．
3．（3分）已知三角形的两边长分别为4，6，则第三边长的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】三角形三边关系；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】三角形；几何直观；运算能力．
【答案】C
【分析】根据三角形三边关系确定出第三条边长的范围，表示在数轴上即可．
【解答】解：已知三角形的两边长分别为4，6，则第三边长的取值范围为6﹣4＜x＜4+6，即2＜x＜10，
表示在数轴上为：
故选：C．
【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及三角形三边关系，求出第三边的范围是解本题的关键．
4．（3分）以下列各组数为边长的线段，可以组成直角三角形的是（ ）
A．2，3，3 B．4，5，6 C．5，12，13 D．7，7，7
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理，可以判断各个选项中的三条线段能否构成直角三角形，本题得以解决．
【解答】解：22+32≠32，故选项A中的三条线段不能构成直角三角形，不符合题意；
42+52≠62，故选项B中的三条线段不能构成直角三角形，不符合题意；
52+122＝132，故选项C中的三条线段能构成直角三角形，符合题意；
72+72≠72，故选项D中的三条线段不能构成直角三角形，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
5．（3分）三条公路围成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个学校，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个学校应建在（ ）
A．三角形三条边的垂直平分线的交点处
B．三角形三条角平分线的交点处
C．三角形三条高的交点处
D．以上位置都不对
【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】三角形；应用意识．
【答案】B
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可以得到这个学校应建的位置．
【解答】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个学校应建在三角形三条角平分线的交点处，
故选：B．
【点评】本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用角平分线的性质解答．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝40°，AD＝BD，则∠ACD＝（ ）
A．20° B．30° C．40° D．45°
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【专题】三角形．
【答案】C
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角进行解答．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD＝BD，
∴CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD＝AD．
∴∠ACD＝∠A＝40°．
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上中线性质的应用，解此题的关键是能根据直角三角形的性质得出CD＝AD，是一道简单的题目．
7．（3分）如图1，一块三角形的玻璃打碎成四块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最简单的办法是（ ）
A．只带①去 B．带②③去 C．只带④去 D．带①③去
【考点】全等三角形的应用．
【专题】图形的全等；几何直观．
【答案】C
【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
【解答】解：第①块和第②③块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第④块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带④去．
故选：C．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．
8．（3分）如图，已知∠AOB的内部有两点C，D．
（1）以点O为圆心，以适当长为半径作弧，交OA于点E，交OB于点F；
（2）分别以E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点G；
（3）作射线OG；
（4）连接CD，分别以C，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；
（5）作直线MN，交OG于点P．
根据以上信息，甲、乙两个同学分别写出了一个结论：
甲：点P到OA，OB的距离相等；乙：点P到点C，D的距离相等．
其中结论正确的是（ ）
A．甲同学 B．乙同学
C．甲、乙两同学 D．甲、乙两同学都错误
【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】尺规作图；推理能力；应用意识．
【答案】C
【分析】根据作图可知OG是∠AOB的平分线，MN是CD的垂直平分线，再根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可对甲，乙的结论作出判断．
【解答】解：由作图步骤（1）（2）（3）可知：OG是∠AOB的平分线，
∵点P在∠AOB的平分线上，
∴点P到OA，OB的距离相等，
因此甲的结论正确；
由作图步骤（4）（5）可知：MN是CD的垂直平分线，
∵点P在CD的垂直平分线上，
∴点P到点C，D的距离相等，
因此乙的结论正确．
故选：C．
【点评】本题考查尺规作图，涉及角平分线和线段垂直平分线的作图，对结论的判断涉及它们的性质，熟悉作图步骤和相关性质是解题的关键．
9．（3分）等腰三角形的底角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．40° B．80° C．100° D．100°或40°
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】C
【分析】等腰三角形的底角为40°，则顶角为180°﹣40°﹣40°＝100°．
【解答】解：∵等腰三角形的底角为40°，
∴另一底角也为40°，
∴顶角为180°﹣40°﹣40°＝100°．
故选：C．
【点评】本题运用了等腰三角形“等边对等角”的性质，并联系三角形的内角定理求解有关角的度数问题．
10．（3分）如图①，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，将△ABC放置在平面直角坐标系中，使点A与原点重合，点C在x轴正半轴上．将△ABC按如图②方式顺时针滚动（无滑动），则滚动2022次后，点B的横坐标为（ ）
A．2022+673 B．2022+674 C．2023+674 D．2023+673
【考点】规律型：点的坐标．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】根据三角形滚动规律得出每3次一循环，由已知可得三角形周长为3，进而可得滚动2022次后，点B的横坐标．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，
∴AB，
∴△ABC的周长为3，
根据题意可得，每滚动3次，点B的横坐标增加3，
∵2022÷3＝674，
∴滚动2022次后，点B的横坐标增加了674×（3），
∴滚动2022次后，点B的横坐标为1+674×（3）＝2023+674，
故选：C．
【点评】本题主要考查了规律型：点的坐标，勾股定理，根据已知得出点的变化规律是解题关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，3）与点B关于y轴对称，则点B的坐标为 （1，3） ．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】：（1，3）．
【分析】根据两个点关于y轴对称时，它们的横坐标符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点是P′（﹣x，y），进而得出答案．
【解答】解：∵点A（﹣1，3）与点B关于y轴对称，
∴点B的坐标为（1，3）．
故答案为：（1，3）．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆关于y轴对称点的性质是解题关键．
12．（4分）等腰三角形的两条边长分别为2和5，则这个三角形的周长等于 102 ．
【考点】二次根式的应用；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】102．
【分析】题目中未说明腰长是哪条边，故需分情况讨论；分为以下两种情况讨论：①腰是2，底边是5，②腰是5，底边是2；首先判断三条边是否符合三角形的三边关系，然后将符合三边关系的三条边长相加，即可确定三角形的周长．
【解答】解：①当腰时2，底边时5时，三边长是2、2、5，此时不符合三角形的三边关系；
②当腰时5，底边时2时，三边长是5、5、2，此时符合三角形的三边关系，
即等腰三角形的周长是552102．
故答案为：102．
【点评】此题主要考查了二次根式的运用，三角形的三边关系及等腰三角形的性质，解决本题的关键是注意对等腰三角形的边进行讨论．
13．（4分）不等式5x﹣3＜3x+5的解是 x＜4 ．
【考点】解一元一次不等式．
【专题】计算题；一元一次不等式（组）及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】先移项、再合并同类项、化系数为1即可求出此不等式的解集．
【解答】解：移项，得：5x﹣3x＜5+3，
合并同类项，得：2x＜8，
系数化为1，得：x＜4，
故答案为：x＜4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式，在解答此类题目是要注意，不等式的两边同时除以一个负数时不等号的符号要改变，这是此类题目的易错点．
14．（4分）在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，△BCD为等边三角形，且AD＝2，则四边形ABCD的周长为 210 ．
【考点】等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据等边三角形的性质得∠DBC＝60°，从而得∠ABD＝30°，再由含30°的直角三角形的性质解答．
【解答】解：∵△BCD为等边三角形，
∴∠DBC＝60°，DB＝BC＝CD，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝30°，
∵在Rt△ABC中，∠ABD＝30°，AD＝2
∴DB＝4，
∴CD＝BC＝4，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2，
∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+DA＝24+4+2＝210，
故答案为：210．
【点评】本题考查了含有30°角的直角三角形的性质和等边三角形的性质，解题的关键是注意含有30°角的直角三角形的性质使用．
15．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠1＝∠2，BC＝6cm，那么BD的长 3 cm．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由AB＝AC，得出△ABC是等腰三角形，由∠1＝∠2，得出AD是顶角平分线，再由等腰三角形底边上的中线与顶角平分线重合求解即可．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵∠1＝∠2，
∴BD＝CDBC，
∵BC＝6cm，
∴BD6＝3（cm）．
故答案为：3．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形底边上的中线与顶角平分线重合是解题的关键．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，0），在y轴上取一点C使△ABC为等腰三角形，符合条件的C点有 4 个．
【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】4．
【分析】观察数轴，按照等腰三角形成立的 条件分析可得答案．
【解答】解：观察图形可知，若以点A为圆心，以AB为半径画弧，与y轴有2个交点，故此时符合条件的点由2个；
若以点B为圆心，以AB为半径画弧，与y轴有2个交点；这两个交点中有一个是与A重合的，应舍掉，故只有1个；
线段AB的垂直平分线与y轴有1个交点；
∴符合条件的C点有：2+1+1＝4（个），
故答案为：4．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，可以观察图形，得出答案．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（6分）解下列不等式（组）并在数轴上表示：
（1）4；
（2）．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）x＞2，
（2）﹣11＜x＜﹣1．
【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1即可；
（2）先分别求出两个不等式的解集范围，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）不等式两边同乘以6得：
2（2x﹣1）﹣24＞﹣3（x+4），
解得：x＞2，
在数轴上表示为：
（2），
解不等式①得：x＜﹣1，
解不等式②得：x＞﹣11，
∴解集为：﹣11＜x＜﹣1，
在数轴上表示为：
【点评】本题考查一元一次不等式（组）的解法，利用不等式的性质熟练运算是解本题的关键．
18．（8分）解方程组和不等式组：
（1）；
（2）．
【考点】解一元一次不等式组；解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）；（2）﹣2＜x＜1．
【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1），
①+②，得：3x＝3，
解得x＝1，
将x＝1代入①，得：1+y＝0，
解得y＝﹣1，
则方程组的解为；
（2）解不等式3x+6＞0，得：x＞﹣2，
解不等式x﹣2＜﹣x，得：x＜1，
则不等式组的解集为﹣2＜x＜1．
【点评】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（8分）如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，AF＝CE，求证：DE＝BF．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】见解析．
【分析】根据线段的和差得到AE＝CF，根据垂直的定义得到∠AED＝∠BFC＝90°，根据全等三角形 的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】证明：∵AF＝CE，
∴AF﹣EF＝CE﹣EF，
即AE＝CF，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AED＝∠BFC＝90°，
在Rt△ADE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL），
∴AD＝BC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为点A（﹣3，0），点B（0，4）．
（1）△ABO的面积为 6 ；
（2）点C坐标为（m，4），△ABC的面积等于△ABO的面积的一半，则m的值为 ．
【考点】三角形的面积；坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；三角形；运算能力．
【答案】（1）6；
（2）．
【分析】（1）根据点A、B的坐标求出OA和OB的值，再根据三角形的面积公式求出面积即可；
（2）求出直线BC∥x轴，根据△ABC的面积等于△ABO的面积的一半得出BC，求出BC，即可得出m的值．
【解答】解：（1）∵A（﹣3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴△ABO的面积是6，
故答案为：6；
（2）∵点C的坐标是（m，4），B点的坐标是（0，4），
∴BC∥x轴，
∵A（﹣3，0），B（0，4），△ABC的面积等于△ABO的面积的一半，△ABO的面积是6，
∴BC×46，
∴BC，
即m，
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的面积和坐标与图形性质，能求出OA、OB的值是解此题的关键．
21．（10分）敕勒川，阴山下，天似穹庐，笼盖四野．天苍苍，野茫茫，风吹草低见牛羊，河套地区地势平坦、土地肥沃，适合大规模农牧．现有一片草场，草匀速生长，如果放牧360只羊，4周可以将草全部吃完．如果放牧210只羊，9周才能将草全部吃完．（假设每只羊每周吃的草量相等）
（1）求这片草场每周生长的草量和牧民进驻前原有草量的比；
（2）如果牧民准备在这片草场放牧8周，那么最多可以放牧多少只羊？
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）1：12；
（2）225只．
【分析】（1）设每只羊每周吃的草量为1份，这片草场牧民进驻前原有草量x份，这片草场每周生长的草量为y份，根据“如果放牧360只羊，4周可以将草全部吃完．如果放牧210只羊，9周才能将草全部吃完”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入y：x中即可求出结论；
（2）设可以放牧m只羊，根据放牧的这批羊8周吃的草量不超过牧民进驻前原有草量与这片草场8周生长的草量之和，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每只羊每周吃的草量为1份，这片草场牧民进驻前原有草量x份，这片草场每周生长的草量为y份，
依题意得：，
解得：，
∴y：x＝90：1080＝1：12．
答：这片草场每周生长的草量和牧民进驻前原有草量的比为1：12．
（2）设可以放牧m只羊，
依题意得：8m≤1080+8×90，
解得：m≤225．
答：最多可以放牧225只羊．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．（12分）综合与实践
一段平直的天然气主管道l同侧有A，B两个小镇，A，B到主管道l的距离分别是2km和3km，AB＝x km．现计划在主管道上选择一个合适的点P，向A，B两个小镇铺设天然气管道，使铺设管道的总长度最短．
数学小组设计了两种铺设管道的方案：
（1）方案一：如图1，设该方案中管道长度为d1，且d1＝PA+AB（其中AP⊥l），d1＝ （x+2） km（用含x的式子表示）．
（2）方案二：如图2，设该方案中管道长度为d2，且d2＝PA+PB（其中点B′与点B关于l对称，AB′与l交于点P）．为了计算d2的长，过点A作BB′的垂线，垂足是D，如图3所示，计算得d2＝ km（用含x的式子表示）．
（3）归纳推理：
①当x＝4时，比较大小：d1 ＜ d2（填“＞”、“＝”或“＜”）；
②当x＝6时，比较大小：d1 ＜ d2 （填“＞”、“＝”或“＜”）．
（4）方案选择：请你参考方框中的方法指导，就x的取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？
方法指导 当不易直接比较两个正数的大小时．可以对它们的平方进行比较． 要比较d1，d2的大小，比较，的大小即可． 当0时，d1﹣d2＞0，即d1＞d2． 当0时，d1﹣d2＝0，即d1＝d2． 当0时，d1﹣d2＜0，即d1＜d2．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；列代数式．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】（1）x+2；
（2）；
（3）①＜；
②＞；
（4）当x＞5时，选方案二；当x＝5时，选方案一或方案二；当x＜5时，选方案一．
【分析】（1）根据方案一表示出d1即可；
（2）根据方案二，利用勾股定理求出d2即可；
（3）①当x＝4时，求出d1，d2，再比较大小即可；
②当x＝6时，求出d1，d2，再比较大小即可；
（4）利用方框中的方法，求出，再分三种情况讨论，求出x的范围即可确定是选择方案一还是方案二．
【解答】解：（1）∵A到主管道l的距离是2km，AP⊥l，
∴PA＝2km，
∵AB＝x km．
∴d1＝AB+PA＝x+2（km），
故答案为：x+2；
（2）由题意，得BD＝3﹣2＝1（km），B'D＝2×3﹣1＝5（km），
由勾股定理，得AD2＝AB2﹣BD2＝x2﹣12＝x2﹣1，
∴d2＝AB'（km），
故答案为：；
（3）①当x＝4时，d1＝4+2＝6（km），d2（km），
∵6，
∴d1＜d2，
故答案为：＜；
②当x＝6时，d1＝6+2＝8（km），d2（km），
∵8，
∴d1＞d2，
故答案为：＞；
（4），
①当4x﹣20＞0，即x＞5时，，
∴d1﹣d2＞0，即 d1＞d2，
②当 4x﹣20＝0，即x＝5时，，
∴d1﹣d2＝0 即 d1＝d2，
③当4x﹣20＜0，即x＜5时，，
∴d1﹣d2＜0，即 d1＜d2，
综上可得：当x＞5时，选方案二；当x＝5时，选方案一或方案二；当x＜5时，选方案一．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，解答中涉及列代数式，勾股定理，解不等式，解方程等知识，理解题意，掌握相关知识是解题的关键．
23．（12分）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线MN过点A，且MN∥BC，点D是直线MN上一点，不与点A重合．
（1）若点E是图1中线段AB上一点，且DE＝DA，请判断线段DE与DA的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接BD，过点D作DP⊥DB交线段AC于点P，求证：△ADP≌△EDB；
（3）如图3，在图1的基础上，改变点D的位置后，连接BD，过点D作DP⊥DB交线段CA的延长线于点P，请判断线段DB与DP的数量关系，并说明理由．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）DE⊥DA，理由见解析；
（2）证明见解析；
（3）DB＝DP，理由见解析．
【分析】（1）先求出∠B＝45°，再由平行线的性质求出∠DAE＝45°，然后证∠ADE＝90°，即可得出结论；
（2）先证∠PDA＝∠BDE，再证∠PAD＝∠BED，再由ASA即可证得△ADP≌△EDB；
（3）过点D作DF⊥AM交AB的延长线于F，先证∠BDF＝∠ADP，再证∠F＝∠PAM，然后由ASA证得△BDF≌△PDA，即可得出结论．
【解答】（1）解：线段DE与DA的位置关系为：DE⊥DA，理由如下：
在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵MN∥BC，
∴∠DAE＝∠B＝45°，
∵DE＝DA，
∴∠AED＝∠DAE＝45°，
∴∠ADE＝180°﹣（45°+45°）＝90°，
∴DE⊥DA；
（2）证明：∵DP⊥BD，
∴∠BDP＝90°，
∵∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠BDP，
∴∠ADE﹣∠PDE＝∠BDP﹣∠PDE，
即∠PDA＝∠BDE，
∵∠PAD＝∠DAE+∠BAC＝45°+90°＝135°，∠BED＝180°﹣∠AED＝180°﹣45°＝135°，
∴∠PAD＝∠BED，
在△ADP和△EDB中，
，
∴△BED≌△PAD（ASA）；
（3）解：线段DB与DP的数量关系为：DB＝DP，理由如下：
如图3，过点D作DF⊥AM交AB的延长线于F，
∴∠ADF＝90°，
∵DP⊥DB，
∴∠BDP＝90°，
∴∠ADF＝∠BDP，
∴∠BDP﹣∠ADB＝∠ADF﹣∠ADB，
即∠BDF＝∠ADP，
由（1）知，∠DAB＝45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴DF＝DA，∠F＝45°，
∵∠PAD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣45°＝45°，
∴∠F＝∠PAD，
在△BDF和△PDA中，
，
∴△BDF≌△PDA（ASA），
∴DB＝DP．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
考点卡片
1．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“ ”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
2．二次根式的应用
把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．
二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．
3．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
4．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
5．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
6．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
7．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
8．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
9．规律型：点的坐标
1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．
2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律
3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．
10．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
11．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
12．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
13．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
14．全等三角形的应用
（1）全等三角形的性质与判定综合应用
用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．
（2）作辅助线构造全等三角形
常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
（3）全等三角形在实际问题中的应用
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
15．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
16．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
17．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
18．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
19．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
20．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
21．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
22．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
23．三角形综合题
涉及到的知识点比较多，如全等三角形的证明，三角形的相似、解直角三角形，锐角三角函数以及与四边形的综合考查
24．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
25．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
26．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
27．关于x轴、y轴对称的点的坐标
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
28．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
2024—2025学年上学期杭州初中数学八年级开学模拟试卷1
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连…”，我国民间流传有许多“24节气歌”，下面四幅手绘作品，它们依次分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列四个命题中，真命题是（ ）
A．互补的两个角必有一条公共边
B．同旁内角互补
C．同位角不相等，两直线不平行
D．一个角的补角大于这个角
3．（3分）已知三角形的两边长分别为4，6，则第三边长的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）以下列各组数为边长的线段，可以组成直角三角形的是（ ）
A．2，3，3 B．4，5，6 C．5，12，13 D．7，7，7
5．（3分）三条公路围成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个学校，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个学校应建在（ ）
A．三角形三条边的垂直平分线的交点处
B．三角形三条角平分线的交点处
C．三角形三条高的交点处
D．以上位置都不对
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝40°，AD＝BD，则∠ACD＝（ ）
A．20° B．30° C．40° D．45°
7．（3分）如图1，一块三角形的玻璃打碎成四块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最简单的办法是（ ）
A．只带①去 B．带②③去 C．只带④去 D．带①③去
8．（3分）如图，已知∠AOB的内部有两点C，D．
（1）以点O为圆心，以适当长为半径作弧，交OA于点E，交OB于点F；
（2）分别以E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点G；
（3）作射线OG；
（4）连接CD，分别以C，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；
（5）作直线MN，交OG于点P．
根据以上信息，甲、乙两个同学分别写出了一个结论：
甲：点P到OA，OB的距离相等；乙：点P到点C，D的距离相等．
其中结论正确的是（ ）
A．甲同学 B．乙同学
C．甲、乙两同学 D．甲、乙两同学都错误
9．（3分）等腰三角形的底角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．40° B．80° C．100° D．100°或40°
10．（3分）如图①，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，将△ABC放置在平面直角坐标系中，使点A与原点重合，点C在x轴正半轴上．将△ABC按如图②方式顺时针滚动（无滑动），则滚动2022次后，点B的横坐标为（ ）
A．2022+673 B．2022+674 C．2023+674 D．2023+673
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，3）与点B关于y轴对称，则点B的坐标为 ．
12．（4分）等腰三角形的两条边长分别为2和5，则这个三角形的周长等于 ．
13．（4分）不等式5x﹣3＜3x+5的解是 ．
14．（4分）在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，△BCD为等边三角形，且AD＝2，则四边形ABCD的周长为 ．
15．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠1＝∠2，BC＝6cm，那么BD的长 cm．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，0），在y轴上取一点C使△ABC为等腰三角形，符合条件的C点有 个．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（6分）解下列不等式（组）并在数轴上表示：
（1）4；
（2）．
18．（8分）解方程组和不等式组：
（1）；
（2）．
19．（8分）如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，AF＝CE，求证：DE＝BF．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为点A（﹣3，0），点B（0，4）．
（1）△ABO的面积为 ；
（2）点C坐标为（m，4），△ABC的面积等于△ABO的面积的一半，则m的值为 ．
21．（10分）敕勒川，阴山下，天似穹庐，笼盖四野．天苍苍，野茫茫，风吹草低见牛羊，河套地区地势平坦、土地肥沃，适合大规模农牧．现有一片草场，草匀速生长，如果放牧360只羊，4周可以将草全部吃完．如果放牧210只羊，9周才能将草全部吃完．（假设每只羊每周吃的草量相等）
（1）求这片草场每周生长的草量和牧民进驻前原有草量的比；
（2）如果牧民准备在这片草场放牧8周，那么最多可以放牧多少只羊？
22．（12分）综合与实践
一段平直的天然气主管道l同侧有A，B两个小镇，A，B到主管道l的距离分别是2km和3km，AB＝x km．现计划在主管道上选择一个合适的点P，向A，B两个小镇铺设天然气管道，使铺设管道的总长度最短．
数学小组设计了两种铺设管道的方案：
（1）方案一：如图1，设该方案中管道长度为d1，且d1＝PA+AB（其中AP⊥l），d1＝ km（用含x的式子表示）．
（2）方案二：如图2，设该方案中管道长度为d2，且d2＝PA+PB（其中点B′与点B关于l对称，AB′与l交于点P）．为了计算d2的长，过点A作BB′的垂线，垂足是D，如图3所示，计算得d2＝ km（用含x的式子表示）．
（3）归纳推理：
①当x＝4时，比较大小：d1 d2（填“＞”、“＝”或“＜”）；
②当x＝6时，比较大小：d1 d2 （填“＞”、“＝”或“＜”）．
（4）方案选择：请你参考方框中的方法指导，就x的取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？
方法指导 当不易直接比较两个正数的大小时．可以对它们的平方进行比较． 要比较d1，d2的大小，比较，的大小即可． 当0时，d1﹣d2＞0，即d1＞d2． 当0时，d1﹣d2＝0，即d1＝d2． 当0时，d1﹣d2＜0，即d1＜d2．
23．（12分）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线MN过点A，且MN∥BC，点D是直线MN上一点，不与点A重合．
（1）若点E是图1中线段AB上一点，且DE＝DA，请判断线段DE与DA的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接BD，过点D作DP⊥DB交线段AC于点P，求证：△ADP≌△EDB；
（3）如图3，在图1的基础上，改变点D的位置后，连接BD，过点D作DP⊥DB交线段CA的延长线于点P，请判断线段DB与DP的数量关系，并说明理由．
2024—2025学年上学期杭州初中数学八年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连…”，我国民间流传有许多“24节气歌”，下面四幅手绘作品，它们依次分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2．（3分）下列四个命题中，真命题是（ ）
A．互补的两个角必有一条公共边
B．同旁内角互补
C．同位角不相等，两直线不平行
D．一个角的补角大于这个角
【考点】命题与定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．
【答案】C
【分析】A．根据两角互补的定义，直接进行判断；
B．同旁内角互补的前提是两直线平行，即可进行判断；
C．根据平行线的判定，即可进行判断；
D．根据补角的定义，即可进行判断，动手试试吧！
【解答】解：A．互补的两角不一定有一条公共边，故错误，不符合题意；
B．同旁内角不一定互补，故错误，不符合题意；
C．同位角不相等，两直线不平行，故正确，符合题意；
D．一个角的补角不一定大于这个角，故错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查命题与定理，掌握相关的定理是解题的关键．
3．（3分）已知三角形的两边长分别为4，6，则第三边长的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】三角形三边关系；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】三角形；几何直观；运算能力．
【答案】C
【分析】根据三角形三边关系确定出第三条边长的范围，表示在数轴上即可．
【解答】解：已知三角形的两边长分别为4，6，则第三边长的取值范围为6﹣4＜x＜4+6，即2＜x＜10，
表示在数轴上为：
故选：C．
【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及三角形三边关系，求出第三边的范围是解本题的关键．
4．（3分）以下列各组数为边长的线段，可以组成直角三角形的是（ ）
A．2，3，3 B．4，5，6 C．5，12，13 D．7，7，7
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理，可以判断各个选项中的三条线段能否构成直角三角形，本题得以解决．
【解答】解：22+32≠32，故选项A中的三条线段不能构成直角三角形，不符合题意；
42+52≠62，故选项B中的三条线段不能构成直角三角形，不符合题意；
52+122＝132，故选项C中的三条线段能构成直角三角形，符合题意；
72+72≠72，故选项D中的三条线段不能构成直角三角形，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
5．（3分）三条公路围成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个学校，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个学校应建在（ ）
A．三角形三条边的垂直平分线的交点处
B．三角形三条角平分线的交点处
C．三角形三条高的交点处
D．以上位置都不对
【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】三角形；应用意识．
【答案】B
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可以得到这个学校应建的位置．
【解答】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个学校应建在三角形三条角平分线的交点处，
故选：B．
【点评】本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用角平分线的性质解答．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝40°，AD＝BD，则∠ACD＝（ ）
A．20° B．30° C．40° D．45°
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【专题】三角形．
【答案】C
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角进行解答．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD＝BD，
∴CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD＝AD．
∴∠ACD＝∠A＝40°．
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上中线性质的应用，解此题的关键是能根据直角三角形的性质得出CD＝AD，是一道简单的题目．
7．（3分）如图1，一块三角形的玻璃打碎成四块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最简单的办法是（ ）
A．只带①去 B．带②③去 C．只带④去 D．带①③去
【考点】全等三角形的应用．
【专题】图形的全等；几何直观．
【答案】C
【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
【解答】解：第①块和第②③块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第④块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带④去．
故选：C．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．
8．（3分）如图，已知∠AOB的内部有两点C，D．
（1）以点O为圆心，以适当长为半径作弧，交OA于点E，交OB于点F；
（2）分别以E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点G；
（3）作射线OG；
（4）连接CD，分别以C，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；
（5）作直线MN，交OG于点P．
根据以上信息，甲、乙两个同学分别写出了一个结论：
甲：点P到OA，OB的距离相等；乙：点P到点C，D的距离相等．
其中结论正确的是（ ）
A．甲同学 B．乙同学
C．甲、乙两同学 D．甲、乙两同学都错误
【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】尺规作图；推理能力；应用意识．
【答案】C
【分析】根据作图可知OG是∠AOB的平分线，MN是CD的垂直平分线，再根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可对甲，乙的结论作出判断．
【解答】解：由作图步骤（1）（2）（3）可知：OG是∠AOB的平分线，
∵点P在∠AOB的平分线上，
∴点P到OA，OB的距离相等，
因此甲的结论正确；
由作图步骤（4）（5）可知：MN是CD的垂直平分线，
∵点P在CD的垂直平分线上，
∴点P到点C，D的距离相等，
因此乙的结论正确．
故选：C．
【点评】本题考查尺规作图，涉及角平分线和线段垂直平分线的作图，对结论的判断涉及它们的性质，熟悉作图步骤和相关性质是解题的关键．
9．（3分）等腰三角形的底角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．40° B．80° C．100° D．100°或40°
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】C
【分析】等腰三角形的底角为40°，则顶角为180°﹣40°﹣40°＝100°．
【解答】解：∵等腰三角形的底角为40°，
∴另一底角也为40°，
∴顶角为180°﹣40°﹣40°＝100°．
故选：C．
【点评】本题运用了等腰三角形“等边对等角”的性质，并联系三角形的内角定理求解有关角的度数问题．
10．（3分）如图①，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，将△ABC放置在平面直角坐标系中，使点A与原点重合，点C在x轴正半轴上．将△ABC按如图②方式顺时针滚动（无滑动），则滚动2022次后，点B的横坐标为（ ）
A．2022+673 B．2022+674 C．2023+674 D．2023+673
【考点】规律型：点的坐标．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】根据三角形滚动规律得出每3次一循环，由已知可得三角形周长为3，进而可得滚动2022次后，点B的横坐标．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，
∴AB，
∴△ABC的周长为3，
根据题意可得，每滚动3次，点B的横坐标增加3，
∵2022÷3＝674，
∴滚动2022次后，点B的横坐标增加了674×（3），
∴滚动2022次后，点B的横坐标为1+674×（3）＝2023+674，
故选：C．
【点评】本题主要考查了规律型：点的坐标，勾股定理，根据已知得出点的变化规律是解题关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，3）与点B关于y轴对称，则点B的坐标为 （1，3） ．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】：（1，3）．
【分析】根据两个点关于y轴对称时，它们的横坐标符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点是P′（﹣x，y），进而得出答案．
【解答】解：∵点A（﹣1，3）与点B关于y轴对称，
∴点B的坐标为（1，3）．
故答案为：（1，3）．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆关于y轴对称点的性质是解题关键．
12．（4分）等腰三角形的两条边长分别为2和5，则这个三角形的周长等于 102 ．
【考点】二次根式的应用；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】102．
【分析】题目中未说明腰长是哪条边，故需分情况讨论；分为以下两种情况讨论：①腰是2，底边是5，②腰是5，底边是2；首先判断三条边是否符合三角形的三边关系，然后将符合三边关系的三条边长相加，即可确定三角形的周长．
【解答】解：①当腰时2，底边时5时，三边长是2、2、5，此时不符合三角形的三边关系；
②当腰时5，底边时2时，三边长是5、5、2，此时符合三角形的三边关系，
即等腰三角形的周长是552102．
故答案为：102．
【点评】此题主要考查了二次根式的运用，三角形的三边关系及等腰三角形的性质，解决本题的关键是注意对等腰三角形的边进行讨论．
13．（4分）不等式5x﹣3＜3x+5的解是 x＜4 ．
【考点】解一元一次不等式．
【专题】计算题；一元一次不等式（组）及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】先移项、再合并同类项、化系数为1即可求出此不等式的解集．
【解答】解：移项，得：5x﹣3x＜5+3，
合并同类项，得：2x＜8，
系数化为1，得：x＜4，
故答案为：x＜4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式，在解答此类题目是要注意，不等式的两边同时除以一个负数时不等号的符号要改变，这是此类题目的易错点．
14．（4分）在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，△BCD为等边三角形，且AD＝2，则四边形ABCD的周长为 210 ．
【考点】等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据等边三角形的性质得∠DBC＝60°，从而得∠ABD＝30°，再由含30°的直角三角形的性质解答．
【解答】解：∵△BCD为等边三角形，
∴∠DBC＝60°，DB＝BC＝CD，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝30°，
∵在Rt△ABC中，∠ABD＝30°，AD＝2
∴DB＝4，
∴CD＝BC＝4，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2，
∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+DA＝24+4+2＝210，
故答案为：210．
【点评】本题考查了含有30°角的直角三角形的性质和等边三角形的性质，解题的关键是注意含有30°角的直角三角形的性质使用．
15．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠1＝∠2，BC＝6cm，那么BD的长 3 cm．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由AB＝AC，得出△ABC是等腰三角形，由∠1＝∠2，得出AD是顶角平分线，再由等腰三角形底边上的中线与顶角平分线重合求解即可．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵∠1＝∠2，
∴BD＝CDBC，
∵BC＝6cm，
∴BD6＝3（cm）．
故答案为：3．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形底边上的中线与顶角平分线重合是解题的关键．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，0），在y轴上取一点C使△ABC为等腰三角形，符合条件的C点有 4 个．
【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】4．
【分析】观察数轴，按照等腰三角形成立的 条件分析可得答案．
【解答】解：观察图形可知，若以点A为圆心，以AB为半径画弧，与y轴有2个交点，故此时符合条件的点由2个；
若以点B为圆心，以AB为半径画弧，与y轴有2个交点；这两个交点中有一个是与A重合的，应舍掉，故只有1个；
线段AB的垂直平分线与y轴有1个交点；
∴符合条件的C点有：2+1+1＝4（个），
故答案为：4．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，可以观察图形，得出答案．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（6分）解下列不等式（组）并在数轴上表示：
（1）4；
（2）．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）x＞2，
（2）﹣11＜x＜﹣1．
【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1即可；
（2）先分别求出两个不等式的解集范围，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）不等式两边同乘以6得：
2（2x﹣1）﹣24＞﹣3（x+4），
解得：x＞2，
在数轴上表示为：
（2），
解不等式①得：x＜﹣1，
解不等式②得：x＞﹣11，
∴解集为：﹣11＜x＜﹣1，
在数轴上表示为：
【点评】本题考查一元一次不等式（组）的解法，利用不等式的性质熟练运算是解本题的关键．
18．（8分）解方程组和不等式组：
（1）；
（2）．
【考点】解一元一次不等式组；解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）；（2）﹣2＜x＜1．
【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1），
①+②，得：3x＝3，
解得x＝1，
将x＝1代入①，得：1+y＝0，
解得y＝﹣1，
则方程组的解为；
（2）解不等式3x+6＞0，得：x＞﹣2，
解不等式x﹣2＜﹣x，得：x＜1，
则不等式组的解集为﹣2＜x＜1．
【点评】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（8分）如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，AF＝CE，求证：DE＝BF．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】见解析．
【分析】根据线段的和差得到AE＝CF，根据垂直的定义得到∠AED＝∠BFC＝90°，根据全等三角形 的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】证明：∵AF＝CE，
∴AF﹣EF＝CE﹣EF，
即AE＝CF，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AED＝∠BFC＝90°，
在Rt△ADE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL），
∴AD＝BC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为点A（﹣3，0），点B（0，4）．
（1）△ABO的面积为 6 ；
（2）点C坐标为（m，4），△ABC的面积等于△ABO的面积的一半，则m的值为 ．
【考点】三角形的面积；坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；三角形；运算能力．
【答案】（1）6；
（2）．
【分析】（1）根据点A、B的坐标求出OA和OB的值，再根据三角形的面积公式求出面积即可；
（2）求出直线BC∥x轴，根据△ABC的面积等于△ABO的面积的一半得出BC，求出BC，即可得出m的值．
【解答】解：（1）∵A（﹣3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴△ABO的面积是6，
故答案为：6；
（2）∵点C的坐标是（m，4），B点的坐标是（0，4），
∴BC∥x轴，
∵A（﹣3，0），B（0，4），△ABC的面积等于△ABO的面积的一半，△ABO的面积是6，
∴BC×46，
∴BC，
即m，
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的面积和坐标与图形性质，能求出OA、OB的值是解此题的关键．
21．（10分）敕勒川，阴山下，天似穹庐，笼盖四野．天苍苍，野茫茫，风吹草低见牛羊，河套地区地势平坦、土地肥沃，适合大规模农牧．现有一片草场，草匀速生长，如果放牧360只羊，4周可以将草全部吃完．如果放牧210只羊，9周才能将草全部吃完．（假设每只羊每周吃的草量相等）
（1）求这片草场每周生长的草量和牧民进驻前原有草量的比；
（2）如果牧民准备在这片草场放牧8周，那么最多可以放牧多少只羊？
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）1：12；
（2）225只．
【分析】（1）设每只羊每周吃的草量为1份，这片草场牧民进驻前原有草量x份，这片草场每周生长的草量为y份，根据“如果放牧360只羊，4周可以将草全部吃完．如果放牧210只羊，9周才能将草全部吃完”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入y：x中即可求出结论；
（2）设可以放牧m只羊，根据放牧的这批羊8周吃的草量不超过牧民进驻前原有草量与这片草场8周生长的草量之和，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每只羊每周吃的草量为1份，这片草场牧民进驻前原有草量x份，这片草场每周生长的草量为y份，
依题意得：，
解得：，
∴y：x＝90：1080＝1：12．
答：这片草场每周生长的草量和牧民进驻前原有草量的比为1：12．
（2）设可以放牧m只羊，
依题意得：8m≤1080+8×90，
解得：m≤225．
答：最多可以放牧225只羊．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．（12分）综合与实践
一段平直的天然气主管道l同侧有A，B两个小镇，A，B到主管道l的距离分别是2km和3km，AB＝x km．现计划在主管道上选择一个合适的点P，向A，B两个小镇铺设天然气管道，使铺设管道的总长度最短．
数学小组设计了两种铺设管道的方案：
（1）方案一：如图1，设该方案中管道长度为d1，且d1＝PA+AB（其中AP⊥l），d1＝ （x+2） km（用含x的式子表示）．
（2）方案二：如图2，设该方案中管道长度为d2，且d2＝PA+PB（其中点B′与点B关于l对称，AB′与l交于点P）．为了计算d2的长，过点A作BB′的垂线，垂足是D，如图3所示，计算得d2＝ km（用含x的式子表示）．
（3）归纳推理：
①当x＝4时，比较大小：d1 ＜ d2（填“＞”、“＝”或“＜”）；
②当x＝6时，比较大小：d1 ＜ d2 （填“＞”、“＝”或“＜”）．
（4）方案选择：请你参考方框中的方法指导，就x的取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？
方法指导 当不易直接比较两个正数的大小时．可以对它们的平方进行比较． 要比较d1，d2的大小，比较，的大小即可． 当0时，d1﹣d2＞0，即d1＞d2． 当0时，d1﹣d2＝0，即d1＝d2． 当0时，d1﹣d2＜0，即d1＜d2．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；列代数式．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】（1）x+2；
（2）；
（3）①＜；
②＞；
（4）当x＞5时，选方案二；当x＝5时，选方案一或方案二；当x＜5时，选方案一．
【分析】（1）根据方案一表示出d1即可；
（2）根据方案二，利用勾股定理求出d2即可；
（3）①当x＝4时，求出d1，d2，再比较大小即可；
②当x＝6时，求出d1，d2，再比较大小即可；
（4）利用方框中的方法，求出，再分三种情况讨论，求出x的范围即可确定是选择方案一还是方案二．
【解答】解：（1）∵A到主管道l的距离是2km，AP⊥l，
∴PA＝2km，
∵AB＝x km．
∴d1＝AB+PA＝x+2（km），
故答案为：x+2；
（2）由题意，得BD＝3﹣2＝1（km），B'D＝2×3﹣1＝5（km），
由勾股定理，得AD2＝AB2﹣BD2＝x2﹣12＝x2﹣1，
∴d2＝AB'（km），
故答案为：；
（3）①当x＝4时，d1＝4+2＝6（km），d2（km），
∵6，
∴d1＜d2，
故答案为：＜；
②当x＝6时，d1＝6+2＝8（km），d2（km），
∵8，
∴d1＞d2，
故答案为：＞；
（4），
①当4x﹣20＞0，即x＞5时，，
∴d1﹣d2＞0，即 d1＞d2，
②当 4x﹣20＝0，即x＝5时，，
∴d1﹣d2＝0 即 d1＝d2，
③当4x﹣20＜0，即x＜5时，，
∴d1﹣d2＜0，即 d1＜d2，
综上可得：当x＞5时，选方案二；当x＝5时，选方案一或方案二；当x＜5时，选方案一．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，解答中涉及列代数式，勾股定理，解不等式，解方程等知识，理解题意，掌握相关知识是解题的关键．
23．（12分）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线MN过点A，且MN∥BC，点D是直线MN上一点，不与点A重合．
（1）若点E是图1中线段AB上一点，且DE＝DA，请判断线段DE与DA的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接BD，过点D作DP⊥DB交线段AC于点P，求证：△ADP≌△EDB；
（3）如图3，在图1的基础上，改变点D的位置后，连接BD，过点D作DP⊥DB交线段CA的延长线于点P，请判断线段DB与DP的数量关系，并说明理由．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）DE⊥DA，理由见解析；
（2）证明见解析；
（3）DB＝DP，理由见解析．
【分析】（1）先求出∠B＝45°，再由平行线的性质求出∠DAE＝45°，然后证∠ADE＝90°，即可得出结论；
（2）先证∠PDA＝∠BDE，再证∠PAD＝∠BED，再由ASA即可证得△ADP≌△EDB；
（3）过点D作DF⊥AM交AB的延长线于F，先证∠BDF＝∠ADP，再证∠F＝∠PAM，然后由ASA证得△BDF≌△PDA，即可得出结论．
【解答】（1）解：线段DE与DA的位置关系为：DE⊥DA，理由如下：
在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵MN∥BC，
∴∠DAE＝∠B＝45°，
∵DE＝DA，
∴∠AED＝∠DAE＝45°，
∴∠ADE＝180°﹣（45°+45°）＝90°，
∴DE⊥DA；
（2）证明：∵DP⊥BD，
∴∠BDP＝90°，
∵∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠BDP，
∴∠ADE﹣∠PDE＝∠BDP﹣∠PDE，
即∠PDA＝∠BDE，
∵∠PAD＝∠DAE+∠BAC＝45°+90°＝135°，∠BED＝180°﹣∠AED＝180°﹣45°＝135°，
∴∠PAD＝∠BED，
在△ADP和△EDB中，
，
∴△BED≌△PAD（ASA）；
（3）解：线段DB与DP的数量关系为：DB＝DP，理由如下：
如图3，过点D作DF⊥AM交AB的延长线于F，
∴∠ADF＝90°，
∵DP⊥DB，
∴∠BDP＝90°，
∴∠ADF＝∠BDP，
∴∠BDP﹣∠ADB＝∠ADF﹣∠ADB，
即∠BDF＝∠ADP，
由（1）知，∠DAB＝45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴DF＝DA，∠F＝45°，
∵∠PAD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣45°＝45°，
∴∠F＝∠PAD，
在△BDF和△PDA中，
，
∴△BDF≌△PDA（ASA），
∴DB＝DP．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
考点卡片
1．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“ ”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
2．二次根式的应用
把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．
二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．
3．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
4．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
5．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
6．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
7．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
8．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
9．规律型：点的坐标
1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．
2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律
3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．
10．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
11．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
12．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
13．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
14．全等三角形的应用
（1）全等三角形的性质与判定综合应用
用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．
（2）作辅助线构造全等三角形
常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
（3）全等三角形在实际问题中的应用
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
15．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
16．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
17．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
18．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
19．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
20．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
21．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
22．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
23．三角形综合题
涉及到的知识点比较多，如全等三角形的证明，三角形的相似、解直角三角形，锐角三角函数以及与四边形的综合考查
24．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
25．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
26．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
27．关于x轴、y轴对称的点的坐标
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
28．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
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