2024—2025学年上学期杭州初中数学九年级开学模拟试卷1（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期杭州初中数学九年级开学模拟试卷1（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 462.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-05 15:16:54 | ||
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文档简介
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2024—2025学年上学期杭州初中数学九年级开学模拟试卷1
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）使二次根式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＝2 D．x≠2
2．（3分）一元二次方程2x2﹣4x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．2，4，5 B．2，﹣4，5 C．2，4，﹣5 D．2，﹣4，﹣5
3．（3分）已知反比例函数y的图象位于第一、三象限，则n的取值可以是（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．3
4．（3分）将抛物线y＝2x2先向下平移4个单位，再向左平移5个单位，得到的新抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2（x+4）2+5 B．y＝2（x﹣4）2+5
C．y＝2（x+5）2﹣4 D．y＝2（x﹣5）2+4
5．（3分）如图，A、B、C三点均在二次函数y＝x2的图象上，M为线段AC的中点，BM∥y轴，且MB＝2．设A、C两点的横坐标分别为t1、t2（t2＞t1），则t2﹣t1的值为（ ）
A．3 B． C． D．
6．（3分）如图是一次函数y＝kx+b的图象，则二次函数y＝kx2+bx+2的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）若四边形ABCD是_________，则四边形ABCD一定是_________，那么这两空依次可以填（ ）
A．平行四边形，矩形 B．矩形，菱形
C．菱形，正方形 D．正方形，平行四边形
8．（3分）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+2x+3，则下列结论错误的是（ ）
A．柱子OA的高度为3m
B．喷出的水流距柱子1m处达到最大高度
C．喷出的水流距水平面的最大高度是3m
D．水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，过AC的中点O作EF⊥AC交BC，AD于点E，F，连接AE，CF，若四边形AECF的面积为，∠BAE＝30°，则四边形AECF的周长为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）已知二次函数y＝﹣2x2+4x+1，其中自变量x的取值范围为0≤x≤3，则y的取值范围为（ ）
A．1≤y≤3 B．﹣5≤y≤3 C．﹣5≤y≤1 D．﹣3≤y≤3
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）若m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则2m2﹣6m+3的值为 ．
12．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：
x … 0 1 2 3 …
y … 5 2 1 2 …
点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当0＜x1＜1，2＜x2＜3时，y1与y2的大小关系是 ．
13．（4分）把抛物线yx2向 平移 个单位长度，再向 平移 个单位长度，就得到抛物线y（x+1）2﹣1．
14．（4分）抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点C（2，y）在这条抛物线上．
（1）则点C的坐标为 ；
（2）若点P为y轴的正半轴上的一点，且△BCP为等腰三角形，则点P的坐标为 ．
15．（4分）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y（x＞0）的图象恰好经过点F，M．若直尺的宽CD＝3，三角板的斜边FG＝8，则k＝ ．
16．（4分）如图，6个边长为1的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则△ABC的面积为 ；tan∠ABC的值是 ．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（6分）计算或解方程：
（1）；
（2）2x2＝2x+1．
18．（6分）小林在学习完一次函数与反比例函数的图象与性质后，对函数图象与性质研究饶有兴趣，便想着将一次函数与反比例函数的解析式进行组合研究．他选取特殊的一次函数y＝k1x（k1≠0）与反比例函数y（k2≠0），相加后，得到一个新的函数y＝k1x（k1，k2≠0），已知，这个新函数满足：当x时，y；当x时，y．
（1）求出小林研究的这个组合函数的解析式；
（2）小林依照列表、描点、连线的方法在给定的平面直角坐标系内画出了该函数图象的部分，请你在图中补全小林未画完的部分，并根据图象，写出该函数图象的一条性质；
（3）请根据你所画的函数图象，利用所学函数知识，直接写出不等式k1xx的解集．
19．（10分）如图所示，AD∥BC，梯形ABCD的面积是300，E是AB的中点，F是BC边上的点，且AF∥CD，AF分别交ED，BD于G，H设m，m是整数．
①若m＝2，求△GHD的面积．
②若△GHD的面积为整数，求m的值．
20．（10分）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3．
（1）请在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
（2）若点C（x，y）在该函数图象上；
①当y＞0时，则x的取值范围为 ；
②当t﹣1≤x＜t（t为常数）时，y随x的增大而减小，则t的取值范围是 ．
21．（10分）小宇遇到了这样一个问题：
如图是一个单向隧道的断面，隧道顶MCN是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度MN为4m，最高处到地面的距离CO为4m，两侧墙高AM和BN均为3m，今有宽2.4m的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于0.6m，那么卡车载物后的限高应是多少米？（精确到0.1m）
为解决这个问题，小宇以AB中点O为原点，建立了如图所示的平面直角坐标系，根据上述信息，设抛物线的表达式为y＝ax2+c．
（1）写出M、C、N、F四个点的坐标；
（2）求出抛物线的表达式；
（3）利用求出的表达式，帮助小宇解决这个问题．
22．（12分）如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为点A（﹣2，3），且抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点B（0，2）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）是否在x轴上存在点P使△PAB为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是x轴上任意一点，则当PA﹣PB最大时，求点P的坐标．
23．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，直线EF从点A出发沿AD方向匀速运动，速度是2cm/s，运动过程中始终保持EF∥AC，EF交AD于E，交DC于点F，同时，点P从点C出发沿CB方向匀速运动，速度是1cm/s，连接PE、PF，设运动时间t（s）（0＜t≤4）．
（1）求t为何值时，四边形EPCD为矩形；
（2）设△PEF的面积为S（cm2），求出面积S关于时间t的表达式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻使S△PCF：S矩形ABCD＝1：16？若存在，求出t的值；
（4）是否存在某一时刻，使P在EF的垂直平分线上，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
2024—2025学年上学期杭州初中数学九年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）使二次根式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＝2 D．x≠2
【考点】二次根式有意义的条件．
【答案】B
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，
解得x≥2，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
2．（3分）一元二次方程2x2﹣4x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．2，4，5 B．2，﹣4，5 C．2，4，﹣5 D．2，﹣4，﹣5
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】一元二次方程及应用；符号意识．
【答案】D
【分析】根据二次项系数，一次项系数及常数项的定义得到结果即可．
【解答】解：一元二次方程2x2﹣4x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别为2，﹣4，﹣5．
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
3．（3分）已知反比例函数y的图象位于第一、三象限，则n的取值可以是（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．3
【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】D
【分析】直接利用当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，进而得出n的取值范围，即可得出答案．
【解答】解：∵反比例函数y的图象位于第一、三象限，
∴n﹣2＞0，
解得：n＞2．
故n的取值可以是：3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确得出n的取值范围是解题关键．
4．（3分）将抛物线y＝2x2先向下平移4个单位，再向左平移5个单位，得到的新抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2（x+4）2+5 B．y＝2（x﹣4）2+5
C．y＝2（x+5）2﹣4 D．y＝2（x﹣5）2+4
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】C
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝2x2向下平移4个单位，再向左平移5个单位所得直线解析式为：y＝2（x+5）2﹣4．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键．
5．（3分）如图，A、B、C三点均在二次函数y＝x2的图象上，M为线段AC的中点，BM∥y轴，且MB＝2．设A、C两点的横坐标分别为t1、t2（t2＞t1），则t2﹣t1的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】D
【分析】设B点坐标为B（x，x2），则M（x，x2+2），由M为线段AC的中点，得到t1+t2＝2x，，从而求出．
【解答】解：设B点坐标为B（x，x2），
∵BM∥y轴，MB＝2，
∴M（x，x2+2），
∵A、B、C三点均在二次函数y＝x2的图象上，
∴，
∵M为线段AC的中点，
∴t1+t2＝2x，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵t2＞t1，
∴t2﹣t1＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象的性质，完全平方公式的应用，解题的关键是结合图象理清点坐标之间的关系．
6．（3分）如图是一次函数y＝kx+b的图象，则二次函数y＝kx2+bx+2的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】根据一次函数的图象可以判断k和b的正负，从而可以判断二次函数y＝kx2+bx+2的图象的开口方向和对称轴，从而可以解答本题．
【解答】解：由一次函数y＝kx+b的图象可得，
k＞0，b＞0，
∴二次函数y＝kx2+bx+2的图象开口向上，对称轴为x0，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．（3分）若四边形ABCD是_________，则四边形ABCD一定是_________，那么这两空依次可以填（ ）
A．平行四边形，矩形 B．矩形，菱形
C．菱形，正方形 D．正方形，平行四边形
【考点】正方形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据正方形、平行四边形、矩形、菱形的判定解答即可．
【解答】解：若四边形ABCD是正方形，则四边形ABCD一定是平行四边形，
故选：D．
【点评】本题考查了正方形、平行四边形、矩形、菱形的判定，熟练掌握各判定定理是解题的关键．
8．（3分）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+2x+3，则下列结论错误的是（ ）
A．柱子OA的高度为3m
B．喷出的水流距柱子1m处达到最大高度
C．喷出的水流距水平面的最大高度是3m
D．水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据题目中的二次函数解析式可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴当x＝0时，y＝3，即OA＝3m，故A选项正确，
当x＝1时，y取得最大值，此时y＝4，故B选项正确，C选项错误，
当y＝0时，x＝3或x＝﹣1（舍去），故D选项正确，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，过AC的中点O作EF⊥AC交BC，AD于点E，F，连接AE，CF，若四边形AECF的面积为，∠BAE＝30°，则四边形AECF的周长为（ ）
A． B． C． D．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】C
【分析】先证四边形AFCE是菱形，可得AE＝CE，由菱形的面积公式可求CE的长，即可求解．
【解答】解：∵过AC的中点O作EF⊥AC，
∴AO＝CO，AC⊥EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFO＝∠CEO，∠FAO＝∠ECO，
在△AFO和△CEO中，
，
∴△AFO≌△CEO（AAS），
∴AF＝CE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形，
∴AE＝CE，
∵∠BAE＝30°，
∴BEAE，ABBEAE，
∵四边形AECF的面积为，
∴AB CE＝4，
∴AE EC＝4，
∴AE＝EC＝2，
∴四边形AECF的周长为8，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明四边形AFCE是菱形是解题的关键．
10．（3分）已知二次函数y＝﹣2x2+4x+1，其中自变量x的取值范围为0≤x≤3，则y的取值范围为（ ）
A．1≤y≤3 B．﹣5≤y≤3 C．﹣5≤y≤1 D．﹣3≤y≤3
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】把一般式化成顶点式，即可求得抛物线开口向下，顶点为（1，3），x＝1时，函数有最大值3，把x＝3代入解析式求得y＝﹣5，即可求得当0≤x≤3时，﹣5≤y≤3．
【解答】解：∵y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3＝﹣2（x+1）（x﹣3），
∴抛物线开口向下，顶点坐标为（1，3），对称轴为直线x＝1，
∴x＝1时，函数有最大值3，
当x＝3时，y＝﹣5，
当x＝0时，y＝1，
当0≤x≤3时，﹣5≤y≤3．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟知二次函数的性质是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）若m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则2m2﹣6m+3的值为 1 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】1．
【分析】把x＝m代入方程求出m2﹣2m＝2019，把2m2﹣6m+3化成2（m2﹣3m）+3代入求出即可．
【解答】解：根据题意，将x＝m代入方程，得：m2﹣3m+1＝0，
则m2﹣3m＝﹣1，
∴2m2﹣6m+3＝2（m2﹣3m）+3
＝2×（﹣1）+3
＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用，用了整体代入思想，即把m2﹣3m当作一个整体来代入．
12．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：
x … 0 1 2 3 …
y … 5 2 1 2 …
点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当0＜x1＜1，2＜x2＜3时，y1与y2的大小关系是 y1＞y2 ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】由二次函数图象的对称性知，图表可以体现出二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴和开口方向，然后由二次函数的单调性填空．
【解答】解：根据图表知，
当x＝1和x＝3时，所对应的y值都是2，∴抛物线的对称轴是直线x＝2，
又∵当x＞2时，y随x的增大而增大；当x＜2时，y随x的增大而减小，
∴该二次函数的图象的开口方向是向上；
∵0＜x1＜1，2＜x2＜3，
0＜x1＜1关于对称轴的对称点在3和4之间，
当x＞2时，y随x的增大而增大，
∴y1＞y2，
故答案为：y1＞y2
【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，解二元一次方程组，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点的理解和掌握，能根据二次函数的对称性判断两点的纵坐标的大小是解此题的关键．
13．（4分）把抛物线yx2向 左 平移 1 个单位长度，再向 下 平移 1 个单位长度，就得到抛物线y（x+1）2﹣1．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】左，1，下，1．
【分析】首先写出函数yx2的顶点坐标和抛物线y（x+1）2﹣1的顶点坐标，再根据顶点坐标的变化得到图象的平移方法．
【解答】解：函数yx2的顶点坐标为（0，0），
抛物线y（x+1）2﹣1的顶点坐标为（﹣1，﹣1），
所以，把抛物线yx2向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，就得到抛物线y（x+1）2﹣1．
故答案为：左，1，下，1．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
14．（4分）抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点C（2，y）在这条抛物线上．
（1）则点C的坐标为 （2，4） ；
（2）若点P为y轴的正半轴上的一点，且△BCP为等腰三角形，则点P的坐标为 （0，2），（0，） ．
【考点】抛物线与x轴的交点；等腰三角形的判定；勾股定理；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】分类讨论；待定系数法；二次函数图象及其性质；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】（1）（2，4）；（2）（0，2）或（0，）．
【分析】（1）将点C（2，y）代入函数解析式即可得出结论；
（2）令y＝0，求得点B的坐标，依据分类讨论的思想方法，利用△BCP为等腰三角形和等腰三角形的解答即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点C（2，y）在抛物线上，
∴22+2+4＝y，
∴y＝4，
∴C（2，4），
故答案为：（2，4）；
（2）令y＝0，则x+4＝0，
解得：x＝4或x＝﹣2．
∵抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，
∴B（4，0）．
∵点P为y轴的正半轴上的一点，①当BP＝BC时，如图，
过点C作CD⊥OB于点D，
∵C（2，4），B（4，0），
∴CD＝4，OB＝4，OD＝2，
∴CD＝OB．
在Rt△BPO和Rt△BCD中，
，
∴Rt△BPO≌Rt△BCD（HL），
∴OP＝BD．
∵OB＝4，OD＝2，
∴BD＝OB﹣OD＝2，
∴OP＝BD＝2，
∴P（0，2）；
②当BP＝PC时，如图，
过点C作CE⊥y轴于点E，
∵C（2，4），B（4，0），
∴CE＝2，OE＝4，OB＝4，
设点P（0，a），
∵点P为y轴的正半轴上的一点，
∴OP＝a，EP＝4﹣a，
∵BP＝PC，
∴BP2＝PC2，
∴EP2+CE2＝OP2+OB2，
∴（4﹣a）2+22＝a2+42，
解得：a，
∴P（0，）．
综上，当△BCP为等腰三角形，则点P的坐标为（0，2）或（0，）．
故答案为：（0，2）或（0，）．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，等腰三角形的性质，勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
15．（4分）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y（x＞0）的图象恰好经过点F，M．若直尺的宽CD＝3，三角板的斜边FG＝8，则k＝ 40 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；几何直观；模型思想；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，求出MN，FN，进而求出AN、MB，表示出点F、点M的坐标，利用反比例函数k的意义，确定点F的坐标，进而确定k的值即可．
【解答】解：过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN＝CD＝3，
在Rt△FMN中，∠MFN＝30°，
∴FNMN＝3，
∴AN＝MB＝835，
设OA＝x，则OB＝x+3，
∴F（x，8），M（x+3，5），
又∵点F、M都在反比例函数的图象上，
∴8x＝（x+3）×5，
解得，x＝5，
∴F（5，8），
∴k＝5×840．
故答案为：40．
【点评】考查反比例函数的图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法．
16．（4分）如图，6个边长为1的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则△ABC的面积为 ；tan∠ABC的值是 ．
【考点】菱形的性质；解直角三角形；三角形的面积．
【专题】推理填空题；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】；．
【分析】连接EA、EC，先证明∠AEC＝90°，E、C、B共线，再根据tan∠ABC，求出AE、EB即可解决问题；根据边长为1的菱形边上的高为，可得△ABC的面积．
【解答】解：如图，连接EA，EC，
由题意得，菱形的边长为1，∠AEF＝30°，∠BEF＝60°，
∴AE，EB＝2，
∴∠AEC＝90°，
∵∠ACE＝∠ACG＝∠BCG＝60°，
∴∠ECB＝180°，
∴E、C、B共线，
在Rt△AEB中，tan∠ABC．
∵边长为1的菱形边上的高为，
∴△ABC的面积2．
故答案为：；．
【点评】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（6分）计算或解方程：
（1）；
（2）2x2＝2x+1．
【考点】解一元二次方程﹣公式法；二次根式的加减法．
【专题】二次根式；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）3；
（2）x1，x2．
【分析】（1）把二次根式化为最简二次根式，再去括号，然后合并同类项即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）
＝（2）﹣（）
＝2
＝3；
（2）2x2＝2x+1，
2x2﹣2x﹣1＝0，
∵a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣1）＝12＞0，
∴x，
∴x1，x2．
【点评】本题考查的一元二次方程解法以及二次根式的加减运算，掌握公式法解一元二次方程和把二次根式化为最简二次根式是解本题的关键．
18．（6分）小林在学习完一次函数与反比例函数的图象与性质后，对函数图象与性质研究饶有兴趣，便想着将一次函数与反比例函数的解析式进行组合研究．他选取特殊的一次函数y＝k1x（k1≠0）与反比例函数y（k2≠0），相加后，得到一个新的函数y＝k1x（k1，k2≠0），已知，这个新函数满足：当x时，y；当x时，y．
（1）求出小林研究的这个组合函数的解析式；
（2）小林依照列表、描点、连线的方法在给定的平面直角坐标系内画出了该函数图象的部分，请你在图中补全小林未画完的部分，并根据图象，写出该函数图象的一条性质；
（3）请根据你所画的函数图象，利用所学函数知识，直接写出不等式k1xx的解集．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；一次函数的图象；正比例函数的图象；一次函数的性质；正比例函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】函数的综合应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把x，y；x，y代入y＝k1x，解方程即可得到结论；
（2）根据题意画出函数图象即可得到结论；
（3）根据函数的图象即可得到结论．
【解答】解：（1）把x，y；x，y代入y＝k1x得，，
解得：，
∴这个组合函数的解析式为yx；
（2）如图所示，函数图象的性质：这个组合函数关于原点对称；
（3）根据函数图象可得，不等式k1xx的解集为：x≤﹣2或0＜x≤2．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象，反比例函数的图象，正确的理解题意是解题的关键．
19．（10分）如图所示，AD∥BC，梯形ABCD的面积是300，E是AB的中点，F是BC边上的点，且AF∥CD，AF分别交ED，BD于G，H设m，m是整数．
①若m＝2，求△GHD的面积．
②若△GHD的面积为整数，求m的值．
【考点】平行四边形的判定与性质；梯形；三角形的面积；全等三角形的判定与性质．
【专题】数形结合；三角形；图形的全等；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】①．②4．
【分析】①先判定四边形AFCD为平行四边形，从而可得F是BC的中点；再连接DF，可判定四边形ABFD是平行四边形，则可知G为△ABD的重心，从而GHAG，最后由等高三角形的性质可得出答案．
②作BK∥AF，交ED于点K，则可判定△AEG≌△BEK（AAS），由全等三角形的性质及m可得 ，再由等高三角形的性质可用含m的式子表示出相关三角形的面积，最后由数的整除性得出m+1的值，经验证可得出符合题意的m值．
【解答】解：①∵AF∥CD，AD∥BC，
∴四边形AFCD为平行四边形，
∴FC＝AD，
∵m，
∴当m＝2时，BC＝2AD，
∴FC＝ADBC，
∴F是BC的中点，
∴BF＝FC＝AD，
连接DF，如图所示：
又∵AD∥BC，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∴H为BD的中点，
又∵E是AB的中点，
∴G为△ABD的重心，
∴GHAG．
∴S△ABDS梯形ABCD300＝100，S△AHDS△ABD＝50，S△GHDS△AHD．
∴△GHD的面积为．
②作BK∥AF，交ED于点K，则∠EAG＝∠EBK，∠EGA＝∠EKB，
又∵AE＝BE，
∴△AEG≌△BEK（AAS），
∴AG＝BK，
∵m，
∴．
∴S△ABDS梯形ABCD，
S△AHDS△ABD，
S△GHDS△AHD．
∵△GHD的面积为整数，
∴为整数，
∴（m+1）2|300，
∵300＝22×3×52，
∴m+1＝2，或5，或10，
经验证m＝4．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、重心定理、三角形的面积计算及数的整除性等知识点，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键．
20．（10分）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3．
（1）请在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
（2）若点C（x，y）在该函数图象上；
①当y＞0时，则x的取值范围为 ﹣3＜x＜1 ；
②当t﹣1≤x＜t（t为常数）时，y随x的增大而减小，则t的取值范围是 t≥0 ．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的图象．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）图象见解答；（2）①1＞x＞﹣3，②t≥0．
【分析】（1）求出二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、与x轴的交点坐标即可画出其图象；
（2）①根据函数图象可直接写出x的取值范围；
②根据函数图象，y随x的增大而减小，必有x≥﹣1．所以当t﹣1≤x＜t时，要求t﹣1≥﹣1，由此确定t的取值范围．
【解答】解：y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4．
（1）当﹣x2﹣2x+3＝0时，即（x﹣1）（x+3）＝0，解得x＝1或x＝﹣3．
该二次函数开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，4），与x轴交点坐标为（﹣3，0）、（1，0）．其在平面直角坐标系中的图象如图：
（2）①由图象可知，当﹣3＜x＜1时，y＞0．
故答案为：﹣3＜x＜1．
②∵y随x的增大而减小，
∴x≥﹣1，
又∵t﹣1≤x＜t，
∴t﹣1≥﹣1，
∴t≥0．
故答案为：t≥0．
【点评】本题通过画二次函数的图象等方式，间接考查了二次函数的性质及图象上坐标的特征．
21．（10分）小宇遇到了这样一个问题：
如图是一个单向隧道的断面，隧道顶MCN是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度MN为4m，最高处到地面的距离CO为4m，两侧墙高AM和BN均为3m，今有宽2.4m的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于0.6m，那么卡车载物后的限高应是多少米？（精确到0.1m）
为解决这个问题，小宇以AB中点O为原点，建立了如图所示的平面直角坐标系，根据上述信息，设抛物线的表达式为y＝ax2+c．
（1）写出M、C、N、F四个点的坐标；
（2）求出抛物线的表达式；
（3）利用求出的表达式，帮助小宇解决这个问题．
【考点】二次函数的应用．
【专题】其他问题；数形结合；待定系数法；一次方程（组）及应用；二次函数的应用；几何直观；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）M（﹣2，3）、C（0，4）、N（2，3）、F（1.2，0）；
（2）抛物线的表达式为yx2+4；
（3）卡车载物后的限高应是3.0m．
【分析】（1）根据题中信息直接写出M、C、N、F四个点的坐标即可；
（2）将点M、C点的坐标代入抛物线的表达式为y＝ax2+c，利用待定系数法求解即；
（3）在yx2+4中，令x＝1.2，求得相应的y值，从而可得点D的坐标，结合卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于0.6m，可得卡车载物最高点距地面的距离，然后精确到0.1m，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得：M（﹣2，3）、C（0，4）、N（2，3）、F（1.2，0）；
（2）将M（﹣2，3）、C（0，4）代入y＝ax2+c，得：
，
解得：，
∴抛物线的表达式为yx2+4；
（3）在yx2+4中，令x＝1.2，得：
y1.22+4＝3.64，
∴点D的坐标为（1.2，3.64），即点D与地面的距离为3.64m，
∵卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于0.6m，
∴点E离地面的距离不超过3.04m，
∴卡车载物后的限高应是3.0m．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法是解题的关键．
22．（12分）如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为点A（﹣2，3），且抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点B（0，2）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）是否在x轴上存在点P使△PAB为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是x轴上任意一点，则当PA﹣PB最大时，求点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】计算题；代数几何综合题；压轴题；数形结合；分类讨论．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）通过读题可以看出抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为点A（﹣2，3），且经过B点，所以直接将抛物线的解析式设为顶点式，然后代入B点的坐标求解即可．
（2）首先设出P点的坐标，根据坐标系两点间的距离公式分别求出PA、PB、AB的长度（或表达式），然后分PA＝PB、PA＝AB、PB＝AB三种情况列方程求解即可．
（3）当P、A、B三点不共线时，PA﹣PB＜AB（三角形三边关系定理），三点共线时，PA﹣PB＝AB，综合来看：PA﹣PB≤AB，所以当PA﹣PB的值最大时，P、A、B三点共线，因此只需求出直线AB的解析式，该直线与x轴的交点即为符合条件的P点．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为A（﹣2，3），∴可设抛物线的解析式为y＝a（x+2）2+3（a≠0），
由题意得：a（0+2）2+3＝2，解得：a．
∴物线的解析式为y（x+2）2+3，即yx2﹣x+2．
（2）设存在符合条件的点P，其坐标为（p，0），则
PA2＝（﹣2﹣p）2+32，PB2＝p2+22，AB2＝（3﹣2）2+22＝5
当PA＝PB时，（﹣2﹣p）2+32＝p2+22，解得：p；
当PA＝AB时，（﹣2﹣p）2+32＝5，方程无实数解；
当PB＝AB时，p2+22＝5，解得p＝±1．
∴x轴上存在符合条件的点P，其坐标为（，0）或（﹣1，0）或（1，0）．
（3）∵|PA﹣PB|≤AB，
∴当A、B、P三点共线时，可得PA﹣PB的最大值，这个最大值等于AB，此时点P是直线AB与x轴的交点．
设直线AB的解析式为y＝kx+b，则：
，解得．
∴直线AB的解析式为yx+2，
当yx+2＝0时，解得x＝4．
∴当PA﹣PB最大时，点P的坐标是（4，0）．
【点评】此题主要考查了利用待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的判定、三角形三边关系定理等重要知识；（2）题应注意等腰三角形的腰和底没有明确告知，所以要分情况进行讨论；最后一题中，找出PA﹣PB值最大时点P的位置是解决问题的关键．
23．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，直线EF从点A出发沿AD方向匀速运动，速度是2cm/s，运动过程中始终保持EF∥AC，EF交AD于E，交DC于点F，同时，点P从点C出发沿CB方向匀速运动，速度是1cm/s，连接PE、PF，设运动时间t（s）（0＜t≤4）．
（1）求t为何值时，四边形EPCD为矩形；
（2）设△PEF的面积为S（cm2），求出面积S关于时间t的表达式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻使S△PCF：S矩形ABCD＝1：16？若存在，求出t的值；
（4）是否存在某一时刻，使P在EF的垂直平分线上，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）t；
（2）St2+9t（0＜t＜4）；
（3）当t＝2时，使△PEF的面积是矩形ABCD面积的；
（4）t＝4．
【分析】（1）由DE∥CP且∠D＝∠C知DE＝CP时，四边形EPCD为矩形，据此求解可得；
（2）证△DEF∽△DAC得，据此求得DF＝（6t）cm，CFt cm，根据△PEF的面积＝S梯形DEPC﹣S△DEF﹣S△PCF可求解；
（3）先求出△PEF的面积，代入（3）的式子，可求解；
（4）根据PE＝PF，利用勾股定理，构建方程求解即可．
【解答】解：（1）由题意知AE＝2t cm，CP＝t cm，
则DE＝（8﹣2t）cm，
∵四边形EPCD是矩形，
∴DE＝CP，即8﹣2t＝t，
解得t，
故当t时，四边形EPCD为矩形；
（2）∵EF∥AC，
∴△DEF∽△DAC，
∴，即，
解得：DF＝6t，
则CF＝CD﹣DF＝6﹣（6t）t cm，
则△PEF的面积＝S梯形DEPC﹣S△DEF﹣S△PCF（8﹣2t+t）×6（8﹣2t）×（6t）ttt2+9t，
即St2+9t（0＜t＜4）；
（3）存在，
∵矩形ABCD面积＝6×8＝48（cm2），
∴△PCF的面积48＝3（cm2），
∴tt＝3，
解得：t＝2（负根已经舍弃），
∴当t＝2时，使△PEF的面积是矩形ABCD面积的．
（4）存在．
理由：当P在EF的垂直平分线上时，PE＝PF，
则有（8﹣2t﹣t）2+62＝（t）2+t2，
解得，t＝4或（舍弃），
∴满足条件的t的值为4．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质及割补法求三角形的面积等知识点，证明三角形相似是解题的关键．
考点卡片
1．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
2．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
3．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
4．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
5．解一元二次方程-公式法
（1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
6．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
7．正比例函数的图象
正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线．
8．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
9．正比例函数的性质
单调性
当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1]
当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数．
对称性
对称点：关于原点成中心对称．[1]
对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线．
10．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
11．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
12．反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
13．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
14．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
15．待定系数法求反比例函数解析式
用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y（k为常数，k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
16．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
17．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
18．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．
①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．
19．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
20．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
21．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
22．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
23．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
24．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
25．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
26．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
27．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
28．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度）
29．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
30．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
31．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
32．正方形的判定与性质
（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．
（2）正方形的判定
正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
33．梯形
（1）梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
梯形中平行的两边叫梯形的底，其中较短的底叫上底，不平行的两边叫梯形的腰，两底的距离叫梯形的高．
（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
（3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
34．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
35．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA，cosA，tanA．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
2024—2025学年上学期杭州初中数学九年级开学模拟试卷1
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）使二次根式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＝2 D．x≠2
2．（3分）一元二次方程2x2﹣4x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．2，4，5 B．2，﹣4，5 C．2，4，﹣5 D．2，﹣4，﹣5
3．（3分）已知反比例函数y的图象位于第一、三象限，则n的取值可以是（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．3
4．（3分）将抛物线y＝2x2先向下平移4个单位，再向左平移5个单位，得到的新抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2（x+4）2+5 B．y＝2（x﹣4）2+5
C．y＝2（x+5）2﹣4 D．y＝2（x﹣5）2+4
5．（3分）如图，A、B、C三点均在二次函数y＝x2的图象上，M为线段AC的中点，BM∥y轴，且MB＝2．设A、C两点的横坐标分别为t1、t2（t2＞t1），则t2﹣t1的值为（ ）
A．3 B． C． D．
6．（3分）如图是一次函数y＝kx+b的图象，则二次函数y＝kx2+bx+2的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）若四边形ABCD是_________，则四边形ABCD一定是_________，那么这两空依次可以填（ ）
A．平行四边形，矩形 B．矩形，菱形
C．菱形，正方形 D．正方形，平行四边形
8．（3分）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+2x+3，则下列结论错误的是（ ）
A．柱子OA的高度为3m
B．喷出的水流距柱子1m处达到最大高度
C．喷出的水流距水平面的最大高度是3m
D．水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，过AC的中点O作EF⊥AC交BC，AD于点E，F，连接AE，CF，若四边形AECF的面积为，∠BAE＝30°，则四边形AECF的周长为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）已知二次函数y＝﹣2x2+4x+1，其中自变量x的取值范围为0≤x≤3，则y的取值范围为（ ）
A．1≤y≤3 B．﹣5≤y≤3 C．﹣5≤y≤1 D．﹣3≤y≤3
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）若m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则2m2﹣6m+3的值为 ．
12．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：
x … 0 1 2 3 …
y … 5 2 1 2 …
点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当0＜x1＜1，2＜x2＜3时，y1与y2的大小关系是 ．
13．（4分）把抛物线yx2向 平移 个单位长度，再向 平移 个单位长度，就得到抛物线y（x+1）2﹣1．
14．（4分）抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点C（2，y）在这条抛物线上．
（1）则点C的坐标为 ；
（2）若点P为y轴的正半轴上的一点，且△BCP为等腰三角形，则点P的坐标为 ．
15．（4分）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y（x＞0）的图象恰好经过点F，M．若直尺的宽CD＝3，三角板的斜边FG＝8，则k＝ ．
16．（4分）如图，6个边长为1的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则△ABC的面积为 ；tan∠ABC的值是 ．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（6分）计算或解方程：
（1）；
（2）2x2＝2x+1．
18．（6分）小林在学习完一次函数与反比例函数的图象与性质后，对函数图象与性质研究饶有兴趣，便想着将一次函数与反比例函数的解析式进行组合研究．他选取特殊的一次函数y＝k1x（k1≠0）与反比例函数y（k2≠0），相加后，得到一个新的函数y＝k1x（k1，k2≠0），已知，这个新函数满足：当x时，y；当x时，y．
（1）求出小林研究的这个组合函数的解析式；
（2）小林依照列表、描点、连线的方法在给定的平面直角坐标系内画出了该函数图象的部分，请你在图中补全小林未画完的部分，并根据图象，写出该函数图象的一条性质；
（3）请根据你所画的函数图象，利用所学函数知识，直接写出不等式k1xx的解集．
19．（10分）如图所示，AD∥BC，梯形ABCD的面积是300，E是AB的中点，F是BC边上的点，且AF∥CD，AF分别交ED，BD于G，H设m，m是整数．
①若m＝2，求△GHD的面积．
②若△GHD的面积为整数，求m的值．
20．（10分）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3．
（1）请在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
（2）若点C（x，y）在该函数图象上；
①当y＞0时，则x的取值范围为 ；
②当t﹣1≤x＜t（t为常数）时，y随x的增大而减小，则t的取值范围是 ．
21．（10分）小宇遇到了这样一个问题：
如图是一个单向隧道的断面，隧道顶MCN是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度MN为4m，最高处到地面的距离CO为4m，两侧墙高AM和BN均为3m，今有宽2.4m的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于0.6m，那么卡车载物后的限高应是多少米？（精确到0.1m）
为解决这个问题，小宇以AB中点O为原点，建立了如图所示的平面直角坐标系，根据上述信息，设抛物线的表达式为y＝ax2+c．
（1）写出M、C、N、F四个点的坐标；
（2）求出抛物线的表达式；
（3）利用求出的表达式，帮助小宇解决这个问题．
22．（12分）如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为点A（﹣2，3），且抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点B（0，2）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）是否在x轴上存在点P使△PAB为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是x轴上任意一点，则当PA﹣PB最大时，求点P的坐标．
23．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，直线EF从点A出发沿AD方向匀速运动，速度是2cm/s，运动过程中始终保持EF∥AC，EF交AD于E，交DC于点F，同时，点P从点C出发沿CB方向匀速运动，速度是1cm/s，连接PE、PF，设运动时间t（s）（0＜t≤4）．
（1）求t为何值时，四边形EPCD为矩形；
（2）设△PEF的面积为S（cm2），求出面积S关于时间t的表达式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻使S△PCF：S矩形ABCD＝1：16？若存在，求出t的值；
（4）是否存在某一时刻，使P在EF的垂直平分线上，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
2024—2025学年上学期杭州初中数学九年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）使二次根式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＝2 D．x≠2
【考点】二次根式有意义的条件．
【答案】B
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，
解得x≥2，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
2．（3分）一元二次方程2x2﹣4x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．2，4，5 B．2，﹣4，5 C．2，4，﹣5 D．2，﹣4，﹣5
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】一元二次方程及应用；符号意识．
【答案】D
【分析】根据二次项系数，一次项系数及常数项的定义得到结果即可．
【解答】解：一元二次方程2x2﹣4x﹣5＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别为2，﹣4，﹣5．
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
3．（3分）已知反比例函数y的图象位于第一、三象限，则n的取值可以是（ ）
A．﹣2 B．1 C．2 D．3
【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】D
【分析】直接利用当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，进而得出n的取值范围，即可得出答案．
【解答】解：∵反比例函数y的图象位于第一、三象限，
∴n﹣2＞0，
解得：n＞2．
故n的取值可以是：3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确得出n的取值范围是解题关键．
4．（3分）将抛物线y＝2x2先向下平移4个单位，再向左平移5个单位，得到的新抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2（x+4）2+5 B．y＝2（x﹣4）2+5
C．y＝2（x+5）2﹣4 D．y＝2（x﹣5）2+4
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】C
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝2x2向下平移4个单位，再向左平移5个单位所得直线解析式为：y＝2（x+5）2﹣4．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键．
5．（3分）如图，A、B、C三点均在二次函数y＝x2的图象上，M为线段AC的中点，BM∥y轴，且MB＝2．设A、C两点的横坐标分别为t1、t2（t2＞t1），则t2﹣t1的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】D
【分析】设B点坐标为B（x，x2），则M（x，x2+2），由M为线段AC的中点，得到t1+t2＝2x，，从而求出．
【解答】解：设B点坐标为B（x，x2），
∵BM∥y轴，MB＝2，
∴M（x，x2+2），
∵A、B、C三点均在二次函数y＝x2的图象上，
∴，
∵M为线段AC的中点，
∴t1+t2＝2x，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵t2＞t1，
∴t2﹣t1＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象的性质，完全平方公式的应用，解题的关键是结合图象理清点坐标之间的关系．
6．（3分）如图是一次函数y＝kx+b的图象，则二次函数y＝kx2+bx+2的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】根据一次函数的图象可以判断k和b的正负，从而可以判断二次函数y＝kx2+bx+2的图象的开口方向和对称轴，从而可以解答本题．
【解答】解：由一次函数y＝kx+b的图象可得，
k＞0，b＞0，
∴二次函数y＝kx2+bx+2的图象开口向上，对称轴为x0，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．（3分）若四边形ABCD是_________，则四边形ABCD一定是_________，那么这两空依次可以填（ ）
A．平行四边形，矩形 B．矩形，菱形
C．菱形，正方形 D．正方形，平行四边形
【考点】正方形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据正方形、平行四边形、矩形、菱形的判定解答即可．
【解答】解：若四边形ABCD是正方形，则四边形ABCD一定是平行四边形，
故选：D．
【点评】本题考查了正方形、平行四边形、矩形、菱形的判定，熟练掌握各判定定理是解题的关键．
8．（3分）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+2x+3，则下列结论错误的是（ ）
A．柱子OA的高度为3m
B．喷出的水流距柱子1m处达到最大高度
C．喷出的水流距水平面的最大高度是3m
D．水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据题目中的二次函数解析式可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴当x＝0时，y＝3，即OA＝3m，故A选项正确，
当x＝1时，y取得最大值，此时y＝4，故B选项正确，C选项错误，
当y＝0时，x＝3或x＝﹣1（舍去），故D选项正确，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，过AC的中点O作EF⊥AC交BC，AD于点E，F，连接AE，CF，若四边形AECF的面积为，∠BAE＝30°，则四边形AECF的周长为（ ）
A． B． C． D．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】C
【分析】先证四边形AFCE是菱形，可得AE＝CE，由菱形的面积公式可求CE的长，即可求解．
【解答】解：∵过AC的中点O作EF⊥AC，
∴AO＝CO，AC⊥EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFO＝∠CEO，∠FAO＝∠ECO，
在△AFO和△CEO中，
，
∴△AFO≌△CEO（AAS），
∴AF＝CE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形，
∴AE＝CE，
∵∠BAE＝30°，
∴BEAE，ABBEAE，
∵四边形AECF的面积为，
∴AB CE＝4，
∴AE EC＝4，
∴AE＝EC＝2，
∴四边形AECF的周长为8，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明四边形AFCE是菱形是解题的关键．
10．（3分）已知二次函数y＝﹣2x2+4x+1，其中自变量x的取值范围为0≤x≤3，则y的取值范围为（ ）
A．1≤y≤3 B．﹣5≤y≤3 C．﹣5≤y≤1 D．﹣3≤y≤3
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】把一般式化成顶点式，即可求得抛物线开口向下，顶点为（1，3），x＝1时，函数有最大值3，把x＝3代入解析式求得y＝﹣5，即可求得当0≤x≤3时，﹣5≤y≤3．
【解答】解：∵y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3＝﹣2（x+1）（x﹣3），
∴抛物线开口向下，顶点坐标为（1，3），对称轴为直线x＝1，
∴x＝1时，函数有最大值3，
当x＝3时，y＝﹣5，
当x＝0时，y＝1，
当0≤x≤3时，﹣5≤y≤3．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟知二次函数的性质是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）若m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则2m2﹣6m+3的值为 1 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】1．
【分析】把x＝m代入方程求出m2﹣2m＝2019，把2m2﹣6m+3化成2（m2﹣3m）+3代入求出即可．
【解答】解：根据题意，将x＝m代入方程，得：m2﹣3m+1＝0，
则m2﹣3m＝﹣1，
∴2m2﹣6m+3＝2（m2﹣3m）+3
＝2×（﹣1）+3
＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用，用了整体代入思想，即把m2﹣3m当作一个整体来代入．
12．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：
x … 0 1 2 3 …
y … 5 2 1 2 …
点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当0＜x1＜1，2＜x2＜3时，y1与y2的大小关系是 y1＞y2 ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】由二次函数图象的对称性知，图表可以体现出二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴和开口方向，然后由二次函数的单调性填空．
【解答】解：根据图表知，
当x＝1和x＝3时，所对应的y值都是2，∴抛物线的对称轴是直线x＝2，
又∵当x＞2时，y随x的增大而增大；当x＜2时，y随x的增大而减小，
∴该二次函数的图象的开口方向是向上；
∵0＜x1＜1，2＜x2＜3，
0＜x1＜1关于对称轴的对称点在3和4之间，
当x＞2时，y随x的增大而增大，
∴y1＞y2，
故答案为：y1＞y2
【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，解二元一次方程组，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点的理解和掌握，能根据二次函数的对称性判断两点的纵坐标的大小是解此题的关键．
13．（4分）把抛物线yx2向 左 平移 1 个单位长度，再向 下 平移 1 个单位长度，就得到抛物线y（x+1）2﹣1．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】左，1，下，1．
【分析】首先写出函数yx2的顶点坐标和抛物线y（x+1）2﹣1的顶点坐标，再根据顶点坐标的变化得到图象的平移方法．
【解答】解：函数yx2的顶点坐标为（0，0），
抛物线y（x+1）2﹣1的顶点坐标为（﹣1，﹣1），
所以，把抛物线yx2向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，就得到抛物线y（x+1）2﹣1．
故答案为：左，1，下，1．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
14．（4分）抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点C（2，y）在这条抛物线上．
（1）则点C的坐标为 （2，4） ；
（2）若点P为y轴的正半轴上的一点，且△BCP为等腰三角形，则点P的坐标为 （0，2），（0，） ．
【考点】抛物线与x轴的交点；等腰三角形的判定；勾股定理；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】分类讨论；待定系数法；二次函数图象及其性质；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】（1）（2，4）；（2）（0，2）或（0，）．
【分析】（1）将点C（2，y）代入函数解析式即可得出结论；
（2）令y＝0，求得点B的坐标，依据分类讨论的思想方法，利用△BCP为等腰三角形和等腰三角形的解答即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点C（2，y）在抛物线上，
∴22+2+4＝y，
∴y＝4，
∴C（2，4），
故答案为：（2，4）；
（2）令y＝0，则x+4＝0，
解得：x＝4或x＝﹣2．
∵抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，
∴B（4，0）．
∵点P为y轴的正半轴上的一点，①当BP＝BC时，如图，
过点C作CD⊥OB于点D，
∵C（2，4），B（4，0），
∴CD＝4，OB＝4，OD＝2，
∴CD＝OB．
在Rt△BPO和Rt△BCD中，
，
∴Rt△BPO≌Rt△BCD（HL），
∴OP＝BD．
∵OB＝4，OD＝2，
∴BD＝OB﹣OD＝2，
∴OP＝BD＝2，
∴P（0，2）；
②当BP＝PC时，如图，
过点C作CE⊥y轴于点E，
∵C（2，4），B（4，0），
∴CE＝2，OE＝4，OB＝4，
设点P（0，a），
∵点P为y轴的正半轴上的一点，
∴OP＝a，EP＝4﹣a，
∵BP＝PC，
∴BP2＝PC2，
∴EP2+CE2＝OP2+OB2，
∴（4﹣a）2+22＝a2+42，
解得：a，
∴P（0，）．
综上，当△BCP为等腰三角形，则点P的坐标为（0，2）或（0，）．
故答案为：（0，2）或（0，）．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，等腰三角形的性质，勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
15．（4分）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y（x＞0）的图象恰好经过点F，M．若直尺的宽CD＝3，三角板的斜边FG＝8，则k＝ 40 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；几何直观；模型思想；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，求出MN，FN，进而求出AN、MB，表示出点F、点M的坐标，利用反比例函数k的意义，确定点F的坐标，进而确定k的值即可．
【解答】解：过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN＝CD＝3，
在Rt△FMN中，∠MFN＝30°，
∴FNMN＝3，
∴AN＝MB＝835，
设OA＝x，则OB＝x+3，
∴F（x，8），M（x+3，5），
又∵点F、M都在反比例函数的图象上，
∴8x＝（x+3）×5，
解得，x＝5，
∴F（5，8），
∴k＝5×840．
故答案为：40．
【点评】考查反比例函数的图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法．
16．（4分）如图，6个边长为1的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C都在格点上，则△ABC的面积为 ；tan∠ABC的值是 ．
【考点】菱形的性质；解直角三角形；三角形的面积．
【专题】推理填空题；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】；．
【分析】连接EA、EC，先证明∠AEC＝90°，E、C、B共线，再根据tan∠ABC，求出AE、EB即可解决问题；根据边长为1的菱形边上的高为，可得△ABC的面积．
【解答】解：如图，连接EA，EC，
由题意得，菱形的边长为1，∠AEF＝30°，∠BEF＝60°，
∴AE，EB＝2，
∴∠AEC＝90°，
∵∠ACE＝∠ACG＝∠BCG＝60°，
∴∠ECB＝180°，
∴E、C、B共线，
在Rt△AEB中，tan∠ABC．
∵边长为1的菱形边上的高为，
∴△ABC的面积2．
故答案为：；．
【点评】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（6分）计算或解方程：
（1）；
（2）2x2＝2x+1．
【考点】解一元二次方程﹣公式法；二次根式的加减法．
【专题】二次根式；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）3；
（2）x1，x2．
【分析】（1）把二次根式化为最简二次根式，再去括号，然后合并同类项即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）
＝（2）﹣（）
＝2
＝3；
（2）2x2＝2x+1，
2x2﹣2x﹣1＝0，
∵a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣1）＝12＞0，
∴x，
∴x1，x2．
【点评】本题考查的一元二次方程解法以及二次根式的加减运算，掌握公式法解一元二次方程和把二次根式化为最简二次根式是解本题的关键．
18．（6分）小林在学习完一次函数与反比例函数的图象与性质后，对函数图象与性质研究饶有兴趣，便想着将一次函数与反比例函数的解析式进行组合研究．他选取特殊的一次函数y＝k1x（k1≠0）与反比例函数y（k2≠0），相加后，得到一个新的函数y＝k1x（k1，k2≠0），已知，这个新函数满足：当x时，y；当x时，y．
（1）求出小林研究的这个组合函数的解析式；
（2）小林依照列表、描点、连线的方法在给定的平面直角坐标系内画出了该函数图象的部分，请你在图中补全小林未画完的部分，并根据图象，写出该函数图象的一条性质；
（3）请根据你所画的函数图象，利用所学函数知识，直接写出不等式k1xx的解集．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；一次函数的图象；正比例函数的图象；一次函数的性质；正比例函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】函数的综合应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把x，y；x，y代入y＝k1x，解方程即可得到结论；
（2）根据题意画出函数图象即可得到结论；
（3）根据函数的图象即可得到结论．
【解答】解：（1）把x，y；x，y代入y＝k1x得，，
解得：，
∴这个组合函数的解析式为yx；
（2）如图所示，函数图象的性质：这个组合函数关于原点对称；
（3）根据函数图象可得，不等式k1xx的解集为：x≤﹣2或0＜x≤2．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象，反比例函数的图象，正确的理解题意是解题的关键．
19．（10分）如图所示，AD∥BC，梯形ABCD的面积是300，E是AB的中点，F是BC边上的点，且AF∥CD，AF分别交ED，BD于G，H设m，m是整数．
①若m＝2，求△GHD的面积．
②若△GHD的面积为整数，求m的值．
【考点】平行四边形的判定与性质；梯形；三角形的面积；全等三角形的判定与性质．
【专题】数形结合；三角形；图形的全等；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】①．②4．
【分析】①先判定四边形AFCD为平行四边形，从而可得F是BC的中点；再连接DF，可判定四边形ABFD是平行四边形，则可知G为△ABD的重心，从而GHAG，最后由等高三角形的性质可得出答案．
②作BK∥AF，交ED于点K，则可判定△AEG≌△BEK（AAS），由全等三角形的性质及m可得 ，再由等高三角形的性质可用含m的式子表示出相关三角形的面积，最后由数的整除性得出m+1的值，经验证可得出符合题意的m值．
【解答】解：①∵AF∥CD，AD∥BC，
∴四边形AFCD为平行四边形，
∴FC＝AD，
∵m，
∴当m＝2时，BC＝2AD，
∴FC＝ADBC，
∴F是BC的中点，
∴BF＝FC＝AD，
连接DF，如图所示：
又∵AD∥BC，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∴H为BD的中点，
又∵E是AB的中点，
∴G为△ABD的重心，
∴GHAG．
∴S△ABDS梯形ABCD300＝100，S△AHDS△ABD＝50，S△GHDS△AHD．
∴△GHD的面积为．
②作BK∥AF，交ED于点K，则∠EAG＝∠EBK，∠EGA＝∠EKB，
又∵AE＝BE，
∴△AEG≌△BEK（AAS），
∴AG＝BK，
∵m，
∴．
∴S△ABDS梯形ABCD，
S△AHDS△ABD，
S△GHDS△AHD．
∵△GHD的面积为整数，
∴为整数，
∴（m+1）2|300，
∵300＝22×3×52，
∴m+1＝2，或5，或10，
经验证m＝4．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、重心定理、三角形的面积计算及数的整除性等知识点，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键．
20．（10分）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3．
（1）请在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
（2）若点C（x，y）在该函数图象上；
①当y＞0时，则x的取值范围为 ﹣3＜x＜1 ；
②当t﹣1≤x＜t（t为常数）时，y随x的增大而减小，则t的取值范围是 t≥0 ．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的图象．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）图象见解答；（2）①1＞x＞﹣3，②t≥0．
【分析】（1）求出二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、与x轴的交点坐标即可画出其图象；
（2）①根据函数图象可直接写出x的取值范围；
②根据函数图象，y随x的增大而减小，必有x≥﹣1．所以当t﹣1≤x＜t时，要求t﹣1≥﹣1，由此确定t的取值范围．
【解答】解：y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4．
（1）当﹣x2﹣2x+3＝0时，即（x﹣1）（x+3）＝0，解得x＝1或x＝﹣3．
该二次函数开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，4），与x轴交点坐标为（﹣3，0）、（1，0）．其在平面直角坐标系中的图象如图：
（2）①由图象可知，当﹣3＜x＜1时，y＞0．
故答案为：﹣3＜x＜1．
②∵y随x的增大而减小，
∴x≥﹣1，
又∵t﹣1≤x＜t，
∴t﹣1≥﹣1，
∴t≥0．
故答案为：t≥0．
【点评】本题通过画二次函数的图象等方式，间接考查了二次函数的性质及图象上坐标的特征．
21．（10分）小宇遇到了这样一个问题：
如图是一个单向隧道的断面，隧道顶MCN是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度MN为4m，最高处到地面的距离CO为4m，两侧墙高AM和BN均为3m，今有宽2.4m的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于0.6m，那么卡车载物后的限高应是多少米？（精确到0.1m）
为解决这个问题，小宇以AB中点O为原点，建立了如图所示的平面直角坐标系，根据上述信息，设抛物线的表达式为y＝ax2+c．
（1）写出M、C、N、F四个点的坐标；
（2）求出抛物线的表达式；
（3）利用求出的表达式，帮助小宇解决这个问题．
【考点】二次函数的应用．
【专题】其他问题；数形结合；待定系数法；一次方程（组）及应用；二次函数的应用；几何直观；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】（1）M（﹣2，3）、C（0，4）、N（2，3）、F（1.2，0）；
（2）抛物线的表达式为yx2+4；
（3）卡车载物后的限高应是3.0m．
【分析】（1）根据题中信息直接写出M、C、N、F四个点的坐标即可；
（2）将点M、C点的坐标代入抛物线的表达式为y＝ax2+c，利用待定系数法求解即；
（3）在yx2+4中，令x＝1.2，求得相应的y值，从而可得点D的坐标，结合卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于0.6m，可得卡车载物最高点距地面的距离，然后精确到0.1m，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得：M（﹣2，3）、C（0，4）、N（2，3）、F（1.2，0）；
（2）将M（﹣2，3）、C（0，4）代入y＝ax2+c，得：
，
解得：，
∴抛物线的表达式为yx2+4；
（3）在yx2+4中，令x＝1.2，得：
y1.22+4＝3.64，
∴点D的坐标为（1.2，3.64），即点D与地面的距离为3.64m，
∵卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于0.6m，
∴点E离地面的距离不超过3.04m，
∴卡车载物后的限高应是3.0m．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法是解题的关键．
22．（12分）如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为点A（﹣2，3），且抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点B（0，2）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）是否在x轴上存在点P使△PAB为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是x轴上任意一点，则当PA﹣PB最大时，求点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】计算题；代数几何综合题；压轴题；数形结合；分类讨论．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）通过读题可以看出抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为点A（﹣2，3），且经过B点，所以直接将抛物线的解析式设为顶点式，然后代入B点的坐标求解即可．
（2）首先设出P点的坐标，根据坐标系两点间的距离公式分别求出PA、PB、AB的长度（或表达式），然后分PA＝PB、PA＝AB、PB＝AB三种情况列方程求解即可．
（3）当P、A、B三点不共线时，PA﹣PB＜AB（三角形三边关系定理），三点共线时，PA﹣PB＝AB，综合来看：PA﹣PB≤AB，所以当PA﹣PB的值最大时，P、A、B三点共线，因此只需求出直线AB的解析式，该直线与x轴的交点即为符合条件的P点．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为A（﹣2，3），∴可设抛物线的解析式为y＝a（x+2）2+3（a≠0），
由题意得：a（0+2）2+3＝2，解得：a．
∴物线的解析式为y（x+2）2+3，即yx2﹣x+2．
（2）设存在符合条件的点P，其坐标为（p，0），则
PA2＝（﹣2﹣p）2+32，PB2＝p2+22，AB2＝（3﹣2）2+22＝5
当PA＝PB时，（﹣2﹣p）2+32＝p2+22，解得：p；
当PA＝AB时，（﹣2﹣p）2+32＝5，方程无实数解；
当PB＝AB时，p2+22＝5，解得p＝±1．
∴x轴上存在符合条件的点P，其坐标为（，0）或（﹣1，0）或（1，0）．
（3）∵|PA﹣PB|≤AB，
∴当A、B、P三点共线时，可得PA﹣PB的最大值，这个最大值等于AB，此时点P是直线AB与x轴的交点．
设直线AB的解析式为y＝kx+b，则：
，解得．
∴直线AB的解析式为yx+2，
当yx+2＝0时，解得x＝4．
∴当PA﹣PB最大时，点P的坐标是（4，0）．
【点评】此题主要考查了利用待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的判定、三角形三边关系定理等重要知识；（2）题应注意等腰三角形的腰和底没有明确告知，所以要分情况进行讨论；最后一题中，找出PA﹣PB值最大时点P的位置是解决问题的关键．
23．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，直线EF从点A出发沿AD方向匀速运动，速度是2cm/s，运动过程中始终保持EF∥AC，EF交AD于E，交DC于点F，同时，点P从点C出发沿CB方向匀速运动，速度是1cm/s，连接PE、PF，设运动时间t（s）（0＜t≤4）．
（1）求t为何值时，四边形EPCD为矩形；
（2）设△PEF的面积为S（cm2），求出面积S关于时间t的表达式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻使S△PCF：S矩形ABCD＝1：16？若存在，求出t的值；
（4）是否存在某一时刻，使P在EF的垂直平分线上，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）t；
（2）St2+9t（0＜t＜4）；
（3）当t＝2时，使△PEF的面积是矩形ABCD面积的；
（4）t＝4．
【分析】（1）由DE∥CP且∠D＝∠C知DE＝CP时，四边形EPCD为矩形，据此求解可得；
（2）证△DEF∽△DAC得，据此求得DF＝（6t）cm，CFt cm，根据△PEF的面积＝S梯形DEPC﹣S△DEF﹣S△PCF可求解；
（3）先求出△PEF的面积，代入（3）的式子，可求解；
（4）根据PE＝PF，利用勾股定理，构建方程求解即可．
【解答】解：（1）由题意知AE＝2t cm，CP＝t cm，
则DE＝（8﹣2t）cm，
∵四边形EPCD是矩形，
∴DE＝CP，即8﹣2t＝t，
解得t，
故当t时，四边形EPCD为矩形；
（2）∵EF∥AC，
∴△DEF∽△DAC，
∴，即，
解得：DF＝6t，
则CF＝CD﹣DF＝6﹣（6t）t cm，
则△PEF的面积＝S梯形DEPC﹣S△DEF﹣S△PCF（8﹣2t+t）×6（8﹣2t）×（6t）ttt2+9t，
即St2+9t（0＜t＜4）；
（3）存在，
∵矩形ABCD面积＝6×8＝48（cm2），
∴△PCF的面积48＝3（cm2），
∴tt＝3，
解得：t＝2（负根已经舍弃），
∴当t＝2时，使△PEF的面积是矩形ABCD面积的．
（4）存在．
理由：当P在EF的垂直平分线上时，PE＝PF，
则有（8﹣2t﹣t）2+62＝（t）2+t2，
解得，t＝4或（舍弃），
∴满足条件的t的值为4．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质及割补法求三角形的面积等知识点，证明三角形相似是解题的关键．
考点卡片
1．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
2．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
3．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
4．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
5．解一元二次方程-公式法
（1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
6．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
7．正比例函数的图象
正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线．
8．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
9．正比例函数的性质
单调性
当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1]
当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数．
对称性
对称点：关于原点成中心对称．[1]
对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线．
10．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
11．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．
12．反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
13．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
14．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
15．待定系数法求反比例函数解析式
用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y（k为常数，k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
16．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
17．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
18．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．
①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．
19．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
20．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
21．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
22．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
23．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
24．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
25．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
26．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
27．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
28．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度）
29．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
30．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
31．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
32．正方形的判定与性质
（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．
（2）正方形的判定
正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
33．梯形
（1）梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
梯形中平行的两边叫梯形的底，其中较短的底叫上底，不平行的两边叫梯形的腰，两底的距离叫梯形的高．
（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
（3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
34．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
35．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA，cosA，tanA．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
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