2024—2025学年上学期杭州初中数学九年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期杭州初中数学九年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 364.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-05 15:17:54 | ||
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文档简介
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2024—2025学年上学期杭州初中数学九年级开学模拟试卷2
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列各式中，一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为（ ）
A．无数个 B．3个 C．2个 D．1个
3．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边的中点，连接EF．若EF，BD＝4，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．4 B． C．4 D．28
4．（3分）甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩一样，而他们的方差分别是S甲2＝1.8，S乙2＝0.7，下列说法中一定正确的是（ ）
A．甲射击成绩比乙稳定
B．乙射击成绩比甲稳定
C．甲、乙射击成绩一样稳定
D．甲、乙无法比较
5．（3分）下列关于二次函数y＝ax2+（a+1）x+1（a＞0）的图象判断正确的是（ ）
A．对称轴位于y轴右侧
B．与x轴的交点有两个
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．与坐标轴的交点有三个
6．（3分）若点A（x1，﹣4），B（x2，1），C（x3，4）都在反比例函数的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x3＜x2 B．x1＜x2＜x3 C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x1＜x2
7．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（3分）若关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣2 B．m≥﹣2
C．m＞﹣2且m≠﹣1 D．m≥﹣2且m≠﹣1
9．（3分）函数y＝x2+2x﹣3（﹣3≤x≤2）的最大值与最小值分别是（ ）
A．1和﹣4 B．5和﹣3 C．4和﹣3 D．5和﹣4
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）有最大值，且该二次函数的图象经过（﹣3，m）、（1，m）两点，若实数p＝a﹣b+c，实数q＝4a+2b+c，则实数p、q之间的大小关系是（ ）
A．p＞q B．p＝q C．p＜q D．无法确定
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）如图，用三个边长为2的正方形组成一个轴对称图形，则能将三个正方形完全覆盖的圆的最小半径是 ．
12．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝6，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CE，F为线段CE上一点，且∠DFE＝∠A．若DF，则DE的长为 ．
13．（4分）下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+mx+1（m为常数）的结论：
①该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同；
②该函数的图象一定经过点（0，1）；
③当x＞0时，y随x的增大而减小；4
④该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上，其中所有正确结论的序号是 ．
14．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴的交点坐标为 ．
15．（4分）如图，反比例函数y（x＞0）的图象经过Rt△BOC斜边上的中点A，与BC边交于点D，连接OD，若S△BOD＝21，则k＝ ．
16．（4分）已知，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，点P是AB上一点，连接CP，将∠B沿CP折叠，使点B落在B′处．以下结论正确的有 ．
①当AB′⊥AC时，AB′的长为；
②当点P位于AB中点时，四边形ACPB′为菱形；
③当∠B'PA＝30°时，；
④当CP⊥AB时，AP：AB′：BP＝1：2：3．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（6分）（1）计算（2
（2）
（3）解方程：4x2＝9
（4）解方程：x2﹣6x+1＝0．
（5）计算（）﹣1﹣20100．
18．（8分）为传承经典，某市开展“中华古诗词”朗读大赛，某中学甲、乙两名选手经过八轮预赛后脱颖而出，甲、乙两名学生的成绩如图所示，甲、乙两名学生成绩的相关统计数据如表所示，请结合图表回答下列问题：
平均数 方差
甲 a 118.25
乙 80 b
（1）甲、乙两名同学预赛成绩的中位数分别是：甲 分，乙 分；
（2）王老师说，两个人的平均水平相当，不知道选谁参加决赛，但李老师说，乙同学的成绩稳定，请你先计算出a，b的值并选择所学过的平均数、方差等统计知识，对两位老师的观点进行解释；
（3）若学校想从两名选手中选择一名冲击决赛金牌，会选择谁参加？请说明理由．
19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连结CQ．
（1）若∠BPC＝∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在（1）的条件下，当AP＝4，AD＝12时，求AQ的长．
20．（10分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y的图象交于点A（﹣1，a）与点B（b，﹣1）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出不等式kx+b的解集；
（3）若动点P是第二象限内双曲线上的点（不与点A重合），过点P作y轴的平行线交直线AB于点C，连接OA，OB，OC，OP，若△POC的面积等于△AOB的面积的三分之一，则点P的横坐标为 ．
21．（10分）某商家投资销售一种进价为每盏30元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量y（盏）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+700，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．
（1）要使每月获得的利润为3000元，那么每月的销售单价定为多少元？
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
22．（12分）已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（3，2）两点．
（1）求这个函数的解析式；
（2）函数图象有最低点，当x＝1时，y有最 值是 ；
（3）抛物线上是否存在点C，使△AOC的面积等于2？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（12分）阅读下列材料，完成任务
小明同学酷爱数学，勤于探索研究，他画了一个三角形ABC，并画出其中一个外角∠CAE的角平分线，与BC的延长线交于点N，小明通过测量发现，该图形中的线段有特殊的关系：，他想证明自己的发现．下面是部分证明过程：
证明：过点C作CD∥AN交AB于点D，则（第一步），
∴∠ACD＝∠CAN，∠ADC＝∠EAN（第二步）
…
请回答下面问题：
（1）小明部分证明过程中，第一步的依据是 ；
（2）请完成证明的剩余部分；
（3）若AB＝6，AC＝6，∠BAC＝30°，请求出CN的长．
2024—2025学年上学期杭州初中数学九年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列各式中，一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；推理能力．
【答案】D
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：A、a＜0时，无意义，不符合题意；
B、x＜﹣1时，无意义，不符合题意；
C、x＜﹣1时，无意义，不符合题意；
D、x取任意实数，2x2+1＞1，二次根式一定有意义，正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题关键．
2．（3分）在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为（ ）
A．无数个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】圆的认识．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】A
【分析】在平面内与点P的距离为1cm的点在“以点P为圆心，1cm为半径的圆”上．
【解答】解：在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为：所有到定点P的距离等于1cm的点的集合，
故选：A．
【点评】本题主要考查了圆的认识，圆可以看作是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
3．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边的中点，连接EF．若EF，BD＝4，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．4 B． C．4 D．28
【考点】菱形的性质；三角形中位线定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】C
【分析】首先利用三角形的中位线定理得出AC，进一步利用菱形的性质和勾股定理求得边长，得出周长即可．
【解答】解：∵E，F分别是AB，BC边上的中点，EF，
∴AC＝2EF＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OAAC，OBBD＝2，
∴AB，
∴菱形ABCD的周长为4．
故选：C．
【点评】此题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，掌握菱形的性质是解决问题的关键．
4．（3分）甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩一样，而他们的方差分别是S甲2＝1.8，S乙2＝0.7，下列说法中一定正确的是（ ）
A．甲射击成绩比乙稳定
B．乙射击成绩比甲稳定
C．甲、乙射击成绩一样稳定
D．甲、乙无法比较
【考点】方差；算术平均数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】B
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵S甲2＝1.8，S乙2＝0.7，
∴S甲2＞S乙2，
∴乙射击成绩比甲稳定，
故选：B．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
5．（3分）下列关于二次函数y＝ax2+（a+1）x+1（a＞0）的图象判断正确的是（ ）
A．对称轴位于y轴右侧
B．与x轴的交点有两个
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．与坐标轴的交点有三个
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】C
【分析】利用对称轴方程可对A进行判断；利用判别式的意义可对B、D进行判断；根据二次函数的性质可对C进行判断．
【解答】解：A．抛物线的对称轴为直线x0，则抛物线的对称轴在y轴的左侧，所以A选项不符合题意；
B．因为△＝（a+1）2﹣4a＝（a﹣1）2≥0，则抛物线与x轴有1个或2个交点，所以B选项不符合题意；
C．因为抛物线的对称轴在y轴的左侧，开口向上，则当x＞0时，y随x的增大而增大，所以C选项符合题意；
D．因为△＝（a﹣1）2≥0，则抛物线与x轴有1个或2个交点，抛物线与y轴的交点坐标为（0，1），则抛物线与坐标轴有2个或3个交点，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质．
6．（3分）若点A（x1，﹣4），B（x2，1），C（x3，4）都在反比例函数的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x3＜x2 B．x1＜x2＜x3 C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x1＜x2
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数数中，k2+2＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，
∵﹣4＜0＜1＜4，
∴B、C两点在第一象限，A点在第三象限，
∴x1＜x3＜x2，
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
7．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】三角形中位线定理．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC＝14，
∴DEBC＝7，
∵∠AFB＝90°，AB＝8，
∴DFAB＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
8．（3分）若关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣2 B．m≥﹣2
C．m＞﹣2且m≠﹣1 D．m≥﹣2且m≠﹣1
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】利用二元一次方程的定义和判别式的意义得到m+1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（m+1）×（﹣1）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得m+1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（m+1）×（﹣1）≥0，
解得m≥﹣2且m≠﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
9．（3分）函数y＝x2+2x﹣3（﹣3≤x≤2）的最大值与最小值分别是（ ）
A．1和﹣4 B．5和﹣3 C．4和﹣3 D．5和﹣4
【考点】二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答．
【解答】解：y＝x2+2x﹣3
＝x2+2x+1﹣1﹣3
＝（x+1）2﹣4，
∴当x＝﹣1时，y最小，最小值是﹣4，
∵﹣3≤x≤2，
∴x＝2时，y最大，最小值是5，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的最值问题，掌握二次函数的性质、灵活运用配方法是解题的关键．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）有最大值，且该二次函数的图象经过（﹣3，m）、（1，m）两点，若实数p＝a﹣b+c，实数q＝4a+2b+c，则实数p、q之间的大小关系是（ ）
A．p＞q B．p＝q C．p＜q D．无法确定
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】A
【分析】y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣3，m）、（1，m）两点，所以对称轴为直线x＝﹣1，二次函数有最大值为p＝a﹣b+c，即可得出答案．
【解答】解：因为二次函数有最大值，所以a＜0，
又因为该二次函数的图象经过（﹣3，m）、（1，m）两点，
所以对称轴为直线x＝﹣1，
所以b＝2a，
因为a＜0，所以b＜0，
x＝﹣1二次函数有最大值为p＝a﹣b+c，q＝4a+2b+c＝4a+4a+c＝8a+c，
因为 a＜0，
所以8a+c＜a﹣b+c，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的图象和二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象与系数是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）如图，用三个边长为2的正方形组成一个轴对称图形，则能将三个正方形完全覆盖的圆的最小半径是 ．
【考点】垂径定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】连接OC，OD，延长BO交上面的正方形与点A，设定圆心与上面正方形的距离为x，再根据勾股定理求出x的值，进而可得出结论．
【解答】解：如图，连接OC，OD，延长BO交上面的正方形与点A，设定圆心与上面正方形的距离为x，
则BO＝2﹣x，BC＝2，AD＝1，AO＝2+x，
由勾股定理得：BC2+BO2＝AD2+AO2，即22+（2﹣x）2＝（2+x）2+12，
解得：x，
所以能将其完全覆盖的圆的最小半径R2＝2+（2﹣x）2，
解得：R．
故答案为：．
【点评】本题考查的是垂径定理、正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
12．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝6，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CE，F为线段CE上一点，且∠DFE＝∠A．若DF，则DE的长为 3 ．
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】3．
【分析】利用平行四边形的性质得AD∥BC，CD∥AB，则根据平行线的性质得到∠A+∠B＝180°，∠DCE＝∠BEC，再证明∠DFC＝∠B，证明△DFC∽△CBE，由比例线段可求出CE的长，由勾股定理可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，CD∥AB，AD＝BC，
∴∠A+∠B＝180°，∠DCE＝∠BEC，
∵∠DFE＝∠A，
∴∠DFE+∠B＝180°，
而∠DFE+∠DFC＝180°，
∴∠DFC＝∠B，
而∠DCF＝∠CEB，
∴△DFC∽△CBE，
∴，
∴，
∴CE＝3，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥DC，
∴∠EDC＝90°，
∴DE3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
13．（4分）下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+mx+1（m为常数）的结论：
①该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同；
②该函数的图象一定经过点（0，1）；
③当x＞0时，y随x的增大而减小；4
④该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上，其中所有正确结论的序号是 ①④ ．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的图象．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】①④．
【分析】利用二次函数的性质一一判断即可．
【解答】解：①∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2+mx+1（m为常数）与函数y＝﹣x2的二次项系数相同，
∴该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同，故结论①符合题意；
②∵在函数y＝﹣（x﹣m）2+mx+1中，令x＝0，则y＝﹣m2+1，
∴该函数的图象不一定经过点（0，1），故结论②不符合题意；
③∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，当x＞m时，y随x的增大而减小，故结论③不符合题意；
④∵抛物线开口向下，当x＝m时，函数y有最大值m2+1，
∴该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．故结论④符合题意．
故答案为：①④．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴的交点坐标为 （0，5） ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识．
【答案】（0，5）．
【分析】根据y轴上点的坐标特点，令x＝0，求出y即可得出结论．
【解答】解：令x＝0，则y＝5，
∴（0，5）．
故答案为：（0，5）．
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特点，y轴上点的坐标特点，属于基础题．
15．（4分）如图，反比例函数y（x＞0）的图象经过Rt△BOC斜边上的中点A，与BC边交于点D，连接OD，若S△BOD＝21，则k＝ 14 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；直角三角形斜边上的中线．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】14．
【分析】根据中点得出△AOM∽△BOC，相似比，利用面积建立关于k的方程，解出k值即可．
【解答】解：作AM⊥OC，垂足为M，
∵点A、D在反比例函数图象上，
∴S△AOM＝S△DOCk（k＞0），
∵AM∥BC，
∴△AOM∽△BOC，
∵A为OB的中点，
∴，
∵S△BOC＝S△BOD+S△DOC＝21k，
∴，
解得k＝14．
故答案为：14．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的纵横坐标之积是定值k．
16．（4分）已知，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，点P是AB上一点，连接CP，将∠B沿CP折叠，使点B落在B′处．以下结论正确的有 ①②④ ．
①当AB′⊥AC时，AB′的长为；
②当点P位于AB中点时，四边形ACPB′为菱形；
③当∠B'PA＝30°时，；
④当CP⊥AB时，AP：AB′：BP＝1：2：3．
【考点】翻折变换（折叠问题）；含30度角的直角三角形；菱形的判定与性质．
【专题】计算题；证明题；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由折叠的性质及直角三角形的性质对结论一一判断即可．
【解答】解：①如图1，AC＝1，∠B＝30°可知BC，由翻折可知：B′C＝BC，
因为AB'⊥AC，由勾股定理可知：
AB'，正确．
②如图2，
当点P位于AB中点时，CP＝PB＝PA＝AC＝PB′，∠B'PA＝PAC＝60°，PB'∥AC，
所以四边形ACPB'是平行四边形，
又PC＝AC，
所以四边形ACPB'是菱形，正确．
③当∠B'PA＝30°时，
如图（3）所示，过点P作PG⊥AC于点G，PM⊥BC于点M，CB'与AB相交于点D．
∵∠B'PA＝30°，∠B＝∠B'＝30°，
∴∠CDP＝∠B'PA+∠B'＝60°．
又∵∠CAB＝60°，
∴A和D重合．
由折叠知，∠B'CP＝∠BCP．
∵PG⊥AC，PM⊥BC，
∴GM＝PM．设AG＝a．
∵∠APG＝30°，
∴AP＝2AG＝2a，
∴PGa，
∴PM＝CG＝PGa，
∴PB＝2PM＝2a，
∴．
故③不正确．
④如图4，
当CP⊥AB时，∠B'＝∠B'CA＝30°，AC＝AB'，∠ACP＝∠B＝30°，
设AP＝a，则AB'＝AC＝2a；AB＝4a，PB＝3a；
所以：AP：AB'：BP＝a：2a：3a＝1：2：3，正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了翻折变换、直角三角形、锐角三角函数，解决本题的关键是综合运用以上知识．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（6分）（1）计算（2
（2）
（3）解方程：4x2＝9
（4）解方程：x2﹣6x+1＝0．
（5）计算（）﹣1﹣20100．
【考点】二次根式的加减法；解一元二次方程﹣直接开平方法；解一元二次方程﹣配方法；绝对值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）首先对每一项二次根式进行化简，然后合并同类二次根式即可；
（2）首先通过进一步开方和分母有理化对每一项二次根式进行化简，然后去括号，合并同类二次根式；
（3）首先方程两边同时除以4，求出x2的值，然后根据平方根的概念即可求出x的值；
（4）利用求根公式求出x的值即可；
（5）首先对零指数幂和负整数指数幂进行运算，同时对每一项二次根式进行化简，然后去掉括号后，合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝89
，
（2）原式＝2
，
（3）方程两边同除以4得：x2，
∴x，
（4）∵x2﹣6x+1＝0，
∴a＝1，b＝﹣6，c＝1，
∴3±2，
∴x＝3±2，
（5）原式＝6﹣1+22
＝5．
【点评】本题主要考查二次根式的化简，解一元二次方程，二次根式的混合运算等知识点，关键在于认真的进行计算，正确的对二次根式进行化简．
18．（8分）为传承经典，某市开展“中华古诗词”朗读大赛，某中学甲、乙两名选手经过八轮预赛后脱颖而出，甲、乙两名学生的成绩如图所示，甲、乙两名学生成绩的相关统计数据如表所示，请结合图表回答下列问题：
平均数 方差
甲 a 118.25
乙 80 b
（1）甲、乙两名同学预赛成绩的中位数分别是：甲 82 分，乙 80.5 分；
（2）王老师说，两个人的平均水平相当，不知道选谁参加决赛，但李老师说，乙同学的成绩稳定，请你先计算出a，b的值并选择所学过的平均数、方差等统计知识，对两位老师的观点进行解释；
（3）若学校想从两名选手中选择一名冲击决赛金牌，会选择谁参加？请说明理由．
【考点】方差；算术平均数；中位数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用条形统计图结合中位数的定义得出答案；
（2）直接利用方差公式以及平均数的求法得出答案；
（3）直接利用数据进行分析即可，答案不唯一．
【解答】解：（1）甲同学的成绩按大小排列为：63，70，70，82，82，85，90，98，
故甲同学预赛成绩的中位数是：82；
乙同学的成绩按大小排列为：70，71，78，80，81，84，84，92，
故乙同学预赛成绩的中位数是：80.5；
故答案为：82，80.5；
（2）（分），
（80﹣80）2+（81﹣80）2+（84﹣80）2+（84﹣80）2+（92﹣80）2]
＝45.25．
王老师的观点：两组数据的平均数均为80（分），所以两个人的平均水平相当；
李老师的观点：∵，
∴乙的成绩稳定．
（3）选择甲同学．
理由如下：因为甲同学在几轮预赛中较高成绩的次数较多，冲击金牌的可能性更大（理由合适即可）
【点评】此题主要考查了方差以及条形统计图、中位数求法，正确掌握方差公式是解题关键．
19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连结CQ．
（1）若∠BPC＝∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在（1）的条件下，当AP＝4，AD＝12时，求AQ的长．
【考点】矩形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）证出∠A＝90°即可；
（2）由HL证明Rt△CDQ≌Rt△CPQ，得出DQ＝PQ，设AQ＝x，则DQ＝PQ＝12﹣x，再由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，
∴∠CPQ＝∠A，
∵PQ⊥CP，
∴∠A＝∠CPQ＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠CPQ＝90°，
在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，
，
∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），
∴DQ＝PQ，
设AQ＝x，则DQ＝PQ＝12﹣x，
在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2，
∴x2+42＝（12﹣x）2，
解得：，
∴AQ的长是．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理，证明四边形ABCD为矩形是解题的关键．
20．（10分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y的图象交于点A（﹣1，a）与点B（b，﹣1）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出不等式kx+b的解集；
（3）若动点P是第二象限内双曲线上的点（不与点A重合），过点P作y轴的平行线交直线AB于点C，连接OA，OB，OC，OP，若△POC的面积等于△AOB的面积的三分之一，则点P的横坐标为 或 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】（1）y＝﹣x+1；
（2）x＜﹣1或0＜x＜2；
（3）或．
【分析】（1）由反比例函数解析式求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数的表达式；
（2）根据图象即可求得；
（3）先求得△AOB的面积，设点P的坐标为（m，）（m＜0），则C（m，﹣m+1），用m表示出△POC的面积，从而列出关于m的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，a）与点B（b，﹣1）在反比例函数y的图象上，
∴﹣1 a＝b×（﹣1）＝﹣2，
∴a＝b＝2，
∴A（﹣1，2），B（2，﹣1），
∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A、B，
∴，解得，
∴一次函数的表达式为y＝﹣x+1；
（2）观察图象可知，不等式kx+b的解集为x＜﹣1或0＜x＜2；
（3）在直线y＝﹣x+1中，令y＝0，则x＝1，
∴D（1，0），
∴S△AOB＝S△AOD+S△BOD1×2，
设点P的坐标为（m，）（m＜0），则C（m，﹣m+1），
∴PC＝|（﹣m+1）|，点O到直线PC的距离为﹣m，
∵△POC的面积等于△AOB的面积的三分之一，
∴△POC的面积（﹣m）×|（﹣m+1）|，
解得：m或，
又∵m＜0
∴m或，
∴点P的横坐标为或，
故答案为：或．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的表达式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积．本题属于中考常考题型．
21．（10分）某商家投资销售一种进价为每盏30元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量y（盏）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+700，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．
（1）要使每月获得的利润为3000元，那么每月的销售单价定为多少元？
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】（1）要使每月获得的利润为3000元，每月的销售单价定为40元；（2）当销售单价定为48元时，每月可获得最大利润，每月的最大利润是3960元．
【分析】（1）先根据题意求出自变量x的取值范围，再根据单件利润×月销售量＝月利润列出方程，解方程求值即可；
（2）根据单件利润×月销售量＝月利润列出函数解析式，再根据函数的性质求最值．
【解答】解：（1）∵销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%，
∴30≤x≤48，
由题意得：（x﹣30）（﹣10x+700）＝3000，
整理得：x2﹣100x﹣2400＝0，
解得：x1＝40，x2＝60，
∵30≤x≤48，
∴x＝40，
答：要使每月获得的利润为3000元，每月的销售单价定为40元；
（2）设每月的利润为w元，
根据题意得：w＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，
∵﹣10＜0，30≤x≤48，
∴当x＝48时，w最大，最大值为3960，
答：当销售单价定为48元时，每月可获得最大利润，每月的最大利润是3960元．
【点评】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出方程和函数解析式．
22．（12分）已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（3，2）两点．
（1）求这个函数的解析式；
（2）函数图象有最低点，当x＝1时，y有最 小 值是 ﹣2 ；
（3）抛物线上是否存在点C，使△AOC的面积等于2？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；模型思想；应用意识．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣1；
（2）小，﹣2；
（3）（4，7）或（﹣4，23）．
【分析】（1）将（0，﹣1），（3，2）代入y＝x2+bx+c中，求出b、c的值即可求出函数关系式；
（2）求出抛物线的顶点坐标即可；
（3）根据三角形的面积可求出点C横坐标，再代入二次函数的关系式求出纵坐标即可．
【解答】解：（1）∵y＝x2+bx+c过（0，﹣1），（3，2），
∴，
∴，
∴二次函数的关系式为：y＝x2﹣2x﹣1；
（2）y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣2），
又∵a＞0，
∴当x＝1时，y最小值＝﹣2，
故答案为：小，﹣2；
（3）∵A（0，﹣1），
∴AO＝1，
∵S△AOC＝2OA h，
∴h＝4，
即：|xc|＝4，
当x＝4时，y＝16﹣8﹣1＝7，
当x＝﹣4时，y＝16+8﹣1＝23，
∴C（4，7）或（﹣4，23）．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数的关系式，二次函数的图象和性质以及二次函数的最值，掌握待定系数法求二次函数关系式是解决问题的前提，求出抛物线的顶点坐标是正确判断的关键．
23．（12分）阅读下列材料，完成任务
小明同学酷爱数学，勤于探索研究，他画了一个三角形ABC，并画出其中一个外角∠CAE的角平分线，与BC的延长线交于点N，小明通过测量发现，该图形中的线段有特殊的关系：，他想证明自己的发现．下面是部分证明过程：
证明：过点C作CD∥AN交AB于点D，则（第一步），
∴∠ACD＝∠CAN，∠ADC＝∠EAN（第二步）
…
请回答下面问题：
（1）小明部分证明过程中，第一步的依据是 平行线分线段成比例定理 ；
（2）请完成证明的剩余部分；
（3）若AB＝6，AC＝6，∠BAC＝30°，请求出CN的长．
【考点】相似形综合题．
【专题】几何综合题；图形的相似；推理能力．
【答案】（1）平行线分线段成比例定理；
（2）完成证明的剩余部分见解答过程；
（3）33．
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理解答；
（2）根据平行线的性质、角平分线的定义得到∠ACD＝∠ADC，根据等腰三角形的判定定理得到AD＝AC，等量代换证明结论；
（3）过点C作CF⊥AB于F，根据直角三角形的性质求出CF，根据勾股定理求出AF，进而得到BC＝AC＝6，根据（2）中结论计算即可．
【解答】解：（1）小明部分证明过程中，第一步的依据是平行线分线段成比例定理，
故答案为：平行线分线段成比例定理；
（2）过点C作CD∥AN交AB于点D，则，
∴∠ACD＝∠CAN，∠ADC＝∠EAN，
∵AN平分∠CAE，
∴∠EAN＝∠CAN，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴AD＝AC，
∴；
（3）过点C作CF⊥AB于F，
在Rt△FAC中，∠FAC＝30°，AC＝6，
∴CFAC＝3，
由勾股定理得：AF3，
∵AB＝6，
∴BF＝AB﹣AF＝3，
∴AF＝BF，
∵CF⊥AB，
∴BC＝AC＝6，
由（2）可知：，即，
解得：CN＝33．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理、直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
3．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
4．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
5．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
6．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③|a|（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
（a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
7．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
8．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
9．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
10．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
11．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
12．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
13．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
14．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
15．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有0个交点．
16．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
17．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
18．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
19．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．
①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．
20．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
21．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
22．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
23．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
24．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
25．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
26．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
27．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
28．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度）
29．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
30．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
31．圆的认识
（1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
（2）与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
32．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
33．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
34．相似形综合题
主要考查相似三角形的判定与性质，其中穿插全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，难度大．
35．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
36．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
37．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
2024—2025学年上学期杭州初中数学九年级开学模拟试卷2
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列各式中，一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为（ ）
A．无数个 B．3个 C．2个 D．1个
3．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边的中点，连接EF．若EF，BD＝4，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．4 B． C．4 D．28
4．（3分）甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩一样，而他们的方差分别是S甲2＝1.8，S乙2＝0.7，下列说法中一定正确的是（ ）
A．甲射击成绩比乙稳定
B．乙射击成绩比甲稳定
C．甲、乙射击成绩一样稳定
D．甲、乙无法比较
5．（3分）下列关于二次函数y＝ax2+（a+1）x+1（a＞0）的图象判断正确的是（ ）
A．对称轴位于y轴右侧
B．与x轴的交点有两个
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．与坐标轴的交点有三个
6．（3分）若点A（x1，﹣4），B（x2，1），C（x3，4）都在反比例函数的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x3＜x2 B．x1＜x2＜x3 C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x1＜x2
7．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（3分）若关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣2 B．m≥﹣2
C．m＞﹣2且m≠﹣1 D．m≥﹣2且m≠﹣1
9．（3分）函数y＝x2+2x﹣3（﹣3≤x≤2）的最大值与最小值分别是（ ）
A．1和﹣4 B．5和﹣3 C．4和﹣3 D．5和﹣4
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）有最大值，且该二次函数的图象经过（﹣3，m）、（1，m）两点，若实数p＝a﹣b+c，实数q＝4a+2b+c，则实数p、q之间的大小关系是（ ）
A．p＞q B．p＝q C．p＜q D．无法确定
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）如图，用三个边长为2的正方形组成一个轴对称图形，则能将三个正方形完全覆盖的圆的最小半径是 ．
12．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝6，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CE，F为线段CE上一点，且∠DFE＝∠A．若DF，则DE的长为 ．
13．（4分）下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+mx+1（m为常数）的结论：
①该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同；
②该函数的图象一定经过点（0，1）；
③当x＞0时，y随x的增大而减小；4
④该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上，其中所有正确结论的序号是 ．
14．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴的交点坐标为 ．
15．（4分）如图，反比例函数y（x＞0）的图象经过Rt△BOC斜边上的中点A，与BC边交于点D，连接OD，若S△BOD＝21，则k＝ ．
16．（4分）已知，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，点P是AB上一点，连接CP，将∠B沿CP折叠，使点B落在B′处．以下结论正确的有 ．
①当AB′⊥AC时，AB′的长为；
②当点P位于AB中点时，四边形ACPB′为菱形；
③当∠B'PA＝30°时，；
④当CP⊥AB时，AP：AB′：BP＝1：2：3．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（6分）（1）计算（2
（2）
（3）解方程：4x2＝9
（4）解方程：x2﹣6x+1＝0．
（5）计算（）﹣1﹣20100．
18．（8分）为传承经典，某市开展“中华古诗词”朗读大赛，某中学甲、乙两名选手经过八轮预赛后脱颖而出，甲、乙两名学生的成绩如图所示，甲、乙两名学生成绩的相关统计数据如表所示，请结合图表回答下列问题：
平均数 方差
甲 a 118.25
乙 80 b
（1）甲、乙两名同学预赛成绩的中位数分别是：甲 分，乙 分；
（2）王老师说，两个人的平均水平相当，不知道选谁参加决赛，但李老师说，乙同学的成绩稳定，请你先计算出a，b的值并选择所学过的平均数、方差等统计知识，对两位老师的观点进行解释；
（3）若学校想从两名选手中选择一名冲击决赛金牌，会选择谁参加？请说明理由．
19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连结CQ．
（1）若∠BPC＝∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在（1）的条件下，当AP＝4，AD＝12时，求AQ的长．
20．（10分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y的图象交于点A（﹣1，a）与点B（b，﹣1）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出不等式kx+b的解集；
（3）若动点P是第二象限内双曲线上的点（不与点A重合），过点P作y轴的平行线交直线AB于点C，连接OA，OB，OC，OP，若△POC的面积等于△AOB的面积的三分之一，则点P的横坐标为 ．
21．（10分）某商家投资销售一种进价为每盏30元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量y（盏）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+700，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．
（1）要使每月获得的利润为3000元，那么每月的销售单价定为多少元？
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
22．（12分）已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（3，2）两点．
（1）求这个函数的解析式；
（2）函数图象有最低点，当x＝1时，y有最 值是 ；
（3）抛物线上是否存在点C，使△AOC的面积等于2？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（12分）阅读下列材料，完成任务
小明同学酷爱数学，勤于探索研究，他画了一个三角形ABC，并画出其中一个外角∠CAE的角平分线，与BC的延长线交于点N，小明通过测量发现，该图形中的线段有特殊的关系：，他想证明自己的发现．下面是部分证明过程：
证明：过点C作CD∥AN交AB于点D，则（第一步），
∴∠ACD＝∠CAN，∠ADC＝∠EAN（第二步）
…
请回答下面问题：
（1）小明部分证明过程中，第一步的依据是 ；
（2）请完成证明的剩余部分；
（3）若AB＝6，AC＝6，∠BAC＝30°，请求出CN的长．
2024—2025学年上学期杭州初中数学九年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列各式中，一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；推理能力．
【答案】D
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：A、a＜0时，无意义，不符合题意；
B、x＜﹣1时，无意义，不符合题意；
C、x＜﹣1时，无意义，不符合题意；
D、x取任意实数，2x2+1＞1，二次根式一定有意义，正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题关键．
2．（3分）在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为（ ）
A．无数个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】圆的认识．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】A
【分析】在平面内与点P的距离为1cm的点在“以点P为圆心，1cm为半径的圆”上．
【解答】解：在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为：所有到定点P的距离等于1cm的点的集合，
故选：A．
【点评】本题主要考查了圆的认识，圆可以看作是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
3．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边的中点，连接EF．若EF，BD＝4，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．4 B． C．4 D．28
【考点】菱形的性质；三角形中位线定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】C
【分析】首先利用三角形的中位线定理得出AC，进一步利用菱形的性质和勾股定理求得边长，得出周长即可．
【解答】解：∵E，F分别是AB，BC边上的中点，EF，
∴AC＝2EF＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OAAC，OBBD＝2，
∴AB，
∴菱形ABCD的周长为4．
故选：C．
【点评】此题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，掌握菱形的性质是解决问题的关键．
4．（3分）甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩一样，而他们的方差分别是S甲2＝1.8，S乙2＝0.7，下列说法中一定正确的是（ ）
A．甲射击成绩比乙稳定
B．乙射击成绩比甲稳定
C．甲、乙射击成绩一样稳定
D．甲、乙无法比较
【考点】方差；算术平均数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】B
【分析】根据方差的意义求解即可．
【解答】解：∵S甲2＝1.8，S乙2＝0.7，
∴S甲2＞S乙2，
∴乙射击成绩比甲稳定，
故选：B．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
5．（3分）下列关于二次函数y＝ax2+（a+1）x+1（a＞0）的图象判断正确的是（ ）
A．对称轴位于y轴右侧
B．与x轴的交点有两个
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．与坐标轴的交点有三个
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】C
【分析】利用对称轴方程可对A进行判断；利用判别式的意义可对B、D进行判断；根据二次函数的性质可对C进行判断．
【解答】解：A．抛物线的对称轴为直线x0，则抛物线的对称轴在y轴的左侧，所以A选项不符合题意；
B．因为△＝（a+1）2﹣4a＝（a﹣1）2≥0，则抛物线与x轴有1个或2个交点，所以B选项不符合题意；
C．因为抛物线的对称轴在y轴的左侧，开口向上，则当x＞0时，y随x的增大而增大，所以C选项符合题意；
D．因为△＝（a﹣1）2≥0，则抛物线与x轴有1个或2个交点，抛物线与y轴的交点坐标为（0，1），则抛物线与坐标轴有2个或3个交点，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质．
6．（3分）若点A（x1，﹣4），B（x2，1），C（x3，4）都在反比例函数的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x3＜x2 B．x1＜x2＜x3 C．x2＜x3＜x1 D．x3＜x1＜x2
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数数中，k2+2＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，
∵﹣4＜0＜1＜4，
∴B、C两点在第一象限，A点在第三象限，
∴x1＜x3＜x2，
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
7．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】三角形中位线定理．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC＝14，
∴DEBC＝7，
∵∠AFB＝90°，AB＝8，
∴DFAB＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
8．（3分）若关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣2 B．m≥﹣2
C．m＞﹣2且m≠﹣1 D．m≥﹣2且m≠﹣1
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】利用二元一次方程的定义和判别式的意义得到m+1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（m+1）×（﹣1）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得m+1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（m+1）×（﹣1）≥0，
解得m≥﹣2且m≠﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
9．（3分）函数y＝x2+2x﹣3（﹣3≤x≤2）的最大值与最小值分别是（ ）
A．1和﹣4 B．5和﹣3 C．4和﹣3 D．5和﹣4
【考点】二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答．
【解答】解：y＝x2+2x﹣3
＝x2+2x+1﹣1﹣3
＝（x+1）2﹣4，
∴当x＝﹣1时，y最小，最小值是﹣4，
∵﹣3≤x≤2，
∴x＝2时，y最大，最小值是5，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的最值问题，掌握二次函数的性质、灵活运用配方法是解题的关键．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）有最大值，且该二次函数的图象经过（﹣3，m）、（1，m）两点，若实数p＝a﹣b+c，实数q＝4a+2b+c，则实数p、q之间的大小关系是（ ）
A．p＞q B．p＝q C．p＜q D．无法确定
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】A
【分析】y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣3，m）、（1，m）两点，所以对称轴为直线x＝﹣1，二次函数有最大值为p＝a﹣b+c，即可得出答案．
【解答】解：因为二次函数有最大值，所以a＜0，
又因为该二次函数的图象经过（﹣3，m）、（1，m）两点，
所以对称轴为直线x＝﹣1，
所以b＝2a，
因为a＜0，所以b＜0，
x＝﹣1二次函数有最大值为p＝a﹣b+c，q＝4a+2b+c＝4a+4a+c＝8a+c，
因为 a＜0，
所以8a+c＜a﹣b+c，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的图象和二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象与系数是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）如图，用三个边长为2的正方形组成一个轴对称图形，则能将三个正方形完全覆盖的圆的最小半径是 ．
【考点】垂径定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】连接OC，OD，延长BO交上面的正方形与点A，设定圆心与上面正方形的距离为x，再根据勾股定理求出x的值，进而可得出结论．
【解答】解：如图，连接OC，OD，延长BO交上面的正方形与点A，设定圆心与上面正方形的距离为x，
则BO＝2﹣x，BC＝2，AD＝1，AO＝2+x，
由勾股定理得：BC2+BO2＝AD2+AO2，即22+（2﹣x）2＝（2+x）2+12，
解得：x，
所以能将其完全覆盖的圆的最小半径R2＝2+（2﹣x）2，
解得：R．
故答案为：．
【点评】本题考查的是垂径定理、正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
12．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝6，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CE，F为线段CE上一点，且∠DFE＝∠A．若DF，则DE的长为 3 ．
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】3．
【分析】利用平行四边形的性质得AD∥BC，CD∥AB，则根据平行线的性质得到∠A+∠B＝180°，∠DCE＝∠BEC，再证明∠DFC＝∠B，证明△DFC∽△CBE，由比例线段可求出CE的长，由勾股定理可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，CD∥AB，AD＝BC，
∴∠A+∠B＝180°，∠DCE＝∠BEC，
∵∠DFE＝∠A，
∴∠DFE+∠B＝180°，
而∠DFE+∠DFC＝180°，
∴∠DFC＝∠B，
而∠DCF＝∠CEB，
∴△DFC∽△CBE，
∴，
∴，
∴CE＝3，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥DC，
∴∠EDC＝90°，
∴DE3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
13．（4分）下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+mx+1（m为常数）的结论：
①该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同；
②该函数的图象一定经过点（0，1）；
③当x＞0时，y随x的增大而减小；4
④该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上，其中所有正确结论的序号是 ①④ ．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的图象．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】①④．
【分析】利用二次函数的性质一一判断即可．
【解答】解：①∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2+mx+1（m为常数）与函数y＝﹣x2的二次项系数相同，
∴该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同，故结论①符合题意；
②∵在函数y＝﹣（x﹣m）2+mx+1中，令x＝0，则y＝﹣m2+1，
∴该函数的图象不一定经过点（0，1），故结论②不符合题意；
③∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，当x＞m时，y随x的增大而减小，故结论③不符合题意；
④∵抛物线开口向下，当x＝m时，函数y有最大值m2+1，
∴该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．故结论④符合题意．
故答案为：①④．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴的交点坐标为 （0，5） ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识．
【答案】（0，5）．
【分析】根据y轴上点的坐标特点，令x＝0，求出y即可得出结论．
【解答】解：令x＝0，则y＝5，
∴（0，5）．
故答案为：（0，5）．
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特点，y轴上点的坐标特点，属于基础题．
15．（4分）如图，反比例函数y（x＞0）的图象经过Rt△BOC斜边上的中点A，与BC边交于点D，连接OD，若S△BOD＝21，则k＝ 14 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；直角三角形斜边上的中线．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】14．
【分析】根据中点得出△AOM∽△BOC，相似比，利用面积建立关于k的方程，解出k值即可．
【解答】解：作AM⊥OC，垂足为M，
∵点A、D在反比例函数图象上，
∴S△AOM＝S△DOCk（k＞0），
∵AM∥BC，
∴△AOM∽△BOC，
∵A为OB的中点，
∴，
∵S△BOC＝S△BOD+S△DOC＝21k，
∴，
解得k＝14．
故答案为：14．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的纵横坐标之积是定值k．
16．（4分）已知，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，点P是AB上一点，连接CP，将∠B沿CP折叠，使点B落在B′处．以下结论正确的有 ①②④ ．
①当AB′⊥AC时，AB′的长为；
②当点P位于AB中点时，四边形ACPB′为菱形；
③当∠B'PA＝30°时，；
④当CP⊥AB时，AP：AB′：BP＝1：2：3．
【考点】翻折变换（折叠问题）；含30度角的直角三角形；菱形的判定与性质．
【专题】计算题；证明题；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由折叠的性质及直角三角形的性质对结论一一判断即可．
【解答】解：①如图1，AC＝1，∠B＝30°可知BC，由翻折可知：B′C＝BC，
因为AB'⊥AC，由勾股定理可知：
AB'，正确．
②如图2，
当点P位于AB中点时，CP＝PB＝PA＝AC＝PB′，∠B'PA＝PAC＝60°，PB'∥AC，
所以四边形ACPB'是平行四边形，
又PC＝AC，
所以四边形ACPB'是菱形，正确．
③当∠B'PA＝30°时，
如图（3）所示，过点P作PG⊥AC于点G，PM⊥BC于点M，CB'与AB相交于点D．
∵∠B'PA＝30°，∠B＝∠B'＝30°，
∴∠CDP＝∠B'PA+∠B'＝60°．
又∵∠CAB＝60°，
∴A和D重合．
由折叠知，∠B'CP＝∠BCP．
∵PG⊥AC，PM⊥BC，
∴GM＝PM．设AG＝a．
∵∠APG＝30°，
∴AP＝2AG＝2a，
∴PGa，
∴PM＝CG＝PGa，
∴PB＝2PM＝2a，
∴．
故③不正确．
④如图4，
当CP⊥AB时，∠B'＝∠B'CA＝30°，AC＝AB'，∠ACP＝∠B＝30°，
设AP＝a，则AB'＝AC＝2a；AB＝4a，PB＝3a；
所以：AP：AB'：BP＝a：2a：3a＝1：2：3，正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了翻折变换、直角三角形、锐角三角函数，解决本题的关键是综合运用以上知识．
三．解答题（共7小题，满分66分）
17．（6分）（1）计算（2
（2）
（3）解方程：4x2＝9
（4）解方程：x2﹣6x+1＝0．
（5）计算（）﹣1﹣20100．
【考点】二次根式的加减法；解一元二次方程﹣直接开平方法；解一元二次方程﹣配方法；绝对值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）首先对每一项二次根式进行化简，然后合并同类二次根式即可；
（2）首先通过进一步开方和分母有理化对每一项二次根式进行化简，然后去括号，合并同类二次根式；
（3）首先方程两边同时除以4，求出x2的值，然后根据平方根的概念即可求出x的值；
（4）利用求根公式求出x的值即可；
（5）首先对零指数幂和负整数指数幂进行运算，同时对每一项二次根式进行化简，然后去掉括号后，合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝89
，
（2）原式＝2
，
（3）方程两边同除以4得：x2，
∴x，
（4）∵x2﹣6x+1＝0，
∴a＝1，b＝﹣6，c＝1，
∴3±2，
∴x＝3±2，
（5）原式＝6﹣1+22
＝5．
【点评】本题主要考查二次根式的化简，解一元二次方程，二次根式的混合运算等知识点，关键在于认真的进行计算，正确的对二次根式进行化简．
18．（8分）为传承经典，某市开展“中华古诗词”朗读大赛，某中学甲、乙两名选手经过八轮预赛后脱颖而出，甲、乙两名学生的成绩如图所示，甲、乙两名学生成绩的相关统计数据如表所示，请结合图表回答下列问题：
平均数 方差
甲 a 118.25
乙 80 b
（1）甲、乙两名同学预赛成绩的中位数分别是：甲 82 分，乙 80.5 分；
（2）王老师说，两个人的平均水平相当，不知道选谁参加决赛，但李老师说，乙同学的成绩稳定，请你先计算出a，b的值并选择所学过的平均数、方差等统计知识，对两位老师的观点进行解释；
（3）若学校想从两名选手中选择一名冲击决赛金牌，会选择谁参加？请说明理由．
【考点】方差；算术平均数；中位数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用条形统计图结合中位数的定义得出答案；
（2）直接利用方差公式以及平均数的求法得出答案；
（3）直接利用数据进行分析即可，答案不唯一．
【解答】解：（1）甲同学的成绩按大小排列为：63，70，70，82，82，85，90，98，
故甲同学预赛成绩的中位数是：82；
乙同学的成绩按大小排列为：70，71，78，80，81，84，84，92，
故乙同学预赛成绩的中位数是：80.5；
故答案为：82，80.5；
（2）（分），
（80﹣80）2+（81﹣80）2+（84﹣80）2+（84﹣80）2+（92﹣80）2]
＝45.25．
王老师的观点：两组数据的平均数均为80（分），所以两个人的平均水平相当；
李老师的观点：∵，
∴乙的成绩稳定．
（3）选择甲同学．
理由如下：因为甲同学在几轮预赛中较高成绩的次数较多，冲击金牌的可能性更大（理由合适即可）
【点评】此题主要考查了方差以及条形统计图、中位数求法，正确掌握方差公式是解题关键．
19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连结CQ．
（1）若∠BPC＝∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在（1）的条件下，当AP＝4，AD＝12时，求AQ的长．
【考点】矩形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）证出∠A＝90°即可；
（2）由HL证明Rt△CDQ≌Rt△CPQ，得出DQ＝PQ，设AQ＝x，则DQ＝PQ＝12﹣x，再由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，
∴∠CPQ＝∠A，
∵PQ⊥CP，
∴∠A＝∠CPQ＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠CPQ＝90°，
在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，
，
∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），
∴DQ＝PQ，
设AQ＝x，则DQ＝PQ＝12﹣x，
在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2，
∴x2+42＝（12﹣x）2，
解得：，
∴AQ的长是．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理，证明四边形ABCD为矩形是解题的关键．
20．（10分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y的图象交于点A（﹣1，a）与点B（b，﹣1）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出不等式kx+b的解集；
（3）若动点P是第二象限内双曲线上的点（不与点A重合），过点P作y轴的平行线交直线AB于点C，连接OA，OB，OC，OP，若△POC的面积等于△AOB的面积的三分之一，则点P的横坐标为 或 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】（1）y＝﹣x+1；
（2）x＜﹣1或0＜x＜2；
（3）或．
【分析】（1）由反比例函数解析式求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数的表达式；
（2）根据图象即可求得；
（3）先求得△AOB的面积，设点P的坐标为（m，）（m＜0），则C（m，﹣m+1），用m表示出△POC的面积，从而列出关于m的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，a）与点B（b，﹣1）在反比例函数y的图象上，
∴﹣1 a＝b×（﹣1）＝﹣2，
∴a＝b＝2，
∴A（﹣1，2），B（2，﹣1），
∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A、B，
∴，解得，
∴一次函数的表达式为y＝﹣x+1；
（2）观察图象可知，不等式kx+b的解集为x＜﹣1或0＜x＜2；
（3）在直线y＝﹣x+1中，令y＝0，则x＝1，
∴D（1，0），
∴S△AOB＝S△AOD+S△BOD1×2，
设点P的坐标为（m，）（m＜0），则C（m，﹣m+1），
∴PC＝|（﹣m+1）|，点O到直线PC的距离为﹣m，
∵△POC的面积等于△AOB的面积的三分之一，
∴△POC的面积（﹣m）×|（﹣m+1）|，
解得：m或，
又∵m＜0
∴m或，
∴点P的横坐标为或，
故答案为：或．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的表达式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积．本题属于中考常考题型．
21．（10分）某商家投资销售一种进价为每盏30元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量y（盏）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+700，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．
（1）要使每月获得的利润为3000元，那么每月的销售单价定为多少元？
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】（1）要使每月获得的利润为3000元，每月的销售单价定为40元；（2）当销售单价定为48元时，每月可获得最大利润，每月的最大利润是3960元．
【分析】（1）先根据题意求出自变量x的取值范围，再根据单件利润×月销售量＝月利润列出方程，解方程求值即可；
（2）根据单件利润×月销售量＝月利润列出函数解析式，再根据函数的性质求最值．
【解答】解：（1）∵销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%，
∴30≤x≤48，
由题意得：（x﹣30）（﹣10x+700）＝3000，
整理得：x2﹣100x﹣2400＝0，
解得：x1＝40，x2＝60，
∵30≤x≤48，
∴x＝40，
答：要使每月获得的利润为3000元，每月的销售单价定为40元；
（2）设每月的利润为w元，
根据题意得：w＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，
∵﹣10＜0，30≤x≤48，
∴当x＝48时，w最大，最大值为3960，
答：当销售单价定为48元时，每月可获得最大利润，每月的最大利润是3960元．
【点评】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出方程和函数解析式．
22．（12分）已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（3，2）两点．
（1）求这个函数的解析式；
（2）函数图象有最低点，当x＝1时，y有最 小 值是 ﹣2 ；
（3）抛物线上是否存在点C，使△AOC的面积等于2？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；模型思想；应用意识．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣1；
（2）小，﹣2；
（3）（4，7）或（﹣4，23）．
【分析】（1）将（0，﹣1），（3，2）代入y＝x2+bx+c中，求出b、c的值即可求出函数关系式；
（2）求出抛物线的顶点坐标即可；
（3）根据三角形的面积可求出点C横坐标，再代入二次函数的关系式求出纵坐标即可．
【解答】解：（1）∵y＝x2+bx+c过（0，﹣1），（3，2），
∴，
∴，
∴二次函数的关系式为：y＝x2﹣2x﹣1；
（2）y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣2），
又∵a＞0，
∴当x＝1时，y最小值＝﹣2，
故答案为：小，﹣2；
（3）∵A（0，﹣1），
∴AO＝1，
∵S△AOC＝2OA h，
∴h＝4，
即：|xc|＝4，
当x＝4时，y＝16﹣8﹣1＝7，
当x＝﹣4时，y＝16+8﹣1＝23，
∴C（4，7）或（﹣4，23）．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数的关系式，二次函数的图象和性质以及二次函数的最值，掌握待定系数法求二次函数关系式是解决问题的前提，求出抛物线的顶点坐标是正确判断的关键．
23．（12分）阅读下列材料，完成任务
小明同学酷爱数学，勤于探索研究，他画了一个三角形ABC，并画出其中一个外角∠CAE的角平分线，与BC的延长线交于点N，小明通过测量发现，该图形中的线段有特殊的关系：，他想证明自己的发现．下面是部分证明过程：
证明：过点C作CD∥AN交AB于点D，则（第一步），
∴∠ACD＝∠CAN，∠ADC＝∠EAN（第二步）
…
请回答下面问题：
（1）小明部分证明过程中，第一步的依据是 平行线分线段成比例定理 ；
（2）请完成证明的剩余部分；
（3）若AB＝6，AC＝6，∠BAC＝30°，请求出CN的长．
【考点】相似形综合题．
【专题】几何综合题；图形的相似；推理能力．
【答案】（1）平行线分线段成比例定理；
（2）完成证明的剩余部分见解答过程；
（3）33．
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理解答；
（2）根据平行线的性质、角平分线的定义得到∠ACD＝∠ADC，根据等腰三角形的判定定理得到AD＝AC，等量代换证明结论；
（3）过点C作CF⊥AB于F，根据直角三角形的性质求出CF，根据勾股定理求出AF，进而得到BC＝AC＝6，根据（2）中结论计算即可．
【解答】解：（1）小明部分证明过程中，第一步的依据是平行线分线段成比例定理，
故答案为：平行线分线段成比例定理；
（2）过点C作CD∥AN交AB于点D，则，
∴∠ACD＝∠CAN，∠ADC＝∠EAN，
∵AN平分∠CAE，
∴∠EAN＝∠CAN，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴AD＝AC，
∴；
（3）过点C作CF⊥AB于F，
在Rt△FAC中，∠FAC＝30°，AC＝6，
∴CFAC＝3，
由勾股定理得：AF3，
∵AB＝6，
∴BF＝AB﹣AF＝3，
∴AF＝BF，
∵CF⊥AB，
∴BC＝AC＝6，
由（2）可知：，即，
解得：CN＝33．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理、直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
3．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
4．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
5．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
6．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③|a|（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
（a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
7．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
8．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
9．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
10．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
11．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
12．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
13．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
14．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
15．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有0个交点．
16．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
17．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
18．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
19．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．
①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．
20．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
21．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
22．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
23．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
24．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
25．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
26．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
27．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
28．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度）
29．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
30．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
31．圆的认识
（1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
（2）与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
32．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
33．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
34．相似形综合题
主要考查相似三角形的判定与性质，其中穿插全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，难度大．
35．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
36．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
37．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
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