2024—2025学年上学期深圳初中数学八年级开学模拟试卷1（含解析+考点卡片）

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2024—2025学年上学期深圳初中数学八年级开学模拟试卷1
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）数0.02002000200002，，π，，，0.55，…中，无理数的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．6，8，9 C．1，1， D．3，4，6
3．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以斜边AB、直角边BC为边作正方形ABDE和正方形BCGF，AG与BD相交于点H，设四边形AHDE的面积为S1，四边形BFGH的面积为S2，若S1﹣S2＝11，S△ABC＝5，则正方形ABDE的面积为（　　）
A．24 B．22.25 C．21 D．20.25
4．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，BD＝2.5，则AC的长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．（3分）已知A，B，C是数轴上三点，点B是线段AC的中点，点A，B对应的实数分别为﹣1和，则点C对应的实数是（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）在实数4，7，，0.131131113…中，有理数的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（3分）如图，P为等边△ABC外的一个动点（P点与A点分别在BC所在直线的不同侧），且∠APB＝60°，AB＝1，则PB+PC的最大值为（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，一个圆柱的底面半径为，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为（　　）
A．10 B．12 C．14 D．20
9．（3分）如图，在长方形纸片ABCD中，E为BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接CF．若AB＝4，BC＝6，则CF的长为（　　）
A．3 B．3.4 C．3.5 D．3.6
10．（3分）如图，在边长为1个单位长度的正方形组成的网格中，下列选项中最短的线段是（　　）
A．AB B．BC C．AE D．CD
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）如果是一个整数，那么最小的正整数n是 　 　．
12．（3分）四根小木棒的长度分别为5cm，8cm，12cm，13cm，任选三根可组成　 　个三角形，其中有　 　个直角三角形．
13．（3分）若最简二次根式是同类二次根式，则a的值为　 　．
14．（3分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，D、E分别为AB、BC边上的中点，连接CD、AE，若AE＝4，CD＝3，则AC＝　 　．
15．（3分）小雨是小学一年级的小朋友，在认识直角三角形的学习活动中，需要完成一个剪直角三角形的剪纸活动，上初二的姐姐知知刚学完勾股定理的相关知识，她对妹妹说，我不用直角三角尺或量角器也可以判断你剪的卡片是否为直角三角形．知知量出两个三角形的三边长分别为：图形①9cm，12cm，15cm；图形②10cm，10cm，15cm．请你用所学知识判断：图形 　 　是直角三角形．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（6分）把下列各数的序号分别填在相应的括号内：①，②0，③，④，⑤﹣1.732，⑥，⑦，⑧3.1212212221…（每两个1之间依次多一个2）．
整数：{ 　 　……}；
分数：{ 　 　……}；
无理数：{ 　 　……}．
17．（6分）求下列各式中的x．
（1）x2﹣5＝2；
（2）（x+1）3﹣125＝0．
18．（14分）计算：
（1）2﹣2×（43×80）；
（2）2a3b （﹣3ab2）2；
（3）（a+1）2﹣a（a+1）．
19．（6分）已知m，n，求代数式（m﹣2n）（m+2n）+（m+n）2﹣2mn的值．
20．（6分）如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA＝3：4：5，且△ABC的周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果P、Q两点同时出发，经过3秒时，P、Q两点间的距离为多少？
21．（9分）如图，早上8：00，一艘轮船以15海里/小时的速度由南向北航行，在点A处测得小岛P在北偏西15°方向上，到上午10：00，轮船在点B处测得小岛P在北偏西30°方向上，若轮船不改变方向继续向前航行至何处时，距离小岛P最近？最近距离是多少海里？
22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝100cm，BC＝60cm，∠C＝90°，点P、Q同时从点C出发，分别沿CA、CB向点A、B运动．点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，当运动时间为4秒时，求四边形PABQ的面积．
2024—2025学年上学期深圳初中数学八年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）数0.02002000200002，，π，，，0.55，…中，无理数的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】无理数；算术平方根；立方根．
【专题】实数；数感．
【答案】C
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：0.02002000200002是有限小数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
0.55是有限小数数，属于有理数；
无理数有实数，π，，共3个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，熟记无理数的概念是解题的关键．
2．（3分）下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．6，8，9 C．1，1， D．3，4，6
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形．
【解答】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、62+82≠92，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、12+12＝（）2，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
D、32+42≠62，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以斜边AB、直角边BC为边作正方形ABDE和正方形BCGF，AG与BD相交于点H，设四边形AHDE的面积为S1，四边形BFGH的面积为S2，若S1﹣S2＝11，S△ABC＝5，则正方形ABDE的面积为（　　）
A．24 B．22.25 C．21 D．20.25
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】设BC＝a，AC＝b，设S△BCH＝m，而∠ACB＝90°，S△ABC＝5，可得，，，由S1﹣S2＝11，可得b2﹣5＝11，即b2＝16，再求解b，a，从而可得答案．
【解答】解：∵正方形ABDE和正方形BCGF，
设BC＝a，AC＝b，设S△BCH＝m，而∠ACB＝90°，S△ABC＝5，
∴，，，
∵S1﹣S2＝11，
∴b2﹣5＝11，即b2＝16，
解得：b＝4（负根舍去），
∴，
∴正方形ABDE的面积为AB2＝a2+b2＝16+6.25＝22.25．
故选：B．
【点评】本题考查的是正方形的性质，勾股定理，图形面积的转化，利用平方根的含义解方程，利用方程思想解题是关键．
4．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，BD＝2.5，则AC的长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】勾股定理；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，再利用勾股定理列式求出BE，然后设AC＝AE＝x，根据勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，
∴DE＝CD＝1.5，
在Rt△DEB中，由勾股定理得：
BE2，
∵AD＝AD，CD＝DE，∠C＝∠AED，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AC＝AE，
设AC＝AE＝x，则AB＝x+2，
由勾股定理得：AB2＝AC2+CB2，
即（x+2）2＝x2+42，
解得x＝3，
∴AC＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并运用勾股定理列方程求解是解题的关键．
5．（3分）已知A，B，C是数轴上三点，点B是线段AC的中点，点A，B对应的实数分别为﹣1和，则点C对应的实数是（　　）
A． B． C． D．
【考点】实数与数轴．
【专题】实数；运算能力．
【答案】D
【分析】先求得AB的长度，点B是线段AC的中点，即可得出BC的长，再用BC的长度加上可得出点C所对应的实数．
【解答】解：∵A、B两点对应的实数是﹣1和，
∴AB1，
∵点B是线段AC的中点，
∴BC1，
∴点C所对应的实数是：1＝21，
故选：D．
【点评】本题考查了实数和数轴，两点之间线段的长度就是用右边点表示的数减去左边点表示的数．
6．（3分）在实数4，7，，0.131131113…中，有理数的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】实数．
【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】根据有理数的定义进行解答便可．
【解答】解：有理数有：4，7，三个数，
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的定义，熟记整数与分数统称有理数，是解题的关键．
7．（3分）如图，P为等边△ABC外的一个动点（P点与A点分别在BC所在直线的不同侧），且∠APB＝60°，AB＝1，则PB+PC的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】C
【分析】由“SAS”可证△ABH≌△CBP，可得PC＝AH，则PB+PC＝AP，通过证明点A，点B，点P，点C四点共圆，可得当AP为直径时，BP+PC有最大值，即可求解．
【解答】解：如图，在AP上截取PH＝BP，连接BH，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BP＝PH，∠APB＝60°，
∴△BPH是等边三角形，
∴BP＝BH＝PH，∠PBH＝60°＝∠ABC，
∴∠ABH＝∠PBC，
在△ABH和△CBP中，
，
∴△ABH≌△CBP（SAS），
∴PC＝AH，
∴BP+PC＝AH+PH＝AP，
∵∠APB＝∠ACB＝60°，
∴点A，点B，点P，点C四点共圆，
设过点A，点B，点P，点C的圆的圆心为O，连接CO，AO，并延长AO交BC于E，
∵∠AOC＝2∠ABC＝120°，OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∴∠BCO＝30°，
∴∠OEC＝∠AOC﹣∠BCO＝90°，
∴ECAC，AEEC，OC＝2OE＝OA，
∴AO，
∵AP是圆O的弦，
∴当AP为直径时，AP有最大值为，
∴PB+PC的最大值为，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，直角三角形的性质等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
8．（3分）如图，一个圆柱的底面半径为，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为（　　）
A．10 B．12 C．14 D．20
【考点】平面展开﹣最短路径问题．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】A
【分析】先把圆柱的侧面展开，连接AS，利用勾股定理即可得出AS的长．
【解答】解：如图所示，
∵在圆柱中，底面半径为，BC＝12，
∴展开图中，，，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理的应用．
9．（3分）如图，在长方形纸片ABCD中，E为BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接CF．若AB＝4，BC＝6，则CF的长为（　　）
A．3 B．3.4 C．3.5 D．3.6
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；展开与折叠；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】连接BF，交AE于点G，根据折叠的性质可得AE垂直平分BF；在Rt△ABE中，由勾股定理解得，再利用三角形面积，由，解得BG＝2.4，易得BF＝4.8；再证明BE＝CE＝FE，由等腰三角形“等边对等角”的性质可得∠EBF＝∠EFB，∠EFC＝∠ECF，进而可证明△BCF为直角三角形，然后由勾股定理计算CF的长即可．
【解答】解：连接BF，交AE于点G，如下图，
由折叠的性质可得，AE垂直平分BF，
即AE⊥BF，BG＝FG，
∵AB＝4，BC＝6，E为BC的中点，
∴，
∴在Rt△ABE中，，
∵AE⊥BF，
∴，即，
解得BG＝2.4，
∴BF＝2BG＝4.8，
∵AE垂直平分BF，
∴BE＝FE，
∴BE＝CE＝FE，
∴∠EBF＝∠EFB，∠EFC＝∠ECF，
∴，
∴在Rt△BFC中，．
故选：D．
【点评】本题主要考查了折叠的性质、垂直平分线的性质、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质等知识，证明△BCF为直角三角形是解题关键．
10．（3分）如图，在边长为1个单位长度的正方形组成的网格中，下列选项中最短的线段是（　　）
A．AB B．BC C．AE D．CD
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据勾股定理可计算给出线段的长，则可得出答案．
【解答】解：由勾股定理得，AB2，BC5，AE，CD3，
∵5，
∴最短的线段是AE．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的应用，实数的大小比较，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）如果是一个整数，那么最小的正整数n是 　5　．
【考点】二次根式的定义．
【专题】二次根式；符号意识；运算能力．
【答案】5．
【分析】直接利用二次根式的性质化简，再利用二次根式乘法运算法则求出答案．
【解答】解：∵是一个整数，
∴是一个整数，
∴最小正整数n的值是：5，
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键．
12．（3分）四根小木棒的长度分别为5cm，8cm，12cm，13cm，任选三根可组成　3　个三角形，其中有　1　个直角三角形．
【考点】勾股定理的逆定理；三角形三边关系．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三角形三边关系，可以判断能组成3个三角形，由于52+122＝169＝132，其中有一个直角三角形．
【解答】解：∵5+8＞12，8+12＞13，5+8＝13（无法构成三角形），5+12＞13，
∴可组成3个三角形，
∵52＝25，82＝64，122＝144，132＝169，
∴52+122＝169＝132，
所以可组成1个直角三角形，
故答案为：3，1．
【点评】本题考查了勾股定理逆定理、三角形三边之间的关系，解题的关键是熟练运用三角形三边的关系、勾股定理逆定理．
13．（3分）若最简二次根式是同类二次根式，则a的值为　3　．
【考点】同类二次根式．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据同类二次根式的被开方数相同可得出关于a的方程，再由被开方数为非负数可得出a的值．
【解答】解：∵最简二次根式是同类二次根式，
∴1+2a＝a2﹣2，1+2a≥0，a2﹣2≥0，
解得：a＝3．
故答案为：3．
【点评】此题考查了同类二次根式的知识，解答本题需要掌握同类二次根式的被开方数相同这个知识点，难度一般．
14．（3分）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，D、E分别为AB、BC边上的中点，连接CD、AE，若AE＝4，CD＝3，则AC＝　2　．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】2．
【分析】设BC＝a，AB＝c，根据勾股定理得到a2+c2＝20，再根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：设BC＝a，AB＝c，
∵D、E分别为AB、BC边上的中点，
∴BEBCa，BDABc，
在Rt△DBC中，BD2+BC2＝CD2，即（c）2+a2＝CD2，
∴c2+a2＝9，
同理可得：a2+c2＝9，
∴a2+c2＝20，
∴AC2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
15．（3分）小雨是小学一年级的小朋友，在认识直角三角形的学习活动中，需要完成一个剪直角三角形的剪纸活动，上初二的姐姐知知刚学完勾股定理的相关知识，她对妹妹说，我不用直角三角尺或量角器也可以判断你剪的卡片是否为直角三角形．知知量出两个三角形的三边长分别为：图形①9cm，12cm，15cm；图形②10cm，10cm，15cm．请你用所学知识判断：图形 　①　是直角三角形．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】①．
【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可．
【解答】解：∵92+122＝152，102+102≠152，
∴①是直角三角形，②不是直角三角形，
故答案为：①．
【点评】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形解答．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（6分）把下列各数的序号分别填在相应的括号内：①，②0，③，④，⑤﹣1.732，⑥，⑦，⑧3.1212212221…（每两个1之间依次多一个2）．
整数：{ 　②⑥　……}；
分数：{ 　③⑤　……}；
无理数：{ 　①④⑦⑧　……}．
【考点】实数．
【专题】实数；数感．
【答案】②，⑥；
③，⑤；
①，④，⑦，⑧．
【分析】根据实数的分类即可得出答案．
【解答】解：5，
整数有：②，⑥；
分数有：③，⑤；
无理数有：①，④，⑦，⑧．
故答案为：②，⑥；
③，⑤；
①，④，⑦，⑧．
【点评】本题考查了实数的分类，掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．
17．（6分）求下列各式中的x．
（1）x2﹣5＝2；
（2）（x+1）3﹣125＝0．
【考点】立方根；平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）x＝±；
（2）x＝4．
【分析】（1）根据平方根的定义解答；
（2）根据立方根的定义解答．
【解答】解：（1）原方程可变形为x2＝7，
∴x＝±；
（2）原方程可变形为（x+1）3＝125，
∴x+1＝5，
∴x＝4．
【点评】本题考查了平方根和立方根．理解平方根、立方根的意义是得出答案的前提．
18．（14分）计算：
（1）2﹣2×（43×80）；
（2）2a3b （﹣3ab2）2；
（3）（a+1）2﹣a（a+1）．
【考点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；实数的运算．
【专题】实数；整式；运算能力．
【答案】（1）16．
（2）18a5b5．
（3）a+1．
【分析】（1）根据实数的运算法则即可求出答案．
（2）根据整式的运算法则即可求出答案．
（3）根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式43×1＝42＝16．
（2）原式＝2a3b 9a2b4＝18a5b5．
（3）原式＝a2+2a+1﹣a2﹣a＝a+1．
【点评】本题考查学生的运算，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
19．（6分）已知m，n，求代数式（m﹣2n）（m+2n）+（m+n）2﹣2mn的值．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】2m2﹣3n2；．
【分析】观察题目根据整式的混合运算先化简，再将m、n的值代入求值即可．
【解答】解：原式＝m2﹣4n2+m2+2mn+n2﹣2mn＝2m2﹣3n2，
当m，n时，原式＝2×（）2﹣3．
【点评】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练整式混合运算法则，细心运算先化简再求值是解题关键．
20．（6分）如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA＝3：4：5，且△ABC的周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果P、Q两点同时出发，经过3秒时，P、Q两点间的距离为多少？
【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】经过3秒时，P、Q两点间的距离为．
【分析】设AB为3x cm，BC为4x cm，AC为5x cm，根据△ABC的周长为36cm，列出方程求出x的值，说明△ABC是直角三角形，经过3秒时，BP＝9﹣3×1＝6（cm），BQ＝2×3＝6（cm），根据勾股定理求出即可得出答案．
【解答】解：设AB为3x cm，BC为4x cm，AC为5x cm，
∵△ABC的周长为36cm，
∴AB+BC+AC＝36cm，
即3x+4x+5x＝36，
解得：x＝3，
∴AB＝9cm，BC＝12cm，AC＝15cm，
∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°．
经过3秒时，BP＝9﹣3×1＝6（cm），BQ＝2×3＝6（cm），
又∵在Rt△BPQ中，QP2＝BP2+BQ2，
∴，
即经过3秒时，P、Q两点间的距离为．
【点评】本题主要考查了勾股定理及逆定理，解题的关键是求出△ABC的三边长，证明△ABC是直角三角形．
21．（9分）如图，早上8：00，一艘轮船以15海里/小时的速度由南向北航行，在点A处测得小岛P在北偏西15°方向上，到上午10：00，轮船在点B处测得小岛P在北偏西30°方向上，若轮船不改变方向继续向前航行至何处时，距离小岛P最近？最近距离是多少海里？
【考点】勾股定理的应用；方向角．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】若轮船不改变方向继续向前航行至距离B处15海里时，距离小岛P最近，最近距离是15海里．
【分析】过点P作PD⊥AC于点D，证明∠A＝∠APB＝15°，得PB＝AB＝30海里，再由含30°角的直角三角形的性质得PDPB＝15海里，然后由勾股定理求出BD的长即可．
【解答】解：如图，过点P作PD⊥AC于点D，
依题意得：AB＝2×15＝30（海里），∠PAB＝15°，∠PBC＝30°，
∴∠APB＝∠PBC﹣∠PAB＝15°，
∴∠A＝∠APB＝15°，
∴PB＝AB＝30（海里）．
在Rt△PBD中，∠PBD＝30°，
∴PDPB＝15（海里），
∴BD15（海里），
答：若轮船不改变方向继续向前航行至距离B处15海里时，距离小岛P最近，最近距离是15海里．
【点评】本题考查了勾股定理的应用、含30°角的直角三角形的性质以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的判定是解题的关键．
22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝100cm，BC＝60cm，∠C＝90°，点P、Q同时从点C出发，分别沿CA、CB向点A、B运动．点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，当运动时间为4秒时，求四边形PABQ的面积．
【考点】勾股定理．
【专题】计算题；动点型．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据勾股定理先求出AC的长，求出4秒时△PCQ的面积，从而可求出四边形PABQ的面积．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝100cm，BC＝60cm，∠C＝90°，
∴AC80cm，
∵当运动时间为4秒时，QC＝4×4＝16cm，CP＝4×5＝20cm，
∴△PCQ的面积为：20×16＝160平方厘米．
∵△ABC的面积为：60×80＝2400平方厘米．
∴四边形PABQ的面积2400﹣160＝2240平方厘米．
【点评】本题考查勾股定理的实际应用，关键是看出四边形和构成的三角形面积的关系，利用间接法求面积．
考点卡片
1．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
2．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
3．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
4．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如1.414213562．
　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
5．实数
（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．
（2）实数的分类：
实数： 或 实数：
6．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
7．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
8．整式的混合运算
（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．
9．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
10．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
11．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
12．二次根式的定义
二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
①“”称为二次根号
②a（a≥0）是一个非负数；
学习要求：
理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．
13．同类二次根式
同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
14．方向角
方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角
（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
（2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）
（3）画方向角
以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
15．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
16．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
17．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
18．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
19．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
20．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
21．平面展开-最短路径问题
（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．
22．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
23．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．