2024—2025学年上学期深圳初中数学八年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片）

中小学教育资源及组卷应用平台
2024—2025学年上学期深圳初中数学八年级开学模拟试卷2
一．选择题（共11小题）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．据报道，我国成功研制出的世界首台分辨率最高的紫外超分辨光刻装备，光刻分辨率达到22纳米，（1纳米＝0.000000001米），则22纳米用科学记数法可表示为（　　）
A．2.2×10﹣8米 B．0.22×10﹣7米
C．22×10﹣9米 D．2.2×10﹣9米
3．“一箭双雕”这个事件是（　　）
A．不可能事件 B．必然事件
C．随机事件 D．确定性事件
4．下列运算结果正确的是（　　）
A．x4 x＝x4 B．（x3）2＝x5
C．﹣6x6÷3x3＝﹣2x3 D．x3+x2＝x5
5．下列说法正确的是（　　）
A．（﹣1）2的平方根是﹣1
B．6是的算术平方根
C．（﹣2）3的立方根为﹣2
D．0.4是﹣0.064的立方根
6．下列计算错误的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成4个大小相同的扇形，颜色分为灰、白二种颜色，指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则指针指向白色区域的概率是（　　）
A． B． C． D．1
8．下列说法正确的是（　　）
A．长度为2cm、3cm和5cm的三条线段首尾相接可以组成三角形
B．面积相等的两个三角形全等
C．两直线被第三条直线所截，同位角相等
D．等角的补角相等
9．计算（x2）3÷x2的结果是（　　）
A．x3 B．x4 C．x6 D．x8
10．下列二次根式中能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
11．如图，在Rt△ABC中，分别以B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，分别交BC，AC于点D，E，连接BE．若∠EBD＝32°，则∠A的度数为（　　）
A．50° B．58° C．60° D．64°
二．选择题（共6小题）
12．如图，等腰直角三角形纸片ABC，底边BC长为8cm，边长为4cm的正方形纸片的边DG在直线BC上，设BD长为x cm，两个纸片重叠部分图形的面积为y cm2，则y与x的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
13．若∠1+∠2＝90°，∠1+∠3＝90°，则∠2＝∠3，其根据是　 　．
14．若等腰三角形的周长为26cm，一边长12cm，则腰长为 　 　cm．
15．若x2＝100，则x＝　 　；若﹣5是y的平方根，则y＝　 　．
16．如图，△ABC中，∠C＝90°，△ABC的面积为12，设边BC＝x，边AC＝y，请写出y与x的函数关系式 　 　；若△ABC的边AC不大于边BC的6倍，则x的取值范围是 　 　．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠1＝　 　．
三．解答题（共6小题）
18．（1）计算：．
（2）计算：．
19．计算：（）﹣1﹣|2|．
20．先化简，再求值．
（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中x＝2，y＝﹣3．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．
（1）求证：ED⊥AB；
（2）若AF＝8，BC＝3，求CF的长．
22．如图表示的是汽车在行驶的过程中，速度随时间变化而变化的情况．
（1）汽车从出发到最后停止共经过了多少时间？它的最高时速是多少？
（2）汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？
（3）出发后8分到10分之间可能发生了什么情况？
（4）求汽车从出发后第18分钟到第22分钟行驶的路程．
23．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到M，使DM＝AD，连接BM．
【探究发现】：（1）图1中AC与BM的数量关系是 　 　，位置关系是 　 　；
【初步应用】：（2）如图2，在△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．例如：若3x＜6，则x＜2．）
【探究提升】：（3）如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE＝AB，AF＝AC，延长DA交EF于点P，判断线段EF与AD的数量关系和位置关系，请说明理由．
2024—2025学年上学期深圳初中数学八年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．据报道，我国成功研制出的世界首台分辨率最高的紫外超分辨光刻装备，光刻分辨率达到22纳米，（1纳米＝0.000000001米），则22纳米用科学记数法可表示为（　　）
A．2.2×10﹣8米 B．0.22×10﹣7米
C．22×10﹣9米 D．2.2×10﹣9米
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】实数；数感．
【答案】A
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：22纳米＝22×0.000000001米＝2.2×10﹣8米．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．“一箭双雕”这个事件是（　　）
A．不可能事件 B．必然事件
C．随机事件 D．确定性事件
【考点】随机事件．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】C
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
【解答】解：“一箭双雕”这个事件是随机事件，
故选：C．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．下列运算结果正确的是（　　）
A．x4 x＝x4 B．（x3）2＝x5
C．﹣6x6÷3x3＝﹣2x3 D．x3+x2＝x5
【考点】整式的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据整式的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：A、x4 x＝x5，故A不符合题意；
B、（x3）2＝x6，故B不符合题意；
C、﹣6x6÷3x3＝﹣2x3，故C符合题意；
D、x3与x2不能合并，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了整式的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
5．下列说法正确的是（　　）
A．（﹣1）2的平方根是﹣1
B．6是的算术平方根
C．（﹣2）3的立方根为﹣2
D．0.4是﹣0.064的立方根
【考点】立方根；平方根；算术平方根．
【专题】常规题型．
【答案】C
【分析】根据平方根，算术平方根，立方根的定义对各选项分析判断后利用排除法．
【解答】解：A、（﹣1）2的平方根是±1，故本选项错误；
B、∵6，
∴是的算术平方根，故本选项错误；
C、（﹣2）3的立方根为﹣2，正确；
D、﹣0.4是﹣0.064的立方根，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了平方根，算术平方根，立方根的定义，是基础题，比较简单．
6．下列计算错误的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据二次根式的加减法对A、C进行判断；根据二次根式的除法法则对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝2，所以A选项符合题意；
B、原式2，所以B选项不符合题意；
C、原式＝538，所以C选项不符合题意；
D、原式5，所以D选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
7．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成4个大小相同的扇形，颜色分为灰、白二种颜色，指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则指针指向白色区域的概率是（　　）
A． B． C． D．1
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】B
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①符合条件的情况数目；
②全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：∵转盘分成4个大小相同的扇形，颜色分为灰、白二种颜色，
∴指针指向白色区域的概率是，
故选：B．
【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）．
8．下列说法正确的是（　　）
A．长度为2cm、3cm和5cm的三条线段首尾相接可以组成三角形
B．面积相等的两个三角形全等
C．两直线被第三条直线所截，同位角相等
D．等角的补角相等
【考点】全等三角形的判定；对顶角、邻补角；同位角、内错角、同旁内角；三角形的面积；三角形三边关系．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；图形的全等；推理能力．
【答案】D
【分析】根据三角形三边关系定理即可判断选项A；根据全等三角形的判定即可判断选项B；根据平行线的性质即可判断选项C；根据补角的性质即可判断选项D．
【解答】解：A．2+3＝5，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，故本选项不符合题意；
B．当一个三角形的底边是2，这边上的高是1，而另一个三角形的底边是1，对应的高是2，此时两三角形的面积相等，但两三角形不一定全等，故本选项不符合题意；
C．只有两条平行线被第三条直线所截，同位角才相等，故本选项不符合题意；
D．等角的补角相等，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，三角形三边关系定理等知识点，能熟记全等三角形的判定、平行线的性质、三角形三边关系定理是解此题的关键．
9．计算（x2）3÷x2的结果是（　　）
A．x3 B．x4 C．x6 D．x8
【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则计算即可．
【解答】解：（x2）3÷x2＝x6÷x2＝x4．
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
10．下列二次根式中能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】同类二次根式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】先根据二次根式的性质进行化简，再根据同类二次根式的定义判断即可．
【解答】解：A．2，与2不能合并，故本选项不符合题意；
B．3，与2不能合并，故本选项不符合题意；
C．3，与2不能合并，故本选项不符合题意；
D．，与2能合并，故本选项符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，同类二次根式的定义等知识点，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．
11．如图，在Rt△ABC中，分别以B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，作直线PQ，分别交BC，AC于点D，E，连接BE．若∠EBD＝32°，则∠A的度数为（　　）
A．50° B．58° C．60° D．64°
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】根据作图可得PQ是BC的垂直平分线，则EB＝EC，根据等边对等角可得∠C＝∠EBD＝32°，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
【解答】解：根据作图可得PQ是BC的垂直平分线，
∴EB＝EC，
∴∠C＝∠EBD＝32°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠C＝90°﹣32°＝58°，
故选：B．
【点评】本题考查了垂直平分线，等边对等角，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握基本作图是解题的关键．
二．选择题（共6小题）
12．如图，等腰直角三角形纸片ABC，底边BC长为8cm，边长为4cm的正方形纸片的边DG在直线BC上，设BD长为x cm，两个纸片重叠部分图形的面积为y cm2，则y与x的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】动点型；数形结合；分类讨论；函数及其图象；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】分三种情况讨论：当0≤x≤4时，DE交AB于点H，则BD＝DH＝x cm，于是y＝S△BDH；当4＜x≤8时，过A作AO⊥BC于点O，CF交AB于点M，DE交AC于点N，则AOBC＝4cm，GM＝BG＝（x﹣4）cm，DN＝CD＝（8﹣x）cm，于是y＝S△ABC﹣S△BCM﹣S△CDN；当8＜x≤12时，CF交AC于点P，则CD＝（x﹣8）cm，进而得到PG＝CG＝（12﹣x）cm，于是y＝S△CGP．以此即可得到y关于x的函数解析式，再判断函数图象即可．
【解答】解：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵四边形CDEF是边长为4的正方形，且边DG在直线BC上，
∴∠CDE＝∠DCF＝90°，DG＝4cm，
当0≤x≤4时，如图，DE交AB于点H，
则△BDH为等腰直角三角形，
∴BD＝DH＝x cm，
∴y＝S△BDH（ cm2）；
当4＜x≤8时，如图，过A作AO⊥BC于点O，CF交AB于点M，DE交AC于点N，
则△BMG和△CDN为等腰三角形，AOBC＝4cm，
∴GM＝BG＝BD﹣DG＝（x﹣4）cm，DN＝CD＝BC﹣BD＝（8﹣x）cm，
∴y＝S△ABC﹣S△BCM﹣S△CDN（x﹣6）2+12；
当8＜x≤12时，如图，CF交AC于点P，
则△CGP为等腰直角三角形，
∵CD＝BD﹣BC＝（x﹣8）cm，
∴PG＝CG＝DG﹣CD＝（12﹣x）cm，
∴y＝S△CGP．
综上，．
故选：A．
【点评】本题主要考查动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、矩形的性质，学会利用数形结合思想和分类讨论思想解决问题是解题关键．
13．若∠1+∠2＝90°，∠1+∠3＝90°，则∠2＝∠3，其根据是　同角的余角相等　．
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意可知∠2和∠3都是∠1的余角，根据余角的性质即可得出∠2＝∠3．
【解答】解：若∠1+∠2＝90°，∠1+∠3＝90°，则∠2＝∠3，其根据是同角的余角相等．
故答案为：同角的余角相等
【点评】本题主要考查了余角的性质，同角（或等角）的余角相等．
14．若等腰三角形的周长为26cm，一边长12cm，则腰长为 　12或7　cm．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】题目给出等腰三角形有一条边长为12cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当12cm是腰长时，底边为26﹣12×2＝2（cm ），
此时2、12、12三边能够组成三角形，
所以其腰长为12cm；
当12cm为底边长时，腰长为 （26﹣12）＝7（cm），
此时7、7、12能够组成三角形，
所以其腰长为7cm，
故答案为：12或7．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
15．若x2＝100，则x＝　±10　；若﹣5是y的平方根，则y＝　25　．
【考点】平方根．
【专题】计算题；实数．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用平方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：若x2＝100，则x＝±10；若﹣5是y的平方根，则y＝25，
故答案为：±10；25
【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根定义是解本题的关键．
16．如图，△ABC中，∠C＝90°，△ABC的面积为12，设边BC＝x，边AC＝y，请写出y与x的函数关系式 　y　；若△ABC的边AC不大于边BC的6倍，则x的取值范围是 　x≥2　．
【考点】函数关系式；函数自变量的取值范围．
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】y，x≥2．
【分析】根据三角形的面积公式，将y用x表示出来；将y与x的函数关系式代入y≤6x，求出x的取值范围即可．
【解答】解：根据三角形的面积公式，得xy＝12，
∴y；
∵y≤6x，即6x，整理得6x2≥24，
∴x≥2．
故答案为：y，x≥2．
【点评】本题考查函数关系式和函数自变量的取值范围，掌握三角形的面积公式和一元一次不等式的解法是本题的关键．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠1＝　57.5°　．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】57.5°．
【分析】根据等腰三角形的性质推出∠B＝∠ACB＝70°，根据三角形外角性质得到∠ACD＝110°，根据角平分线定义求解即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠B＝∠ACB（180°﹣50°）＝65°，
∴∠ACD＝∠B+∠A＝115°，
∵CE平分△ABC的外角∠ACD，
∴∠1∠ACD＝57.5°，
故答案为：57.5°．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
18．（1）计算：．
（2）计算：．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】计算题；二次根式；运算能力．
【答案】（1）5；（2）6．
【分析】（1）先分别化简每个二次根式，然后算除法，最后算加减；
（2）先利用乘法分配律和完全平方公式计算乘方和乘法，然后再算加减．
【解答】解：（1）原式＝（25）6
＝25﹣2
＝5；
（2）原式21+25
6．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，掌握计算顺序和运算法则是解题关键．
19．计算：（）﹣1﹣|2|．
【考点】二次根式的混合运算；负整数指数幂；分母有理化．
【专题】计算题；二次根式；运算能力．
【答案】．
【分析】先根据二次根式的乘法，负整数指数幂，绝对值进行计算，再计算加减法即可求解．
【解答】解：（）﹣1﹣|2|
|2﹣3|
1
．
【点评】考查了二次根式的混合运算，二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看作是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．
20．先化简，再求值．
（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中x＝2，y＝﹣3．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】9xy，﹣54．
【分析】先根据平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式将所求式子展开，然后合并同类项即可，然后将x、y的值代入化简后的式子即可．
【解答】解：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y）
＝4x2+4xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy
＝9xy，
当x＝2，y＝﹣3时，原式＝9×2×（﹣3）＝﹣54．
【点评】本题考查整式的化简求值，解答本题的关键是明确平方差公式和完全平方公式的计算方法．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．
（1）求证：ED⊥AB；
（2）若AF＝8，BC＝3，求CF的长．
【考点】角平分线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；（2）5．
【分析】（1）利用等角对等边得到AD＝BD，再根据三线合一得到EF⊥AB即可；
（2）根据条件可得EF是AB的垂直平分线，则有BF＝AF＝8，利用CF＝BF﹣BC即可得到结果．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC（180°﹣36°）＝72°.
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD∠ABC36°，
∴∠BAD＝∠ABD＝36°，
∴AD＝BD，
又∵E是AB的中点，
∴ED⊥AB（三线合一）；
（2）解∵FE⊥AB，AE＝BE，
∴FE垂直平分AB，
∴BF＝AF＝8，
∴CF＝BF﹣BC＝8﹣3＝5．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟悉相关定理的应用是解题的关键．
22．如图表示的是汽车在行驶的过程中，速度随时间变化而变化的情况．
（1）汽车从出发到最后停止共经过了多少时间？它的最高时速是多少？
（2）汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？
（3）出发后8分到10分之间可能发生了什么情况？
（4）求汽车从出发后第18分钟到第22分钟行驶的路程．
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】（1）汽车从出发到最后停止共经过了24min，它的最高时速是75km/h；（2）汽车在2min到6min，18min到22min保持匀速行驶，时速分别是25km/h和75km/h；（3）可能是遇到红灯等情况；（4）5km．
【分析】利用函数图象中横、纵坐标的意义分别求解．
【解答】解：（1）汽车从出发到最后停止共经过了24min，它的最高时速是75km/h；
（2）汽车在2min到6min，18min到22min保持匀速行驶，时速分别是25km/h和75km/h；
（3）汽车出发8min到10min之间处于静止状态，可能是遇到红灯等情况；
（4）汽车从出发后第18分钟到第22分钟行驶的路程＝755（km）．
【点评】本题考查了函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
23．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到M，使DM＝AD，连接BM．
【探究发现】：（1）图1中AC与BM的数量关系是 　AC＝BM　，位置关系是 　AC∥BM　；
【初步应用】：（2）如图2，在△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．例如：若3x＜6，则x＜2．）
【探究提升】：（3）如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE＝AB，AF＝AC，延长DA交EF于点P，判断线段EF与AD的数量关系和位置关系，请说明理由．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；线段、角、相交线与平行线；三角形；图形的全等；运算能力；推理能力．
【答案】（1）AC＝BM，AC∥BM；
（2）2＜AD＜10；
（3）EF＝2AD，EF⊥AD，理由见解析．
【分析】（1）证△ADC≌△MDB（SAS），得AC＝BM，∠CAD＝∠M，再由平行线的判定即可得出AC∥BM，
（2）延长AD到M，使DM＝AD，连接BM，由（1）可知，△MDB≌△ADC（SAS），得BM＝AC＝8，再由三角形的三边关系即可得出结论；
（3）延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，由（1）可知，△BDM≌△CDA（SAS），得BM＝AC，再证△ABM≌△EAF（SAS），得AM＝EF，∠BAM＝∠E，则EF＝2AD，然后由三角形的外角性质证出∠APE＝∠BAE＝90°，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△MDB中，
，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴AC＝BM，∠CAD＝∠M，
∴AC∥BM，
故答案为：AC＝BM，AC∥BM；
（2）如图2，延长AD到M，使DM＝AD，连接BM，
由（1）可知，△MDB≌△ADC（SAS），
∴BM＝AC＝8，
在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，
∴12﹣8＜AM＜12+8，
即4＜2AD＜20，
∴2＜AD＜10，
即BC边上的中线AD的取值范围为2＜AD＜10；
（3）EF＝2AD，EF⊥AD，理由如下：
如图3，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，
由（1）可知，△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM＝AC，
∵AC＝AF，
∴BM＝AF，
由（2）可知，AC∥BM，
∴∠BAC+∠ABM＝180°，
∵AE⊥AB、AF⊥AC，
∴∠BAE＝∠FAC＝90°，
∴∠BAC+∠EAF＝180°，
∴∠ABM＝∠EAF，
在△ABM和△EAF中，
，
∴△ABM≌△EAF（SAS），
∴AM＝EF，∠BAM＝∠E，
∵AD＝DM，
∴AM＝2AD，
∴EF＝2AD，
∵∠EAM＝∠BAM+∠BAE＝∠E+∠APE，
∴∠APE＝∠BAE＝90°，
∴EF⊥AD．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．
考点卡片
1．科学记数法—表示较小的数
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围 表示方法 a的取值 n的取值
|x|≥10 a×10n 1≤|a| ＜10 整数的位数﹣1
|x|＜1 a×10﹣n 第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）
2．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
3．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
4．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
5．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
6．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am an＝a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am an ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
7．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
8．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
9．整式的除法
整式的除法：
（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．
关注：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．
（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．
10．整式的混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．
有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
11．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
12．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①；②．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：的有理化因式可以是，也可以是a（），这里的a可以是任意有理数．
13．同类二次根式
同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
14．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
15．函数关系式
用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
注意：
①函数解析式是等式．
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数．
16．函数自变量的取值范围
自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
17．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．
18．动点问题的函数图象
函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
19．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
20．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
21．同位角、内错角、同旁内角
（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
22．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
23．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
24．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
25．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
26．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
27．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
28．三角形综合题
涉及到的知识点比较多，如全等三角形的证明，三角形的相似、解直角三角形，锐角三角函数以及与四边形的综合考查
29．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
30．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
31．随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
32．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．