2024—2025学年上学期深圳初中数学九年级开学模拟试卷1（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期深圳初中数学九年级开学模拟试卷1（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 491.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-05 15:22:42 | ||
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文档简介
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2024—2025学年上学期深圳初中数学九年级开学模拟试卷1
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若分式的值为0，则（a+1）2等于（ ）
A．1 B．9 C．16 D．25
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）若a＞b，则下列不等式一定不成立的是（ ）
A．a﹣7＞b﹣7 B．﹣4a＞﹣4b C．a+1＞b+1 D．
4．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．（a+2）（a﹣3）＝a2﹣a﹣6
B．m（a﹣3）2﹣2（3﹣a）2＝（a﹣3）2（m+2）
C．a2﹣4a+5＝（a﹣2）2+1
D．2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝（y﹣z）（2a+3b）
5．（3分）为积极响应国家“双减政策”，某中学校2022年第三季度平均每周作业时长为500分钟，经过2022年第四季度和2023年第一季度两次整改后，平均每周作业时长为320分钟．设每季度平均每周作业时长的下降率为m，则可列方程为（ ）
A．500（1﹣m2）＝320 B．320（1﹣m）2＝500
C．500（1﹣m）2＝320 D．500（1﹣m）＝320
6．（3分）如图，六边形ABCDEF为正六边形，l1∥l2，则∠2﹣∠1的值为（ ）
A．60° B．80° C．108° D．120°
7．（3分）如图，物业公司计划在小区内修建一个电动车充电桩，要求到A，B，C三个出口的距离都相等，则充电桩应建在（ ）
A．△ABC的三条高的交点处
B．△ABC的三条角平分线的交点处
C．△ABC的三条中线的交点处
D．△ABC的三条边的垂直平分线的交点处
8．（3分）下列四个命题中，假命题是（ ）
A．顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形
B．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
C．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
9．（3分）如图，长方形ABCD中，AB＝18，AD＝8，若点A（9，0），则C点的坐标为（ ）
A．（94，8） B．（9，4） C．（4，94） D．（94，3）
10．（3分）小光准备从A地去往B地，打开导航显示两地距离为39.6km，但导航提供的三条可选路线长却分别为52km，53km，56km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）分解因式：3a3﹣6a2b+3ab2＝ ．
12．（3分）若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是 ．
13．（3分）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论：
①AC＝AD；②AE⊥BC；③∠BAE＝∠BCE；④AB∥CD．
其中一定正确的结论是 ．（填序号）
14．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣2＝0的两根，则x1+x2＝ ，x1 x2＝ ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以AB、BC、AC为边向上作正方形AGFB、正方形BCDE、正方形ACMN，点E在FG上，若AC＝2，BC，则图中阴影的面积为 ．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（8分）解方程．
（1）解一元二次方程：x2﹣4x﹣5＝0．
（2）解分式方程：1．
17．（6分）解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来．
18．（6分）先化简，再求值：，从﹣2＜x≤2中选出合适的x的整数值代入求值．
19．（8分）如图，是由小方格组成的网格纸，每个方格的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、C、O均在格点上．
（1）在图①中，作出△ABC向右平移4个单位长度的三角形；
（2）在图②中，作出△ABC绕点O沿顺时针方向旋转90°得到的三角形；
（3）在图③中，请在线段MN上找到一点P，连结AP和CP，使AP+CP的值最小（请保留作图痕迹）．
20．（8分）如图，点E是正方形ABCD的边BC上的一点，∠DAE的平分线AF交BC的延长线于点F，交CD于点G．
（1）若AB＝4，BF＝8，求CE的长；
（2）求证：AE＝BE+DG．
21．（9分）随着社会经济水平的提高和人口数量的增长，人们对购房的需求越来越大，因此装修建材市场也成为广大市民关注对象，某建材公司经营的A、B两种建材销售情况如下：
（1）2019年该建材公司一共销售A、B两种品牌的建材共3000件，其中A种品牌建材销量是B种品牌建材销量的4倍，则2019年该建材公司销售A、B两种品牌的建材各多少件？
（2）2018年该建材公司就开始销售A、B两种品牌的建材，通过市场调研发现，每件A品牌的利润为50元，每件B品牌的利润200元，该年一共获利240000元．2020年，由于市场需求的增大，导致A品牌的销售量与价格上涨．2020年A品牌建材的销售量在2019年销售量的基础上增加了3a%，每件A品牌的利润在2018年的基础上增加a%；而B品牌建材的销售量和2019年保持不变，每件B品牌的利润和2018年相同.2020年该建材市场获得的总利润比2018年总利润增加了a%，求a的值．
22．（10分）在“综合与实践”课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动．
（1）探究发现
如图1，在等边△ABC内部有一点P，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AD，连接PD，CD，若AP2+CP2＝BP2，则∠APC的度数是 ．
（2）类比延伸
如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．在△ABC内部有一点P，连接AP，BP，CP，若∠APC＝135°，试判断AP，BP，CP之间的数量关系，并说明理由．
（3）迁移应用
如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．在直线AC的上方有一点P，连接AP，BP，CP，若∠APC＝60°，则存在实数λ使得λAP2+CP2＝BP2成立，请直接写出λ的值．
2024—2025学年上学期深圳初中数学九年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若分式的值为0，则（a+1）2等于（ ）
A．1 B．9 C．16 D．25
【考点】分式的值为零的条件．
【专题】分式；应用意识．
【答案】B
【分析】先根据分式的值为零的条件求出a的值，再代入代数式进行计算即可．
【解答】解；∵分式的值为0，
∴，解得a＝2，
∴（a+1）2＝（2+1）2＝9．
故选：B．
【点评】本题考查的是分式值为零的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．（3分）若a＞b，则下列不等式一定不成立的是（ ）
A．a﹣7＞b﹣7 B．﹣4a＞﹣4b C．a+1＞b+1 D．
【考点】不等式的性质．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；推理能力．
【答案】B
【分析】根据a＞b，应用不等式的性质，逐项判断即可．
【解答】解：∵a＞b，
∴a﹣7＞b﹣7，
∴选项A不符合题意；
∵a＞b，
∴﹣4a＜﹣4b，
∴选项B符合题意；
∵a＞b，
∴a+1＞b+1，
∴选项C不符合题意；
∵a＞b，
∴，
∴选项D不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．（a+2）（a﹣3）＝a2﹣a﹣6
B．m（a﹣3）2﹣2（3﹣a）2＝（a﹣3）2（m+2）
C．a2﹣4a+5＝（a﹣2）2+1
D．2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝（y﹣z）（2a+3b）
【考点】因式分解﹣十字相乘法等；因式分解﹣提公因式法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】直接利用因式分解的定义，提取公因式法以及十字相乘法分解因式得出答案．
【解答】解：A．等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，故此选项不合题意；
B．m（a﹣3）2﹣2（3﹣a）2＝（a﹣3）2（m﹣2），故此选项符不合题意；
C．等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，故此选项不合题意；
D．2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝（y﹣z）（2a+3b），故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解，解答该题时，需要注意因式分解定义的运用．
5．（3分）为积极响应国家“双减政策”，某中学校2022年第三季度平均每周作业时长为500分钟，经过2022年第四季度和2023年第一季度两次整改后，平均每周作业时长为320分钟．设每季度平均每周作业时长的下降率为m，则可列方程为（ ）
A．500（1﹣m2）＝320 B．320（1﹣m）2＝500
C．500（1﹣m）2＝320 D．500（1﹣m）＝320
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】利用该学校2023年第一季度平均每周作业时长＝该学校2022年第三季度平均每周作业时长×（1﹣每季度平均每周作业时长的下降率）2，即可得出关于m的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：500（1﹣m）2＝320．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．（3分）如图，六边形ABCDEF为正六边形，l1∥l2，则∠2﹣∠1的值为（ ）
A．60° B．80° C．108° D．120°
【考点】多边形内角与外角；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】延长AB交l2于点G，利用多边形外角和定理算出∠GBC＝360°÷6＝60°，再利用平行线的性质，三角形外角定理得出∠2﹣∠1＝∠GBC．
【解答】解：如图，延长AB交l2于点G，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠GBC＝360°÷6＝60°，
∵l1∥l2，
∴∠1＝∠BGE，
∵∠2＝∠BGE+∠GBC，
∴∠2﹣∠1＝∠GBC＝60°．
故选：A．
【点评】本题考查了多边形外角和定理，三角形外角定理，构建合适的三角形是解题的关键．
7．（3分）如图，物业公司计划在小区内修建一个电动车充电桩，要求到A，B，C三个出口的距离都相等，则充电桩应建在（ ）
A．△ABC的三条高的交点处
B．△ABC的三条角平分线的交点处
C．△ABC的三条中线的交点处
D．△ABC的三条边的垂直平分线的交点处
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线的性质可进行求解．
【解答】解：由题意可知：当充电桩到A，B，C三个出口的距离都相等时，
则充电桩应建在△ABC的三条边的垂直平分线的交点处；
故选：D．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
8．（3分）下列四个命题中，假命题是（ ）
A．顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形
B．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
C．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
【考点】命题与定理；直角三角形全等的判定；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；中点四边形．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据中点四边形的概念、全等三角形的判定、等腰三角形的三线合一、平行四边形的判定定理判断即可．
【解答】解：A、顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意；
B、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，是真命题，不符合题意；
C、等腰三角形的底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合，故本选项说法是假命题，符合题意；
D、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
9．（3分）如图，长方形ABCD中，AB＝18，AD＝8，若点A（9，0），则C点的坐标为（ ）
A．（94，8） B．（9，4） C．（4，94） D．（94，3）
【考点】矩形的性质；坐标与图形性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】C
【分析】由锐角三角函数可求∠ABO＝30°，可求OB的长，∠CBE＝60°，由直角三角形的性质可求BE，EC的长，即可求点C坐标．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥OB，
∵点A（9，0），
∴OA＝9，
∵sin∠ABO，
∴∠ABO＝30°，
∴BOAO＝9，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，∠ABC＝90°，
∴∠CBE＝60°，且CE⊥OB，
∴∠BCE＝30°，
∴BEBC＝4，ECBE＝4，
∴点C（4，94），
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数等知识，求出∠ABO＝30°是本题的关键．
10．（3分）小光准备从A地去往B地，打开导航显示两地距离为39.6km，但导航提供的三条可选路线长却分别为52km，53km，56km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【考点】垂线段最短；直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．
【答案】A
【分析】根据线段的性质，可得答案．
【解答】解：A地去往B地，打开导航显示两地距离为39.6km，理由是两点之间线段最短，
故选：A．
【点评】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质并应用是解题的关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）分解因式：3a3﹣6a2b+3ab2＝ 3a（a﹣b）2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】3a（a﹣b）2．
【分析】先提取公因式3a，再根据完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：原式＝3a（a2﹣2ab+b2）
＝3a（a﹣b）2．
故答案为：3a（a﹣b）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，考核学生的计算能力，先提取公因式3a是解题的关键．
12．（3分）若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是 m＜3且m≠2 ．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】m＜3且m≠2．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为负数得到x＜0且x≠﹣1，求出m的范围即可．
【解答】解：分式方程去分母得：m﹣2＝x+1，
解得：x＝m﹣3，
∵分式方程的解为负数，
∴x＜0且x≠﹣1，即m﹣3＜0且m﹣3≠﹣1，
解得：m＜3且m≠2．
故答案为：m＜3且m≠2．
【点评】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，始终注意分母不为0的条件．
13．（3分）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论：
①AC＝AD；②AE⊥BC；③∠BAE＝∠BCE；④AB∥CD．
其中一定正确的结论是 ③ ．（填序号）
【考点】旋转的性质；平行线的判定．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】③．
【分析】由旋转的性质可得AC＝CD，∠B＝∠E，∠ACB＝∠ECD，由三角形内角和定理可证∠BAE＝∠ECB．
【解答】解：如图，设AE与BC的交点为O，
∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，
∴△ABC≌△DEC，
∴AC＝CD，∠B＝∠E，∠ACB＝∠ECD，
又∵∠AOB＝∠COE，
∴∠BAE＝∠ECB，
故答案为：③．
【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
14．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣2＝0的两根，则x1+x2＝ ﹣3 ，x1 x2＝ ﹣2 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣3，﹣2．
【分析】直接根据根与系数的关系得出x1+x2、x1x2的值．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣2＝0的两根，
∴x1+x2＝﹣3；x1x2＝﹣2．
故答案为：﹣3，﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系，关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以AB、BC、AC为边向上作正方形AGFB、正方形BCDE、正方形ACMN，点E在FG上，若AC＝2，BC，则图中阴影的面积为 6 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】6．
【分析】由勾股定理得AB2+AC2＝BC2，AB＝3，再证△BCP≌△CDQ（ASA），得S△BCP＝S△CDQ，则S四边形APDQ＝S△ABC＝6，即可解决问题．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AC＝2，BC，
∴AB2+AC2＝BC2，AB3，
∴S△ABCAC AB2×3＝3，
∵四边形BCDE是正方形，
∴BC＝CD，∠BCP＝∠D＝90°，
∵∠BAC＝∠CAP＝90°，
∴∠DCQ+∠CQD＝∠DCA+∠BPC＝90°，
∴∠CQD＝∠BPC，
∴△BCP≌△CDQ（ASA），
∴S△BCP＝S△CDQ，
∴S△CDQ﹣S△CAP＝S△BCP﹣S△CAP，
即S四边形APDQ＝S△ABC＝3，
∴图中阴影部分面积之和＝AB2+AC2+S△ABC+S四边形APDQ﹣BC2＝3+3＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了勾股定理、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（8分）解方程．
（1）解一元二次方程：x2﹣4x﹣5＝0．
（2）解分式方程：1．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解分式方程．
【专题】分式方程及应用；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝5，x2＝﹣1；
（2）无解．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）先两边都乘以2（2x﹣1）化分式方程为整式方程，解之求出x的值，再检验即可得出答案．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣5＝0，
∴（x﹣5）（x+1）＝0，
则x﹣5＝0或x+1＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣1；
（2）两边都乘以2（2x﹣1），得：2（x﹣2）+2（2x﹣1）＝﹣3，
解得x，
经检验x是原方程的增根，
所以原方程无解．
【点评】本题主要考查解分式方程和一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17．（6分）解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣1＜x≤2．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣2≤0，得：x≤2，
解不等式3x+2＞﹣1，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（6分）先化简，再求值：，从﹣2＜x≤2中选出合适的x的整数值代入求值．
【考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．
【专题】分式；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】，﹣1．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣2＜x≤2中选出一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：
＝[]
，
∵﹣2＜x≤2且（x+1）（x﹣1）≠0，2﹣x≠0，
∴x的整数值为﹣1，0，1，2且x≠±1，2，
∴x＝0，
当x＝0时，原式1．
【点评】本题考查分式的化简求值、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
19．（8分）如图，是由小方格组成的网格纸，每个方格的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、C、O均在格点上．
（1）在图①中，作出△ABC向右平移4个单位长度的三角形；
（2）在图②中，作出△ABC绕点O沿顺时针方向旋转90°得到的三角形；
（3）在图③中，请在线段MN上找到一点P，连结AP和CP，使AP+CP的值最小（请保留作图痕迹）．
【考点】作图﹣旋转变换；勾股定理；轴对称﹣最短路线问题；作图﹣平移变换．
【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】图形见解答．
【分析】（1）根据平移的性质即可在图①中，作出△ABC向右平移4个单位长度的三角形；
（2）根据旋转的性质即可在图②中，作出△ABC绕点O沿顺时针方向旋转90°得到的三角形；
（3）作点A关于直线MN的对称点A′连接A′C，交线段MN于点P，连结AP和CP，即可使AP+CP的值最小．
【解答】解：（1）如图①，△QMN即为所求；
（2）如图②，△CDE即为所求；
（3）如图③，点P即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，平移变换，轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是掌握旋转的性质和平移的性质．
20．（8分）如图，点E是正方形ABCD的边BC上的一点，∠DAE的平分线AF交BC的延长线于点F，交CD于点G．
（1）若AB＝4，BF＝8，求CE的长；
（2）求证：AE＝BE+DG．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）CE＝1；
（2）见解析过程．
【分析】（1）由角平分线的性质和平行线的性质可证AE＝EF，利用勾股定理可求CE的长；
（2）由“SAS”可证△ABM≌△ADG，可得∠M＝∠AGD＝∠FAD+∠EAB，∠MAB＝∠FAD，可证AE＝ME＝BE+DG．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝4，∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠DAG＝∠F，
∵AF平分∠DAE，
∴∠DAG＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠F，
∴AE＝EF，
设CE＝x，则BE＝4﹣x，AE＝EF＝8﹣4+x＝4+x，
在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，
∴42+（4﹣x）2＝（4+x）2，
解得：x＝1，
∴CE＝1；
（2）如图，延长CB到点M，使BM＝DG，连接AM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠ABM＝90°，AD＝AB，AB∥CD，
∴∠AGD＝∠EAF+∠BAE，
∵AF平分∠DAE，
∴∠EAF＝∠FAD，∠AGD＝∠FAD+∠BAE，
在△ABM和△ADG中，
，
∴△ABM≌△ADG（SAS），
∴∠M＝∠AGD＝∠FAD+∠EAB，∠MAB＝∠FAD，
∴∠M＝∠MAB+∠EAB＝∠MAE，
∴AE＝ME＝BE+MB＝BE+DG．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
21．（9分）随着社会经济水平的提高和人口数量的增长，人们对购房的需求越来越大，因此装修建材市场也成为广大市民关注对象，某建材公司经营的A、B两种建材销售情况如下：
（1）2019年该建材公司一共销售A、B两种品牌的建材共3000件，其中A种品牌建材销量是B种品牌建材销量的4倍，则2019年该建材公司销售A、B两种品牌的建材各多少件？
（2）2018年该建材公司就开始销售A、B两种品牌的建材，通过市场调研发现，每件A品牌的利润为50元，每件B品牌的利润200元，该年一共获利240000元．2020年，由于市场需求的增大，导致A品牌的销售量与价格上涨．2020年A品牌建材的销售量在2019年销售量的基础上增加了3a%，每件A品牌的利润在2018年的基础上增加a%；而B品牌建材的销售量和2019年保持不变，每件B品牌的利润和2018年相同.2020年该建材市场获得的总利润比2018年总利润增加了a%，求a的值．
【考点】一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】（1）2019年该建材公司销售A品牌的建材2400件，B品牌的建材600件；
（2）a．
【分析】（1）设2019年该建材公司销售A品牌的建材x件，B品牌的建材y件，根据“2019年该建材公司一共销售A、B两种品牌的建材共3000件，且A种品牌建材销量是B种品牌建材销量的4倍”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总利润＝每件的利润×销售数量，结合2020年该建材市场获得的总利润比2018年总利润增加了a%，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设2019年该建材公司销售A品牌的建材x件，B品牌的建材y件，
依题意得：，
解得：．
答：2019年该建材公司销售A品牌的建材2400件，B品牌的建材600件．
（2）依题意得：50（1+a%）×2400（1+3a%）+200×600＝240000（1a%），
整理得：36a2﹣1200a＝0，
解得：a1，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
22．（10分）在“综合与实践”课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动．
（1）探究发现
如图1，在等边△ABC内部有一点P，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AD，连接PD，CD，若AP2+CP2＝BP2，则∠APC的度数是 150° ．
（2）类比延伸
如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．在△ABC内部有一点P，连接AP，BP，CP，若∠APC＝135°，试判断AP，BP，CP之间的数量关系，并说明理由．
（3）迁移应用
如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．在直线AC的上方有一点P，连接AP，BP，CP，若∠APC＝60°，则存在实数λ使得λAP2+CP2＝BP2成立，请直接写出λ的值．
【考点】几何变换综合题．
【专题】几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形△APD是等边三角形，由勾股定理的逆定理判定∠DPC＝90°即可；
（2）将△APB绕点A顺时针旋转90°得到△ATC，连接PT．得等腰直角△APT，进而由∠TPC＝∠APC﹣∠APT＝135°﹣45°＝90°，由勾股定理即可得出结论．
（3）将△APC绕点A顺时针旋转120°得到△ABQ，连接PQ．过点A作AH⊥PQ，垂足为H，得等腰△APQ，∠PQA＝∠APQ＝30°，进而可得∠BQP＝∠PQA+∠AQB＝30°+60°＝90°，用勾股定理即可得出PQ2+BQ2＝BP2，再在等腰△APQ中求出即可得出结论．
【解答】解：（1）∵由旋转性质可知：AD＝AP，∠DAP＝60°，DC＝BP，
∴△ADP是等边三角形，
∴PD＝AP，∠APD＝60°，
∵AP2+CP2＝BP2，
∴DP2+CP2＝CD2，
∴∠DPC＝90°，
∴∠APC＝∠APD+∠DPC＝60°+90°＝150°，
故答案为：150°；
（2）2AP2+CP2＝BP2，理由如下：
如图2中，将△APB绕点A逆时针旋转90°得到△ATC，连接PT．
由旋转性质可知：AP＝AT，∠PAT＝90°，TC＝BP，
∴，
∵∠APC＝135°，
∴∠TPC＝∠APC﹣∠APT＝135°﹣45°＝90°，
∴PT2+PC2＝TC2，
∴，
∴2AP2+CP2＝BP2；
（3）如图3中，将△APC绕点A顺时针旋转120°得到△ABQ，连接PQ．过点A作AH⊥PQ，垂足为H，
由旋转性质可知：AP＝AQ，∠PAQ＝∠BAC＝120°，PC＝BQ，∠AQB＝∠APC＝60°，
∴，
∴∠BQP＝∠PQA+∠AQB＝30°+60°＝90°，
∴PQ2+BQ2＝BP2，
∵AP＝AQ，AH⊥PQ，
∴PQ＝2PH，
在Rt△APH中，∠APQ＝30°，
∴，，
∴3AP2+PC2＝BP2，
∴λ＝3．
【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转变换、解直角三角形．解题的关键是熟练掌握旋转的性质．
考点卡片
1．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
2．提公因式法与公式法的综合运用
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
3．因式分解-十字相乘法等
借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的
方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；
可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）
②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1 a2，
把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1 c2，并使a1c2+a2c1正好是一
次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
4．分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
5．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
6．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
7．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
8．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
9．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
10．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
11．分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
12．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
13．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
14．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
15．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
16．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
17．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
18．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
19．直线的性质：两点确定一条直线
（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．
简称：两点确定一条直线．
（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．
20．线段的性质：两点之间线段最短
线段公理
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
21．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
22．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
23．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
24．直角三角形全等的判定
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
25．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
26．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
27．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
28．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
29．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
30．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2） 180°＝360°．
31．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
32．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
33．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
34．中点四边形
瓦里尼翁平行四边形（Varignon parallelogram）是四边形的一个特殊内接四边形．顺次连结四边形各边中点而成的四边形是平行四边形，称为瓦里尼翁平行四边形．它的面积是原四边形面积的一半，这个平行四边形是瓦里尼翁（P．Varignon）发现的．
35．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
36．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
37．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
38．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
39．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
40．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
41．作图-旋转变换
（1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
42．几何变换综合题
这种题型主要考查旋转、平移以及动点问题，经常是四边形和圆的综合题目，难度大．
2024—2025学年上学期深圳初中数学九年级开学模拟试卷1
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若分式的值为0，则（a+1）2等于（ ）
A．1 B．9 C．16 D．25
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）若a＞b，则下列不等式一定不成立的是（ ）
A．a﹣7＞b﹣7 B．﹣4a＞﹣4b C．a+1＞b+1 D．
4．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．（a+2）（a﹣3）＝a2﹣a﹣6
B．m（a﹣3）2﹣2（3﹣a）2＝（a﹣3）2（m+2）
C．a2﹣4a+5＝（a﹣2）2+1
D．2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝（y﹣z）（2a+3b）
5．（3分）为积极响应国家“双减政策”，某中学校2022年第三季度平均每周作业时长为500分钟，经过2022年第四季度和2023年第一季度两次整改后，平均每周作业时长为320分钟．设每季度平均每周作业时长的下降率为m，则可列方程为（ ）
A．500（1﹣m2）＝320 B．320（1﹣m）2＝500
C．500（1﹣m）2＝320 D．500（1﹣m）＝320
6．（3分）如图，六边形ABCDEF为正六边形，l1∥l2，则∠2﹣∠1的值为（ ）
A．60° B．80° C．108° D．120°
7．（3分）如图，物业公司计划在小区内修建一个电动车充电桩，要求到A，B，C三个出口的距离都相等，则充电桩应建在（ ）
A．△ABC的三条高的交点处
B．△ABC的三条角平分线的交点处
C．△ABC的三条中线的交点处
D．△ABC的三条边的垂直平分线的交点处
8．（3分）下列四个命题中，假命题是（ ）
A．顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形
B．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
C．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
9．（3分）如图，长方形ABCD中，AB＝18，AD＝8，若点A（9，0），则C点的坐标为（ ）
A．（94，8） B．（9，4） C．（4，94） D．（94，3）
10．（3分）小光准备从A地去往B地，打开导航显示两地距离为39.6km，但导航提供的三条可选路线长却分别为52km，53km，56km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）分解因式：3a3﹣6a2b+3ab2＝ ．
12．（3分）若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是 ．
13．（3分）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论：
①AC＝AD；②AE⊥BC；③∠BAE＝∠BCE；④AB∥CD．
其中一定正确的结论是 ．（填序号）
14．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣2＝0的两根，则x1+x2＝ ，x1 x2＝ ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以AB、BC、AC为边向上作正方形AGFB、正方形BCDE、正方形ACMN，点E在FG上，若AC＝2，BC，则图中阴影的面积为 ．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（8分）解方程．
（1）解一元二次方程：x2﹣4x﹣5＝0．
（2）解分式方程：1．
17．（6分）解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来．
18．（6分）先化简，再求值：，从﹣2＜x≤2中选出合适的x的整数值代入求值．
19．（8分）如图，是由小方格组成的网格纸，每个方格的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、C、O均在格点上．
（1）在图①中，作出△ABC向右平移4个单位长度的三角形；
（2）在图②中，作出△ABC绕点O沿顺时针方向旋转90°得到的三角形；
（3）在图③中，请在线段MN上找到一点P，连结AP和CP，使AP+CP的值最小（请保留作图痕迹）．
20．（8分）如图，点E是正方形ABCD的边BC上的一点，∠DAE的平分线AF交BC的延长线于点F，交CD于点G．
（1）若AB＝4，BF＝8，求CE的长；
（2）求证：AE＝BE+DG．
21．（9分）随着社会经济水平的提高和人口数量的增长，人们对购房的需求越来越大，因此装修建材市场也成为广大市民关注对象，某建材公司经营的A、B两种建材销售情况如下：
（1）2019年该建材公司一共销售A、B两种品牌的建材共3000件，其中A种品牌建材销量是B种品牌建材销量的4倍，则2019年该建材公司销售A、B两种品牌的建材各多少件？
（2）2018年该建材公司就开始销售A、B两种品牌的建材，通过市场调研发现，每件A品牌的利润为50元，每件B品牌的利润200元，该年一共获利240000元．2020年，由于市场需求的增大，导致A品牌的销售量与价格上涨．2020年A品牌建材的销售量在2019年销售量的基础上增加了3a%，每件A品牌的利润在2018年的基础上增加a%；而B品牌建材的销售量和2019年保持不变，每件B品牌的利润和2018年相同.2020年该建材市场获得的总利润比2018年总利润增加了a%，求a的值．
22．（10分）在“综合与实践”课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动．
（1）探究发现
如图1，在等边△ABC内部有一点P，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AD，连接PD，CD，若AP2+CP2＝BP2，则∠APC的度数是 ．
（2）类比延伸
如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．在△ABC内部有一点P，连接AP，BP，CP，若∠APC＝135°，试判断AP，BP，CP之间的数量关系，并说明理由．
（3）迁移应用
如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．在直线AC的上方有一点P，连接AP，BP，CP，若∠APC＝60°，则存在实数λ使得λAP2+CP2＝BP2成立，请直接写出λ的值．
2024—2025学年上学期深圳初中数学九年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若分式的值为0，则（a+1）2等于（ ）
A．1 B．9 C．16 D．25
【考点】分式的值为零的条件．
【专题】分式；应用意识．
【答案】B
【分析】先根据分式的值为零的条件求出a的值，再代入代数式进行计算即可．
【解答】解；∵分式的值为0，
∴，解得a＝2，
∴（a+1）2＝（2+1）2＝9．
故选：B．
【点评】本题考查的是分式值为零的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．（3分）若a＞b，则下列不等式一定不成立的是（ ）
A．a﹣7＞b﹣7 B．﹣4a＞﹣4b C．a+1＞b+1 D．
【考点】不等式的性质．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；推理能力．
【答案】B
【分析】根据a＞b，应用不等式的性质，逐项判断即可．
【解答】解：∵a＞b，
∴a﹣7＞b﹣7，
∴选项A不符合题意；
∵a＞b，
∴﹣4a＜﹣4b，
∴选项B符合题意；
∵a＞b，
∴a+1＞b+1，
∴选项C不符合题意；
∵a＞b，
∴，
∴选项D不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．（3分）下列因式分解正确的是（ ）
A．（a+2）（a﹣3）＝a2﹣a﹣6
B．m（a﹣3）2﹣2（3﹣a）2＝（a﹣3）2（m+2）
C．a2﹣4a+5＝（a﹣2）2+1
D．2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝（y﹣z）（2a+3b）
【考点】因式分解﹣十字相乘法等；因式分解﹣提公因式法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】直接利用因式分解的定义，提取公因式法以及十字相乘法分解因式得出答案．
【解答】解：A．等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，故此选项不合题意；
B．m（a﹣3）2﹣2（3﹣a）2＝（a﹣3）2（m﹣2），故此选项符不合题意；
C．等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，故此选项不合题意；
D．2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝（y﹣z）（2a+3b），故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解，解答该题时，需要注意因式分解定义的运用．
5．（3分）为积极响应国家“双减政策”，某中学校2022年第三季度平均每周作业时长为500分钟，经过2022年第四季度和2023年第一季度两次整改后，平均每周作业时长为320分钟．设每季度平均每周作业时长的下降率为m，则可列方程为（ ）
A．500（1﹣m2）＝320 B．320（1﹣m）2＝500
C．500（1﹣m）2＝320 D．500（1﹣m）＝320
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】利用该学校2023年第一季度平均每周作业时长＝该学校2022年第三季度平均每周作业时长×（1﹣每季度平均每周作业时长的下降率）2，即可得出关于m的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：500（1﹣m）2＝320．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．（3分）如图，六边形ABCDEF为正六边形，l1∥l2，则∠2﹣∠1的值为（ ）
A．60° B．80° C．108° D．120°
【考点】多边形内角与外角；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】延长AB交l2于点G，利用多边形外角和定理算出∠GBC＝360°÷6＝60°，再利用平行线的性质，三角形外角定理得出∠2﹣∠1＝∠GBC．
【解答】解：如图，延长AB交l2于点G，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠GBC＝360°÷6＝60°，
∵l1∥l2，
∴∠1＝∠BGE，
∵∠2＝∠BGE+∠GBC，
∴∠2﹣∠1＝∠GBC＝60°．
故选：A．
【点评】本题考查了多边形外角和定理，三角形外角定理，构建合适的三角形是解题的关键．
7．（3分）如图，物业公司计划在小区内修建一个电动车充电桩，要求到A，B，C三个出口的距离都相等，则充电桩应建在（ ）
A．△ABC的三条高的交点处
B．△ABC的三条角平分线的交点处
C．△ABC的三条中线的交点处
D．△ABC的三条边的垂直平分线的交点处
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线的性质可进行求解．
【解答】解：由题意可知：当充电桩到A，B，C三个出口的距离都相等时，
则充电桩应建在△ABC的三条边的垂直平分线的交点处；
故选：D．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
8．（3分）下列四个命题中，假命题是（ ）
A．顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形
B．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
C．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
【考点】命题与定理；直角三角形全等的判定；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；中点四边形．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据中点四边形的概念、全等三角形的判定、等腰三角形的三线合一、平行四边形的判定定理判断即可．
【解答】解：A、顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意；
B、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，是真命题，不符合题意；
C、等腰三角形的底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合，故本选项说法是假命题，符合题意；
D、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
9．（3分）如图，长方形ABCD中，AB＝18，AD＝8，若点A（9，0），则C点的坐标为（ ）
A．（94，8） B．（9，4） C．（4，94） D．（94，3）
【考点】矩形的性质；坐标与图形性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】C
【分析】由锐角三角函数可求∠ABO＝30°，可求OB的长，∠CBE＝60°，由直角三角形的性质可求BE，EC的长，即可求点C坐标．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥OB，
∵点A（9，0），
∴OA＝9，
∵sin∠ABO，
∴∠ABO＝30°，
∴BOAO＝9，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，∠ABC＝90°，
∴∠CBE＝60°，且CE⊥OB，
∴∠BCE＝30°，
∴BEBC＝4，ECBE＝4，
∴点C（4，94），
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数等知识，求出∠ABO＝30°是本题的关键．
10．（3分）小光准备从A地去往B地，打开导航显示两地距离为39.6km，但导航提供的三条可选路线长却分别为52km，53km，56km（如图）．能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【考点】垂线段最短；直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．
【答案】A
【分析】根据线段的性质，可得答案．
【解答】解：A地去往B地，打开导航显示两地距离为39.6km，理由是两点之间线段最短，
故选：A．
【点评】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质并应用是解题的关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）分解因式：3a3﹣6a2b+3ab2＝ 3a（a﹣b）2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】3a（a﹣b）2．
【分析】先提取公因式3a，再根据完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：原式＝3a（a2﹣2ab+b2）
＝3a（a﹣b）2．
故答案为：3a（a﹣b）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，考核学生的计算能力，先提取公因式3a是解题的关键．
12．（3分）若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是 m＜3且m≠2 ．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】m＜3且m≠2．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为负数得到x＜0且x≠﹣1，求出m的范围即可．
【解答】解：分式方程去分母得：m﹣2＝x+1，
解得：x＝m﹣3，
∵分式方程的解为负数，
∴x＜0且x≠﹣1，即m﹣3＜0且m﹣3≠﹣1，
解得：m＜3且m≠2．
故答案为：m＜3且m≠2．
【点评】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，始终注意分母不为0的条件．
13．（3分）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论：
①AC＝AD；②AE⊥BC；③∠BAE＝∠BCE；④AB∥CD．
其中一定正确的结论是 ③ ．（填序号）
【考点】旋转的性质；平行线的判定．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】③．
【分析】由旋转的性质可得AC＝CD，∠B＝∠E，∠ACB＝∠ECD，由三角形内角和定理可证∠BAE＝∠ECB．
【解答】解：如图，设AE与BC的交点为O，
∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，
∴△ABC≌△DEC，
∴AC＝CD，∠B＝∠E，∠ACB＝∠ECD，
又∵∠AOB＝∠COE，
∴∠BAE＝∠ECB，
故答案为：③．
【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
14．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣2＝0的两根，则x1+x2＝ ﹣3 ，x1 x2＝ ﹣2 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣3，﹣2．
【分析】直接根据根与系数的关系得出x1+x2、x1x2的值．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣2＝0的两根，
∴x1+x2＝﹣3；x1x2＝﹣2．
故答案为：﹣3，﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系，关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以AB、BC、AC为边向上作正方形AGFB、正方形BCDE、正方形ACMN，点E在FG上，若AC＝2，BC，则图中阴影的面积为 6 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】6．
【分析】由勾股定理得AB2+AC2＝BC2，AB＝3，再证△BCP≌△CDQ（ASA），得S△BCP＝S△CDQ，则S四边形APDQ＝S△ABC＝6，即可解决问题．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AC＝2，BC，
∴AB2+AC2＝BC2，AB3，
∴S△ABCAC AB2×3＝3，
∵四边形BCDE是正方形，
∴BC＝CD，∠BCP＝∠D＝90°，
∵∠BAC＝∠CAP＝90°，
∴∠DCQ+∠CQD＝∠DCA+∠BPC＝90°，
∴∠CQD＝∠BPC，
∴△BCP≌△CDQ（ASA），
∴S△BCP＝S△CDQ，
∴S△CDQ﹣S△CAP＝S△BCP﹣S△CAP，
即S四边形APDQ＝S△ABC＝3，
∴图中阴影部分面积之和＝AB2+AC2+S△ABC+S四边形APDQ﹣BC2＝3+3＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了勾股定理、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（8分）解方程．
（1）解一元二次方程：x2﹣4x﹣5＝0．
（2）解分式方程：1．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解分式方程．
【专题】分式方程及应用；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝5，x2＝﹣1；
（2）无解．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）先两边都乘以2（2x﹣1）化分式方程为整式方程，解之求出x的值，再检验即可得出答案．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣5＝0，
∴（x﹣5）（x+1）＝0，
则x﹣5＝0或x+1＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣1；
（2）两边都乘以2（2x﹣1），得：2（x﹣2）+2（2x﹣1）＝﹣3，
解得x，
经检验x是原方程的增根，
所以原方程无解．
【点评】本题主要考查解分式方程和一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17．（6分）解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣1＜x≤2．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣2≤0，得：x≤2，
解不等式3x+2＞﹣1，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18．（6分）先化简，再求值：，从﹣2＜x≤2中选出合适的x的整数值代入求值．
【考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．
【专题】分式；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】，﹣1．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣2＜x≤2中选出一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：
＝[]
，
∵﹣2＜x≤2且（x+1）（x﹣1）≠0，2﹣x≠0，
∴x的整数值为﹣1，0，1，2且x≠±1，2，
∴x＝0，
当x＝0时，原式1．
【点评】本题考查分式的化简求值、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
19．（8分）如图，是由小方格组成的网格纸，每个方格的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、C、O均在格点上．
（1）在图①中，作出△ABC向右平移4个单位长度的三角形；
（2）在图②中，作出△ABC绕点O沿顺时针方向旋转90°得到的三角形；
（3）在图③中，请在线段MN上找到一点P，连结AP和CP，使AP+CP的值最小（请保留作图痕迹）．
【考点】作图﹣旋转变换；勾股定理；轴对称﹣最短路线问题；作图﹣平移变换．
【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】图形见解答．
【分析】（1）根据平移的性质即可在图①中，作出△ABC向右平移4个单位长度的三角形；
（2）根据旋转的性质即可在图②中，作出△ABC绕点O沿顺时针方向旋转90°得到的三角形；
（3）作点A关于直线MN的对称点A′连接A′C，交线段MN于点P，连结AP和CP，即可使AP+CP的值最小．
【解答】解：（1）如图①，△QMN即为所求；
（2）如图②，△CDE即为所求；
（3）如图③，点P即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，平移变换，轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是掌握旋转的性质和平移的性质．
20．（8分）如图，点E是正方形ABCD的边BC上的一点，∠DAE的平分线AF交BC的延长线于点F，交CD于点G．
（1）若AB＝4，BF＝8，求CE的长；
（2）求证：AE＝BE+DG．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）CE＝1；
（2）见解析过程．
【分析】（1）由角平分线的性质和平行线的性质可证AE＝EF，利用勾股定理可求CE的长；
（2）由“SAS”可证△ABM≌△ADG，可得∠M＝∠AGD＝∠FAD+∠EAB，∠MAB＝∠FAD，可证AE＝ME＝BE+DG．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝4，∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠DAG＝∠F，
∵AF平分∠DAE，
∴∠DAG＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠F，
∴AE＝EF，
设CE＝x，则BE＝4﹣x，AE＝EF＝8﹣4+x＝4+x，
在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，
∴42+（4﹣x）2＝（4+x）2，
解得：x＝1，
∴CE＝1；
（2）如图，延长CB到点M，使BM＝DG，连接AM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠ABM＝90°，AD＝AB，AB∥CD，
∴∠AGD＝∠EAF+∠BAE，
∵AF平分∠DAE，
∴∠EAF＝∠FAD，∠AGD＝∠FAD+∠BAE，
在△ABM和△ADG中，
，
∴△ABM≌△ADG（SAS），
∴∠M＝∠AGD＝∠FAD+∠EAB，∠MAB＝∠FAD，
∴∠M＝∠MAB+∠EAB＝∠MAE，
∴AE＝ME＝BE+MB＝BE+DG．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
21．（9分）随着社会经济水平的提高和人口数量的增长，人们对购房的需求越来越大，因此装修建材市场也成为广大市民关注对象，某建材公司经营的A、B两种建材销售情况如下：
（1）2019年该建材公司一共销售A、B两种品牌的建材共3000件，其中A种品牌建材销量是B种品牌建材销量的4倍，则2019年该建材公司销售A、B两种品牌的建材各多少件？
（2）2018年该建材公司就开始销售A、B两种品牌的建材，通过市场调研发现，每件A品牌的利润为50元，每件B品牌的利润200元，该年一共获利240000元．2020年，由于市场需求的增大，导致A品牌的销售量与价格上涨．2020年A品牌建材的销售量在2019年销售量的基础上增加了3a%，每件A品牌的利润在2018年的基础上增加a%；而B品牌建材的销售量和2019年保持不变，每件B品牌的利润和2018年相同.2020年该建材市场获得的总利润比2018年总利润增加了a%，求a的值．
【考点】一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】（1）2019年该建材公司销售A品牌的建材2400件，B品牌的建材600件；
（2）a．
【分析】（1）设2019年该建材公司销售A品牌的建材x件，B品牌的建材y件，根据“2019年该建材公司一共销售A、B两种品牌的建材共3000件，且A种品牌建材销量是B种品牌建材销量的4倍”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总利润＝每件的利润×销售数量，结合2020年该建材市场获得的总利润比2018年总利润增加了a%，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设2019年该建材公司销售A品牌的建材x件，B品牌的建材y件，
依题意得：，
解得：．
答：2019年该建材公司销售A品牌的建材2400件，B品牌的建材600件．
（2）依题意得：50（1+a%）×2400（1+3a%）+200×600＝240000（1a%），
整理得：36a2﹣1200a＝0，
解得：a1，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
22．（10分）在“综合与实践”课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动．
（1）探究发现
如图1，在等边△ABC内部有一点P，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AD，连接PD，CD，若AP2+CP2＝BP2，则∠APC的度数是 150° ．
（2）类比延伸
如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．在△ABC内部有一点P，连接AP，BP，CP，若∠APC＝135°，试判断AP，BP，CP之间的数量关系，并说明理由．
（3）迁移应用
如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．在直线AC的上方有一点P，连接AP，BP，CP，若∠APC＝60°，则存在实数λ使得λAP2+CP2＝BP2成立，请直接写出λ的值．
【考点】几何变换综合题．
【专题】几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形△APD是等边三角形，由勾股定理的逆定理判定∠DPC＝90°即可；
（2）将△APB绕点A顺时针旋转90°得到△ATC，连接PT．得等腰直角△APT，进而由∠TPC＝∠APC﹣∠APT＝135°﹣45°＝90°，由勾股定理即可得出结论．
（3）将△APC绕点A顺时针旋转120°得到△ABQ，连接PQ．过点A作AH⊥PQ，垂足为H，得等腰△APQ，∠PQA＝∠APQ＝30°，进而可得∠BQP＝∠PQA+∠AQB＝30°+60°＝90°，用勾股定理即可得出PQ2+BQ2＝BP2，再在等腰△APQ中求出即可得出结论．
【解答】解：（1）∵由旋转性质可知：AD＝AP，∠DAP＝60°，DC＝BP，
∴△ADP是等边三角形，
∴PD＝AP，∠APD＝60°，
∵AP2+CP2＝BP2，
∴DP2+CP2＝CD2，
∴∠DPC＝90°，
∴∠APC＝∠APD+∠DPC＝60°+90°＝150°，
故答案为：150°；
（2）2AP2+CP2＝BP2，理由如下：
如图2中，将△APB绕点A逆时针旋转90°得到△ATC，连接PT．
由旋转性质可知：AP＝AT，∠PAT＝90°，TC＝BP，
∴，
∵∠APC＝135°，
∴∠TPC＝∠APC﹣∠APT＝135°﹣45°＝90°，
∴PT2+PC2＝TC2，
∴，
∴2AP2+CP2＝BP2；
（3）如图3中，将△APC绕点A顺时针旋转120°得到△ABQ，连接PQ．过点A作AH⊥PQ，垂足为H，
由旋转性质可知：AP＝AQ，∠PAQ＝∠BAC＝120°，PC＝BQ，∠AQB＝∠APC＝60°，
∴，
∴∠BQP＝∠PQA+∠AQB＝30°+60°＝90°，
∴PQ2+BQ2＝BP2，
∵AP＝AQ，AH⊥PQ，
∴PQ＝2PH，
在Rt△APH中，∠APQ＝30°，
∴，，
∴3AP2+PC2＝BP2，
∴λ＝3．
【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转变换、解直角三角形．解题的关键是熟练掌握旋转的性质．
考点卡片
1．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
2．提公因式法与公式法的综合运用
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
3．因式分解-十字相乘法等
借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的
方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；
可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）
②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1 a2，
把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1 c2，并使a1c2+a2c1正好是一
次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
4．分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
5．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
6．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
7．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
8．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
9．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
10．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
11．分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
12．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
13．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
14．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
15．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
16．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
17．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
18．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
19．直线的性质：两点确定一条直线
（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．
简称：两点确定一条直线．
（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．
20．线段的性质：两点之间线段最短
线段公理
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
21．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
22．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
23．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
24．直角三角形全等的判定
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
25．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
26．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
27．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
28．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
29．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
30．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2） 180°＝360°．
31．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
32．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
33．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
34．中点四边形
瓦里尼翁平行四边形（Varignon parallelogram）是四边形的一个特殊内接四边形．顺次连结四边形各边中点而成的四边形是平行四边形，称为瓦里尼翁平行四边形．它的面积是原四边形面积的一半，这个平行四边形是瓦里尼翁（P．Varignon）发现的．
35．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
36．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
37．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
38．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
39．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
40．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
41．作图-旋转变换
（1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
42．几何变换综合题
这种题型主要考查旋转、平移以及动点问题，经常是四边形和圆的综合题目，难度大．
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