2024—2025学年上学期深圳初中数学九年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片）
文档属性
| 名称 | 2024—2025学年上学期深圳初中数学九年级开学模拟试卷2（含解析+考点卡片） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 515.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-05 15:23:34 | ||
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文档简介
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2024—2025学年上学期深圳初中数学九年级开学模拟试卷2
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）若分式有意义，则下列说法正确的是（ ）
A．a+b＝0 B．a＝﹣b C．a+b≠0 D．﹣a＝b
2．（3分）下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．科克曲线
C．斐波那契螺旋 D．笛卡尔心形线
3．（3分）如果a＜b，那么下列不等式正确的是（ ）
A．a+c＞b+c B．a﹣2＜b﹣2 C． D．
4．（3分）下列多项式中，不能因式分解的是（ ）
A．ab﹣a B．a2﹣9 C．a2+2a+5 D．4a2+4a+1
5．（3分）如图，△ABC沿BC所在直线向左平移4cm得到△A′B′C′，若△ABC的周长为20cm，则四边形A′B′CA的周长为（ ）
A．16cm B．24cm C．28cm D．32cm
6．（3分）十边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．720° D．1440°
7．（3分）下列命题中，假命题是（ ）
A．有一个角是 90° 的平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形
B．依次连接矩形各边的中点得到的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
8．（3分）有一东西向的直线吊桥横跨溪谷，小维、阿良分别从西桥头、东桥头同时开始往吊桥的另一头笔直地走过去，如图所示，已知小维从西桥头走了84步，阿良从东桥头走了60步时，两人在吊桥上的某点交会，且交会之后阿良再走70步恰好走到西桥头，若小维每步的距离相等，阿良每步的距离相等，则交会之后小维再走多少步会恰好走到东桥头（ ）
A．46 B．50 C．60 D．72
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）分解因式：x2﹣6x2y+9x2y2＝ ．
10．（3分）已知关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝3，那么关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b的解为y＝ ．
11．（3分）如图，在△AOB中，AO＝3，将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接AA′，则线段AA′的长为 ．
12．（3分）（1）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝2，BD＝2，将菱形按如图所示的方式折叠，使点B与点O重合，折痕为EF，则五边形AEFCD的周长为 ．
（2）在 ABCD中，若AB＝4，AD＝m，∠A＝60°，将 ABCD沿某直线翻折，使得点A与CD的中点重合，若折痕与直线AD相交于点E，DE＝1，则m的值为 ．
13．（3分）如图，AP平分∠MAN．PB⊥AM于点B，点C在射线AN上，且AC＜AB．若PB＝3，PC＝5，AC＝7，则AB的长为 ．
三．解答题（共7小题，满分61分）
14．（8分）解分式方程：
（1）1；
（2）0．
15．（6分）求一元一次不等式组的解集，并把它的解集表示在数轴上．
16．（6分）阅读下列材料：
【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：1．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如，，…这样的分式是假分式；如与这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式．
例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式．
方法1：x﹣1
方法2：由分母为x+3，可设x2+2x﹣5＝（x+3）（x+a）+b（a，b为待确定的系数）
∵（x+3）（x+a）+b＝x2+ax+3x+3a+b＝x2+（a+3）x+（3a+b）
∴x2+2x﹣5＝x2+（a+3）x+（3a+b）
对于任意x，上述等式均成立，
∴，解得
∴x2+2x﹣5＝（x+3）（x﹣1）﹣2
∴x﹣1
这样，分式就被化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式．
【材料2】对于式子2，由x2≥0知1+x2的最小值为1，所以的最大值为3，所以2的最大值为5．
请根据上述材料，解答下列问题：
（1）分式是 分式（填“真”或“假”）．
（2）把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：
① + ．
② + ．
（3）把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数．
（4）当x的值变化时，求分式的最大值．
17．（10分）如图，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣5，4），B（﹣4，1），C（﹣1，1）．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
（2）作出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2．
18．（8分）如图，P是△ABC中，边AB的中点，连接CP并延长，作BE⊥CP于E，AD⊥CP，交CP的延长线于点D．连接AE，BD．
（1）求证：四边形ADBE是平行四边形；
（2）若BE平分∠DBC，求：△ABC与四边形ADBE的面积之比．
19．（12分）【问题探究】
（1）如图1，已知线段AB＝60，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合）．
①若M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝ ；
②若AMAC，BNBC，求MN的长．
（2）如图2，B，C是线段AD上的两点，且AB：BC：CD＝2：3：4，M是AD的中点．若MC＝1，求线段AD的长度．
【方法迁移】
（3）某校七年级（1）班购买校服统计情况如下，其中购买校服的女生人数是未购买校服的女生人数的2倍，购买校服的男生人数是全班男生人数的，若购买校服的男．女生共有32人，请直接写出该班学生的人数．
20．（11分）【问题提出】为了保持室内空气的清新，某仓库的自动换气窗采用了以下设计：
如图①，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形ABCD和一个△CDE组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气．通风口是一个矩形状的联动装置，顶点P、只能在边框AB上滑动，顶点M、N可在其它边框上滑动，联动装置的四边都是长度可自动伸缩的金属杆，当金属杆MN上下移动时，其他金属杆也随之移动，图①、图②是通风口打开时的两种不同情况，试确定金属杆MN的位置，使通风口（矩形PQNM）面积最大．
设窗子的边框AB、AD分别为a m，b m，窗子的高度（窗子的最高点到边框AB的距离）为c m．
【初步探究】
（1）若a＝2，b＝1，c＝2（即点E到AB的距离为2），MN与AB之间的距离为x m，通风口的面积为y m2．
①分别求出当0≤x≤1和1≤x≤2时y与x之间的函数表达式；
②金属杆MN移动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？
【深入探究】
（2）若金属杆MN移动到高于CD所在位置的某一处时通风口面积达到最大值．
①c需要满足的条件是 ，通风口的最大面积是 m2．（用含a、b、c的代数式表示）
②用直尺和圆规在图③中作出通风口面积最大金属杆MN所在的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
（3）若将窗子的上部分边框改为以AB的中点O为圆心的圆弧（CD）形状（如图④所示），其他条件不变，金属杆MN移动到什么位置时，通风口面积最大．（直接写出答案，不必说明理由）
2024—2025学年上学期深圳初中数学九年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）若分式有意义，则下列说法正确的是（ ）
A．a+b＝0 B．a＝﹣b C．a+b≠0 D．﹣a＝b
【考点】分式有意义的条件．
【专题】分式；推理能力．
【答案】C
【分析】根据分式的分母不等于0即可得出答案．
【解答】解：∵分式有意义，
∴a+b≠0，
故选：C．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于0是解题的关键．
2．（3分）下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．科克曲线
C．斐波那契螺旋 D．笛卡尔心形线
【考点】中心对称图形；数学常识；勾股定理的证明；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．（3分）如果a＜b，那么下列不等式正确的是（ ）
A．a+c＞b+c B．a﹣2＜b﹣2 C． D．
【考点】不等式的性质．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】根据不等式的性质逐一判断即可．
【解答】解：A、如果a＜b，那么a+c＜b+c，故此选项不符合题意；
B、如果a＜b，那么a﹣2＜b﹣2，故此选项符合题意；
C、如果a＜b，那么，故此选项不符合题意；
D、如果a＜b，那么，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，熟记：不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．（3分）下列多项式中，不能因式分解的是（ ）
A．ab﹣a B．a2﹣9 C．a2+2a+5 D．4a2+4a+1
【考点】因式分解的意义．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】直接利用公式法以及提取公因式分解因式进而判断即可．
【解答】解：A、ab﹣a＝a（b﹣1），能够分解因式，故此选项不合题意；
B、a2﹣9＝（a+3）（a﹣3），能够分解因式，故此选项不合题意；
C、a2+2a+5，不能因式分解，故本选项符合题意；
D、4a2+4a+1＝（2a+1）2，能够分解因式，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了提取公因法以及公式法分解因式，正确应用公式法分解因式是解题关键．
5．（3分）如图，△ABC沿BC所在直线向左平移4cm得到△A′B′C′，若△ABC的周长为20cm，则四边形A′B′CA的周长为（ ）
A．16cm B．24cm C．28cm D．32cm
【考点】平移的性质．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据平移的性质，对应点的距离等于平移距离求出AA′、BB′，然后求出CB′，再根据周长的定义解答即可．
【解答】解：∵平移距离是4cm，
∴AA′＝CC′＝4cm，
∵△ABC的周长为20cm，
∵四边形A′B′CA的周长＝4+4+20＝28（cm）．
故选：C．
【点评】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
6．（3分）十边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．720° D．1440°
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；应用意识．
【答案】B
【分析】根据多边形的外角和等于360°即可得出答案．
【解答】解：十边形的外角和是360°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和等于360°，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．
7．（3分）下列命题中，假命题是（ ）
A．有一个角是 90° 的平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形
B．依次连接矩形各边的中点得到的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【考点】命题与定理；轴对称图形；中心对称图形；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质；正方形的判定；中点四边形．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念、菱形、正方形、平行四边形的判定定理判断．
【解答】解：A、有一个角是90° 的平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形，是真命题，不符合题意；
B、依次连接矩形各边的中点得到的四边形是菱形，是真命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题，不符合题意；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，故本选项命题是假命题，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
8．（3分）有一东西向的直线吊桥横跨溪谷，小维、阿良分别从西桥头、东桥头同时开始往吊桥的另一头笔直地走过去，如图所示，已知小维从西桥头走了84步，阿良从东桥头走了60步时，两人在吊桥上的某点交会，且交会之后阿良再走70步恰好走到西桥头，若小维每步的距离相等，阿良每步的距离相等，则交会之后小维再走多少步会恰好走到东桥头（ ）
A．46 B．50 C．60 D．72
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】设交会之后小维再走x步会恰好走到东桥头，由题意得出，则可得出答案．
【解答】解：设交会之后小维再走x步会恰好走到东桥头，由题意得，
，
∴x＝72，
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的运算，正确理解题意是解题的关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）分解因式：x2﹣6x2y+9x2y2＝ x2（3y﹣1）2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】计算题；因式分解．
【答案】见试题解答内容
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝x2（1﹣6y+9y2）＝x2（3y﹣1）2，
故答案为：x2（3y﹣1）2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
10．（3分）已知关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝3，那么关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b的解为y＝ 2 ．
【考点】一元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】2．
【分析】根据关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝3得出关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b中y+1＝3，再求出y即可．
【解答】解：∵关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝3，
∴关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b中y+1＝3，
解得：y＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，能根据题意得出y+1＝3是解此题的关键．
11．（3分）如图，在△AOB中，AO＝3，将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接AA′，则线段AA′的长为 3 ．
【考点】旋转的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】3．
【分析】由旋转性质可判定△AOA'为等腰直角三角形，再由勾股定理可求得AA'的长．
【解答】解：由旋转性质可知，OA＝OA'＝3，∠AOA'＝90°，
则△AOA'为等腰直角三角形，
∴AA'3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟悉以上性质是解题关键．
12．（3分）（1）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝2，BD＝2，将菱形按如图所示的方式折叠，使点B与点O重合，折痕为EF，则五边形AEFCD的周长为 7 ．
（2）在 ABCD中，若AB＝4，AD＝m，∠A＝60°，将 ABCD沿某直线翻折，使得点A与CD的中点重合，若折痕与直线AD相交于点E，DE＝1，则m的值为 1或1． ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）7；
（2）1或1．
【分析】（1）根据菱形的性质得到∠ABO＝∠CBO，AC⊥BD，得到∠ABC＝60°，由折叠的性质得到EF⊥BO，OE＝BE，∠BEF＝∠OEF，推出△BEF是等边三角形，得到∠BEF＝60°，得到△AEO是等边三角形，推出EF是△ABC的中位线，求得EFAC＝1，AE＝OE＝1，同理CF＝OF＝1，于是得到结论．
（2）分两种情形：如图1中，当点E在线段AD上时，过点F作FH⊥AD交AD的延长线于H．如图2中，当点E在线段AD的延长线上时，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AC＝2，BD＝2，
∴∠ABO＝∠CBO，AC⊥BD，
∵AO＝1，BO，
∴tan∠ABO，
∴∠ABO＝30°，AB＝2，
∴∠ABC＝60°，
由折叠的性质得，EF⊥BO，OE＝BE，∠BEF＝∠OEF，
∴BE＝BF，EF∥AC，
∴△BEF是等边三角形，
∴∠BEF＝60°，
∴∠OEF＝60°，
∴∠AEO＝60°，
∴△AEO是等边三角形，
∴AE＝OE，
∴BE＝AE，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EFAC＝1，AE＝OE＝1，
同理CF＝OF＝1，
∴五边形AEFCD的周长为＝1+1+1+2+2＝7．
故答案为：7．
（2）如图1中，当点E在线段AD上时，过点F作FH⊥AD交AD的延长线于H．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝4，AB∥CD，
∴∠FDH＝∠BAD＝60°，
∴DF＝CFCD＝2，
∴DH＝DF cos60°＝1，FH＝DF sin60°，
∵DE＝1，
∴EH＝DE+DH＝2，
∴AE＝EF，
∴m＝AD＝AE+DE1．
如图2中，当点E在线段AD的延长线上时，同法可得DH＝1，此时点E与H重合，AE＝FH，AD＝AE﹣DE1．
综上所述，m的值为1或1．
故答案为：1或1．
【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形以及平行四边形的性质的运用，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
13．（3分）如图，AP平分∠MAN．PB⊥AM于点B，点C在射线AN上，且AC＜AB．若PB＝3，PC＝5，AC＝7，则AB的长为 11 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力．
【答案】11．
【分析】过点P作PH⊥AN于点H，根据角平分线的性质可得PH＝PB＝3，根据勾股定理，可得CH的长，进一步可得AH的长，再证明△ABP≌△AHP，根据全等三角形的性质可得AB＝AH，即可求出AB的长．
【解答】解：过点P作PH⊥AN于点H，如图所示：
则∠PHC＝90°，
∵AP平分∠MAN，PB⊥AM，
∴PH＝PB，∠ABP＝90°，∠BAP＝∠HAP，
∵PB＝3，PC＝5，
∴PH＝3，
根据勾股定理，得CH4，
∵AC＝7，
∴AH＝AC+CH＝7+4＝11，
在△ABP和△AHP中，
，
∴△ABP≌△AHP（AAS），
∴AB＝AH＝11，
故答案为：11．
【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分61分）
14．（8分）解分式方程：
（1）1；
（2）0．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x＝2；
（2）分式方程无解．
【分析】（1）方程两边都乘x﹣3得出2﹣x﹣1＝x﹣3，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘x（x﹣1）得出3（x﹣1）+6x﹣（x+5）＝0，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：（1）1，
方程两边都乘x﹣3，得2﹣x﹣1＝x﹣3，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣3≠0，
所以分式方程的解是x＝2；
（2）0，
方程两边都乘x（x﹣1），得3（x﹣1）+6x﹣（x+5）＝0，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x（x﹣1）＝0，
所以x＝1是增根，
即分式方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
15．（6分）求一元一次不等式组的解集，并把它的解集表示在数轴上．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】x≤1．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式﹣3（x﹣2）≥4﹣x，得：x≤1，
解不等式x﹣1，得：x＜4，
∴不等式组的解集为x≤1，
数轴表示如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16．（6分）阅读下列材料：
【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：1．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如，，…这样的分式是假分式；如与这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式．
例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式．
方法1：x﹣1
方法2：由分母为x+3，可设x2+2x﹣5＝（x+3）（x+a）+b（a，b为待确定的系数）
∵（x+3）（x+a）+b＝x2+ax+3x+3a+b＝x2+（a+3）x+（3a+b）
∴x2+2x﹣5＝x2+（a+3）x+（3a+b）
对于任意x，上述等式均成立，
∴，解得
∴x2+2x﹣5＝（x+3）（x﹣1）﹣2
∴x﹣1
这样，分式就被化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式．
【材料2】对于式子2，由x2≥0知1+x2的最小值为1，所以的最大值为3，所以2的最大值为5．
请根据上述材料，解答下列问题：
（1）分式是 真 分式（填“真”或“假”）．
（2）把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：
① 2 + ．
② x + ．
（3）把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数．
（4）当x的值变化时，求分式的最大值．
【考点】分式的化简求值．
【专题】计算题；配方法；因式分解；分式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据阅读材料中真分式与假分式的定义即可得出答案．
（2）①用分子的两项分别除以分母即可得出答案．②将分子的前两项提取公因式（x﹣3），然后再将分子分别除以分母即可得出答案．
（3）将分子先写成含有（x﹣3）的式子，然后再将分子分别除以分母，然后根据整数的整除性质即可得出答案．
（4）将所给分式化成真分式，然后对分母配方，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，分式的分子的次数是0，分子的次数是1，
∴分式是真分式．
故答案为：真．
（2）①2，
故答案为：2，．
②x，
故答案为：x，．
（3）x+5，
∵x为整数，
∴x+5为整数，
∴当的值为整数时，分式的值为整数，
∴x﹣3＝±1，或±2，
∴x的值为1，2，4或5．
（4）∵2，
∴当x＝1时，分式取得最大值6．
【点评】本题考查了分式的化简求值，读懂阅读材料中的方法并熟练掌握分式化简的法则是解题的关键．
17．（10分）如图，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣5，4），B（﹣4，1），C（﹣1，1）．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
（2）作出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2．
【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣轴对称变换．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】见解答．
【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
18．（8分）如图，P是△ABC中，边AB的中点，连接CP并延长，作BE⊥CP于E，AD⊥CP，交CP的延长线于点D．连接AE，BD．
（1）求证：四边形ADBE是平行四边形；
（2）若BE平分∠DBC，求：△ABC与四边形ADBE的面积之比．
【考点】平行四边形的判定与性质；三角形的面积．
【专题】三角形；图形的全等；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）证△ADP≌△BEP（AAS），得DP＝EP，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）证△BED≌△BEC（ASA），得CE＝DE，则CPDE，再由平行四边形的性质和三角形面积关系得S平行四边形＝2S△ADE，S△ABC＝＝2S△ACP，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵P为AB中点，
∴AP＝BP，
∵BE⊥CP，AD⊥CP，
∴∠ADP＝∠BEP＝90°，
在△ADP和△BEP中，
，
∴△ADP≌△BEP（AAS），
∴DP＝EP，
∵AP＝BP，
∴四边形ADBE是平行四边形；
（2）解：∵BE⊥CP，
∴∠BED＝∠BEC＝90°，
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE＝∠CBE，
在△BED和△BEC中，
，
∴△BED≌△BEC（ASA），
∴CE＝DE，
由（1）得：DP＝EP，
∴CPDE，
由（1）可知，四边形ADBE是平行四边形，
∴S平行四边形＝2S△ADE，
∵AP＝BP，
∴S△ABC＝＝2S△ACP，
∴，
∴．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
19．（12分）【问题探究】
（1）如图1，已知线段AB＝60，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合）．
①若M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝ 30 ；
②若AMAC，BNBC，求MN的长．
（2）如图2，B，C是线段AD上的两点，且AB：BC：CD＝2：3：4，M是AD的中点．若MC＝1，求线段AD的长度．
【方法迁移】
（3）某校七年级（1）班购买校服统计情况如下，其中购买校服的女生人数是未购买校服的女生人数的2倍，购买校服的男生人数是全班男生人数的，若购买校服的男．女生共有32人，请直接写出该班学生的人数．
【考点】二元一次方程组的应用；两点间的距离；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）①30；②40；（2）18；（3）48人．
【分析】（1）①根据线段中点的定义即可求解；②根据，，可得，，即可求解；
（2）由AB：BC：CD＝2：3：4，可得，表示，可得，从而可得答案；
（3）根据题意画出图形，线段AB的长度表示购买校服的女生人数；线段BC的长度表示未购买校服的女生人数；线段CD的长度表示购买校服的男生人数；线段DE的长度表示未购买校服的男生人数；线段AE的长度表示全班人数，然后求出的结果即可．
【解答】解：（1）①∵M，N分别是AC，BC的中点，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：30；
②∵，，
∴，，
∴，
∴；
（2）∵AB：BC：CD＝2：3：4，
∴，，，
∵M是AD的中点，
∴，
∴，
∴AD＝18；
（3）如图，线段AB的长度表示购买校服的女生人数；线段BC的长度表示未购买校服的女生人数；线段CD的长度表示购买校服的男生人数；线段DE的长度表示未购买校服的男生人数；线段AE的长度表示全班人数．
根据题意可知，，AB+CD＝32，
∴，
∴AB+CD+BC+DE＝32+16＝48，
∴该班学生共有48人．
【点评】本题主要考查了有关线段中点的计算，线段的和与差的应用，理解线段之间的和差倍分关系是解本题的关键．
20．（11分）【问题提出】为了保持室内空气的清新，某仓库的自动换气窗采用了以下设计：
如图①，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形ABCD和一个△CDE组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气．通风口是一个矩形状的联动装置，顶点P、只能在边框AB上滑动，顶点M、N可在其它边框上滑动，联动装置的四边都是长度可自动伸缩的金属杆，当金属杆MN上下移动时，其他金属杆也随之移动，图①、图②是通风口打开时的两种不同情况，试确定金属杆MN的位置，使通风口（矩形PQNM）面积最大．
设窗子的边框AB、AD分别为a m，b m，窗子的高度（窗子的最高点到边框AB的距离）为c m．
【初步探究】
（1）若a＝2，b＝1，c＝2（即点E到AB的距离为2），MN与AB之间的距离为x m，通风口的面积为y m2．
①分别求出当0≤x≤1和1≤x≤2时y与x之间的函数表达式；
②金属杆MN移动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？
【深入探究】
（2）若金属杆MN移动到高于CD所在位置的某一处时通风口面积达到最大值．
①c需要满足的条件是 c＞2b ，通风口的最大面积是 m2．（用含a、b、c的代数式表示）
②用直尺和圆规在图③中作出通风口面积最大金属杆MN所在的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
（3）若将窗子的上部分边框改为以AB的中点O为圆心的圆弧（CD）形状（如图④所示），其他条件不变，金属杆MN移动到什么位置时，通风口面积最大．（直接写出答案，不必说明理由）
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）①当0≤x≤1时，y＝2x；当1≤x≤2时，y＝﹣2x2+4x．
②金属杆MN移动到CD所在的位置时，通风口面积最大，最大面积是2m2．
（2）①c＞2b；．
②作图见解答；
（3）当0＜a≤2b （等同于b＜cb）时，金属杆MN移动到CD所在位置时，通风口面积最大；
当a＞2b（等同于cb）时，金属杆MN移动到与AB相距cm时，通风口面积最大．
【分析】（1）①过E作EF⊥AB，垂足为F，EF分别与CD、MN相交于点G、H，当0≤x≤1时，y＝2x；当1≤x≤2时，由四边形ABCD是矩形，可得四边形PQNM是矩形，再证明△EMN∽△EDC，运用相似三角形性质即可得出结论．
②根据①的结论进行分析计算即可；
（2）①在△ABC中有内接矩形，易证当MN为中位线时，矩形PQNM的面积最大，且最大面积为△ABC面积的一半；延长ED、EG交直线AB于F、G，则MN为△EFG的中位线时，矩形PQNM的面积最大；要想金属杆MN移动到高于CD所在位置的某一处时通风口面积达到最大值，只需△EFG与FG边平行的中位线在CD上方即可，作ES⊥FG于S交CD于J，证明△EDC∽△EFG，利用相似三角形性质即可得到结论；
②按要求尺规作图即可；
（3）画出图形，结合图形进行分析计算．
【解答】解：（1）①如图1，过E作EF⊥AB，垂足为F，EF分别与CD、MN相交于点G、H，
当0≤x≤1时，y＝2x，
当1≤x≤2时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2m，∠A＝∠ADC＝90°，
∵EF⊥AB，
∴∠AFG＝90°，
∴四边形ADGF是矩形，
∴AD＝GF＝1m，∠DGF＝90°，
∵四边形PQNM是矩形，
∴MN∥PQ，
∴∠EFA＝∠EHM＝90°，
由题意可知，EF＝2m，HF＝x m，
∴EG＝1m，EH＝（2﹣x） m，
∵MN∥PQ∥CD，
∴△EMN∽△EDC，
又EH、EG分别是△EMN、△EDC的对应高，
∴，即，
化简，得：MN＝（4﹣2x） m．
∴y＝x（4﹣2x）＝﹣2x2+4x．
②当0≤x≤1时，y＝2x，
因此，当x＝1时，y最大，最大值是2．
当1≤x≤2时，y＝﹣2x2+4x＝﹣2（x﹣1）2+2，
因此，当x＝1时，y最大，最大值是2．
综上所述，当x＝1时，y最大，最大值是2．
因此，金属杆MN移动到CD所在的位置时，通风口面积最大，最大面积是2m2．
（2）①如图2，已知在△ABC中有内接矩形，其中M、N在AB、AC边上，P、Q在BC边上，
易证当MN为中位线时，矩形PQNM的面积最大，且最大面积为△ABC面积的一半，
即： 底 高，
在图3中，延长ED、EC交直线AB于F、G，
则MN为△EFG的中位线时，矩形PQNM的面积最大，
所以要想金属杆MN移动到高于CD所在位置的某一处时通风口面积达到最大值，
只需△EFG与FG边平行的中位线在CD上方即可，
即c＞2b，此时的最大，面积为△EFG的面积的一半．
作ES⊥FG于S交CD于J，
∵CD∥FG，
∴△EDC∽△EFG，
∴，即，
∴FG（m），
∴矩形PQNM面积的最大值＝△EFG面积的一半FG ES（m2）．
故答案为：c＞2b；．
②如图4，过点E作AB的垂线交AB于点F，作EF的垂直平分线交DE、CE于点M、N，线段MN即为所求．
（3）当0＜a≤2b （等同于b＜cb）时，金属杆MN移动到CD所在位置时，通风口面积最大；
当a＞2b（等同于cb）时，金属杆MN移动到与AB相距c m时，通风口面积最大．
易知当M在AD上时，y随x增大而增大，
当M在CD上时，如图5，
OP（m），
则y＝2MP OP＝2x22，
令z＝﹣（x2c2）2，
∵﹣1＜0，
∴当x2c2即b≤xc时，z随x增大而增大，即y随x增大而增大，
当xc时，z随x增大而增大，即y随x增大而减小.
∴当c≤b，即b＜cb时：当0＜x≤b时，y随x增大而增大；
当x＞b时，xc，
∴y随x增大而减小，
∴在0＜x＜c中，当x＝b时，y最大．
当c＞b，即cb时：当0＜x≤b时，y随x增大而增大：当b＜xc时，y随x增大而增大：当c≤x＜c时，y随x增大而减小，
∴在0＜x＜c中，当xc时，y最大．
∵∠A＝90°，
∴AD2+AO2＝DO2，
∴b2+（）2＝c2，
∴b＜cb等同于0＜a≤2b，cb等同于a＞2b．
【点评】本题考查了矩形的性质和判定，三角形面积公式，相似三角形的判定和性质，最值问题，勾股定理等知识，综合性强，难度较大，读懂题意，熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识是解题关键．
考点卡片
1．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
2．因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：
3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
3．提公因式法与公式法的综合运用
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
4．分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
5．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
6．一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
7．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
8．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
9．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
10．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
11．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
12．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
13．两点间的距离
（1）两点间的距离
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．
14．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
15．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
16．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
17．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
18．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
19．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
20．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2） 180°＝360°．
21．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
22．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
23．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度）
24．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
25．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
26．正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
27．中点四边形
瓦里尼翁平行四边形（Varignon parallelogram）是四边形的一个特殊内接四边形．顺次连结四边形各边中点而成的四边形是平行四边形，称为瓦里尼翁平行四边形．它的面积是原四边形面积的一半，这个平行四边形是瓦里尼翁（P．Varignon）发现的．
28．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
29．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
30．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
31．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
32．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
33．平移的性质
（1）平移的条件
平移的方向、平移的距离
（2）平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
34．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
35．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
36．作图-旋转变换
（1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
2024—2025学年上学期深圳初中数学九年级开学模拟试卷2
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）若分式有意义，则下列说法正确的是（ ）
A．a+b＝0 B．a＝﹣b C．a+b≠0 D．﹣a＝b
2．（3分）下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．科克曲线
C．斐波那契螺旋 D．笛卡尔心形线
3．（3分）如果a＜b，那么下列不等式正确的是（ ）
A．a+c＞b+c B．a﹣2＜b﹣2 C． D．
4．（3分）下列多项式中，不能因式分解的是（ ）
A．ab﹣a B．a2﹣9 C．a2+2a+5 D．4a2+4a+1
5．（3分）如图，△ABC沿BC所在直线向左平移4cm得到△A′B′C′，若△ABC的周长为20cm，则四边形A′B′CA的周长为（ ）
A．16cm B．24cm C．28cm D．32cm
6．（3分）十边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．720° D．1440°
7．（3分）下列命题中，假命题是（ ）
A．有一个角是 90° 的平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形
B．依次连接矩形各边的中点得到的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
8．（3分）有一东西向的直线吊桥横跨溪谷，小维、阿良分别从西桥头、东桥头同时开始往吊桥的另一头笔直地走过去，如图所示，已知小维从西桥头走了84步，阿良从东桥头走了60步时，两人在吊桥上的某点交会，且交会之后阿良再走70步恰好走到西桥头，若小维每步的距离相等，阿良每步的距离相等，则交会之后小维再走多少步会恰好走到东桥头（ ）
A．46 B．50 C．60 D．72
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）分解因式：x2﹣6x2y+9x2y2＝ ．
10．（3分）已知关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝3，那么关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b的解为y＝ ．
11．（3分）如图，在△AOB中，AO＝3，将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接AA′，则线段AA′的长为 ．
12．（3分）（1）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝2，BD＝2，将菱形按如图所示的方式折叠，使点B与点O重合，折痕为EF，则五边形AEFCD的周长为 ．
（2）在 ABCD中，若AB＝4，AD＝m，∠A＝60°，将 ABCD沿某直线翻折，使得点A与CD的中点重合，若折痕与直线AD相交于点E，DE＝1，则m的值为 ．
13．（3分）如图，AP平分∠MAN．PB⊥AM于点B，点C在射线AN上，且AC＜AB．若PB＝3，PC＝5，AC＝7，则AB的长为 ．
三．解答题（共7小题，满分61分）
14．（8分）解分式方程：
（1）1；
（2）0．
15．（6分）求一元一次不等式组的解集，并把它的解集表示在数轴上．
16．（6分）阅读下列材料：
【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：1．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如，，…这样的分式是假分式；如与这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式．
例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式．
方法1：x﹣1
方法2：由分母为x+3，可设x2+2x﹣5＝（x+3）（x+a）+b（a，b为待确定的系数）
∵（x+3）（x+a）+b＝x2+ax+3x+3a+b＝x2+（a+3）x+（3a+b）
∴x2+2x﹣5＝x2+（a+3）x+（3a+b）
对于任意x，上述等式均成立，
∴，解得
∴x2+2x﹣5＝（x+3）（x﹣1）﹣2
∴x﹣1
这样，分式就被化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式．
【材料2】对于式子2，由x2≥0知1+x2的最小值为1，所以的最大值为3，所以2的最大值为5．
请根据上述材料，解答下列问题：
（1）分式是 分式（填“真”或“假”）．
（2）把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：
① + ．
② + ．
（3）把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数．
（4）当x的值变化时，求分式的最大值．
17．（10分）如图，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣5，4），B（﹣4，1），C（﹣1，1）．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
（2）作出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2．
18．（8分）如图，P是△ABC中，边AB的中点，连接CP并延长，作BE⊥CP于E，AD⊥CP，交CP的延长线于点D．连接AE，BD．
（1）求证：四边形ADBE是平行四边形；
（2）若BE平分∠DBC，求：△ABC与四边形ADBE的面积之比．
19．（12分）【问题探究】
（1）如图1，已知线段AB＝60，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合）．
①若M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝ ；
②若AMAC，BNBC，求MN的长．
（2）如图2，B，C是线段AD上的两点，且AB：BC：CD＝2：3：4，M是AD的中点．若MC＝1，求线段AD的长度．
【方法迁移】
（3）某校七年级（1）班购买校服统计情况如下，其中购买校服的女生人数是未购买校服的女生人数的2倍，购买校服的男生人数是全班男生人数的，若购买校服的男．女生共有32人，请直接写出该班学生的人数．
20．（11分）【问题提出】为了保持室内空气的清新，某仓库的自动换气窗采用了以下设计：
如图①，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形ABCD和一个△CDE组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气．通风口是一个矩形状的联动装置，顶点P、只能在边框AB上滑动，顶点M、N可在其它边框上滑动，联动装置的四边都是长度可自动伸缩的金属杆，当金属杆MN上下移动时，其他金属杆也随之移动，图①、图②是通风口打开时的两种不同情况，试确定金属杆MN的位置，使通风口（矩形PQNM）面积最大．
设窗子的边框AB、AD分别为a m，b m，窗子的高度（窗子的最高点到边框AB的距离）为c m．
【初步探究】
（1）若a＝2，b＝1，c＝2（即点E到AB的距离为2），MN与AB之间的距离为x m，通风口的面积为y m2．
①分别求出当0≤x≤1和1≤x≤2时y与x之间的函数表达式；
②金属杆MN移动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？
【深入探究】
（2）若金属杆MN移动到高于CD所在位置的某一处时通风口面积达到最大值．
①c需要满足的条件是 ，通风口的最大面积是 m2．（用含a、b、c的代数式表示）
②用直尺和圆规在图③中作出通风口面积最大金属杆MN所在的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
（3）若将窗子的上部分边框改为以AB的中点O为圆心的圆弧（CD）形状（如图④所示），其他条件不变，金属杆MN移动到什么位置时，通风口面积最大．（直接写出答案，不必说明理由）
2024—2025学年上学期深圳初中数学九年级开学模拟试卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）若分式有意义，则下列说法正确的是（ ）
A．a+b＝0 B．a＝﹣b C．a+b≠0 D．﹣a＝b
【考点】分式有意义的条件．
【专题】分式；推理能力．
【答案】C
【分析】根据分式的分母不等于0即可得出答案．
【解答】解：∵分式有意义，
∴a+b≠0，
故选：C．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于0是解题的关键．
2．（3分）下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．科克曲线
C．斐波那契螺旋 D．笛卡尔心形线
【考点】中心对称图形；数学常识；勾股定理的证明；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．（3分）如果a＜b，那么下列不等式正确的是（ ）
A．a+c＞b+c B．a﹣2＜b﹣2 C． D．
【考点】不等式的性质．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】根据不等式的性质逐一判断即可．
【解答】解：A、如果a＜b，那么a+c＜b+c，故此选项不符合题意；
B、如果a＜b，那么a﹣2＜b﹣2，故此选项符合题意；
C、如果a＜b，那么，故此选项不符合题意；
D、如果a＜b，那么，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，熟记：不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．（3分）下列多项式中，不能因式分解的是（ ）
A．ab﹣a B．a2﹣9 C．a2+2a+5 D．4a2+4a+1
【考点】因式分解的意义．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】直接利用公式法以及提取公因式分解因式进而判断即可．
【解答】解：A、ab﹣a＝a（b﹣1），能够分解因式，故此选项不合题意；
B、a2﹣9＝（a+3）（a﹣3），能够分解因式，故此选项不合题意；
C、a2+2a+5，不能因式分解，故本选项符合题意；
D、4a2+4a+1＝（2a+1）2，能够分解因式，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了提取公因法以及公式法分解因式，正确应用公式法分解因式是解题关键．
5．（3分）如图，△ABC沿BC所在直线向左平移4cm得到△A′B′C′，若△ABC的周长为20cm，则四边形A′B′CA的周长为（ ）
A．16cm B．24cm C．28cm D．32cm
【考点】平移的性质．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据平移的性质，对应点的距离等于平移距离求出AA′、BB′，然后求出CB′，再根据周长的定义解答即可．
【解答】解：∵平移距离是4cm，
∴AA′＝CC′＝4cm，
∵△ABC的周长为20cm，
∵四边形A′B′CA的周长＝4+4+20＝28（cm）．
故选：C．
【点评】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
6．（3分）十边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．720° D．1440°
【考点】多边形内角与外角．
【专题】多边形与平行四边形；应用意识．
【答案】B
【分析】根据多边形的外角和等于360°即可得出答案．
【解答】解：十边形的外角和是360°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和等于360°，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．
7．（3分）下列命题中，假命题是（ ）
A．有一个角是 90° 的平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形
B．依次连接矩形各边的中点得到的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【考点】命题与定理；轴对称图形；中心对称图形；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质；正方形的判定；中点四边形．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念、菱形、正方形、平行四边形的判定定理判断．
【解答】解：A、有一个角是90° 的平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形，是真命题，不符合题意；
B、依次连接矩形各边的中点得到的四边形是菱形，是真命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题，不符合题意；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，故本选项命题是假命题，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
8．（3分）有一东西向的直线吊桥横跨溪谷，小维、阿良分别从西桥头、东桥头同时开始往吊桥的另一头笔直地走过去，如图所示，已知小维从西桥头走了84步，阿良从东桥头走了60步时，两人在吊桥上的某点交会，且交会之后阿良再走70步恰好走到西桥头，若小维每步的距离相等，阿良每步的距离相等，则交会之后小维再走多少步会恰好走到东桥头（ ）
A．46 B．50 C．60 D．72
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】设交会之后小维再走x步会恰好走到东桥头，由题意得出，则可得出答案．
【解答】解：设交会之后小维再走x步会恰好走到东桥头，由题意得，
，
∴x＝72，
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的运算，正确理解题意是解题的关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）分解因式：x2﹣6x2y+9x2y2＝ x2（3y﹣1）2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】计算题；因式分解．
【答案】见试题解答内容
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝x2（1﹣6y+9y2）＝x2（3y﹣1）2，
故答案为：x2（3y﹣1）2
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
10．（3分）已知关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝3，那么关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b的解为y＝ 2 ．
【考点】一元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】2．
【分析】根据关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝3得出关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b中y+1＝3，再求出y即可．
【解答】解：∵关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝3，
∴关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b中y+1＝3，
解得：y＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，能根据题意得出y+1＝3是解此题的关键．
11．（3分）如图，在△AOB中，AO＝3，将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接AA′，则线段AA′的长为 3 ．
【考点】旋转的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】3．
【分析】由旋转性质可判定△AOA'为等腰直角三角形，再由勾股定理可求得AA'的长．
【解答】解：由旋转性质可知，OA＝OA'＝3，∠AOA'＝90°，
则△AOA'为等腰直角三角形，
∴AA'3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟悉以上性质是解题关键．
12．（3分）（1）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝2，BD＝2，将菱形按如图所示的方式折叠，使点B与点O重合，折痕为EF，则五边形AEFCD的周长为 7 ．
（2）在 ABCD中，若AB＝4，AD＝m，∠A＝60°，将 ABCD沿某直线翻折，使得点A与CD的中点重合，若折痕与直线AD相交于点E，DE＝1，则m的值为 1或1． ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）7；
（2）1或1．
【分析】（1）根据菱形的性质得到∠ABO＝∠CBO，AC⊥BD，得到∠ABC＝60°，由折叠的性质得到EF⊥BO，OE＝BE，∠BEF＝∠OEF，推出△BEF是等边三角形，得到∠BEF＝60°，得到△AEO是等边三角形，推出EF是△ABC的中位线，求得EFAC＝1，AE＝OE＝1，同理CF＝OF＝1，于是得到结论．
（2）分两种情形：如图1中，当点E在线段AD上时，过点F作FH⊥AD交AD的延长线于H．如图2中，当点E在线段AD的延长线上时，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AC＝2，BD＝2，
∴∠ABO＝∠CBO，AC⊥BD，
∵AO＝1，BO，
∴tan∠ABO，
∴∠ABO＝30°，AB＝2，
∴∠ABC＝60°，
由折叠的性质得，EF⊥BO，OE＝BE，∠BEF＝∠OEF，
∴BE＝BF，EF∥AC，
∴△BEF是等边三角形，
∴∠BEF＝60°，
∴∠OEF＝60°，
∴∠AEO＝60°，
∴△AEO是等边三角形，
∴AE＝OE，
∴BE＝AE，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EFAC＝1，AE＝OE＝1，
同理CF＝OF＝1，
∴五边形AEFCD的周长为＝1+1+1+2+2＝7．
故答案为：7．
（2）如图1中，当点E在线段AD上时，过点F作FH⊥AD交AD的延长线于H．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝4，AB∥CD，
∴∠FDH＝∠BAD＝60°，
∴DF＝CFCD＝2，
∴DH＝DF cos60°＝1，FH＝DF sin60°，
∵DE＝1，
∴EH＝DE+DH＝2，
∴AE＝EF，
∴m＝AD＝AE+DE1．
如图2中，当点E在线段AD的延长线上时，同法可得DH＝1，此时点E与H重合，AE＝FH，AD＝AE﹣DE1．
综上所述，m的值为1或1．
故答案为：1或1．
【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形以及平行四边形的性质的运用，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
13．（3分）如图，AP平分∠MAN．PB⊥AM于点B，点C在射线AN上，且AC＜AB．若PB＝3，PC＝5，AC＝7，则AB的长为 11 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力．
【答案】11．
【分析】过点P作PH⊥AN于点H，根据角平分线的性质可得PH＝PB＝3，根据勾股定理，可得CH的长，进一步可得AH的长，再证明△ABP≌△AHP，根据全等三角形的性质可得AB＝AH，即可求出AB的长．
【解答】解：过点P作PH⊥AN于点H，如图所示：
则∠PHC＝90°，
∵AP平分∠MAN，PB⊥AM，
∴PH＝PB，∠ABP＝90°，∠BAP＝∠HAP，
∵PB＝3，PC＝5，
∴PH＝3，
根据勾股定理，得CH4，
∵AC＝7，
∴AH＝AC+CH＝7+4＝11，
在△ABP和△AHP中，
，
∴△ABP≌△AHP（AAS），
∴AB＝AH＝11，
故答案为：11．
【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分61分）
14．（8分）解分式方程：
（1）1；
（2）0．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x＝2；
（2）分式方程无解．
【分析】（1）方程两边都乘x﹣3得出2﹣x﹣1＝x﹣3，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘x（x﹣1）得出3（x﹣1）+6x﹣（x+5）＝0，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：（1）1，
方程两边都乘x﹣3，得2﹣x﹣1＝x﹣3，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣3≠0，
所以分式方程的解是x＝2；
（2）0，
方程两边都乘x（x﹣1），得3（x﹣1）+6x﹣（x+5）＝0，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x（x﹣1）＝0，
所以x＝1是增根，
即分式方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
15．（6分）求一元一次不等式组的解集，并把它的解集表示在数轴上．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】x≤1．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式﹣3（x﹣2）≥4﹣x，得：x≤1，
解不等式x﹣1，得：x＜4，
∴不等式组的解集为x≤1，
数轴表示如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16．（6分）阅读下列材料：
【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：1．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如，，…这样的分式是假分式；如与这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式．
例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式．
方法1：x﹣1
方法2：由分母为x+3，可设x2+2x﹣5＝（x+3）（x+a）+b（a，b为待确定的系数）
∵（x+3）（x+a）+b＝x2+ax+3x+3a+b＝x2+（a+3）x+（3a+b）
∴x2+2x﹣5＝x2+（a+3）x+（3a+b）
对于任意x，上述等式均成立，
∴，解得
∴x2+2x﹣5＝（x+3）（x﹣1）﹣2
∴x﹣1
这样，分式就被化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式．
【材料2】对于式子2，由x2≥0知1+x2的最小值为1，所以的最大值为3，所以2的最大值为5．
请根据上述材料，解答下列问题：
（1）分式是 真 分式（填“真”或“假”）．
（2）把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：
① 2 + ．
② x + ．
（3）把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数．
（4）当x的值变化时，求分式的最大值．
【考点】分式的化简求值．
【专题】计算题；配方法；因式分解；分式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据阅读材料中真分式与假分式的定义即可得出答案．
（2）①用分子的两项分别除以分母即可得出答案．②将分子的前两项提取公因式（x﹣3），然后再将分子分别除以分母即可得出答案．
（3）将分子先写成含有（x﹣3）的式子，然后再将分子分别除以分母，然后根据整数的整除性质即可得出答案．
（4）将所给分式化成真分式，然后对分母配方，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，分式的分子的次数是0，分子的次数是1，
∴分式是真分式．
故答案为：真．
（2）①2，
故答案为：2，．
②x，
故答案为：x，．
（3）x+5，
∵x为整数，
∴x+5为整数，
∴当的值为整数时，分式的值为整数，
∴x﹣3＝±1，或±2，
∴x的值为1，2，4或5．
（4）∵2，
∴当x＝1时，分式取得最大值6．
【点评】本题考查了分式的化简求值，读懂阅读材料中的方法并熟练掌握分式化简的法则是解题的关键．
17．（10分）如图，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣5，4），B（﹣4，1），C（﹣1，1）．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
（2）作出△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2．
【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣轴对称变换．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】见解答．
【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
18．（8分）如图，P是△ABC中，边AB的中点，连接CP并延长，作BE⊥CP于E，AD⊥CP，交CP的延长线于点D．连接AE，BD．
（1）求证：四边形ADBE是平行四边形；
（2）若BE平分∠DBC，求：△ABC与四边形ADBE的面积之比．
【考点】平行四边形的判定与性质；三角形的面积．
【专题】三角形；图形的全等；多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）证△ADP≌△BEP（AAS），得DP＝EP，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）证△BED≌△BEC（ASA），得CE＝DE，则CPDE，再由平行四边形的性质和三角形面积关系得S平行四边形＝2S△ADE，S△ABC＝＝2S△ACP，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵P为AB中点，
∴AP＝BP，
∵BE⊥CP，AD⊥CP，
∴∠ADP＝∠BEP＝90°，
在△ADP和△BEP中，
，
∴△ADP≌△BEP（AAS），
∴DP＝EP，
∵AP＝BP，
∴四边形ADBE是平行四边形；
（2）解：∵BE⊥CP，
∴∠BED＝∠BEC＝90°，
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBE＝∠CBE，
在△BED和△BEC中，
，
∴△BED≌△BEC（ASA），
∴CE＝DE，
由（1）得：DP＝EP，
∴CPDE，
由（1）可知，四边形ADBE是平行四边形，
∴S平行四边形＝2S△ADE，
∵AP＝BP，
∴S△ABC＝＝2S△ACP，
∴，
∴．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
19．（12分）【问题探究】
（1）如图1，已知线段AB＝60，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合）．
①若M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝ 30 ；
②若AMAC，BNBC，求MN的长．
（2）如图2，B，C是线段AD上的两点，且AB：BC：CD＝2：3：4，M是AD的中点．若MC＝1，求线段AD的长度．
【方法迁移】
（3）某校七年级（1）班购买校服统计情况如下，其中购买校服的女生人数是未购买校服的女生人数的2倍，购买校服的男生人数是全班男生人数的，若购买校服的男．女生共有32人，请直接写出该班学生的人数．
【考点】二元一次方程组的应用；两点间的距离；一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）①30；②40；（2）18；（3）48人．
【分析】（1）①根据线段中点的定义即可求解；②根据，，可得，，即可求解；
（2）由AB：BC：CD＝2：3：4，可得，表示，可得，从而可得答案；
（3）根据题意画出图形，线段AB的长度表示购买校服的女生人数；线段BC的长度表示未购买校服的女生人数；线段CD的长度表示购买校服的男生人数；线段DE的长度表示未购买校服的男生人数；线段AE的长度表示全班人数，然后求出的结果即可．
【解答】解：（1）①∵M，N分别是AC，BC的中点，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：30；
②∵，，
∴，，
∴，
∴；
（2）∵AB：BC：CD＝2：3：4，
∴，，，
∵M是AD的中点，
∴，
∴，
∴AD＝18；
（3）如图，线段AB的长度表示购买校服的女生人数；线段BC的长度表示未购买校服的女生人数；线段CD的长度表示购买校服的男生人数；线段DE的长度表示未购买校服的男生人数；线段AE的长度表示全班人数．
根据题意可知，，AB+CD＝32，
∴，
∴AB+CD+BC+DE＝32+16＝48，
∴该班学生共有48人．
【点评】本题主要考查了有关线段中点的计算，线段的和与差的应用，理解线段之间的和差倍分关系是解本题的关键．
20．（11分）【问题提出】为了保持室内空气的清新，某仓库的自动换气窗采用了以下设计：
如图①，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形ABCD和一个△CDE组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气．通风口是一个矩形状的联动装置，顶点P、只能在边框AB上滑动，顶点M、N可在其它边框上滑动，联动装置的四边都是长度可自动伸缩的金属杆，当金属杆MN上下移动时，其他金属杆也随之移动，图①、图②是通风口打开时的两种不同情况，试确定金属杆MN的位置，使通风口（矩形PQNM）面积最大．
设窗子的边框AB、AD分别为a m，b m，窗子的高度（窗子的最高点到边框AB的距离）为c m．
【初步探究】
（1）若a＝2，b＝1，c＝2（即点E到AB的距离为2），MN与AB之间的距离为x m，通风口的面积为y m2．
①分别求出当0≤x≤1和1≤x≤2时y与x之间的函数表达式；
②金属杆MN移动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？
【深入探究】
（2）若金属杆MN移动到高于CD所在位置的某一处时通风口面积达到最大值．
①c需要满足的条件是 c＞2b ，通风口的最大面积是 m2．（用含a、b、c的代数式表示）
②用直尺和圆规在图③中作出通风口面积最大金属杆MN所在的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
（3）若将窗子的上部分边框改为以AB的中点O为圆心的圆弧（CD）形状（如图④所示），其他条件不变，金属杆MN移动到什么位置时，通风口面积最大．（直接写出答案，不必说明理由）
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）①当0≤x≤1时，y＝2x；当1≤x≤2时，y＝﹣2x2+4x．
②金属杆MN移动到CD所在的位置时，通风口面积最大，最大面积是2m2．
（2）①c＞2b；．
②作图见解答；
（3）当0＜a≤2b （等同于b＜cb）时，金属杆MN移动到CD所在位置时，通风口面积最大；
当a＞2b（等同于cb）时，金属杆MN移动到与AB相距cm时，通风口面积最大．
【分析】（1）①过E作EF⊥AB，垂足为F，EF分别与CD、MN相交于点G、H，当0≤x≤1时，y＝2x；当1≤x≤2时，由四边形ABCD是矩形，可得四边形PQNM是矩形，再证明△EMN∽△EDC，运用相似三角形性质即可得出结论．
②根据①的结论进行分析计算即可；
（2）①在△ABC中有内接矩形，易证当MN为中位线时，矩形PQNM的面积最大，且最大面积为△ABC面积的一半；延长ED、EG交直线AB于F、G，则MN为△EFG的中位线时，矩形PQNM的面积最大；要想金属杆MN移动到高于CD所在位置的某一处时通风口面积达到最大值，只需△EFG与FG边平行的中位线在CD上方即可，作ES⊥FG于S交CD于J，证明△EDC∽△EFG，利用相似三角形性质即可得到结论；
②按要求尺规作图即可；
（3）画出图形，结合图形进行分析计算．
【解答】解：（1）①如图1，过E作EF⊥AB，垂足为F，EF分别与CD、MN相交于点G、H，
当0≤x≤1时，y＝2x，
当1≤x≤2时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2m，∠A＝∠ADC＝90°，
∵EF⊥AB，
∴∠AFG＝90°，
∴四边形ADGF是矩形，
∴AD＝GF＝1m，∠DGF＝90°，
∵四边形PQNM是矩形，
∴MN∥PQ，
∴∠EFA＝∠EHM＝90°，
由题意可知，EF＝2m，HF＝x m，
∴EG＝1m，EH＝（2﹣x） m，
∵MN∥PQ∥CD，
∴△EMN∽△EDC，
又EH、EG分别是△EMN、△EDC的对应高，
∴，即，
化简，得：MN＝（4﹣2x） m．
∴y＝x（4﹣2x）＝﹣2x2+4x．
②当0≤x≤1时，y＝2x，
因此，当x＝1时，y最大，最大值是2．
当1≤x≤2时，y＝﹣2x2+4x＝﹣2（x﹣1）2+2，
因此，当x＝1时，y最大，最大值是2．
综上所述，当x＝1时，y最大，最大值是2．
因此，金属杆MN移动到CD所在的位置时，通风口面积最大，最大面积是2m2．
（2）①如图2，已知在△ABC中有内接矩形，其中M、N在AB、AC边上，P、Q在BC边上，
易证当MN为中位线时，矩形PQNM的面积最大，且最大面积为△ABC面积的一半，
即： 底 高，
在图3中，延长ED、EC交直线AB于F、G，
则MN为△EFG的中位线时，矩形PQNM的面积最大，
所以要想金属杆MN移动到高于CD所在位置的某一处时通风口面积达到最大值，
只需△EFG与FG边平行的中位线在CD上方即可，
即c＞2b，此时的最大，面积为△EFG的面积的一半．
作ES⊥FG于S交CD于J，
∵CD∥FG，
∴△EDC∽△EFG，
∴，即，
∴FG（m），
∴矩形PQNM面积的最大值＝△EFG面积的一半FG ES（m2）．
故答案为：c＞2b；．
②如图4，过点E作AB的垂线交AB于点F，作EF的垂直平分线交DE、CE于点M、N，线段MN即为所求．
（3）当0＜a≤2b （等同于b＜cb）时，金属杆MN移动到CD所在位置时，通风口面积最大；
当a＞2b（等同于cb）时，金属杆MN移动到与AB相距c m时，通风口面积最大．
易知当M在AD上时，y随x增大而增大，
当M在CD上时，如图5，
OP（m），
则y＝2MP OP＝2x22，
令z＝﹣（x2c2）2，
∵﹣1＜0，
∴当x2c2即b≤xc时，z随x增大而增大，即y随x增大而增大，
当xc时，z随x增大而增大，即y随x增大而减小.
∴当c≤b，即b＜cb时：当0＜x≤b时，y随x增大而增大；
当x＞b时，xc，
∴y随x增大而减小，
∴在0＜x＜c中，当x＝b时，y最大．
当c＞b，即cb时：当0＜x≤b时，y随x增大而增大：当b＜xc时，y随x增大而增大：当c≤x＜c时，y随x增大而减小，
∴在0＜x＜c中，当xc时，y最大．
∵∠A＝90°，
∴AD2+AO2＝DO2，
∴b2+（）2＝c2，
∴b＜cb等同于0＜a≤2b，cb等同于a＞2b．
【点评】本题考查了矩形的性质和判定，三角形面积公式，相似三角形的判定和性质，最值问题，勾股定理等知识，综合性强，难度较大，读懂题意，熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识是解题关键．
考点卡片
1．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
2．因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：
3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
3．提公因式法与公式法的综合运用
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
4．分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
5．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
6．一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
7．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
8．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
9．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
10．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
11．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
12．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
13．两点间的距离
（1）两点间的距离
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．
14．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
15．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
16．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
17．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
18．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
19．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
20．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2） 180° （n≥3且n为整数）
此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2） 180°＝360°．
21．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
22．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
23．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度）
24．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
25．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
26．正方形的判定
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
27．中点四边形
瓦里尼翁平行四边形（Varignon parallelogram）是四边形的一个特殊内接四边形．顺次连结四边形各边中点而成的四边形是平行四边形，称为瓦里尼翁平行四边形．它的面积是原四边形面积的一半，这个平行四边形是瓦里尼翁（P．Varignon）发现的．
28．四边形综合题
涉及到的知识点比较多，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形，经常与二次函数和圆一起出现，综合性比较强．
29．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
30．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
31．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
32．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
33．平移的性质
（1）平移的条件
平移的方向、平移的距离
（2）平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
34．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
35．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
36．作图-旋转变换
（1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
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