2024—2025学年上学期深圳初中数学七年级开学模拟试卷1（含解析+考点卡片）

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2024—2025学年上学期深圳初中数学七年级开学模拟试卷1
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如图是由4个相同的正方体搭成的几何体，则其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）2023年3月30日郑州市人民公园第二十六届郁金香花展盛大开幕，据了解，本次花展共展出郁金香31个品种10万余株，采取全园分布，让游人闻着浓郁的花香，漫步于花田小径间，体验“人在花中走，如在画中游”的美妙感受．数据“10万”用科学记数法表示为（　　）
A．10×104 B．10×105 C．1×104 D．1×105
3．（3分）下列判断中，①带正号的数是正数，带负号的数是负数；②任何一个正数，前面加上“﹣”，就是一个负数；③大于0的数是正数；④字母a可能既是正数，又是负数．正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（3分）代数式3x2y﹣4x3y2﹣5xy3﹣1按x的升幂排列，正确的是（　　）
A．﹣4x3y2+3x2y﹣5xy3﹣1 B．﹣5xy3+3x2y﹣4x3y2﹣1
C．﹣1+3x2y﹣4x3y2﹣5xy3 D．﹣1﹣5xy3+3x2y﹣4x3y2
5．（3分）《天净沙 秋思》中的词句意境幽远．如图所示，该图形经过折叠可以围成一个正方体，折好以后，与“小”字相对的字是（　　）
A．流 B．水 C．人 D．家
6．（3分）为了了解我市60岁以上老年人参与新冠疫苗接种的情况，抽样合理的是（　　）
A．随机抽取10名60岁以上老年人进行调查
B．在各医院随机抽取1000名60岁以上老年人进行调查
C．在公园随机抽取1000名60岁以上老年人进行调查
D．在户籍网中随机抽取10%的60岁以上老年人进行调查
7．（3分）用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负、登山队攀登一座山峰，每登高1km气温的变化量为﹣6℃，则攀登2km后，气温下降（　　）
A．﹣12℃ B．12℃ C．﹣6℃ D．6℃
8．（3分）如图，已知O是直线AE上一点，OC是一条射线，OB平分∠AOC，OD在∠COE内，∠COD＝2∠DOE，若∠BOD＝110°，则∠DOE的度数为（　　）
A．30° B．36° C．40° D．45°
9．（3分）我国明代名著《直指算法统宗》里有一首诗：“有个学生记性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，问君每日读多少？”意思是：有一个读书人的记忆力很好，《孟子》这本书用三天就读完了，从第二天起，每天阅读的字数是前一天的2倍，问：这三天他每天阅读的字数各是多少？已知《孟子》全书共34685字．设第一天阅读x个字，根据题意列方程正确的是（　　）
A．x+2x+4x＝34685 B．x+2x+3x＝34685
C．x 2x 3x＝34685 D．x 2x 4x＝34685
10．（3分）如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使CE＝AC，连接AE交CD于点F，则∠E＝（　　）
A．22.5° B．30° C．35° D．45°
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）写出一个分母是10，且大小在和之间的分数是　 　．
12．（3分）如图，“日”字形窗框的木条总长是7m，若窗框的宽是x m，那么窗框的高是　 　m．（用含x的代数式表示）
13．（3分）方程2x+a＝1的解是，则a的值是 　 　．
14．（3分）在弹性限度内，弹簧的长度随所挂物体的质量的增加而增长，经过实验与测量，得到弹簧的长度（cm）与所挂物体的质量（kg）之间的对应关系如下表：
物体的质量/kg 1 2 3 4 5
弹簧的长度/cm 13 13.5 14 14.5 15
若弹簧的长度是17cm，则所挂物体的质量是 　 　kg．
15．（3分）如图，△ABC是等边三角形，分别过点A，C作AD⊥AB，AC⊥CD，AD与CD交于点D，且CD＝3，作AD的中垂线l，点E为直线l上任一点，连接CE，作点D关于直线CE的对称点D′，连接AD′，DD′，点M是线段AD′的中点，连接BM，则AB+BM的最大值为　 　．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（8分）计算．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
17．（8分）先化简，再求值：xy2﹣[3xy2﹣（4xy2﹣2x2y）]，其中x，y＝﹣2．
18．（8分）解方程：x﹣2（2﹣x）＝8．
19．（8分）小婷利用统计知识分析《春秋经传引得》《三国志》《汉书》《后汉书》《史记》五本古文经典和某期现代汉语文本《人民日报》的词汇长度、词汇数量（单位：个）分布情况，研究古人与现代人在撰写文章时的用词习惯，由于十字词以上的词汇数量过少，所以不做研究．下面给出了部分信息：
a．五本古文经典的词汇长度折线图：
b．五本古文经典的词汇数量扇形图：
c．五本古文经典和《人民日报》的词汇长度条形图：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）五本古文经典中词汇长度数量最多的是 　 　字词，其次是三字词．
（2）《后汉书》共出现词汇19036个，计算五本古文经典的词汇数量总数为多少个．
（3）通过分析古今的词汇长度、词汇数量分布情况，说明古人与现代人在撰写文章时用词习惯的共同点（写出一条即可）．
20．（6分）按要求解题：
（1）如图，已知A、B、M、N四点，读下列语句，按要求作出图形（不写作法）；
i．作线段AB，射线AN，直线BM，且射线AN与直线BM相交于点P；
ii．在线段AB的延长线上取点C，使BC＝2AB；
（2）在上图中，若AB＝2cm，D为AB的中点，E为AC的中点，求DE的长．
21．（8分）某县2021以来受持续干旱影响，河道来水偏少，已严重影响生产和生活用水，自来水厂推行阶梯水价，引导人们节约用水，调整后的用水价格如下表：
每月用水量（吨） 单价（元/吨）
不超过20的部分 1.5
超过20不超过30的部分 2
超过30的部分 3
（1）小明家5月份的用水量为23吨，小明家5月份的水费是多少？
（2）小明家1月份水费的均价为1.75元/吨，求小明家1月份的用水量？
（3）小明家3、4两个月的总用水量为56吨（4月份用水较少），3、4两个月的水费合计93元，请问小明家3、4月份的用水量分别是多少？
22．（9分）一辆货车从仓库出发去送货，向东走了2千米到达超市A，继续向东走了2.5千米到达超市B，然后向西走了8.5千米到达超市C，继续向西走了5千米到达超市D，此时发现车上还有距离仓库仅1千米的超市E的货还未送，于是开往超市E，最后回到仓库．
（1）超市C在仓库的东面还是西面？距离仓库多远？
（2）超市B距超市D多远？
（3）如果货车每千米耗油0.08升，那么货车在这次送货中共耗油多少升？
2024—2025学年上学期深圳初中数学七年级开学模拟试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如图是由4个相同的正方体搭成的几何体，则其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】A
【分析】俯视图是从上往下看得到的视图，由此可得出答案．
【解答】解：从上面看该几何体，可看到如图：
．
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，关键是掌握俯视图是从上往下看得到的视图．
2．（3分）2023年3月30日郑州市人民公园第二十六届郁金香花展盛大开幕，据了解，本次花展共展出郁金香31个品种10万余株，采取全园分布，让游人闻着浓郁的花香，漫步于花田小径间，体验“人在花中走，如在画中游”的美妙感受．数据“10万”用科学记数法表示为（　　）
A．10×104 B．10×105 C．1×104 D．1×105
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【答案】D
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：10万＝100000＝1×105．
故选：D．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3．（3分）下列判断中，①带正号的数是正数，带负号的数是负数；②任何一个正数，前面加上“﹣”，就是一个负数；③大于0的数是正数；④字母a可能既是正数，又是负数．正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】正数和负数．
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】根据“0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数”判断即可．
【解答】解：①带正号的数是正数，带负号的数是负数，说法错误，如+（﹣1）是负数，﹣（﹣1）是正数；
②任何一个正数，前面加上“﹣”，就是一个负数，说法正确；
③大于0的数是正数，说法正确；
④字母a可能既是正数，又是负数，说法错误．
所以正确的个数是2．
故选：B．
【点评】本题考查了正数与负数，掌握正数和负数的定义是解答本题的关键．
4．（3分）代数式3x2y﹣4x3y2﹣5xy3﹣1按x的升幂排列，正确的是（　　）
A．﹣4x3y2+3x2y﹣5xy3﹣1 B．﹣5xy3+3x2y﹣4x3y2﹣1
C．﹣1+3x2y﹣4x3y2﹣5xy3 D．﹣1﹣5xy3+3x2y﹣4x3y2
【考点】多项式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】按x的指数从小到大排列即可．
【解答】解：代数式3x2y﹣4x3y2﹣5xy3﹣1按x的升幂排列为﹣1﹣5xy3+3x2y﹣4x3y2，
故选：D．
【点评】本题考查了多项式的有关概念，能熟记升幂排列的定义是解此题的关键，注意：按x的升幂排列就是按x的指数从小到大的顺序进行排列．
5．（3分）《天净沙 秋思》中的词句意境幽远．如图所示，该图形经过折叠可以围成一个正方体，折好以后，与“小”字相对的字是（　　）
A．流 B．水 C．人 D．家
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．
【专题】展开与折叠；空间观念．
【答案】D
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“Z”字两端是对面，即可解答．
【解答】解：根据“Z与形法则，可得与“小”字相对的字是”家，
故选：D．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
6．（3分）为了了解我市60岁以上老年人参与新冠疫苗接种的情况，抽样合理的是（　　）
A．随机抽取10名60岁以上老年人进行调查
B．在各医院随机抽取1000名60岁以上老年人进行调查
C．在公园随机抽取1000名60岁以上老年人进行调查
D．在户籍网中随机抽取10%的60岁以上老年人进行调查
【考点】抽样调查的可靠性．
【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念．
【答案】D
【分析】根据抽样调查选取样本的广泛性、代表性、可靠性，逐项判断即可．
【解答】解：A．随机抽取10名60岁以上老年人进行调查，由于样本容量较小，所得数据可靠性不强，因此选项A不符合题意；
B．在各医院随机抽取1000名60岁以上老年人进行调查，所得数据没有代表性，不可靠，因此选项B不符合题意；
C．在公园随机抽取1000名60岁以上老年人进行调查，所得数据没有代表性，不可靠，因此选项C不符合题意；
D．在户籍网中随机抽取10%的60岁以上老年人进行调查，符合抽样调查样本选取的原则，因此选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查抽样调查的可靠性，理解抽取样本的可靠性，广泛性和代表性是正确判断的前提．
7．（3分）用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负、登山队攀登一座山峰，每登高1km气温的变化量为﹣6℃，则攀登2km后，气温下降（　　）
A．﹣12℃ B．12℃ C．﹣6℃ D．6℃
【考点】有理数的混合运算；正数和负数．
【专题】计算题；实数；符号意识；运算能力．
【答案】B
【分析】根据每登高1km气温的变化量为﹣6℃，可以得到攀登2km后气温下降的度数．
【解答】解：2÷1×（﹣6）＝﹣12（℃），
即气温下降12℃，
故选：B．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是根据题意列出算式，注意符号．
8．（3分）如图，已知O是直线AE上一点，OC是一条射线，OB平分∠AOC，OD在∠COE内，∠COD＝2∠DOE，若∠BOD＝110°，则∠DOE的度数为（　　）
A．30° B．36° C．40° D．45°
【考点】角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】C
【分析】由平角定义求出∠AOB+∠DOE＝180°﹣110°＝70°，由角平分线定义，∠COD＝2∠DOE，得到∠BOD＝∠AOB+∠DOE+∠DOE，即可得到答案．
【解答】解：∵∠BOD＝110°，
∴∠AOB+∠DOE＝180°﹣110°＝70°，
∵OB平分∠AOC，
∴∠AOB＝∠BOC，
∵∠COD＝2∠DOE，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝∠BOC+2∠DOE＝∠AOB+∠DOE+∠DOE，
∴∠DOE+70°＝110°，
∴∠DOE＝40°．
故选：C．
【点评】本题考查角的计算，关键是由角平分线定义，表示出∠DOE．
9．（3分）我国明代名著《直指算法统宗》里有一首诗：“有个学生记性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，问君每日读多少？”意思是：有一个读书人的记忆力很好，《孟子》这本书用三天就读完了，从第二天起，每天阅读的字数是前一天的2倍，问：这三天他每天阅读的字数各是多少？已知《孟子》全书共34685字．设第一天阅读x个字，根据题意列方程正确的是（　　）
A．x+2x+4x＝34685 B．x+2x+3x＝34685
C．x 2x 3x＝34685 D．x 2x 4x＝34685
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】A
【分析】设第一天阅读x个字，则第二天阅读2x个字，第三天阅读4x个字，根据《孟子》全书共34685字．列出一元一次方程即可．
【解答】解：设第一天阅读x个字，则第二天阅读2x个字，第三天阅读4x个字，
由题意得：x+2x+4x＝34685，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
10．（3分）如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使CE＝AC，连接AE交CD于点F，则∠E＝（　　）
A．22.5° B．30° C．35° D．45°
【考点】正方形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】根据正方形的性质可得∠ACB＝45°，再根据等腰三角形的性质即可得到结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，
∵CE＝AC，
∴∠E＝∠CAEACB＝22.5°．
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）写出一个分母是10，且大小在和之间的分数是　，，　．
【考点】有理数大小比较．
【专题】开放型．
【答案】见试题解答内容
【分析】先计算||，||，再根据负数的绝对值越大，这个数越小得到，然后化简分式即可．
【解答】解：∵||，||，
而，
∴，
满足条件的分数为，，．
故答案为，，．
【点评】本题考查了有理数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．
12．（3分）如图，“日”字形窗框的木条总长是7m，若窗框的宽是x m，那么窗框的高是　（x）　m．（用含x的代数式表示）
【考点】列代数式．
【专题】整式；符号意识；运算能力．
【答案】（x）．
【分析】用总长度减去三条横向窗框的长度，再除以2即可．
【解答】解：根据题意知，窗框的高为（x）m，
故答案为：（x）．
【点评】本题考查了根据实际问题列代数式，列代数式实质是实现从基本数量关系的语言表述到代数式的一种转化．列代数式时，若直接表达不容易时，可以借助方程，设出未知数，列出等式．
13．（3分）方程2x+a＝1的解是，则a的值是 　2　．
【考点】一元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】2．
【分析】x代入方程2x+a＝1得出一个关于a的方程，求出方程的解即可．
【解答】解：把x代入方程2x+a＝1得：﹣1+a＝1，
解得a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用，关键是根据题意得出一个关于a的方程．
14．（3分）在弹性限度内，弹簧的长度随所挂物体的质量的增加而增长，经过实验与测量，得到弹簧的长度（cm）与所挂物体的质量（kg）之间的对应关系如下表：
物体的质量/kg 1 2 3 4 5
弹簧的长度/cm 13 13.5 14 14.5 15
若弹簧的长度是17cm，则所挂物体的质量是 　9　kg．
【考点】函数的表示方法．
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由表格可知，物体的质量每增加1kg，弹簧的长度增加0.5cm，设所挂物体的质量是x kg，列方程并求解即可．
【解答】解：由表格可知，物体的质量每增加1kg，弹簧的长度增加0.5cm，
设所挂物体的质量是x kg，得0.5（x﹣1）＝17﹣13，
解得x＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查函数的表示方法，找到变量的变化规律是本题的关键．
15．（3分）如图，△ABC是等边三角形，分别过点A，C作AD⊥AB，AC⊥CD，AD与CD交于点D，且CD＝3，作AD的中垂线l，点E为直线l上任一点，连接CE，作点D关于直线CE的对称点D′，连接AD′，DD′，点M是线段AD′的中点，连接BM，则AB+BM的最大值为　36　．
【考点】轴对称的性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】36．
【分析】如图，连接CD'，取AC的中点N，连接BN，MN，根据轴对称的性质得CD＝CD'＝3，根据直角三角形含30°角的性质得AC和BN的长，根据三角形中位线定理可得MN的长，确定点M的运动路径为：点M在以N为圆心，半径为的圆上移动，最后根据三角形的三边关系可得BN﹣MN≤BM≤BN+MN，从而得结论．
【解答】解：如图，连接CD'，取AC的中点N，连接BN，MN，
∵D与D'关于CE对称，
∴CE是DD'的垂直平分线，
∴CD＝CD'＝3，
∵AB⊥AD，AC⊥CD，
∴∠BAD＝∠ACD＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠CAD＝90°﹣60°＝30°，
Rt△ACD中，CD＝3，
∴AC＝3，
∵N是AC的中点，△ABC是等边三角形，
∴ANAC，BN⊥AC，∠ABN＝30°，
∴BNAN，
∵M是AD'的中点，N是AC的中点，
∴MN是△ACD'的中位线，
∴MNCD'CD，
∴点M在以N为圆心，半径为的圆上移动，
∵BN﹣MN≤BM≤BN+MN，
∴当且仅当B、N、M三点共线时，BM的最大值是6，
∴AB+BM的最大值是36．
故答案为：36．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系，轴对称的性质，动点运动轨迹问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造△BMN并确定点M的运动轨迹是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（8分）计算．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】（1）﹣317；（2）﹣24；（3）；（4）777700．
【分析】（1）先根据有理数的乘法法则确定符号，再结合乘法交换律即可计算结果；
（2）根据有理数乘方法则，结合乘法分配律即可计算结果；
（3）根据有理数乘除运算法则，结合乘法分配律即可计算结果；
（4）根据有理数乘除运算法则，逆用乘法分配律即可计算结果．
【解答】解：（1）
＝﹣317；
（2）
＝﹣1﹣（﹣16+21﹣2+20）
＝﹣1+16﹣21+2﹣20
＝﹣24；
（3）
；
（4）
＝7777×100
＝777700．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，乘法运算律，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
17．（8分）先化简，再求值：xy2﹣[3xy2﹣（4xy2﹣2x2y）]，其中x，y＝﹣2．
【考点】整式的加减—化简求值．
【专题】计算题；整式．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式xy2﹣（3xy2﹣4xy2+2x2y）
xy2﹣（﹣xy2+2x2y）
xy2﹣2x2y
当x，y＝﹣2时，
原式4﹣2（﹣2）
．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
18．（8分）解方程：x﹣2（2﹣x）＝8．
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】x＝4．
【分析】按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答．
【解答】解：x﹣2（2﹣x）＝8，
x﹣4+2x＝8，
x+2x＝8+4，
3x＝12，
x＝4．
【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
19．（8分）小婷利用统计知识分析《春秋经传引得》《三国志》《汉书》《后汉书》《史记》五本古文经典和某期现代汉语文本《人民日报》的词汇长度、词汇数量（单位：个）分布情况，研究古人与现代人在撰写文章时的用词习惯，由于十字词以上的词汇数量过少，所以不做研究．下面给出了部分信息：
a．五本古文经典的词汇长度折线图：
b．五本古文经典的词汇数量扇形图：
c．五本古文经典和《人民日报》的词汇长度条形图：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）五本古文经典中词汇长度数量最多的是 　二　字词，其次是三字词．
（2）《后汉书》共出现词汇19036个，计算五本古文经典的词汇数量总数为多少个．
（3）通过分析古今的词汇长度、词汇数量分布情况，说明古人与现代人在撰写文章时用词习惯的共同点（写出一条即可）．
【考点】折线统计图；扇形统计图；条形统计图．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）二；
（2）40000；
（3）古人与现代人在撰写文章时都偏好使用二字词．
【分析】（1）根据折线统计图中的数据即可得到结论；
（2）根据扇形统计图中的数据即可得到结论；
（3）根据折线统计图和条形统计图中的数据即可得到结论．
【解答】解：（1）二；
（2）五本古文经典的词汇数量总数为19036÷（1﹣13%﹣14%﹣19%﹣29%﹣13%）＝40000（个）．
（3）古人与现代人在撰写文章时都偏好使用二字词．
【点评】本题考查折线统计图、扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．（6分）按要求解题：
（1）如图，已知A、B、M、N四点，读下列语句，按要求作出图形（不写作法）；
i．作线段AB，射线AN，直线BM，且射线AN与直线BM相交于点P；
ii．在线段AB的延长线上取点C，使BC＝2AB；
（2）在上图中，若AB＝2cm，D为AB的中点，E为AC的中点，求DE的长．
【考点】作图—复杂作图；直线、射线、线段；两点间的距离．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）图形见解答；
（2）2cm．
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）根据中点定义与线段的和差即可求DE的长．
【解答】解：（1）如图，i．线段AB，射线AN，直线BM，点P即为所求；
ii．如图，点C即为所求；
（2）如图，因为D为AB的中点，AB＝2cm，
所以AD＝1cm，
又因为BC＝2AB，
则BC＝4cm，AC＝6cm，
由于E为AC的中点，得：AE＝3cm，
所以DE＝AC﹣AD＝2cm．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，直线、射线、线段，两点间的距离，解决本题的关键是根据题意准确画图．
21．（8分）某县2021以来受持续干旱影响，河道来水偏少，已严重影响生产和生活用水，自来水厂推行阶梯水价，引导人们节约用水，调整后的用水价格如下表：
每月用水量（吨） 单价（元/吨）
不超过20的部分 1.5
超过20不超过30的部分 2
超过30的部分 3
（1）小明家5月份的用水量为23吨，小明家5月份的水费是多少？
（2）小明家1月份水费的均价为1.75元/吨，求小明家1月份的用水量？
（3）小明家3、4两个月的总用水量为56吨（4月份用水较少），3、4两个月的水费合计93元，请问小明家3、4月份的用水量分别是多少？
【考点】一元一次方程的应用；有理数的混合运算．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用表格中数据直接求出小明家5月份用水量为23吨应需缴纳的水费即可；
（2）利用表格中数据得出小明家1月份使用水量超过30吨，进而求出即可；
（3）设4月份用水量是y（0＜y＜28）吨，分类讨论再根据各段的缴费列代数式，根据等量关系：共交水费93元，列出方程即可求解．
【解答】解：（1）20×1.5+3×2＝36（元）．
答：小明家5月份的水费是36元．
（2）设小明家1月份的用水量为x吨，
用水量为30吨时的均价为（元）．
∵，
∴x＞30，
∴20×1.5+10×2+（x﹣30）×3＝1.75x．
解方程，得x＝32．
答：小明家1月份的用水量为32吨．
（3）设小明家4月份的用水量为y（0＜y＜28）吨，
依题意则其3月份的用水量为（56﹣y）吨．
①当0＜y≤20时，则56﹣y＞301.5y+[20×1.5+10×2+（56﹣y﹣30）×3]＝93．
化简得 1.5y＝35，
解得 ，
这与0＜y≤20矛盾．
②当20＜y＜28时，则28＜56﹣y＜56．
a．当28＜56﹣y≤30时，[20×1.5+（y﹣20）×2]+[20×1.5+（56﹣y﹣20）×2]＝93，
化简得：（2y﹣10）+（102﹣2y）＝93．
该方程无解；
b．当30＜56﹣y＜56时，[20×1.5+（y﹣20）×2]+[20×1.5+10×2+（56﹣y﹣30）×3]＝93，
化简得：（2y﹣10）+（128﹣3y）＝93．
解得y＝25．
y＝25同时满足20＜y＜28和30＜56﹣y＜56．
所以56﹣y＝56﹣25＝31．
综上所述，小明家3、4月份的用水量分别为31吨和25吨．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
22．（9分）一辆货车从仓库出发去送货，向东走了2千米到达超市A，继续向东走了2.5千米到达超市B，然后向西走了8.5千米到达超市C，继续向西走了5千米到达超市D，此时发现车上还有距离仓库仅1千米的超市E的货还未送，于是开往超市E，最后回到仓库．
（1）超市C在仓库的东面还是西面？距离仓库多远？
（2）超市B距超市D多远？
（3）如果货车每千米耗油0.08升，那么货车在这次送货中共耗油多少升？
【考点】数轴．
【专题】计算题；数形结合；分类讨论；实数；一次方程（组）及应用；数感；符号意识；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由数轴的三要素的应用和绝对值的几何意义得超市C在仓库西面，距离仓库4km；
（2）由数轴上的点与数的对应关系求出点B、D对应的两数为4.5和﹣9，现根据数轴上两点之间的距离公式求得BD的长为13.5；
（3）因点E距离仓库为1km有两种情况，再分类分别求出距离和计算出油的体积为2.16升或2.32升．
【解答】解：如图所示：
（1）由图可知超市C在仓库西面，设点C对应的数为x，
∵到达A、B两超市对应的数分别为2，4.5，
∴4.5﹣x＝8.5，
解得：x＝﹣4，
∴CO＝|x|＝|4|＝4，
∴距离仓库4km；
（2）设点D在数轴上对应的数为y，则有，
﹣4﹣y＝5，
解得：y＝﹣9，
∴BD＝|y﹣4.5|＝|﹣9﹣4.5|＝13.5，
∴超市B距超市13.5km；
（3）点E的位置有两种情况：
①若点E在仓库的东边，货车从点D到点E的距离为10，
则货车所走的路程为：
|+2|+|+2.5|+|﹣8.5|+|﹣5|+|+10|+|﹣1|＝29km，
又∵货车每千米耗油0.08升，
∴货车在这次送货中共耗油：29×0.08＝2.32（L），
②若点E在仓库的西边，货车从点D到点E的距离为8，
则货车所走的路程为：
|+2|+|+2.5|+|﹣8.5|+|﹣5|+|8|+|+1|＝27km，
又∵货车每千米耗油0.08升，
∴货车在这次送货中共耗油：27×0.08＝2.16（L），
综合所述：货车在这次送货中共耗油2.16升或2.32升．
【点评】本题综合考查了数轴上的点与数的对应关系，两点之间的距离等于相应的两数差的绝对值，重点掌握数轴上两点之间的距离等于相应的两数差的绝对值．
考点卡片
1．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
3．有理数大小比较
（1）有理数的大小比较
比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．
（2）有理数大小比较的法则：
①正数都大于0；
②负数都小于0；
③正数大于一切负数；
④两个负数，绝对值大的其值反而小．
【规律方法】有理数大小比较的三种方法
1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
3．作差比较：
若a﹣b＞0，则a＞b；
若a﹣b＜0，则a＜b；
若a﹣b＝0，则a＝b．
4．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
5．科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
6．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“ ”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
7．多项式
（1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
（2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．
8．整式的加减—化简求值
给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
9．一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
10．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
11．由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
12．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
13．函数的表示方法
函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．
其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．
注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化．
14．专题：正方体相对两个面上的文字
（1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象．
（2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
（3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面．
15．直线、射线、线段
（1）直线、射线、线段的表示方法
①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB．
②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．
③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）．
（2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．
16．两点间的距离
（1）两点间的距离
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．
17．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
18．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
19．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
20．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
21．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
22．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
23．简单组合体的三视图
（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
（3）画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
俯、左：宽相等．
24．抽样调查的可靠性
（1）抽样调查是实际中经常采用的调查方式．
（2）如果抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况，否则抽样调查的结果会偏离总体情况．
（3）抽样调查除了具有花费少，省时的特点外，还适用一些不宜使用全面调查的情况（如具有破坏性的调查）．
（4）分层抽样获取的样本与直接进行简单的随机抽样相比一般能更好地反映总体．其特点是：通过划类分层，增大了各类型中单位间的共同性，容易抽出具有代表性的调查样本，该方法适用于总体情况复杂，各单位之间差异较大，单位较多的情况．
25．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°．　　②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
26．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
27．折线统计图
（1）定义：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．
（2）特点：折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．
（3）绘制折线图的步骤
①根据统计资料整理数据．
②先画纵轴，后画横轴，纵、横都要有单位，按纸面的大小来确定用一定单位表示一定的数量．　　③根据数量的多少，在纵、横轴的恰当位置描出各点，然后把各点用线段顺序连接起来．