课件55张PPT。 “一切立体图形中最美的是球，一切平面图形中最美的是圆”。这是古希腊的数学家毕达哥拉斯一句话。
圆也是一种和谐、美丽的图形，无论从哪个角度看，它都具有同一形状。：
圆有哪些性质？为什么车轮做成圆形？怎样设计一个运动场的跑道？怎样计算蒙古包的用料？在这一章，我们将进一步认识圆，用图形变换等方法研究它，并用圆的知识解决一些实际问题。生活剪影一石激起千层浪奥运五环福建土楼乐在其中小憩片刻祥子一、 创设情境 引入新课感知圆的世界 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个
端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．·rOA固定的端点O叫做圆心线段OA叫做半径以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．圆的概念注意:(1)圆是一条封闭曲线(而不是一个圆面)
(2)圆是由圆心和半径确定的,圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小)·rOA（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．圆的两种定义动态：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r 的点组成的图形．同心圆 等圆圆心相同，半径不同半径相同，圆心不同确定一个圆的要素:一是圆心，二是半径． 把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理．为什么车轮是圆的？思考思考车轮做成三角形、正方形可以吗？练习1、填空：
（1）根据圆的定义，“圆”指的是“ ”，而不是“圆面”。
（2）圆心和半径是确定一个圆的两个必需条件，圆心决定圆的 ，半径决定圆的 ，二者缺一不可。
圆周位置大小（3）圆上各点到定点 （圆心）的距离都等于 。 定长（半径r)（4）到定点的距离等于定长的点都在 。 同一个圆上 经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．·COAB连接圆上任意两点的线段（如图AC）叫做弦，与圆有关的概念弦(1)直径是弦,但弦不一定是直径
(2)直径是最长的弦注意圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作 ，读作“圆弧AB”或“弧AB”。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。·COAB弧大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的 ）叫做优弧。小于半圆的弧（如图中的 ）叫做劣弧；·COAB劣弧与优弧o?同圆内，半径有无数条，长度都相等。思考o?同圆内，直径有无数条，长度都相等。思考判断下列说法的正误：(1)弦是直径；(2)半圆是弧；(3)过圆心的线段是直径；(6)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆。(4)半圆是最长的弧；(5)直径是最长的弦；同步练习1.如何在操场上画一个半径是5m的圆？说出你的理由首先确定圆心, 然后用5米长的绳子一端固定为圆心端,另一端系在一端尖木棒,木棒以5米长尖端划动一周,所形成的图形就是所画的圆.根据圆的形成定义练习2.设AB=3cm，作图说明满足下列要求的图形：（1）到点A的距离都等于2cm的点组成的
图形.（2 )到点B的距离都等于2cm的点组成的图形.练习AB设AB=3cm，作图说明满足下列要求的图形：（３）到点A和点B的距离都等于2cm的所有点
组成的图形.练习设AB=3cm，作图说明满足下列要求的图形：（4）到点A和点B的距离都小于2cm的所有点
组成的图形.练习设AB=3cm，作图说明满足下列要求的图形：（5）到点A的距离小于2cm，且到点Ｂ的距离
大于２cm的所有点组成的图形.练习变式练习设ＡＢ＝４cm，作图说明满足下列要求的图形１．和点Ａ的距离等于３cm,和点Ｂ的距离等于２cm的所有点组成的集合．变式练习设ＡＢ＝４cm，作图说明满足下列要求的图形２．和点Ａ的距离小于３cm,和点Ｂ的距离小于２cm的所有点组成的集合．同步练习 1、从树木的年轮，可以很清楚的看出树生长的年龄。如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23cm,这棵红杉树的半径平均每年增加多少？23÷20=1.15
1.15÷2=0.575同步练习（2）如图，图中有 条直径， 条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有 条，劣弧有 条。 2.（1） 是圆中最长的弦，它是 的2倍。直径半径一二四四同步练习3、判断
（1）半圆是弧，但弧不是半圆。（ ）
（2）过圆上任意一点只能作一条弦，且这条弦是直径。（ ）
（3）弦是直径，但直径不是弦。（ ）
（4）直径是圆中最长的弦。（ ）同步练习4、选择
（1）下列说法中，正确的是（ ）。
①线段是弦；②直径是弦；③经过圆心的弦是直径；④经过圆上一点有无数条直径。
A、①② B、②③
C、②④ D、③④B（2）如图，⊙O中，点A、O、D以及点B、O、C分别在一条直线上，图中弦的条数为（ ）。
A、2 B、3
C、4 D、5同步练习B同步练习5、在图中，找出两条弦，一条优弧，一条劣弧。弦：GH 、CD；
优弧：
劣弧：6.如图，请正确的方式表示出以点A为端点的优弧及劣弧. 同步练习议一议投圈游戏 课堂小结：定义一： 在同一平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。１、从运动和集合的观点理解圆的定义：定义二：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。课件62张PPT。知识回顾：1.如图所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，OABC（1）若∠B=40 ° ，则∠AOC=______（2）若∠AOC=70 ° ，则∠B=______2.如图所示：在△ABC中， ∠C=90 ° ，（1）AB=10，BC=6，则AC=________（2）AC=6，BC=2，则AB=________80° 35° 8问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少？ O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：O观察现象：你能得到什么结论？圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。它有无数条对称轴圆的对称性及特性圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.用旋转的方法可以得到:一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ABDCOE垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。思考：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？（A）BDCOEA垂直于弦的直径 1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。（A）BDCOEA2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。垂径定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分
弦所对的两 条弧.CD⊥弦AB,如图∵ CD是⊙O的直径（ ⊙O中，CD经过点O）,∴AM=BM,AM=BM符号语言：OABDCOEABCODABCODABC应用垂径定理的几个基本图形请结合图形说出符合垂径定理的条件和结论。O探究：ABDCE如图，若直径CD平分弦AB交AB于E时，你认为都有哪些结论成立？ABDCOEABOECDAB是弦，但不能是直径时，才有垂直AB，平分AB所对的两条弧。·OABCDE推论：垂径定理及其的推论：直线CD （1） 过圆心 （2）垂直于弦 （3） 平分弦 （4）平分弦所对的劣弧 （5）平分弦所对的优弧 以上五个中只要符合两个条件，就能得到其它三个结论。定理辨析判断下列图形，能否使用垂径定理？注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！定理辨析1、填空：如图，在⊙O中
（1）若MN⊥AB，MN为直径；则
（ ），（ ），（ ）；
（2）若AC＝BC，MN为直径；AB不是直径，则
（ ），（ ），（ ）；
（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则
（ ），（ ），（ ）；
（4）若AM＝BM，MN为直径，则
（ ），（ ），（ ）。练习2、判断（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧…………………………………………..( )（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心……………………………………..( )（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分…………………………………………...( )（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧………………………………………( )（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）×√××√问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少？ DC的中点，CD就是拱高。AB=37.4，CD=7.2 ，∴AD=18.7，设OA=OC=ROD=OC-CD=R-7.2.在Rt△AOD中，OA2 = AD2 + OD2即 R2 = 18.72 + (R-7.2)2 解得 R≈27.9因此，赵州桥的主桥拱的半径约为27.9米。例1.如图所示，已知AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，且AB=8，OC=3，求⊙O的半径。OACB 练习：1.如图⊙O的半径为8，OC ⊥弦AB于C，且OC=6，求弦长AB。2.如图⊙O的半径为6，弦AB=8，求圆心O到AB的距离。OACB OACB 例2：如图，已知在圆O中，弦AB的长为8㎝，
圆心O到AB的距离为3 ㎝，求圆O的半径。变式1:在半径为5 ㎝的圆O中，有长8 ㎝的
弦AB，求点O与AB的距离。
2：在半径为5 ㎝的圆O中，圆心O到弦AB的距离为3 ㎝，求AB的长。例3 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，AC与BD相等吗？为什么？
P注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法．例5．某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道． 如图所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm，问修理人员应准备半径多大的管道？O如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.AB例4变式．如图，过⊙O内一点P，作⊙O的弦AB，使它以点P为中点。
ＥＦ解：过Ｏ点作ＯＥ⊥ＡＢ，
并延长ＯＥ交⊙Ｏ于Ｆ，连接ＯＡ 垂径定理和勾股定理相结合，构
造直角三角形，把圆的问题化归
为直线形问题解决。
O思考: 在例2中,我们已计算出⊙Ｏ的半径Ｒ＝５０cm,如果水面宽度由60cm变为80cm,那么污水面下降了多少cm?O两弦在圆心同旁两弦在圆心两旁Ｒ＝５０cm；
ＣＤ＝８０cm作垂径，连半径，构造
直角三角形注意圆的对称性拓展1.如图，AB,CD是⊙O的两条平行弦，AC与BD相等吗？为什么？⌒⌒2.在半径为5cm的⊙ O中，弦AB∥CD,且AB=6cm,CD=8cm,求AB,CD之间的距离3.如图，∠C=90°，⊙C与AB交于点D，AC=5,CB=12,求AD的长
四、圆的问题可以化归为直线型问题解决。这是
一种研究数学的重要思想 二、垂径定理：一、圆是轴对称图形，其对称轴是 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
三、垂径定理和勾股定理相结合，构造
直角三角形，可解决计算弦长、半
径、圆心到弦的距离等问题．
任意一
条过圆心的直线（或直径所在直线．）小结练习1.如图，⊙O的直径是10，弦 AB的长为8，P是AB上的一个动点，
①则OP的求值范围是 。
②使线段OP的长度为整数值的P点
位置有 个。
p1p2C注意圆的轴对称性3≤OP≤552．以矩形ABCD的边ＡＢ为直径
的⊙Ｏ交ＣＤ于E、F，DE=1cm,
EF=3cm,则AB=___3.如上图，⊙O的直径是10，
线段OP的长为3，则过点P
的所有弦中，①最大弦长为 ，
②最短弦长为 ，③弦长为整数
的有 条？ 连半径，构造
直角三角形4.CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD于点E,CE=1,AB=10,求CD的长.CD5.如图，OA=OB，AB交⊙O与点C、D，AC与BD是否相等？为什么？
6.在直径为650mm的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度。
7．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．证明：∴四边形ADOE为矩形，又 ∵AC=AB∴ AE=AD∴ 四边形ADOE为正方形.巩固训练1.判断下列说法的正误 ①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
必平分此弦所对的弧 ⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对
的两条弧分别三等分 2.如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ，
DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，
求半径OC的长。垂径4.如图，已知圆O的直径AB与
弦CD相交于G，AE⊥CD于E，
BF⊥CD于F，且圆O的半径为
10㎝，CD=16 ㎝，求AE-BF的长。
5.:如图，CD为圆O的直径，弦
AB交CD于E， ∠ CEB=30°，
DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。6.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 :
.
图中相等的劣弧有:
.FE圆的两条平行弦所夹的弧相等。小 结１、圆的轴对称性
２、垂径定理及其逆定理的图式
课件30张PPT。复习1、圆的对称性有哪几方面？轴对称性导入 2、将圆绕圆心任意旋转：α圆具有旋转不变性,是中心对称图形AB圆绕圆心旋转?圆绕圆心旋转?AB圆绕圆心旋转?圆绕圆心旋转?圆绕圆心旋转?圆绕圆心旋转?BA圆绕圆心旋转?圆绕圆心旋转?AAB圆绕圆心旋转?圆绕圆心旋转?BA180° 所以圆是中心对称图形.圆绕圆心旋转180°后仍与原来的圆重合。? 圆心就是它的对称中心. 过点O作弦AB的垂线, 垂足
为M,AB 有关概念： 顶点在圆心的角,叫圆心角，
如 , 所对的弦为AB； 则垂线段OM的长度,即圆心到弦的距离，叫弦心距 ,
如图，OM为AB弦的弦心距。1、判别下列各图中的角是不是圆心角，
并说明理由。①②③④任意给圆心角，对应出现四个量：圆心角弧弦 弦心距探究αABA′B ′α 将∠AOB绕O旋转到∠A/OB/ ，你能发现哪些等量关系？·OABA′B′同样，还可以得到：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_____， 所对的弦________；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角______，所对的弧_________．这样，我们就得到下面的定理：相等相等相等相等定理∵∠AOB=∠A｀OB｀·OABA′B′新授 αABA′B ′α在同圆或等圆中，相等的圆心角所对
的弧相等，所对的弦相等，所对的弦
的弦心距相等。等对等定理(1) 圆心角(2) 弧(3) 弦(4) 弦心距延伸 αABA′B ′α(1) 圆心角(2) 弧(3) 弦(4) 弦心距等对等定理整体理解：知一得三1、如图3，AB、CD是⊙O的两条弦。
（1）如果AB=CD，那么 ， 。
（2）如果AB=CD，那么 ， 。
（3）如果∠AOB=∠COD，那么 ， 。
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？基础训练 ⌒⌒例题解析例1 如图1，在⊙O中，AB=AC，∠ACB=60°，
求证∠AOB=∠BOC=∠AOC。⌒⌒例题解析例2 已知：如图2，AB、CD是⊙O的弦，且AB与CD不平行，M、N分别是AB、CD的中点，AB=CD，那么∠AMN与∠CNM的大小关系是什么？为什么？解：连结OM、ON，
∵M、N分别为弦AB、CD的中点，
∴∠AMO=∠CNO=90°
∵ AB=CD
∴ OM=ON
∴∠OMN=∠CNM
∴∠AMN=∠CNM 2、如图4，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD=35°，求∠AOE的度数。基础训练 ⌒⌒⌒3、如图，点O是∠EPF角平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B和C、D。
求证：AB= CD。ABPCDEFMN基础训练 4、在⊙O中，一条弦AB所对的劣弧为圆周的1/4，则弦AB所对的圆心角为 。
5、在半径为2的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为1，则弦AB所对的圆心角的度数为 。
6、如图5，在⊙O中AB=AC，∠C=75°，求∠A的度数。基础训练 ⌒⌒7、如图，已知AD=BC、求证AB=CD变式：如图，如果AD=BC，求证：AB=CD基础训练 ⌒⌒ 如图7所示，CD为⊙O的弦，在CD上取CE=DF，连结OE、OF，并延长交⊙O于点A、B。
（1）试判断△OEF的形状，并说明理由；
（2）求证：AC=BD拓展训练 ⌒⌒1.如图，⊙O中两条相等的弦AB、CD分别延长到E、F，使BE= DF。
求证：EF的垂直平分线必经过点O。ABCDEFMN课后思考题2.如图，已知AB、CD是⊙O中互相垂直的两 条直径，又两条弦AE、CF垂直相交与点G，
试证明：AE=CFP课件10张PPT。沪科版九年级（下册）24.2 圆的基本性质 （第4课时）确定圆的条件类比确定直线的条件:经过一点可以作无数条直线；驶向胜利的彼岸经过两点只能作一条直线.●A●A●B驶向胜利的彼岸确定圆的条件1.想一想,经过一点可以作几个圆?经过两点,三点,…,呢？1.作圆,使它过已知点A.你能作出几个这样的圆?●A2.作圆,使它过已知点A,B.你能作出几个这样的圆?●A●B确定圆的条件2. 过已知点A,B作圆,可以作无数个圆.驶向胜利的彼岸经过两点A,B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心,这点到A或B的距离为半径作圆.你准备如何(确定圆心,半径)作圆？其圆心的分布有什么特点?与线段AB有什么关系？●A●B确定圆的条件3.作圆,使它过已知点A,B,C(A,B,C三点不在同一条直线上),你能作出几个这样的圆?驶向胜利的彼岸老师提示:
能否转化为2的情况:经过两点A,B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上. 你准备如何(确定圆心,半径)作圆？其圆心的位置有什么特点?与A,B,C有什么关系？●B●C经过两点B,C的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.●A经过三点A,B,C的圆的圆心应该这两条垂直平分线的交点O的位置.●O确定圆的条件请你作圆,使它过已知点A,B,C(A,B,C三点不在同一条直线上).以O为圆心,OA(或OB,或OC)为半径,作⊙O即可.驶向胜利的彼岸请你证明你做得圆符合要求.●B●C●A●O证明:∵点O在AB的垂直平分线上，∴⊙O就是所求作的圆,∴OA=OB.同理,OB=OC.∴OA=OB=OC.∴点A,B,C在以O为圆心的圆上.这样的圆可以作出几个?为什么?.三点定圆定理 不在一条直线上的三个点确定一个圆.在上面的作图过程中.驶向胜利的彼岸老师期望:
将这个结论及其证明作为一种模型对待.∵直线DE和FG只有一个交点O,并且点O到A,B,C三个点的距离相等,∴经过点A,B,C三点可以作一个圆,并且只能作一个圆.驶向胜利的彼岸三角形与圆的位置关系因此,三角形的三个顶点确定一个圆,这圆叫做三角形的外接圆.这个三角形叫做圆的内接三角形.外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的的交点,叫做三角形的外心.老师提示:
多边形的顶点与圆的位置关系称为接.驶向胜利的彼岸三角形与圆的位置关系分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的外接圆,并说明与它们外心的位置情况锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外.老师期望:
作三角形的外接圆是必备基本技能,定要熟练掌握.结束寄语盛年不重来,一日难再晨,及时宜自勉,岁月不待人.再见24．2 圆的对称性第1课时 圆
学前温故
1．圆的半径为r，直径为R，则半径与直径的关系为R＝2r.
2．圆的半径为r，直径为R，则圆的周长为2πr＝πR，面积为πr2＝πR2.
新课早知
1．在平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，则另一个端点P所形成的封闭曲线叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OP叫做半径．
2．圆可以被看成：平面内到定点(圆心O)的距离等于定长(半径r)的所有点组成的图形．
3．平面上一点P与⊙O(半径为r)的位置关系有以下三种情况：
(1)点P在⊙O上OP＝r；
(2)点P在⊙O内OP＜r；
(3)点P在⊙O外OP＞r.
4．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．
5．连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．
6．同圆中：(1)半径相等；(2)直径等于半径的2倍．
7．圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆．大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
8．由弦及其所对弧组成的图形叫做弓形．
9．能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等．
10．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
1．圆中有关的概念
【例1】 如图，已知AB、CB为⊙O的两条弦，试写出图中的所有弧．
分析：根据弧的定义，圆上任意两点间的部分是弧，圆上任意两点间有两条弧．
解：一共有6条弧：、、、、、.
点拨：劣弧用端点上的两个字母表示，优弧用三个字母表示，端点上的两个字母写在两边，中间的字母为弧上的任一点．
2．圆的集合定义
【例2】 如图，已知矩形ABCD中AC交BD于点O.
求证：A、B、C、D 4个点在以O为圆心，OA为半径的圆上．
分析：根据圆是到定点的距离等于定长的点的集合，证明OA＝OC＝OB＝OD即可．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
又∵AC＝BD，∴OA＝OC＝OB＝OD.
∴A、B、C、D 4个点在以O为圆心，OA为半径的圆上．
点拨：要证明某些点在以定点为圆心，以定长为半径的圆上，只需根据圆的定义，证明这些点到定点的距离都等于定长．
3．点与圆的位置关系
【例3】 已知⊙O的半径为6 cm，A为线段OP的中点，当OP＝8 cm时，点A与⊙O的位置关系是( )．
A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O外 D．不能确定
解析：⊙O的半径为6 cm，点A到圆心O的距离为4 cm，显然6 cm＞4 cm，所以点A在⊙O内．
答案：A
点拨：比较点到圆心的距离d和半径r的大小，来确定点与圆的位置关系．
1．下列说法正确的是( )．
A．直径是弦 B．弦是直径
C．半圆包括直径 D．弧是半圆
答案：A
2．在平面内，⊙O的半径为5 cm，点P到圆心O的距离为3 cm，则点P与⊙O的位置关系是________．
答案：点P在⊙O内
3．已知⊙O的半径是5 cm，圆心O到直线l的距离d＝OD＝3 cm，在直线l上有三点P、Q、R，且有PD＝4 cm，QD＞4 cm，RD＜4 cm，则P在⊙O________，Q在⊙O________，R在⊙O________.
解析：OP＝5 cm，OQ＞5 cm，OR＜5 cm.
答案：上 外 内
4．如图，△ABC1，△ABC2，△ABC3，…，△ABCn是n个以AB为斜边的直角三角形，试判断点C1、C2、C3、…、Cn是否在同一个圆上？并说明理由．
解：点C1、C2、C3、…、Cn在以AB为直径的圆上．
理由如下：取AB的中点D，分别连接C1D、C2D、C3D、…、CnD，则C1D、C2D、C3D、…、CnD分别表示对应的直角三角形斜边上的中线．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知：C1D＝C2D＝C3D＝…＝CnD＝AB.所以点C1、C2、C3、…、Cn在同一个圆上，并且在以AB为直径的圆上．
24．2 圆的对称性第2课时 垂径定理
学前温故
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，CM是中线，以C为圆心，为半径画圆，则A、B、M与圆的位置关系是( )．
A．A在圆外，B在圆内，M在圆上
B．A在圆内，B在圆上，M在圆外
C．A在圆上，B在圆外，M在圆内
D．A在圆内，B在圆外，M在圆上
解析：Rt△ABC中，AB＝＝＝2，CM＝AB＝，又2＜＜4，故A在圆内，B在圆外，M在圆上．
答案：D
2．已知平面上一点到⊙O的最长距离为8 cm，最短距离为2 cm，则⊙O的半径是__________．
解析：本题分两种情况：(1)点P在⊙O内部时，如图①所示，PA＝8 cm，PB＝2 cm，直径AB＝8＋2＝10(cm)，半径r＝AB＝10＝5(cm)；(2)点P在⊙O外部时，如图②所示，直径AB＝PA－PB＝8－2＝6(cm)，半径r＝6＝3(cm)．
答案：3 cm或5 cm
新课早知
1．圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线．
2．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．
3．定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
4．圆心到弦的距离叫做弦心距．
1．垂径定理
【例1】 赵州桥是我国古代劳动人民勤劳智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，半径为27.9米，跨度(弧所对的弦长)为37.4米，你能求出赵州桥的拱高(弧的中点到弦的距离)吗？
分析：根据实物图画出几何图形，把实际问题转化为数学问题解决．
解：如图，表示主拱桥，设所在圆的圆心为O.过点O作OC⊥AB于D，交于点C.
根据垂径定理，则D是AB的中点，C是的中点，CD为拱高．
在Rt△OAD中，AD＝AB＝37.4＝18.7(m)，OA＝27.9 m，
∴OD＝＝≈20.7(m)．
∴CD＝OC－OD≈27.9－20.7＝7.2(m)．
∴赵州桥的拱高为7.2 m.
点拨：应用垂径定理计算涉及到四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h.它们之间的关系有r＝h＋d(或r＝h－d)，r2＝d2＋()2.
2．垂径定理的推论
【例2】 学习了本节课以后，小勇逆向思维得出了一个结论：“弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧”，你认为小勇得出的结论正确吗？并说明理由．
分析：根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，而圆心到弦的两端距离相等，所以圆心在弦的垂直平分线上．
解：小勇得出的结论正确．
理由：如图，CD是AB的垂直平分线，连接OA、OB.
因为OA=OB，所以点O在AB的垂直平分线上，即弦的垂直平分线过圆心．
由垂直于弦的直径的性质，可知弦AB的垂直平分线CD平分弦AB所对的两条弧．
点拨：除本题的结论外，由垂径定理还可引申得到如下的结论：
(1)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧；
(2)圆的两条平行弦所夹的弧相等．
1．如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为( )．
A．2 cm B. cm
C．2 cm D．2 cm
答案：C
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直的两条相等的弦，OD⊥AB，OE⊥AC，D、E为垂足，则四边形ADOE为( )．
A．矩形 B．平行四边形
C．正方形 D．直角梯形
答案：C
3．(2011·浙江嘉兴中考)如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则这条弦的弦心距为( )．
A．6 B．8
C．10 D．12
答案：A
4．如图，DE是⊙O的直径，弦AB⊥DE，垂足为C，若AB＝6，CE＝1，则OC＝__________，CD＝__________.
答案：4 9
5．如图，已知在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证：AC＝BD.
证明：过O作OE⊥AB于E，
则AE＝EB，CE＝ED.
∴AE－CE＝BE－DE.
∵AC＝AE－CE，BD＝BE－DE，
∴AC＝BD.
24．2 圆的对称性第3课时 弧、弦、圆心角、弦心距
学前温故
如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于( )．
A．8 B．2 C．10 D．5
答案：D
新课早知
1．圆是旋转对称图形，对称中心为圆心．
2．顶点在圆心的角叫做圆心角．
3．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等．
4．定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都相等．
这个定理可简记为：在同圆或等圆中，圆心角相等弧相等弦相等弦心距相等．
1．弧与它所对的圆心角之间的关系
【例1】 如图(1)，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以C点为圆心，CA的长为半径的圆交AB于D，求的度数．
分析：要求的度数，根据弧的度数等于它所对的圆心角的度数，故只需求出∠DCA的度数．
解：连接CD，如图(2)．
∵∠ACB＝90°，∠B＝25°，∴∠A＝65°.
∵CD＝CA，
∴∠CDA＝65°.
∴∠DCA＝180°－65°2＝50°.
∴的度数为50°.
点拨：在同圆或等圆中，解决有关弦、弧、圆心角的问题时，常常用到此三组量之间的对应关系．
2．弧、圆心角、弦、弦心距之间的关系定理
【例2】 如图(1)，M、N分别为⊙O的非直径弦AB、CD的中点，AB＝CD.求证：∠AMN＝∠CNM.
分析：利用弧、圆心角、弦、弦心距之间的关系定理．因为M、N分别是AB、CD的中点，连接OM、ON，则有OM⊥AB，ON⊥CD，OM＝ON，故易得结论．
证明：连接OM、ON，如图(2)．
∵M、N分别是⊙O的非直径弦AB、CD的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥CD.
由AB＝CD，得OM＝ON.
∴∠OMN＝∠ONM.
∵∠AMN＝90°－∠OMN，∠CNM＝90°－∠ONM，
∴∠AMN＝∠CNM.
点拨：在解决弦、弧、弦心距的问题时，常要作出半径或弦心距，构造弦的一半、弦心距、半径组成的直角三角形．
1．下列说法中不正确的是( )．
A．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个
B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．圆既是中心对称图形，又是旋转对称图形
D．当圆绕它的圆心旋转35°17′42″时，不会与原来的圆重合
答案：D
2．如图，MN为⊙O的弦，∠M＝50°，则∠MON等于( )．
A．50° B．55° C．65° D．80°
答案：D
3．在半径不相等的⊙O1和⊙O2中，与所对的圆心角都是60°，则下列说法正确的是( )．
A. 与的弧长相等
B. 和的度数相等
C. 与的弧长和度数都相等
D. 与的弧长和度数都不相等
答案：B
4．如图，AB是⊙O的直径，C、D是上的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE是( )．
A．40° B．60° C．80° D．120°
答案：C
5．如图，AB、CD是⊙O的直径，DF、BE是弦，且DF＝BE.求证：∠B＝∠D.
证明：如图，连接OE、OF.
∵DF=BE，
∴∠DOF=∠BOE.
∵OD=OF=OB=OE，
∴△ODF≌△OBE.
∴∠B=∠D.
