福州外国语学校2023—2024学年第二学期期末考
高二年级数学试卷
考试时间：120分钟
(全卷共4页,四大题,20小题,满分150分。 )
学校:___________姓名：___________考号：___________
注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷，答题卡规定的地方填涂自己的准考证号，姓名。
考生要认真核对答题卡上的准考证号，姓名与考生本人准考证号，姓名是否一致。
2.选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动。用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号。非选择题，用0.5毫米照射签字笔，在答题卡上规定的范围内书写作答。请不要错位，越界答题。
3.考试结束，考生请将答题卡交回。
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足(1－i)z＝2＋i，则z的虚部为( )
A． B． C． D．
3．若则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若且，则是（ ）
A．等边三角形 B．顶角为的等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．非直角三角形，也非等腰三角形
5．已知非负实数满足，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
6．在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知 A，B，C是直线与函数（，）的图象的三个交点，如图所示．其中，点，B，C两点的横坐标分别为，若，则（ ）
A． B．
C．的图象关于中心对称 D．在上单调递减
8．设，若对任意的，都存在，使得成立，则可以是（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的4个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分， 部分选对的得2分。
9．命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
10．对于函数，下列结论正确的是（ ）
A. 函数的图象关于点对称；
B. 函数的对称轴是，；
C. 若函数是偶函数，则的最小值为；
D. 函数在的值域为，
11．下列选项正确的有（ ）
A．若是方程的一个根，则
B．复数与分别表示向量与，则向量表示的复数为
C．若复数满足，则的最大值为
D．若复数，满足，则
三、填空题
12．已知集合，，若，则实数a的取值范围是 ．
13．把函数的图象把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式是____________
14．设，已知函数在区间恰有6个零点，则ω的取值范围为____________
四、解答题
15．已知数列的前项和为，
(1)求数列的通项公式；
(2)令，数列的前项和为.
16．已知抛物线，其焦点为，点在抛物线C上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)为坐标原点，为抛物线上不同的两点，且，求证直线过定点；
17．已知中，角的对边分别是，
(1)求角A的大小；
(2)求的最大值；
(3)若，为边上靠近B点的三等分点，求的面积．
18．已知函数.
（1）若，求曲线在处切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）时，恒成立，求实数a的取值范围
19．如图，在三棱柱中，棱的中点分别为在平面内的射影为D，是边长为2的等边三角形，且，点F在棱上运动（包括端点）．
(1)若点为棱的中点，求点到平面的距离；
(2)求锐二面角的余弦值的取值范围．
20．某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求.
附:;
0.100 0.050 0.025 0.010
2.706 3.841 5.024 6.635
(1)现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联
性别 就餐区域
南区 北区
男 33 10 43
女 38 7 45
合计 71 17 88
(2)张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为;如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为:如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为.张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为.
(i)求第2天他去乙餐厅用餐的概率;
(ii)求第天他去甲餐厅用餐的概率.福州外国语学校2023—2024学年第二学期期末考
高二年级数学试卷
答案
考试时间：120分钟
(全卷共4页,四大题,20小题,满分150分。 )
学校:___________姓名：___________考号：___________
注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷，答题卡规定的地方填涂自己的准考证号，姓名。
考生要认真核对答题卡上的准考证号，姓名与考生本人准考证号，姓名是否一致。
2.选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动。用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号。非选择题，用0.5毫米照射签字笔，在答题卡上规定的范围内书写作答。请不要错位，越界答题。
3.考试结束，考生请将答题卡交回。
参考答案：
1．C
2．B
3．A
4．A
5．B
6．D
7．B
8．B
9．CD
10．ABD
11．BCD
12. 或
【分析】利用空集的意义列式求a的范围；利用交集的结果，借助集合的包含关系求出a的范围.
【详解】
由，得，
当时，，则，解得，
当时，，解得，
所以实数a的取值范围是或.
故答案为：或
13．
【分析】根据伸缩平移变换可得函数的解析式，进而判断各选项中图像性质.
14．.
【分析】令，求得从左到右的零点依次为：，结合题意，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数，
令，即或，
解得的正零点为或，
所以函数从左到右的零点依次为：，
为了使得在区间恰有6个零点，只需，解得，
所以实数的取值范围为.
15．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意，根据计算即可求解；
（2）由（1）得，结合裂项相消求和法计算可得，即可证明.
【详解】（1）当时，.
因为时，，满足上式，
所以数列的通项公式为.
（2），
所以 .
因为，所以，
16．(1)
(2)证明见解析；
【分析】（1）利用焦半径公式建立方程，解出参数，得到抛物线方程即可.
（2）（i）设出，利用给定条件建立方程求出，最后得到定点即可.
【详解】（1）抛物线，
其焦点为，准线方程为，
可得，且，
解得（另一个根舍去），，
则抛物线的方程为；
（2）
如图，设的方程为，，
联立，可得，
则，又，，
由，可得，解得（另一个根舍去），
所以直线恒过定点；
17．(1)
(2)18
(3)
【分析】（1）由正余弦定理边化角，再由两角和的正弦公式化简可求解；
（2）由余弦定理，代入已知数据结合重要不等式求解；
（3）由题意有，两边平方化简得，在中和中，由余弦定理得化简得，解得，代入②得，可求的面积.
【详解】（1），而，
所以，即，
由正弦定理得．
故．
即，
即，而，，
故，即．
而，故.
（2）由余弦定理得，即，
而，所以，
所以，当且仅当时等号成立．
故的最大值为18.
（3）
因为D为边上靠近B点的三等分点，，，
有，即，故，
两边平方得，
即，化简得①，
在中，由余弦定理得；
在中，由余弦定理得；
而，
故，即②，
由①和②得：，解得，代入②得，
所以的面积为.
18．（1）；（2）见详解；（3）见详解
【分析】（1）利用导数的几何意义直接求切线方程，；
【详解】
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用空间向量法来求点到面的距离即可；
（2）用动点引入变量表示动向量，再用空间向量法求二面角的余弦值，最后利用关于变量的函数求取值范围即可.
【详解】（1）连接，依题意可知平面，由于平面，
所以，
由于三角形是等边三角形，所以，，
又，
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，
又，故，，
则，，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
故，又，
所以点到平面的距离为.
（2）设，，
则，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
故可设，
设锐二面角为，
则 ，
令，
所以，设，
则，
二次函数的开口向上，对称轴为，
所以当时，该二次函数单调递增，
所以当时，该二次函数有最小值，
当时，该二次函数有最大值，
所以，即.
即锐二面角的余弦值的取值范围.
20．(1)没有关联
(2)(i);(ii)
【分析】（1）根据卡方计算公式计算，与临界值比较即可求解；
（2）根据相互独立事件的概率，结合全概率公式即可求解（ⅰ），根据递推关系，结合等比数列的定义即可求解（ⅱ）.
【详解】（1）依据表中数据，，
依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为在不同区域就餐与学生性别没有关联．
（2）设“第天去甲餐厅用餐”，“第天去乙餐厅用餐”，“第天去丙餐厅用餐”，则两两独立，．
根据题意得，，．，
（ⅰ）由，结合全概率公式，得，
因此，张同学第2天去乙餐厅用餐的概率为．
（ⅱ）记第天他去甲，乙，丙餐厅用餐的概率分别为，
则，由全概率公式，
得
=，
故 ①，
同理②，③，④，
由①②，，由④，，
代入②，得：，即，
故是首项为，公比为的等比数列，
即，所以，
于是，当时，，
综上所述：
【点睛】方法点睛：已知数列的递推关系求通项公式的典型方法：
（1）当出现时，构造等差数列；
（2）当出现时，构造等比数列；
（3）当出现时，用累加法求解；
（4）当出现时，用累乘法求解.
