课件26张PPT。 24.4直线与圆的位置关系
（第1课时）沪科版九年级（下册）直线与圆的位置关系一、教学目标、教学重点二、复习引入三、讲解新课1、直线与圆的位置关系相离：直线和圆没有公共点.
相切：直线和圆有唯一公共点.
相交：直线和圆有两个公共点.小结学生练习2、圆心到直线的距
离d与半径r之间的关系3、讲解例题四、总 结 五、布置作业六、随堂检测小结学生练习1、直线与圆相离 <=> d>r2、直线与圆相切 <=> d=r3、直线与圆相交 <=> d
培养运动变化的辩证唯物主义观点.教学重点：利用圆心到直线的距离与半径的关系判别直线与圆
的位置关系.1、点与圆有几种位置关系？？复习提问：2、若将点改成直线，那么直线与圆的
位置关系又如何呢？.A.A.A.A.A . B.A.A.C.A.A.Oabc1、直线 与圆的位置关系图 1b.A.O图 2c.
F.E.O图 3相离相切相交 这时直线叫圆的割线 .
公共点叫直线与圆的交点.小结： 直线与圆有_____种位置关系，是
用直线与圆的________的个数来定义
的.这也是判断直线 与圆的位置关系
的重要方法.三公共点 练习1 １、直线与圆最多有两个公共
点.………………（ ）
２、若直线与圆相交，则直线上的
点都在圆内.… … … …( )
√×？.A.B.C.O.Om3 、若A、B是⊙O外两点， 则直线AB
与⊙O相离.… … … … …( )
4 、若C为⊙O内与O点不重合的一点，
则直线CO与⊙O相交.（ ）
√×.A.B.C.O想一想？若C为⊙O内的一点，A为任意一点，
则直线AC与⊙O一定相交.是否正确？.O.C复习提问：？3、如何根据圆心到点的距离d与半径r的
关系判别点与圆的位置关系？1、什么叫点到直线的距离？2、连接直线外一点与直线上所有点
的线段中，最短的是______？ 直线外一点到这条直线
垂线段的长度叫点到直线 的距离.垂线段1、点到圆心的距离___于半径时，点在圆外.
2、点到圆心的距离___于半径时，点在圆上.
3、点到圆心的距离___于半径时，点在圆内..E.
Daddd.O.O.Orrr相离相切相交1、直线与圆相离 => d>r2、直线与圆相切 => d=r3、直线与圆相交 => d<
<看一看想一想当直线与圆
相离、相切、
相交时，d与
r有何关系？lll.A.B.
C.D.E.F. NH.Q.符号“<=> ”读作___________，它表示两个方面：（1）“＝＞”即从____端可以推出___端
（反映直线与圆的某种位置关系的性质）；（2）“＜＝”即从____端可以推出___端
（反映直线与圆的某种位置关系的判定）等价于左右右左3、直线与圆相交 <=> d d>r2、直线与圆相切 <=> d=r直线与圆的位置关系dr 2交点割线1切点切线0总结：判定直线与圆的位置关系的方法有____种：（1）根据定义，由________________
的个数来判断；（2）根据性质，由_________________ ______________的关系来判断.在实际应用中，常采用第二种方法判定.两直线与圆的公共点圆心到直线的距离d与半径r练习2填空：1、已知⊙O的半径为5cm，O到直线a的距离为3cm，则⊙O与直线a的位置关系是_____.直线a与⊙O的公共点个数是____.
2、已知⊙O的半径是4cm，O到直线a的距离是4cm，则⊙O与直线a的位置关系是 ___ _.动动脑筋相交 相切两个
3、已知⊙O的半径为6cm，O到直线a的距离为7cm，则直线a与⊙O的公共点个数是____.
4、已知⊙O的直径是6cm，O到直线a的距离是4cm，则⊙O与直线a的位置关系是 ___ _.零相离思考：圆心A到X轴、
Y轴的距离各是多少?例题1：.AO已知⊙A的直径为6，点A的坐标为
（-3，-4），则⊙A与X轴的位置关系是_____,⊙A与Y轴的位置关系是______.BC43相离相切思考：图中线段AB的长度
为多少？怎样求圆心C到直
线AB的距离？ 例题2： 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，
BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆
与AB有怎样的位置关系？为什么？
（1）r=2cm；（2）r=2.4cm； (3)r=3cm.BCA分析：要了解AB与⊙C的位置
关系，只要知道圆心C到AB的
距离d与r的关系.解：过C作CD⊥AB，垂足为D.在Rt△ABC中，AB= ==5（cm）根据三角形面积公式有CD·AB=AC·BC∴CD= ==2.4（cm）.2222D4532.4cmC即圆心C到AB的距离d=2.4cm.（1）当r=2cm时， ∵d＞r，
∴⊙C与AB相离.（2）当r=2.4cm时，∵d=r，
∴⊙C与AB相切.（3）当r=3cm时， ∵d＜r，
∴⊙C与AB相交.ABAD453d=2.4cm解：过C作CD⊥AB，垂足为D.在Rt△ABC中，AB= ==5（cm）根据三角形面积公式有CD·AB=AC·BC∴CD= ==2.4（cm）.2222在Rt△ABC中，∠C=90°，
AC=3cm，BC=4cm，
以C为圆心，r为半径的圆
与AB有怎样的位置关系？
为什么？（1）r=2cm；
（2）r=2.4cm (3)r=3cm.C讨论在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，
BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆.1、当r满足________________时，
⊙C与直线AB相离.2、当r满足____________ 时，
⊙C与直线AB相切.3、当r满足____________时，
⊙C与直线AB相交..4d=2.4cm30cmAC=3cm，BC=4cm，
以C为圆心，r为半径作圆.想一想? 当r满足___________
_____________时,⊙C与线
段AB只有一个公共点. r=2.4cm或 3cm若⊙O与直线a至多只有一个公共点，则d与r的
关系是……………………（ ）
A、d≤r B、d＜r C、d≥r D、d＝r2、设⊙O的半径为r，直线a上一点到圆心的
距离为d，若d=r，则直线a与⊙O的位置关系
是……………………………………………（ ）
A、相交 B、相切 C、相离 D、相切或相交CD.布置作业：1、必做题：教材P1051、 P1152；
2、选做题：教材 P1153 .BBCAD4532.4cm放映幻灯片 18结束D43BCAB52.4cm放映结束 随堂检测
1． ⊙O的半径为3 ,圆心O到直线l的距离为d,若直线l
与⊙O没有公共点，则d为（ ）：
A．d ＞3 B．d＜3 C．d ≤3 D．d =3
2．圆心O到直线的距离等于⊙O的半径，则直线
和⊙O的位置关系是（ ）：
A．相离 B.相交 C.相切 D.相切或相交
判断：若线段和圆没有公共点,该圆圆心
到线段的距离大于半径. （ ）
请做随堂检测！AC×4.判断:若直线和圆相切,则该直线和
圆一定有一个公共点. ( )√5、在等腰△ABC中，AB=AC=2cm，若以
A为圆心，1cm为半径的圆与BC相切，则
∠BAC的度数为多少？( )
A、30°B、60°C、90°D、120°ACB22D解:过A点作AD⊥BC于D，
∵⊙O与BC相切，AD⊥BC
∴AD=⊙O的半径 =1cm，
在Rt△ABD中，∠ADB=90°
∵BC=1/2 AD，∴∠ABC=30°.
∠BAC=120°.D .课件18张PPT。 24.4直线与圆的位置关系
（第2课时）沪科版九年级（下册）(2) 当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆 .(3) 当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆 . (1) 当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆 . 相离相切相交(1)(3)(2)这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点.OOO直线与圆的位置关系温故知新直线与圆的位置关系量化如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l 的距离为d,那么温故知新新课引入请按照下述步骤作图:
如图,在⊙O上任取一点A,连接OA,过点A作直线l⊥OA,OA思考以下问题:
(1)圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么关系?(2)直线l和⊙O的位置有什么关系?根据什么?(3)由此你发现了什么?相等d=r相切特征①：直线l 经过半径OA的外端点A特征②：直线l 垂直于半径OA知识要点一般地,有以下直线与圆相切的判定定理:经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线∵l⊥OA 且OA为圆O的半径
∴ l是⊙O的切线几何语言表示:判断下图中的l 是否为⊙O的切线⑴半径⑵外端⑶垂直证明一条直线为圆的切线时，必须两个条件缺一不可：
①过半径外端;
②垂直于这条半径.经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线做一做：
如图AB是⊙O的直径，请分别过A、B作⊙O的切线．问：如何过圆上一个已知点做圆的切线呢？巩固练习1.如图,Q在⊙O上,分别根据下列条件,判定直线PQ与⊙O是否相切:
(1)OQ=6，OP=10，PQ=8(2)∠O=67.3o，∠P=22o42′2、如图，AB是⊙O的直径， AT=AB，∠ABT=45°.
求证：AT是⊙O的切线巩固练习一般情况下，要证明一条直线为圆的切线，它过半径外端（即一点已在圆上）是已知给出时，只需证明直线垂直于这条半径.例题分析例1.已知:如图，A是⊙O外一点，AO的延长线交⊙O于点C，点B在圆上，且AB=BC，∠A=30°.求证:直线AB是⊙O的切线ABCO证明：连接OB∵OB=OC，AB=BC，∠A=30°∴∠OBC=∠C=∠A=30°∴∠AOB=∠C+ ∠OBC =60°∵∠ABO=180°-（∠AOB+∠A）
=180°-（60°+30°）
=90°∴AB⊥OB∴AB为⊙O的切线 如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，弦AD∥OC. 求证：CD是⊙O的切线.AODCB.巩固练习例2.如图,台风P(100,200)沿北偏东30°方向移动,受台风影响区域的半径为200km，那么下列城市A(200,380)，B(600,480)，C(550,300)，D(370,540)中,哪些受到这次台风的影响,哪些不受到台风的影响?0100400500600700300200x(km)y(km)60050040030020010030°P 如图,OP是⊙O的半径,∠POT=60°,OT交⊙O于S点.
(1)过点P作⊙O的切线.
(2)过点P的切线交OT于Q,判断S是不是OQ的中点,并说明理由.课内练习OPST 判断下列命题是否正确．
(1)经过半径外端的直线是圆的切线．( )
(2)垂直于半径的直线是圆的切线．( )
(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．( )
(4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线．( )
(5)以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的 圆与底边相切．( )
××√√√探究活动请任意画一个圆,并在这个圆所在的平面内任意取一点P.
(1)过点P是否都能作这个圆的切线?
(2)点P在什么位置时,能作并且只能作一条切线?
(3)点P在什么位置时,能作两条切线?这两条切线有什么特性?
(4)能作多于2条的切线吗?点在圆内不能作切线点在圆上点在圆外相等不能小结经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线切线的判定定理:这个定理不仅可以用来判定圆的切线,还可以依据它来画切线.在判定切线的时候,如果已知点在圆上,则连半径是常用的辅助线综合运用1、如图,已知AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D,且DE⊥AC.
(1)求证:DE是⊙O的切线.
(2)若∠C=30°,CD=10cm,求⊙O的半径．OABCDE2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，CD⊥AB于点D.
（1）求证：BC是△ADC的外接圆的切线；
（2） △BDC的外接圆的切线是哪一条？为什么？
（3）若AC=5，BC=12，以C为圆心作圆C，使圆C与 AB相切，则圆C的半径是多少？综合运用课件13张PPT。 24.4直线与圆的位置关系
（第3课时）沪科版九年级（下册）学 习 目 的
掌握切线的性质定理及其推论，并能运用它们解决有关问题.问题：
⒈前面我们已学过的切线的性质有哪些？
答：①切线和圆有且只有一个公共点；
②切线和圆心的距离等于半径.⒉切线还有什么性质？[切线的性质定理]
圆的切线垂直于经过切点的半径 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过圆心直线经过切点切线垂直于半径123OBACD例 如图，AB为⊙O的直径， C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D.
求证：AC平分∠DAB.CD是⊙O的切线OC⊥CDAD⊥CDOC∥AD∠1=∠2OC = OA∠1=∠3∠1=∠3AC平分∠DAB证明：如图，连接OC.按图填空：(口答)
(1) 如果AB切⊙O于A，
那么AOB⊙O的切线切点练习2
如图的两个圆是以O为圆心的同心圆，大圆的弦AB是小圆的切线， C为切点.求证：C是AB的中点.CABO证明：如图，∴ C是AB的中点.AC=BC根据垂径定理，得OC⊥AB连接OC, 则DCBOA练习3
如图，在⊙O中，AB为直径， AD为弦， 过B点的切线与AD的延长线交于点C，且AD=DC
求∠ABD的度数.解： AB为直径BC为切线∠ABC=90°△ABC为直角三角形AD=DC∠ADB=90°AD=DB∠ADC=90°△ABD为等腰直角三角形∠ABD=45°求证：经过直径两端点的切线互相平行练习4 已知：如图，AB 是⊙O的直径，AC、BD是⊙O的切线.证明：如图，AB 是⊙O的直径AC、BD是⊙O的切线AB⊥ACAB⊥BDAC∥BD求证: AC∥BD① 切线和圆有且只有一个公共点③ 圆的切线垂直于经过切点的半径 ④ 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点⑤ 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心② 切线和圆心的距离等于半径24.4 直线与圆的位置关系第1课时 直线和圆的位置关系
学前温故
平面上一点M与⊙O(半径为r)的位置关系有以下三种情况：
(1)点M在⊙O上OM＝r
(2)点M在⊙O内OM＜r
(3)点M在⊙O外OM＞r
新课早知
1．如果直线与圆有两个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相交，这条直线叫做圆的割线．
2．如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．
3．如果直线与圆没有公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相离．
4．设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：
直线l与⊙O相交d＜r；
直线l与⊙O相切d＝r；
直线l与⊙O相离d＞r.
5．切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
6．切线判定：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
1．直线与圆的位置关系
【例1】 如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB是怎样的位置关系？
(1)r＝2 cm；(2)r＝2.4 cm；(3)r＝3 cm.
分析：先求出圆心到直线的距离，再比较它与给出的半径的大小关系．
解：如图②，过C作CD⊥AB，垂足为D，在直角三角形ABC中，AB＝＝＝5.
∵AB·CD＝AC·BC，
∴CD＝＝＝2.4(cm)，
即圆心到直线AB的距离d＝2.4 cm.
(1)当r＝2 cm时，有d＞r，因此⊙C与直线相离．
(2)当r＝2.4 cm时，有d＝r，因此⊙C与直线相切．
(3)当r＝3 cm时，有d＜r，因此⊙C与直线相交．
点拨：比较圆心到直线的距离与半径的大小是确定直线与圆的位置关系常用的方法．
2．切线的判定
【例2】 如图(1)，PA是⊙O的切线，切点是A，过点A作AH⊥OP于点H，AH交⊙O于点B.
求证：PB是⊙O的切线．
分析：连接OA、OB，构造两三角形全等：△AOP≌△BOP.
证明：如图(2)，连接OA、OB.
∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°.
∵OA＝OB，AB⊥OP，∴∠AOP＝∠BOP.
又∵OA＝OB，OP＝OP，
∴△AOP≌△BOP.∴∠OBP＝∠OAP＝90°.
∴PB是⊙O的切线．
点拨：知切线，连半径，得垂直．即根据切线的性质，当已知某条直线是圆的切线时，切线与过切点的半径垂直，对解决问题起关键作用．
1．已知⊙O的面积为9π cm2，若点O到直线l的距离为π cm，则直线l与⊙O的位置关系是( )．
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法确定
答案：C
2．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，连接BC，若∠ABC＝45°，则下列结论正确的是( )．
A．AC＞AB B．AC＝AB
C．AC＜AB D．AC＝BC
答案：B
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，以C为圆心，r为半径的圆，若直线AB与⊙C：(1)相交；(2)相切；(3)相离，求半径r的值．
解：过点C作CD⊥AB于点D.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，
∴AC＝2.
∵S△ABC＝AB·CD＝AC·BC，
∴AB·CD＝AC·BC.
∴CD＝＝＝.
(1)∵直线AB与⊙C相离，∴r＜CD，即r＜.
(2)∵直线AB与⊙C相切，∴r＝CD，即r＝.
(3)∵直线AB与⊙C相交，∴r＞CD，即r＞.
4．如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，∠DAB＝∠B＝30°.
(1)直线BD是否与⊙O相切？为什么？
(2)连接CD，若CD＝5，求AB的长．
解：(1)直线BD与⊙O相切．理由如下：
如图，连接OD，
∵∠ODA=∠DAB=∠B=30°，
∴∠ODB＝180°－∠ODA－∠DAB－∠B＝180°－30°－30°－30°＝90°，即OD⊥BD，
∴直线BD与⊙O相切．
(2)由(1)知，∠ODA＝∠DAB＝30°，∴∠DOB＝∠ODA＋∠DAB＝60°，
又∵OC＝OD，∴△DOC是等边三角形，∴OA＝OD＝CD＝5.
又∵∠B＝30°，∠ODB＝90°，
∴OB＝2OD＝10.
∴AB＝OA＋OB＝5＋10＝15.
24.4 直线与圆的位置关系第2课时 切线长定理
学前温故
1．直线与圆有三种位置关系：
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有
2．切线的判定与性质
判定：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
新课早知
1．从圆外一点能够作圆的两条切线，且这一点到切点间的线段长叫做切线长．
2．从圆外一点能够作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角．
切线长定理的运用
【例题】已知：如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A和B是切点，AC∥OP.
求证：BC是⊙O的直径．
分析：确定BC是直径的方法有：(1)BC过圆心；(2)弧BC所对的圆周角为90°；(3)圆内接三角形为直角三角形，BC所对的角为直角．本题证明△ABC为直角三角形，即∠BAC＝90°.
证明：如图，连接AB.
∵PA、PB分别切⊙O于A、B，
∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO.
∴OP⊥AB.∵AC∥OP，
∴AC⊥AB.∴∠BAC＝90°.
∴BC是⊙O的直径．
点拨：过圆外一点有两条切线，通常作连接两切点的辅助线．
1．如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是( )．
A．4 B．8 C．4 D．8
答案：B
2．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠BAC＝25°，则∠P＝________度．
答案：50
3．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C.写出图中互相垂直的线段有____⊥____；____⊥____；____⊥____(写出三对线段)．
答案：OA PA OB PB PC AB
4．如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，若PA＝8 cm，C是上的一个动点(点C与A、B两点不重合)，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E，则△PED的周长是__________．
解析：由切线长定理得DA＝DC，EC＝EB，PA＝PB，△PED的周长等于PA＋PB＝16 cm.
答案：16 cm
5．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，C是⊙O上一点，若∠APB＝40°，求∠ACB的度数．
解：连接AO、BO.
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°.
∴∠AOB＝360°－∠PAO－∠PBO－∠APB＝360°－90°－90°－40°＝140°.
∴∠ACB＝70°.
