课件20张PPT。24.5 三角形的内切圆沪科版九年级（下册）1、确定一个圆的位置与大小的条件是什么？①圆心与半径2、叙述角平分线的性质与判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
判定：到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.3、下图中△ABC与圆O的关系？△ABC是圆O的内接三角形；
圆O是△ABC的外接圆
圆心O点叫△ABC的外心知识回顾或②不在同一直线上的三点ABCO 李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大.
下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下.思考ABC三角形的内切圆Or课题思考下列问题：1．如图1，若⊙O与∠ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？圆心O在∠ABC的平分线上.?2．如图2，如果⊙O与△ABC的内角∠ABC的两边相切，且与内角∠ACB的两边也相切，那么此⊙O的圆心在什么位置？圆心O在∠BAC、∠ABC与∠ACB的三个角的角平分线的交点上. OMABCN探究：三角形内切圆的作法图13．如何确定一个与三角形三边都相切的圆的圆心位置与半径的长？ 4．你能作出几个与一个三角形的三边都相切的圆么？内切圆圆心能否在三角形外部？ 作出三个内角的平分线，三条内角
平分线相交于一点，这点就是符合
条件的圆心，过圆心作一边的垂线，
垂线段的长是符合条件的半径. 只能作一个，圆心也只能在三角形内部,因为三角形的三条内角平分线在三角形内部,且相交只有一个交点. IFCABEDI作法： ABC1. 作∠B、∠C的平分线
BM和CN，交点为I. 2．过点I作ID⊥BC，
垂足为D. 3．以I为圆心，ID为
半径作⊙I.
⊙I就是所求的圆. MN试一试,你能画出一个三角形的内切圆吗？
每个学习小组请交流你们的画图方法1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.识记2、性质: 内心到三角形三边的距离相等；内心与顶点连线平分内角.三角形三边
中垂线的交
点1.OA=OB=OC
2.外心不一定在三角形的内部．三角形三条
角平分线的
交点1.到三边的距离
相等；
2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB
3.内心在三角形内部．OABC例1 如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱. 圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径.CABrOD由等边三角形和三角形内切圆的性质可以想到什么?如图是这个木模的俯视图CABrOD例1 如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱.圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径.解： 如图是这个木模的俯视图，设圆O切AB于点D，连接OA、
OB、OD.∵圆O是△ABC的内切圆,∴AO、BO是∠BAC、∠ABC的角平分线∵ △ABC是等边三角形,∴ ∠OAB=∠OBA=30o∵OD⊥AB，AB=3cm，∴AD=BD= AB=1.5(cm)∴OD=AD· tan30o= (cm)答:圆柱底面圆的半径为 cm.例２ 如图，已知⊙O 是△ABC的内切圆，切点分别点D、E、F，设△ABC周长为L.
求证：AE＋BC= LOABCFE想一想：
常用辅助线及切线的性质D圆内接平行四边形是矩形圆外切平行四边形是_______F延伸与拓展菱形EGH变式：
求边长为a的等边三角形的
内切圆半径r与外接圆半径R的比. 课本课内练习题1：
求边长为6 cm的等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R.老师提示：
先画草图，由等腰三角形底边上的中垂
线与顶角平分线重合的性质知，等边三角形
的内切圆与外接圆是两个同心圆.sin∠OBD = sin30°= 课本课内练习题２：
设△ABC的面积为S，周长为L， △ABC内切圆
的半径为r，你能
得到S= Lr吗？想想：
要求出三角形的面积
需要哪些量?
根据三角形内心的性质,
可以如何添加辅助线?ABCOcDEr如：直角三角形的两直角边分别是5cm，12cm，则其内切圆的半径为______. 补充题：
如图，直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边为c，则其内切圆的半径r为：
（以含a、b、c的代数式表示r）2cm探究活动以某三角形的内心为圆心，
作一个圆使它与这个三角形
的某一条边（或所在的直线）有两个交点，那么这个圆与其他两边（或所在的直线）有怎样的位置关系？仔细观察图形，你还能发现什么规律？再作几个三角形试一试，是否有同样的规律？请说明理由．OABCFＥDGHI我有哪些收获？
---与大家共分享！学 而 不 思 则 罔回头一看，我想说…１.定义２.内心的性质４.初步应用３.画三角形的内切圆知 识 的 应 用再见24.5 三角形的内切圆
学前温故
1．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心叫做三角形的外心．这个三角形叫做圆的内接三角形．
2．三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．
新课早知
1．与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形．
2．三角形的内心到三角形的三边距离相等．
三角形的内切圆
【例1】如图(1)，在△ABC中，⊙I是△ABC的内切圆，和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F.试猜想∠FDE与∠A的关系，并说明理由．
分析：∠FDE是圆周角，∠FIE是同弧所对的圆心角，要确定∠FDE与∠A的关系，可首先确定∠FIE与∠A的关系．
解：∠FDE＝90°－∠A.理由如下：
如图(2)，连接IE、IF.
∵CA、AB分别与圆I相切于点E、F，
∴IE⊥CA、IF⊥AB.
∴∠AEI＝∠AFI＝90°.
∴∠FIE＝360°－90°－90°－∠A＝180°－∠A.
∵∠FIE＝2∠FDE＝180°－∠A，
∴∠FDE＝90°－∠A.
点拨：连接圆心和切点是常作的辅助线．
【例2】 如图①，在△ABC中，∠C＝90°，它的三边分别为a、b、c，内切圆的半径为r，切点分别为D、E、F.
(1)试用a、b、c表示内切圆的半径r；
(2)若a＝6，b＝8，求此三角形内切圆的面积．(用π表示)
分析：(1)切线长定理的灵活运用是解决此题的关键；(2)首先利用勾股定理求出斜边的长，然后根据(1)中得出的结论求内切圆的半径，最后利用面积公式计算面积．
解：(1)连接OF、OE，如图②.
在Rt△ABC中，
∵AC、BC分别是⊙O的切线，
∴OF⊥AC，OE⊥BC.
又∠C＝90°，OE＝OF＝r，
∴四边形OECF是正方形．
∴CF＝CE＝r，AD＝AF＝b－r，BD＝BE＝a－r.
∴c＝AD＋BD＝b－r＋a－r.
∴r＝.
(2)在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，a＝6，b＝8，
∴c＝＝10.
∴r＝＝＝2.
∴S内切圆＝π22＝4π.
点拨：直角三角形内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半，这是计算直角三角形内切圆半径的常用方法．
1．等边三角形的外接圆的面积是内切圆面积的( )．
A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．5倍
答案：C
2．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠BAC＝50°，则∠BOC为________度．
答案：115
3．如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠ACB＝90°，∠BOC＝105°，BC＝20(＋1)，求⊙O的半径．
解：如图，四边形DOEC为正方形，△OEB为直角三角形．
又∠BOC=105°，∠COE=45°，所以∠BOE=60°，∠OBE=30°.
所以BE=OE.
设⊙O的半径为r，则BE+CE=r+=r(1+)=20(+1)，解得r=20.
