课件15张PPT。24.6 正多边形与圆
(第1课时)沪科版九年级（下册）图片欣赏正多边形：
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
正n边形：如果一个正多边形有n(n≥3)条边，那么这个正多边形叫做正n边形。三条边相等，三个角也相等（60度）。四条边都相等，四个角也相等（90度）。知识回顾
1、菱形是正多边形吗？矩形呢？正方形呢?
为什么？
想一想２、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。
３、边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。
弦相等（多边形的边相等）
弧相等—
圆周角相等（多边形的角相等） —多边形是正多边形⌒⌒⌒123ABCDE4⌒⌒5.O中心角半径R边心距r正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心.正多边形的半径:
外接圆的半径正多边形的中心角:
正多边形的每一条
边所对的圆心角.正多边形的边心距：
中心到正多边形的一边的距离.
AB.O中心角ABG边心距把△AOB分成
2个全等的直角三角形设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.Ra例 有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形,
求地基的周长和面积(精确到0.1平方米).
.OBCrRP解:∴亭子的周长 L=6×4=24(m)1、正n边形的一个内角的度数是_________;
中心角是___________;
２、正多边形的中心角与外角的大小关系是 ________.
相等3、正方形ABCD的外接圆圆心
O叫做正方形ABCD的_______.
4、正方形ABCD的内切圆的
半径OE叫做正方形
ABCD的_________.
中心边心距.OO５、图中正六边形ABCDEF的中心角是
它的度数是 ∠AOB60度能力提升1. 如图，在同心圆中，两圆半径分别为2、1，∠AOB= 120°，则阴影部分的面积为 ( ) A.4π B.2π C.4/3π D.π
B2. 如图，△ABC为等腰直角三角形，∠A=90°，AB=AC=2，⊙A与BC相切，则图中阴影部分的面积为( )
A.1- B.1-
C.１- D.１-
C 3、 如图所示, 已知正六边形ABCDEF的边长为2厘米, 分别以每个顶点为圆心, 以1厘米为半径作弧, 求这些弧所围成的图形(阴影部分)面积.(精确到0.1平方厘米).HGO课件8张PPT。24.5 正多边形与圆
(第2课时)沪科版九年级（下册）多姿多彩的正多边形:生活中的正多边形图案活动1几种常见的正多边形 由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一。
怎样画一个正多边形呢？
问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形.
120 °①用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．
②用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°．
AOCB活动2活动3 你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？·ABCDOOABCDEF·90°72°60°活动4 你能尺规作出正四边形、正八边形吗？·ABCDO只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形…… 活动5 你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？OABCEF·D 以半径长在圆周上截取六段相等的弧，依次连结各等分点，则作出正六边形.
先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形……… 活动6 说说作正多边形的方法有哪些?归纳
（1）用量角器等分圆周作正n边形；
（2）用尺规作正方形及由此扩展作正八边形, 用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正三角形． 24．6.2 正多边形的性质
学前温故
1．正三角形有三条对称轴．
2．正三角形ABC的边长为a，则其外接圆的半径为a，内切圆半径为a.
新课早知
1．定理：任何正多边形都有一个外接圆和内切圆，这两个圆同心．
2．把一个正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，正n边形的每个中心角都等于.
3．正多边形都是轴对称图形．如果正多边形有偶数条边，那么它又是中心对称图形．
正多边形的有关计算
【例1】如图，正n边形边长为a，边心距为r，求：正n边形的半径R，周长P和面积S.
分析：正多边形都有一个外接圆，利用外接圆求解，将正多边形的问题转化为解直角三角形问题．
解：如图，∵OM⊥AB于M，
∴AM＝BM＝AB＝a.
在Rt△AOM中，R＝
＝＝.
∵正n边形边长为a，
∴正n边形周长P＝na.
∵△AOB的面积＝ABOM＝ar，在正n边形中，这样的三角形共有n个，正n边形面积S＝nar.
点拨：正n边形的半径R，边心距r和边长的一半恰好构成直角三角形，在正n边形中，共有2n个这样的直角三角形．
【例2】如图(1)，求中心在坐标原点O，顶点A、D在x轴上，半径为4cm的正六边形AB CDEF的各个顶点的坐标．
分析：根据正六边形的半径可直接得出点A和点D的坐标，连接OB、OC，构造出直角三角形OBG，求出点B的坐标，根据正六边形的对称性可求出其他各顶点的坐标．
解：连接OB、OC，如图(2)．
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝()°＝60°.
∵OB＝OC，∴△BOC为正三角形．
又∵正六边形关于y轴对称，
∴∠BOG＝30°.
在Rt△BOG中，∠OGB＝90°，OB＝4 cm，BG＝BO＝2 cm，
OG＝＝＝2(cm)．
∴点B的坐标为(－2，－2)．
由正六边形的轴对称性和中心对称性可知C(2，－2)、E(2,2)、F(－2,2)、A(－4,0)、D(4,0)．
点拨：利用正多边形的半径、边心距和边长的一半组成的直角三角形是求正多边形中的有关线段的长，解决正多边形计算题的常用的方法．
1．如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ等于( )．
A．60° B．65°
C．72° D．75°
答案：D
2．下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是( )．
A．等边三角形 B．正方形
C．正六边形 D．圆
答案：A
3．下列说法不正确的是( )．
A．圆内接正n边形的中心角为
B．各边相等，各角相等的多边形是正多边形
C．各边相等的圆内接多边形是正多边形
D．各角相等的多边形是正多边形
答案： D
4．已知正n边形的周长为P，边心距为r，求：正n边形的面积S.
解：周长P＝na(其中a表示正n边形的边长)，正n边形面积S＝nar，
所以正n边形面积S＝nar＝Pr.
5．如图，要在圆形的铁片上剪出一个边长为a的正三角形的铁片，圆形铁片的半径至少是多少？
解：连接OB、OC，过点O作OD⊥BC于点D.
∵△BAC是正三角形，
∴∠BOC=()°=120°.
∵OB=OC，OD⊥BC于点D，
∴∠BOD=60°，∠OBD=30°，BD=BC=a.
设OD=x，则OB=2x.
在Rt△BOD中，
OB2－OD2=(a)2，(2x)2－x2=，
∵x为正数，解得x=，OB=2x=a.
∴圆形铁片的半径为a.
24．6.1 正多边形与圆
学前温故
1．正三角形的三条边都相等，三个角都等于60°.
2．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心．这个三角形叫做圆的内接三角形．
3．与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形．
新课早知
1．各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．
2．定理：把圆分成n(n≥3)等份：
(1)依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；
(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形．
正多边形的判定
【例题】如图，⊙O的内接等腰△ABC，AB＝AC，弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，BE＝BC.求证：五边形AEBCD是正五边形．
分析：利用定义判断正多边形．
证明：在△ABC中，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
又∵BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ACE＝∠ECB.
∴.
又∵BE＝BC，∴.
∴点A、E、B、C、D把圆O五等分．
∴五边形AEBCD是正五边形．
点拨：利用定义判断正多边形；此题可以推广到边数是n的多边形．
1．张珊的父母打算购买形状和大小都相同的正多边形瓷砖来铺卫生间的地面，张珊特意提醒父母，为了保证铺地面时既没有缝隙，又不重叠，所购瓷砖形状不能是( )．
A．正三角形 B．正方形
C．正六边形 D．正八边形
答案：D
2．正八边形的每个内角为( )．
A．120° B．135° C．140° D．144°
答案：B
3．下图是中国共产主义青年团团旗上的图案(图案本身没有字母),5个角的顶点A、B、C、D、E把外面的圆5等分，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝________.
解析：如图，AD交BE、CE于点F、G，则∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A＋∠C，所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝∠EFG＋∠EGF＋∠E＝180°.
答案：180°
4．如图，在正六边形ABCDEF中，G是BF的中点，作GH⊥AB于H.
求证：AH∶AB＝1∶4.
证明：∵AB＝AF，G是BF的中点，∴AG⊥BF.
又∠BAF＝(6－2)180°＝120°，
∴∠ABG＝30°＝∠AGH.
设AH＝x，则AG＝2x，AB＝4x.
∴AH∶AB＝x∶4x＝1∶4.
