重庆市长寿区七校联盟2023-2024学年高一下学期7月期末检测（B）数学试题（含答案）

长寿区七校联盟2023-2024学年高一下学期7月期末检测（B）
数学试题
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，满足，且，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.在中， 、 、 分别是内角 、 、 所对的边，若，，，则边 ( )
A. B. 或 C. 或 D.
5.科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号如图是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器，年月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成次升空大气科学观测，最高升空至米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力，“极目一号”Ⅲ型浮空艇长米，高米，若将它近似看作一个半球，一个圆柱和一个圆台的组合体，轴截面图如图所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积约为( )
A. B. C. D.
6.如图，在长方体中，若，，，分别是棱，，，的中点，则下列结论一定成立的是( )
A. 四边形是矩形 B. 四边形是正方形
C. D. 平面平面
7.有一个样本量为的数据分组，各组的频数如下：
分组
频数
根据频数分布，估计小于的数据大约占总体的( )
A. B. C. D.
8.一个电路如图所示，为个开关，其闭合的概率均为，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每题6分，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在菱形中，，延长边至点，使得动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则( )
A. 满足的点有且只有一个 B. 满足的点有两个
C. 存在最小值 D. 不存在最大值
10.如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是( )
A. 圆锥 的侧面积为
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 的取值范围是
D. 若，为线段上的动点，则的最小值为
11.一工厂将两盒产品送检，甲盒中有个一等品，个二等品和个三等品，乙盒中有个一等品，个二等品和个三等品．先从甲盒中随机取出一个产品放入乙盒，分别以，和表示由甲盒取出的产品是一等品，二等品和三等品的事件；再从乙盒中随机取出一产品，以表示由乙盒取出的产品是一等品的事件．则下列结论中正确的是( )
A. ； B. ；
C. 事件与事件相互独立； D. ，，是两两互斥的事件．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设复数，，满足，，则 ．
13.若一组数据，，，的方差是，则数据，，，的方差是 ．
14.已知平面向量，，满足，，，且，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分在中国共产主义青年团成立周年之际，某校举办了“强国有我，挑战答题”的知识竞赛活动，已知甲、乙两队参加，每队人，每人回答且仅回答一个问题，答对者为本队赢得分，答错得分．假设甲队中人答对的概率分别为，，，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答问题正确与否互不影响．
分别求甲队总得分为分和分的概率；
求活动结束后，甲、乙两队共得分的概率．
16.本小题15分某种经济树木根据其底部周长的不同售价有所差异，底部周长在为三类树，底部周长在为二类树，底部周长大于或等于为一类树为了解一大片该经济林的生长情况，随机测量其中株树木的底部周长单位：，数据均落在之间，按照，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．
估计该片经济林中二类树约占多少
将同组中的每个数据都用该组区间中点的数值代替，试估计该经济林中树木的平均底部周长．
17.本小题15分在中，，，设为外接圆的圆心．
求，
若，设，求，的值．
18.本小题17分如图，在直角梯形中，，，，是的中点，与交于点，将沿向上折起，得到图的四棱锥．
证明：平面
若，求二面角的正切值．
19.本小题17分在中，内角的对边分别为，且．
求．
若，点是边上的两个动点，当时，求面积的取值范围．
若点是直线上的两个动点，记若恒成立，求的值．
数学参考答案
1-5.BCBCA 6-8.AAC
9. 10. 11.
12.； 13. ； 14.
15.解：设甲队总得分为分为事件，甲队总得分为分为事件，
则．
．
所以甲队总得分为分的概率为，分的概率为．
依题意甲队总得分为分，即道题全部错误的概率为
．
得分的概率为，得分的概率为，得分的概率为；
乙队总得分为分的概率为，得分的概率为，
得分的概率为，得分的概率为．
则活动结束后，甲、乙两队共得分的概率
．
16.解：由频率分布直方图可得，
，
所以，解得．
因为底部周长在为二类树，
所以由图可得，．
答：该片经济林中二类树木约占。
由题意可得，
答：估计该经济林中树木的平均底部周长为．
17.解：如图，由于为外接圆的圆心，所以．
设，的中点分别为，，连接，，则，．
故．
同理可得．
由可得
．
即解得，．
18.解：证明：在图中，连接，由已知得，，是的中点，
，，
四边形是平行四边形，，
同理可证四边形是平行四边形，，且，
四边形是正方形，，
在图中，，，
又，、平面，
平面，又，
平面．
，是等边三角形，
过作于点，则为中点，过作交延长线于点，连接．
平面，平面，
，又，，、平面，
平面，又平面，
，又，，、平面，
平面，平面，
，
即为二面角的平面角．
在等边中，，则，
在上图中，点为的中点，，，
可得，
在中，，
二面角的正切值为．

19.解：，由正弦定理得
，
因为，
所以，
因为，所以，
由，可得，即
，所以，
由正弦定理可得，
则，
得，
则或舍去，
所以；
因为，所以，，设，
当时，不存在即点与点重合，
此时，，，；
当时，不存在即点与点重合，
此时，为等边三角形，
；
当时，在中，由正弦定理得，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以
，
的面积
，
因为，
所以，
则，
综上所述面积的取值范围为 ；
因为，
所以，
则，
即，
又是定值，所以是定值，
所以，因为为的内角，
所以，
故的值为．