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第二章 对称图形—圆 单元重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（2023·江苏徐州·模拟预测）在平面直角坐标系中，若的半径是10，圆心O的坐标是，点M的坐标是，则点 M 与的位置关系是（ ）
A．点M 在内 B．点M在上 C．点M在外 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查点和圆的位置关系，根据M点坐标和勾股定理可计算出的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断即可解题．
【详解】解：∵，
∴点M在上，
故选B
2．（23-24九年级上·北京大兴·期末）若圆的半径为1，则的圆心角所对的弧长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键．
根据弧长公式进行计算即可．
【详解】解：根据题意得．
故选：D．
3．（2023·江苏淮安·二模）如图，是上三点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查圆周角定理，等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质以及圆周角定理是正确解答的前提．先证明是等边三角形得到，再利用圆周角定理可得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故选：A．
4．（2024·四川成都·三模）半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为，则这个内接正多边形的边长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质是正确解答的前提．
根据正六边形的性质，正三角形的性质进行计算即可．
【详解】解：如图，
∵半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为，
∴，
∴，
∴的内接正多边形是六边形，
，
，
∴是正三角形，
，
∴正六边形的边长为2，
故选：B．
5．（2024·山西阳泉·模拟预测）中国古代的文人士大夫喜欢在折扇上题词作画，即使折扇受损失去其纳凉功能，也会被人们揭裱保存成为收藏品．如图是一把题了字画的折扇，折扇的骨柄长为，折扇张开后的扇形圆心角为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式：(弧长为，圆心角度数为，圆的半径为)是解题的关键．
根据弧长公式计算即可．
【详解】解：∵，，
∴的长为：．
故选：A．
6．（2024·江苏徐州·二模）如图，是的直径，点C在的延长线上，与相切，切点为D．已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，是的直径，根据圆周角定理可知，由切线性质定理知，结合半径相等，即，从而利用三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和可求．本题主要考查切线的性质，圆周角定理，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键．
【详解】解：连接，
是的直径，
，，
∵与相切，切点为D．
∴，
∵，
∴，
，
．
故选：B．
7．（2024·江苏南通·二模）如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数（）的图像上，D为y轴上一点，的面积为，则k的值是（ ）
A．7 B．14 C．21 D．28
【答案】B
【分析】本题考查了圆的切线的性质，反比例函数比例系数k的几何意义；连接，由题意易得，由反比例函数比例系数k的几何意义即可求得k的值；通过辅助线把的面积转化为的面积是解题的关键．
【详解】解：连接，如图；
与x轴相切，为的直径，
，，
，
，
即，
，
；
故选：B．
8．（2024·辽宁铁岭·三模）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径作弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”，若该“莱洛三角形”的面积为，则等边三角形的边长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【分析】本题考查了等边三角形的性质，扇形面积公式，解直角三角形等知识，熟练掌握等边三角形的性质和扇形面积公式是解题的关键．过点作于点，设等边三角形的边长为，求出等边的面积为，根据“莱洛三角形”的面积为列方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：过点作于点，设等边三角形的边长为，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴等边的面积为，
∴，
∴，
∴或（不合题意，舍去）
∴等边三角形的边长为，
故选：A．
9．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的内切圆和面积，设的内切圆为，与 分别相切于点，由，，得，，连接，由可得，即得，同理得，进而即可求解，正确地作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：设的内切圆为，与 分别相切于点，
∵，，，
∴，
，
∵为斜边上的中线，
∴，
∴，
连接，则，
∵ ，且，，，
∴，
解得，
同理可得，，
解得，
∴，
故选：．
10．（23-24九年级下·山东日照·期中）如图，已知正方形的边长为2，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正方形的性质得到，推出，得到点F在以为直径的半圆上移动，如图，设的中点为O，正方形关于直线对称的正方形，则点的对应点是B，连接交于E，交半圆O于F，线段的长即为的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点F在以为直径的半圆上移动，
如图，设的中点为O，正方形关于直线对称的正方形，则点的对应点是B，
连接交于E，交半圆O于F，线段的长即为的长度最小值，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长度最小值为，
故选：A．
【点睛】此题考查了正方形的性质，圆周角定理，轴对称的性质，点的运动轨迹，勾股定理，最小值问题，正确理解点的运动轨迹是解题的关键．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．（2024·江苏扬州·一模）已知一个圆锥的底面半径为，侧面展开圆心角的度数为，则该圆锥的母线长为 ．
【答案】3
【分析】考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
利用圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长即可求解．
【详解】解：设母线长为，则，
解得：．
故答案为：3．
12．（2024·江苏盐城·一模）圆锥的底面半径为，侧面展开图的面积是，则该圆锥的母线长为 cm．
【答案】5
【分析】本题考查了圆锥的计算，首先求得圆锥的底面周长，然后根据“圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2”即可到关于母线长的方程，解方程求得母线长．
【详解】圆锥的底面周长是：，
设圆锥的母线长是，则，
解得：；
故答案为：5．
13．（2024·江苏宿迁·三模）如图四边形内接于，是直径，．若，则 °．
【答案】68
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质．根据圆内接四边形的性质求出，根据等腰三角形的性质求出，根据平行线的性质解答即可．
【详解】解：四边形内接于，
，
，
，
，
，
，
∵，
，
故答案为：68．
14．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽，水的最大深度，则此管件的直径为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，即可得到答案．
【详解】解：连接，如图所示：
由题意知，，
∵，
∴，
设的半径为，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
∴此管件的直径为，
故答案为：．
15．（2024·山西大同·二模）如图是同学们设计的“心”形图案，正方形的边长为，以为圆心，长为半径作扇形，又分别以和的长为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查求不规则图形的面积，用正方形的面积减去一个扇形的面积加上两个半圆的面积即可得出结果．
【详解】解：由图可知：
阴影部分的面积
；
故答案为：．
16．（2024·江苏南京·三模）如图，正方形的边与相切于点，是正方形与圆的另两个交点．若，则 ．
【答案】//
【分析】本题主要考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、切线的性质定理、垂径定理、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接并延长交于点，连接，首先证明四边形为矩形，易得，，进而可得，，然后在中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：连接并延长交于点，连接，如下图，
∵四边形为正方形，
∴，，
∵与相切于点，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，即，
∴，，
∴在中，可有，
即，解得．
故答案为：2.5．
17．（2024·江苏淮安·二模）如图所示，在直角坐标系中，点坐标为，的半径为，为轴上一动点，切于点，则最小值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了切线的性质、坐标与图形、勾股定理、垂线段最短等知识，解题关键是将问题进行转化，再根据垂线段最短的性质进行分析．连接，，根据切线的性质定理可得，要使最小，只需最小即可，根据垂线段最短，当轴时，取最小值，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接，，
根据切线的性质定理，得．
要使最小，只需最小，
则根据垂线段最短，当轴于时，取最小值，
此时点的坐标是，，
在中，，
∴，
则最小值是．
故答案为：．
18．（23-24九年级下·河南新乡·期中）如图，为的直径，，分别与相切于点，，经过上一点，，若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】连接，，过点作，垂足为点，根据题意可得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据切线的判定定理即可证明是的切线，根据切线的性质以及矩形的判定和性质可得，，得出，根据切线长定理可得，，
得出，根据勾股定理即可求得的长．
【详解】解：如图：连接，，过点作，垂足为点，
∵是的切线，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线，
∵是的切线，
∵，
∵，，，
即，
∴四边形是矩形，
∴，，
则，
∵是的切线，是的切线，是的切线，
∴，，
∴，
∵，
在中，，
即，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，切线长定理，勾股定理，矩形的判定和性质，根据切线长定理得出，是解题的关键．
三、解答题（10小题，共64分）
19．（21-22九年级上·陕西安康·期末）圆锥的底面直径是，母线长．求它的侧面展开图的圆心角和圆锥全面积．
【答案】圆心角，圆锥全面积为
【分析】圆锥的全面积是底面圆面积与侧面扇形的面积之和，侧面圆心角所对的弧长与所对整圆周长成比例，由此即可求解．
【详解】解：已知，，
∴，
底面圆的周长，
圆锥侧面积，
圆锥底面积，
圆锥全面积．
圆心角．
【点睛】本题主要考查圆锥的侧面的圆心角，圆锥的全面积的计算，掌握扇形圆心角的计算，圆锥全面积的计算是解题的关键．
20．（22-23七年级上·江苏盐城·期中）如图，已知长方形的宽，以为圆心，长为半径画弧与边交于点，连接，若计算结果保留)
(1)用含的代数式表示图中阴影部分的面积；
(2)当时，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）阴影部分的面积是长方形的面积减去半圆的面积，再减去三角形的面积，且，由此即可求解；
（2）根据（1）中的计算结果，将代入计算即可．
【详解】（1）解：设，，
∴，
∴
，即阴影部分的面积是．
（2）解：由（1）可知，，
∴，
即时，阴影部分的面积是．
【点睛】本题主要考查圆与三角形，长方形的综合运算，理解图形的组成，找出各图形间的关系是解题的关键．
21．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，．经过三点．
(1)在网格图中画出圆M（包括圆心），并且点的坐标： ；
(2)判断与轴的位置关系： ．
【答案】(1)见解析，
(2)相交
【分析】本题考查了过三点的圆，圆与直线的位置关系，解题的关键是掌握三点定圆的方法；
（1）作、的垂直平分线交于点，则为圆心，的长为半径的圆即为所求；
（2）确定圆的半径及圆心到轴的距离即可判断；
【详解】（1）解：连接、，分别作、的垂直平分线交于点，以为圆心，的长为半径的圆即为所求，如图所示：
点坐标为：
故答案为：；
（2）∵，
即：的半径，
点到轴的距离，
∵，
∴与轴相交，
故答案为：相交．
22．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知：如图，是的直径，弦于点，是上的一点，、的延长线交于点
(1)求证：；
(2)若 ，的度数为，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用，可得，再根据圆内接四边形性质可得，即可得到结论；
（2）利用，可得，根据圆周角定理得到，再根据直角三角形两锐角互余即可得到的度数；
【详解】（1）解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
即：
（2）∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆内接四边形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，掌握垂径定理是是解决本题的关键．
23．（22-23九年级上·江苏泰州·期末）如图，点在的直径的延长线上，点在上，连接、．
(1)给出下列信息：①；②；③与相切．
请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，第三个作为结论，组成一个正确的命题并作出证明．你选择的条件是_______________，结论是________________（填写序号，只需写出你认为正确的一种情形）．
(2)在（1）的条件下，若，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)①②，③，证明过程见详解
(2)
【分析】（1）证明是的切线，根据，，可证明，由此即可求证；
（2）如图所示（见详解），作于，在中，可求出，在中，可求出，，，根据，即可求解．
【详解】（1）解：选择①②可证明③或选择①③可证明②或选择②③可证明①，
以选择①②可证明③为例证明，
证明：如图所示，连接，
，
，
，
，即，点在上，
∴与相切．
故答案为：①②，③．
（2）解：如图所示，作于，
在中，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查圆的基础知识，切线的证明，不规则图形的面积，掌握圆的切线的证明方法，观察图形的组成部分，几何图形的面积计算方法是解题的关键．
24．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，四边形内接于，为的直径，平分．
(1)试判断的形状，并给出证明；
(2)若，求的长度．
(3)在（2）的条件下，求点到的距离．
【答案】(1)
是等腰三角形；
(2)的长为
(3)点到的距离为
【分析】本题主要考查圆与几何图形的综合，理解并掌握等角所对的弧相等，等腰三角形的判定方法，勾股定理，等面积法求高的方法是解题的关键．
（1）根据直径所对圆周角为直角可得，根据角平分线的性质可得，由此可得，，由此即可求证；
（2）根据勾股定理可求出的长，根据直径所对圆周角为直角可得是直角三角形，再根据勾股定理即可求解；
（3）运用等面积法即可求解．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（2）解：由（1）可知是等腰直角三角形，
∴，
∵是直径，
∴，
在中，，
∴的长为；
（3）解：如图所示，过点作于点，
∵，
∴，
∴点到的距离为．
25．（2024·江苏镇江·二模）如图①，四边形是菱形，是的外接圆．
(1)求证：圆心O在直线上；
(2)如图②，当时，求证：与相切；
(3)当与菱形的边有五个公共点时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）如图①，连接，由菱形，可得，，由是的外接圆，可得，则是线段的垂直平分线，即，由，可知三点共线，进而结论得证；
（2）如图②，连接，证明是等边三角形，，，同理（1）可知，是线段的垂直平分线，则，，即，进而结论得证；
（3）由（2）可知，当时，与菱形的边有3个公共点，当四边形为正方形时，四边形的边与共有4个公共点，进而可知当时，与菱形的边有五个公共点．
【详解】（1）证明：如图①，连接，
∵菱形，
∴，，
∵是的外接圆，
∴，
∴是线段的垂直平分线，即，
∵，
∴三点共线，即圆心O在直线上；
（2）证明：如图②，连接，
∵菱形，，
∴，，
∴是等边三角形，，
∴，
同理（1）可知，是线段的垂直平分线，
∴，
∴，即，
又∵是半径，
∴与相切；
（3）解：由（2）可知，当时，与菱形的边有3个公共点，
当四边形为正方形时，四边形的边与共有4个公共点，
∴当时，与菱形的边有五个公共点，
∴的取值范围为．
【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的判定，等边三角形的判定与性质，切线的判定，外接圆，正方形的性质等知识．熟练掌握菱形的性质，垂直平分线的判定，等边三角形的判定与性质，切线的判定，外接圆，正方形的性质是解题的关键．
26．（2024·江苏南京·三模）如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，则，则，得到，由得到，从而得证结论；
（2）由线段是的直径，得到，从而，，因此，得证．
（3）由，，得到，从而是等边三角形，，进而，则，由得到．
【详解】（1）证明：连接，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，且，
∴直线是的切线．
（2）证明：∵线段是的直径，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴
∴，
∵在等边中，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定，等腰三角形的判断及性质，等边三角形的判定及性质，含角的直角三角形的性质，综合运用相关知识是解题的关键．
27．（2024·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，对于两点和直线，过点作直线的垂线，垂足为点，若点关于点的对称点为点，则称点为点关于直线和点的“垂足对称关联点”．已知点．
(1)①点关于轴和点的“垂足对称关联点”的坐标为______；
②点为点关于直线和点的“垂足对称关联点”，则点到直线的距离为______；
(2)如图，点在线段上，点在轴下方，且满足，若直线上存在点关于轴和点的“垂足对称关联点”，求的取值范围．
【答案】(1)①；②1
(2)
【分析】（1）依据“垂足对称关联点”的定义，中点坐标公式解决即可；
（2）①以点O为圆心，为半径作圆，当直线与圆O相切时，b最大，此时，过点O作直线的垂线，则，且，据此求出b的值；②当点D与点重合时，点G关于点A的对称点H最远，此时b最小，求出，由此得到的取值范围为．
【详解】（1）解：①如图，过点作x轴的垂线，则垂足B所表示的数为，
∵，
∴点关于轴和点的“垂足对称关联点”的坐标为，
故答案为：；
②∵，点，
∴它们的中点的坐标为，即，
∵点为点关于直线和点的“垂足对称关联点”，
∴点到直线的距离为1，
故答案为：1．
（2）
①如图，以点O为圆心，为半径作圆，当直线与圆O相切时，b最大，此时，过点O作直线的垂线，则，且，
∵点D与点E的中点为O，
∴点C与点B重合，
∵，
∴,
∴；
②当点D与点重合时，点G关于点A的对称点H最远，此时b最小，如图，
∵，
∴点G关于点A的对称点H的坐标为,
将代入，得，
∴的取值范围为．
【点睛】此题考查了对称的性质，一次函数的性质，坐标系中中点坐标公式，（2）根据对称的性质确定最高点及最远点是难点，正确理解对称的性质是解题的关键．
28．（2024·江苏徐州·三模）【问题情境】
如图，是外的一点，直线分别交于点、．
小明认为线段是点到上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在上任意取一个不同于点的点，连接、，则有，即，由得，即，从而得出线段是点到上各点的距离中最短的线段．
小红认为在图中，线段是点到上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由．
【直接运用】
如图，在中，，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是______；
【构造运用】
如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值．
【深度运用】
如图，已知点在以为直径，为圆心的半圆上，，以为边作等边，则的最大值是________．
【答案】问题情境：正确，理由见解析；直接运用：；构造运用：；深度运用：
【分析】问题情境∶根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解；
直接运用∶取半圆的圆心，连接交半圆于点，则当与点重合时，最小，由勾股定理得，从而即得解；
构造运用：由折叠知，进而得点，，都在以为直径的圆上．如图，以点为圆心，为半径画，连接．当长度取最小值时，点在上，过点作于点，根据菱形的性质及勾股定理即可得解；
深度运用：如图，在的上方作等边，连接，取的中点连接，证明，得，点在以为直径的半圆上，进而利用
勾股定理及三角形的两边之和大于第三边即可得解．
【详解】解：问题情境∶小红的说法正确，
在圆О上任意取一个不同于点的点，连接、，
∵在中，>，
∴>，即>．
∴线段是点Р到圆О上各点的距离中最长的线段．
∴小红的说法正确；
直接运用∶取半圆的圆心，连接交半圆于点，则当与点重合时，最小，
∵，，
∴，，
∴，
∴的最小值为
故答案为：．
构造运用：由折叠知，
∵是的中点，
∴，
∴点，，都在以为直径的圆上．如图，以点为圆心，为半径画，连接．
当长度取最小值时，点在上，
过点作于点，
∵在边长为的菱形中，
，为中点，
∴，，
∴，
∴．
∴，
∴，
；
深度运用：如图，在的上方作等边，连接，取的中点连接，
∵是半圆的直径，
∴，
∵和都是等边三角形，
∴，，即，
∴，
∴，
∴，
∴点在以为直径的半圆上，
∵是的中点，，
∴，，
∴，
∴根据三角形的两边之和大于第三边可得的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，勾股定理，等边三角形的性质，圆周角定理的推论以及三角形的三边关系，熟练掌握勾股定理，等边三角形的性质，圆周角定理的推论以及三角形的三边关系是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
第二章 对称图形—圆 单元重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（2023·江苏徐州·模拟预测）在平面直角坐标系中，若的半径是10，圆心O的坐标是，点M的坐标是，则点 M 与的位置关系是（ ）
A．点M 在内 B．点M在上 C．点M在外 D．无法确定
2．（23-24九年级上·北京大兴·期末）若圆的半径为1，则的圆心角所对的弧长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·江苏淮安·二模）如图，是上三点，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川成都·三模）半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为，则这个内接正多边形的边长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．（2024·山西阳泉·模拟预测）中国古代的文人士大夫喜欢在折扇上题词作画，即使折扇受损失去其纳凉功能，也会被人们揭裱保存成为收藏品．如图是一把题了字画的折扇，折扇的骨柄长为，折扇张开后的扇形圆心角为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·江苏徐州·二模）如图，是的直径，点C在的延长线上，与相切，切点为D．已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·江苏南通·二模）如图，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，为的直径，点C在函数（）的图像上，D为y轴上一点，的面积为，则k的值是（ ）
A．7 B．14 C．21 D．28
8．（2024·辽宁铁岭·三模）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径作弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”，若该“莱洛三角形”的面积为，则等边三角形的边长为（ ）
A．1 B． C． D．2
9．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24九年级下·山东日照·期中）如图，已知正方形的边长为2，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．（2024·江苏扬州·一模）已知一个圆锥的底面半径为，侧面展开圆心角的度数为，则该圆锥的母线长为 ．
12．（2024·江苏盐城·一模）圆锥的底面半径为，侧面展开图的面积是，则该圆锥的母线长为 cm．
13．（2024·江苏宿迁·三模）如图四边形内接于，是直径，．若，则 °．
14．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽，水的最大深度，则此管件的直径为 ．
15．（2024·山西大同·二模）如图是同学们设计的“心”形图案，正方形的边长为，以为圆心，长为半径作扇形，又分别以和的长为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 ．
16．（2024·江苏南京·三模）如图，正方形的边与相切于点，是正方形与圆的另两个交点．若，则 ．
17．（2024·江苏淮安·二模）如图所示，在直角坐标系中，点坐标为，的半径为，为轴上一动点，切于点，则最小值是 ．
18．（23-24九年级下·河南新乡·期中）如图，为的直径，，分别与相切于点，，经过上一点，，若，，则的长为 ．
三、解答题（10小题，共64分）
19．（21-22九年级上·陕西安康·期末）圆锥的底面直径是，母线长．求它的侧面展开图的圆心角和圆锥全面积．
20．（22-23七年级上·江苏盐城·期中）如图，已知长方形的宽，以为圆心，长为半径画弧与边交于点，连接，若计算结果保留)
(1)用含的代数式表示图中阴影部分的面积；
(2)当时，求图中阴影部分的面积．
21．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，．经过三点．
(1)在网格图中画出圆M（包括圆心），并且点的坐标： ；
(2)判断与轴的位置关系： ．
22．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知：如图，是的直径，弦于点，是上的一点，、的延长线交于点
(1)求证：；
(2)若 ，的度数为，求的度数．
23．（22-23九年级上·江苏泰州·期末）如图，点在的直径的延长线上，点在上，连接、．
(1)给出下列信息：①；②；③与相切．
请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，第三个作为结论，组成一个正确的命题并作出证明．你选择的条件是_______________，结论是________________（填写序号，只需写出你认为正确的一种情形）．
(2)在（1）的条件下，若，求图中阴影部分的面积．
24．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，四边形内接于，为的直径，平分．
(1)试判断的形状，并给出证明；
(2)若，求的长度．
(3)在（2）的条件下，求点到的距离．
25．（2024·江苏镇江·二模）如图①，四边形是菱形，是的外接圆．
(1)求证：圆心O在直线上；
(2)如图②，当时，求证：与相切；
(3)当与菱形的边有五个公共点时，直接写出的取值范围．
26．（2024·江苏南京·三模）如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
27．（2024·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，对于两点和直线，过点作直线的垂线，垂足为点，若点关于点的对称点为点，则称点为点关于直线和点的“垂足对称关联点”．已知点．
(1)①点关于轴和点的“垂足对称关联点”的坐标为______；
②点为点关于直线和点的“垂足对称关联点”，则点到直线的距离为______；
(2)如图，点在线段上，点在轴下方，且满足，若直线上存在点关于轴和点的“垂足对称关联点”，求的取值范围．
28．（2024·江苏徐州·三模）【问题情境】
如图，是外的一点，直线分别交于点、．
小明认为线段是点到上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在上任意取一个不同于点的点，连接、，则有，即，由得，即，从而得出线段是点到上各点的距离中最短的线段．
小红认为在图中，线段是点到上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由．
【直接运用】
如图，在中，，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是______；
【构造运用】
如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值．
【深度运用】
如图，已知点在以为直径，为圆心的半圆上，，以为边作等边，则的最大值是________．
