湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期7月期末检测数学试题（含答案）

华中师大一附中2023-2024学年度下学期期末检测
高一年级数学试题
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数z满足（i为虚数单位），则z的虛部为（ ）
A． B． C． D．
2．某商场组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有标号分别为1~8的8个大小形状相同的小球，现抽奖者从中抽取1个小球．事件A=“取出的小球编号为奇数”，事件B=“取出的小球编号为偶数”，事件C=“取出的小球编号小于6”，事件D=“取出的小球编号大于6”，则下列结论错误的是（ ）
A．A与B互斥 B．A与B互为对立事件
C．C与D互为对立事件 D．B与D相互独立
3．已知m，n是不同的直线，，，是不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则
4．甲乙两人进行三分远投比赛，甲、乙每次投篮命中的概率分别为0.5和0.4，且两人之间互不影响．若两人分别投篮一次，则两人中至少一人命中的概率为（ ）
A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9
5．在△ABC中，a，b，c为角A，B，C对应的边，则“”是“△ABC为直角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．如图，圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，，E为下底面上的一点，且，则直线CE与平面ABCD所成角的正切值为（ ）
A．2 B． C． D．
7．掷一枚质地均匀的骰子3次，则三个点数之和大于14的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．在平行四边形ABCD中，，，．P是以C为圆心，为半径的圆上一动点，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．四名同学各掷骰子7次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，判断可能出现了点数6的是（ ）
A．中位数为3，极差为3
B．平均数为2，第80百分位数为4
C．平均数为3，中位数为4
D．平均数为3，方差为1
10．在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量类似的，可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量．类比平面向量的相关运算法则，对于，，，规定如下运算法则：①；②；③；④．
则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．
D．
11．如图所示，在直角梯形BCEF中，，A，D分别是BF，CE上的点，且，，将四边形ADEF沿AD向上折起，连接BE，BF，CE．在折起的过程中，下列结论正确的是（ ）
A．平面BEF
B．BE与AD所成的角先变大后变小
C．几何体EFABCD体积有最大值
D．平面BCE与平面BEF不可能垂直
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知圆锥体积为，表面积是底面积的3倍，则该圆锥的母线长为______．
13．已知平面向量，，，向量在向量上的投影向量为，则______．
14．在正三棱柱中，，E为线段上动点，D为BC边中点，则三棱锥A-BDE外接球表面积的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图．
（1）试估计全市参赛者成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）；
（2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从，，三层中抽取一个容量为6的样本，再从这6人中随机抽取两人，求抽取的两人都及格（大于等于60分为及格）的概率．
16．（15分）如图，四边形PDCE为矩形，直线PD垂直于梯形ABCD所在的平面．，F是线段PA的中点，，．
（1）求证：平面DEF；
（2）求点F到平面BCP的距离．
17．（15分）在△ABC中，a，b，c为角A，B，C对应的边，S为△ABC的面积．且．
（1）求A；
（2）若，求△ABC内切圆半径的最大值．
18．（17分）如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，，D、E分别是线段AC、的中点，点在平面ABC内的射影为点D．
（1）求证：平面BDE；
（2）设G为棱上一点，，．
①若，请在图中作出三棱柱过G、B、D三点的截面，并求该截面的面积；
②求二面角G-BD-E的取值范围．
19．（17分）对于两个平面向量，，如果有，则称向量是向量的“迷你向量”．
（1）若，，是的“迷你向量”，求实数x的取值范围；
（2）一只蚂蚁从坐标原点沿最短路径爬行到点处（且）．蚂蚁每次只能沿平行或垂直于坐标轴的方向爬行一个单位长度，爬完第i次后停留的位置记为，设．记事件T=“蚂蚁经过的路径中至少有n个使得是的迷你向量”。（假设蚂蚁选择每条路径都是等可能的）
①当时，求；
②证明：；
华中师大一附中2023--2024学年度下学期期末检测
高一年级数学试题（解析版）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】B
【解析】，故选B．
2．【答案】C
【解析】：，，故C与D不对立，故选C．
3．【解析】对于A，m和n可以平行，也可以相交，也可以异面；
对于B，和可以相交，也可以平行；
对于C，有可能；D正确．故选D．
4．【解析】设事件A=“两人中至少一人命中”，因为甲乙两人投篮相互独立，考虑对立事件“两人都不命中”
，故选B．
5．【解析】，
由正弦定理得．
，
化简得
又，
，又，
；充分性得证．
若△ABC为直角三角形，则当时，结论不一定成立，故选A．
6．【解析】过E作EH⊥AB，连接CH．
ABCD为圆台的轴截面，平面AEB⊥平面ABCD
EH⊥平面ABCD，直线CE与平面ABCD所成的角即∠ECH．
且，求得，，
，故选D．
7．【解析】由题，三个点数之和大于14可能为15，16，17，18四种情况．
又；；；．
，故选B．
8．【解析】（法一）（建系法）如图，以C为坐标原点建立平面直角坐标系，写出其余各点坐标，
，，，．
，，，
又，
将各向量坐标代入得；．
，
所以最大值为．故选C．
（法二）（等和线法）如图，过圆作平行于直线BD的切线l，
求A到直线l距离与A到直线BD距离之比即为的最大值．
，，，
得，，故选C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．【解析】对于A，3333336满足题意；
对于B，因为第80百分位数为4，
若有点数6，则，故不可能平均数为2，故B错误；
对于C，1114446满足题意；
对于D，，不符合题意，故选AC．
10．【答案】ABD
对于A，；故A正确；
对于B，若，则，
，．故B正确：
对于C，，故C错误；
对于D，设，则将，代入可得：
故D正确．故选ABD．
11．【答案】ACD
【解析】对于A，延长EF与DA延长线交于H，连接AC，HB．
，又
AHBC为平行四边形，，平面BEF．故A正确；
对于B，BC⊥CD，AD⊥DE，BC⊥DE，BC⊥平面CDE，
BC⊥CE，随翻折角增大，EC逐渐变小，所以EB与AD所成角即EB与BC所成角逐渐变小，故B错误；
对于C，
（h为E到平面ABCD距离），故C正确．
对于D，若平面BCE⊥平面BEF，过F作FG⊥BE，
FG⊥平面BCE，BC⊥FG，又BC⊥AB；AD⊥AF，
BC⊥平面ABF BC⊥BF，
，BC⊥平面BEF，BC⊥EB
又由B选项知BC⊥CE，与BC⊥EB矛盾，故平面BCE与平面BEF不垂直．故选ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．【解析】设圆锥底面半径为r，高为h，由题；，
解得，代入得，
【答案】
13．【解析】由题，，又，，
【答案】
14．【解析】如图，设，球心O到平面ABD距离为OF，设
，，
，
当且仅当时即取“=”．
，．故最小为
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．【答案】（1）40百分位数：83.3；平均数：84（单位：分） （2）
【解析】（1）由题得，；．
故40百分位数在层
列式计算得40百分位数为
平均数．
（2）因为按比例分配的分层随机抽样，故，，三层中抽取的样本量分别为
；；
0．05+0．10+0．15
从这6人中随机抽取两人，记中抽取的人编号为1，抽取的人编号为2、3，
抽取的人编号为4、5、6，记事件A=“抽取的两人都及格”．
{12，13，14，15，16，23，24．25，26，34，35，36，45，46，56}，
所以；
{23，24，25，26，34，35，36．45，．46，56}，所以；
易得该试验为古典概型，
（说明：用组合数公式计算样本空间及事件A的样本点个数，同样给分．但过程太简略，如没记事件等，酌情扣分）
16．【答案】（1）详见解析 （2）
【解析】（1）设CP与ED相交于O，连接OF，
，，
又平面DEF，平面DEF，平面DEF
（注：没有说明线在面内或线在面外的，一处扣1分）
（2）设A到平面PCB距离为h，
，，，
又PD⊥平面ABC，
又；；，
，
又F为PA中点，故点F到平面BCP的距离
17．【答案】（1） （2）
【解析】（1）
又
又，；，
又，
（2），
又，
（法一），，，
当且仅当时时取“=”
，此时△ABC为等边三角形故内切圆半径最大值为
（法二）
，所以当时，有最大值4．故内切圆半径最大值为．
18．【答案】（1）详见解析； ②
【解析】（1）平面ABC，，
又△ABC为等边三角形，BD⊥AC
又，BD⊥平面，
又，，；
，平面BDE
（2）①截面图形为如图所示的直角梯形BGHD，其中H为上靠近的四等分点．
平面平面，，
又BD⊥平面，BD⊥DH，故截面为直角梯形BGHD
又底面是边长为4的等边三角形且，
;
②BD⊥平面，BD⊥DE，过G作交于M
BD⊥平面，DM⊥BD，又ED⊥BD，故二面角G-BD-E即为∠EDM
G为棱上一点，且，，
，，，
令
，故二面角G-BD-E的取值范围
19．【解析】（1）是的“迷你向量”，
，解得．
（2）①如图，当时，能使得是的迷你向量的共有四个，即，
要想使得经过的路线中至少有其中3个点，则路径必经过点
故只需要考虑所有最短路径中经过点的条数即可．
先考虑总共最短路径条数：最短路径一共6步，其中三步向上，三步向右，也即是在6步中选择三步向上，
其余三步向右故可以用这样的样本点组成的样本空间描述最短路径的走法：“123”代表前三步向上，剩下三步向右；“246”表示第二、第四、第六步向上，其余三步向右；
{123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456}
总共的最短路径条数，；
{156，256，356，456}故经过包含的路径条数为4，
因为选择每条路径都是等可能的，故试验为古典概型
②同理，总共的最短路径条数为
经过包含的路径条数为，试验为古典概型