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XCS2023一2024学年第二学期期末教学质量检测
7.儿何学史上有一个著名的米勒问题：“设点啦，N是锐角∠AQB的一边QA上的两点，武者
高二数学
在边QB上找一点P,使得∠MPW最大”.如图，其结论是：点P为过M,W两点且和射线QB
相奶的圆的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，给定两点
注意事项：
(-1,2),W(1,4),点P在x轴上移动，当∠wPY取得最大值时，该圆的方恐是
L.答卷前，考生务必将自己的姓名，淮考证号填写在答题卡上。
4.(x-1)2+〔y-2)2=2
N/A
2,回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
B.(x÷7)2+(y-10)2=100
策
政动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答秦写在答题卡上。写
C.(x-1)2+(y-2)2=4
在本试卷上元效。
D.(x+7)2+(y-10)2=10
仰
3.考试绮束后，将答题卡交回。
&.已知函数)=-“有三个零点，则实数a的取值范围是
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求
B.(0,+o)
c
n0）
1.已知{a}为等差数列，S.为其前m项和.若a,=2a1,公差d≠0,5=0，则m的值为
二，多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个
北
A.4
B.5
C.6
D.7
符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，
2.已知圆(x-1)2+y2=4与抛物线2=2p(p>0)的淮线湘切，则p=
9,对四组数裾进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的关系，正确的有
A.1
B.2
C.4
D.8
20r
20。“1“
15
15
---15p.
3.在一次闯关游戏中，小明闯过第一关的衡率为子，连续闾过前两关的概率为子
10叶
事件A表
:10叶210
示小明第一关闯关成功，事件B表示小明第二关闯关成功，则P(B|A)=
3
6
3
3
3
G
相关系数r
相关系数y
相关筑热
湘关茶数1
7
制
9
A.可1B.r2 <3
C.r3>0
D.r4>0
.412
10.下列命题中，正确的命题的序号为
1
4.已知三个正态密度函数单，(x)=
(xcR,i=1,2,3)的图像如图所示，则
赵
A.已知随机变益X服从二项分布B(n,p）,若(X)=30,D(X)=20,则p=
3
1=>42,01=02>3
B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变
B.41C设随机变量专服从正态分布N(0,1),若P(5>1)=,则P(-1<店≤0)=
2-p
O
Ch1=45>h,0:=02r
D.某人在10次射击中，击中目标的次数为X,X~B(10,0.8)则当X=8时概率最大
D.<=4501=《0
5,已知平面上两点M(-5,0)和N(5,0),若直线上存在点P使|PM|-PN|=6,则称该直
I1.若E方体ABCD-A,B,G,D,的楼长为1，且AP=m1D+nM4,其中m∈[0,1]，n∈[0,1]，
因
则下列结论正确的是
绕为“单曲型直线”，下列直线中是“单曲型直线”的是
靠
4
①y=x+1;
②y=2;
③y=35
④y=2x+1.
A当m=分时，三楼锥P-B0B,的体积为定值
A①③
B.①②@
G.②③
D.③④
B当1=子时，三棱锥P-BDB,的体积为定值
0
6.一圆形餐桌依次有A、B、C、D、E、F共有6个座位.现让3个大人和3个小孩人座进樱，要求
任河两个小孩都不能坐在一起，则不同的入座方法总效为
C.当m+=1时，PA+PB的最小值为石+
2
A.6
B.12
C.72
D.144
D.若∠PDB=∠B,D,B,点P的轨迹为一段圆瓶
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高二数学第1页（共4页）
高二数学第2页（共4页》高二数学(答案与解析)
一．单选：1—4：BCCC 5—8：BCCD
二．多选： 9.AC 10.BCD 11.AC
三．填空题：12．18； 13．2024； 14． 9
四．解答题
15. （13分）解：（1）因为 2Sn n
2 n，所以 a1 S1 1，
n2n 2 a S n (n 1)
2 n 1
当 时， n n Sn 1 n ，（2分）2 2
由于 a1 1满足 an n，所以 an 的通项公式为 an n，（4分）
因为数列 log2bn 是公差为 1的等差数列，b1 1，
n 1
所以 log2b log b n 1 1 1 n b = 1 n 2 1 ，所以 n ；（6分）
2
n n
(2)因为 c
1 1 1 1 1 1
n b
a a n 1 n n 1
2 n n 1
，（9分）
n n 1 2
所以
1 1
T 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 n
n
1 2
2
2 2 3 n n 1 2 22 2n
1
n 1 1 1
2
2 1 1 n . （13分）n 1 2
16．（15分）解：（1）年份 x的平均数 x 3，销量 y的平均数 y 5，
5
x x 2 2 2 1 2 0 2所以 i 11 2 2 10 ，
i 1
5
xi x yi y
i 1
1 3 2 5 2 3 3.5 5 3 3 2.5 5 4 3 8 5 5 3 9 5 18.5
（3分）
5
xi x yi y
所以b i 1
18.5
5 1.85，（5分）
x x 2 10i
i 1
{#{QQABAYCEogigAIIAAAhCQQVICACQkBAAAagOwEAAsAAAgAFABAA=}#}
所以 a y b x 5 1.85 3 0.55，（6分）
所以氢能源乘用车的销量 y关于年份 x的线性回归方程为 y 1.85x 0.55，（7分）
令 x 7，得 y 1.85 7 0.55 12.4，
所以预测 2024年氢能源乘用车的销量约为 12.4万台．（8分）
（2）（ⅰ）根据男生和女生各 60名，补全 2 2列联表为：
了解 不了解 合计
男生 35 25 60
女生 20 40 60
合计 55 65 120
（11分）
（ⅱ）零假设H0：该校学生对氢能源的了解情况与性别无关，
根据 2 2列联表中的数据可得，
2 120 35 40 25 20
2
7.55 6.635，（13分）
60 60 55 65
依据 0.01的独立性检验，可以推断H0不成立，
即该校学生对氢能源的了解情况与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．（15分）
17．（15分）证明：（1）取 BC中点为M ，连接B1M，
B1在底面内的射影恰好是 BC中点， B1M 平面 ABC，（2分）
又 AC 平面 ABC， B1M AC，（3分）
又 ACB 90 ， AC BC，
B1M ,BC 平面 B1C1CB ， B1M BC M ， AC 平面 B1C1CB，（6分）
又 AC 平面 ACC1A1， 平面 ACC1A1 平面 B1C1CB .（7分）
解：（2）取 B1C1中点 N ,因为四边形 B1NCM 是平行四边形， CN // B1M , CN 面ABC ,
以C为坐标原点，CA,CB,CN所在直线分别为 x轴， y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标
系，
{#{QQABAYCEogigAIIAAAhCQQVICACQkBAAAagOwEAAsAAAgAFABAA=}#}
N
BC CA 2，斜棱柱的高为 3，
A(2,0,0),B(0,2,0),M (0,1,0),B 1(0,1, 3),C 1(0, 1, 3) ，
AB1 ( 2,1, 3),AB ( 2,2,0),B1C1 (0, 2,0) ，（10分）
设平面 ABB1的一个法向量为 n (x, y, z)，
n
AB1 2x y 3z 0
则有 ，令 z 3，则 x y 3， n (3,3, 3)，（12分）
n AB 2x 2y 0
设平面 AB1C1的一个法向量为m (a,b,c)，
m
AB1 2a b 3c 0
则有 a 3
，令 ，则b 0, c 2， m ( 3, 0, 2)，（13分）
m B1C1 2b 0
n
，
m
cos n,m 5 3 5
n
m 9 9 3 3 0 4 7
5
所以平面 ABB1与平面 AB1C1夹角的余弦值为 .（15分）7
18.（17分）解：（1） f x 定义域为 0, ，
1 a x 1 a x 1 x
2 2 2a x 1f x
x 2 2 ，（2分） x 1 x x 1
2
对于方程 x 2 2a x 1 0， 2 2a 2 4 4 a 2 2a ，
当 0，即0 a 2 2时， x 2 2a x 1 0， f x 0， f x 在 0, 上单增，
（4 分）
当 0，即 a 0或 a 2 2时，方程 x 2 2a x 1 0有两不等根，
x1 a 1 a
2 2a ， x a 1 a 2 2a ，而 x1 x2 2 a 1 ， x1x2 12 ，
所以当 a 0时， x1 x2 0， f (x)> 0在 0, 上恒成立， f x 在 0, 上单增；
当 a 2时，0 x1 x2，x 0, x1 或 x x2 , 时，f (x)> 0，x x1, x2 时，f x 0，
{#{QQABAYCEogigAIIAAAhCQQVICACQkBAAAagOwEAAsAAAgAFABAA=}#}
所以 f x 在 0, x1 和 x2 , 上单增，在 x1, x2 上单减，（7 分）
综上，当 a 2时， f x 在 0, 上单增；
2
当 a 2时， f x 在 0,a 1 a 2a 和 a 1 a 2 2a , 上单增，
a 1 a2 2a ,a 1 a2在 2a 上单减；（8分）
（2） a x1 1 a x2 1 ln x ln x
f
k x1 f x
1 2
2
x 1
1
x2 1
x1 x2 x1 x2
2a x x
ln x1 1 2 2a x x
ln
x1 1 2
x2 x1 1 x2 1 x2 x1x2 x1 x 1 2
x1 x2 x1 x2
ln x1
x2 2a ln x1 ln x 2 1，（11 分）
x1 x2 1 2a 2 1 x1 x2
k 2 a
ln x ln x
所以要证 1 2，即证 1
1 1 ln x1 ln x2 2
x ，即证
，
a 1 1 x2 a 1 x1 x2 x1 x2
2 x1
1
x 2 x x x x
也即证 ln 1 1 2 ln 1 2 x 0
（*）成立．（14 分）
x2 x1 x2 x2 1 1
x2
t x 1 2 t 1设 0,1 x ，函数 h t
ln t ，由（1）知 h t 在 0, 上单增，且h 1 0，
2 t 1
所以 t 0,1 时， h t 0，所以（*）成立，原不等式得证；（17 分）
p p
19．（17分）解：（1）设 P x0 , y0 ，易知 F , 0 ，准线方程为 x ，
2 2
所以 PF
p p p 3
x0 .（2分）当 x0 0时， PF 取得最小值 ，由 ，解得 p 3 .2 2 2 2
所以抛物线C1的方程为 y2 6x .（5分）
（2）设直线 l与 x轴交于点M t,0 ，因为直线 l的斜率显然不为 0，
所以设直线 l的方程为 x my t，（6分）
{#{QQABAYCEogigAIIAAAhCQQVICACQkBAAAagOwEAAsAAAgAFABAA=}#}
x my t
联立 2 ，消去 x得 y
2 6my 6t 0,Δ 36m2 24t 0，
y 6x
所以 y1 y2 6m, y1y2 6t，（8分）
1 1 y1 y2 m
所以 y1 y2 y1y t
，
2
1 1 m 1 1 1 1
同理可得 ，所以 y y t y y y y .（10分）3 4 1 2 3 4
（3）因为 AC 3 BD ，所以 y1 y3 3 y4 y2 ，即 y1 3y2 y3 3y4 .
因为 y1 y2 6m, y3 y4 2m，所以6m 2y2 2m 2y4 ，即 y4 y2 2m，
所以 y1 y3 6m，（12分）
1 1 1 1 y y y y
2 3 1 2 4
y3 y1 y1y3
由（ ）知 ，所以 3y1 y3 y4 y2 y1y3 y y
，故
2 4 y y y y
，（14分）
2 4 2 4
所以 y1y3 3y2y4，即 y1 y1 6m 3 6m y1 8m y1 ，
2
化简得 y1 18my1 72m
2 0，解得 y1 12m或 y1 6m，（15分）
若 y1 6m，则 y2 0，这与 y2 0矛盾，所以 y1 12m, y2 6m, y3 6m, y4 4m，
S1 AB y y 9
所以 1 2 S2 CD y3 y4 5
.（17分）
{#{QQABAYCEogigAIIAAAhCQQVICACQkBAAAagOwEAAsAAAgAFABAA=}#}
