四川省泸州市龙马潭区2023-2024学年高一下学期数学期中考试试题
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2024高一下·龙马潭期中）复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024高一下·龙马潭期中）设是单位向量，，，，则四边形ABCD是（ ）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
3．（2023·湛江模拟）在平行四边形中，为边的中点，记，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高一下·龙马潭期中）已知向量，满足，，，则（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
5．（2020·新课标Ⅲ·文）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·龙马潭期中）设在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
7．（2023高三上·浙江模拟）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·龙马潭期中）已知，，，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．4
二、多项选择题（每小题6分，共3小题，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．（2024高一下·龙马潭期中）下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·联合模拟）函数（其中A，，是常数，，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．的值域为
B．的最小正周期为π
C．
D．将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到函数的图象
11．（2024高一下·马山期中）已知AC为圆锥SO底面圆O的直径（S为顶点，O为圆心），点B为圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的为( )
A．圆锥SO的侧面积为
B．的取值范围为
C．若，E为线段AB上的动点，则
D．过该圆锥顶点S的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案直接填在答题卡中的横线上．）
12．（2024高一下·龙马潭期中）已知平面内三个向量，，，若，则 ．
13．（2022·焦作模拟）的内角、、所对的边分别为、、，且，，则的面积为 ．
14．（2024高一下·龙马潭期中）在中，，，当取最大值时， ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（2024高一下·龙马潭期中）已知非零向量，不共线．
（1）如果，，，求证：A、B，D三点共线；
（2）欲使和共线，试确定实数k的值．
16．（2021·浙江）设函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在 上的最大值.
17．（2024高一下·龙马潭期中）已知函数．
（1）求函数的最小正周期及对称轴方程；
（2）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变 横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在上的单调递减区间．
18．（2022高三上·珠海期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求B；
（2）已知，D为边上的一点，若，，求的长．
19．（2024高一下·龙马潭期中）如图，在中，，．
（1）若，M、N分别为AC、BC的中点，设AN、BM交于点P，求∠MPN的余弦值；
（2）若点M满足，，O为BM中点，点N在线段BC上移动（包括端点），求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：
复数的对应点为：
所以 复数在复平面内对应的点位于第一象限
故答案为：A
【分析】先利用复数的乘法运算先将括号展开求出复数，再找出复数的对应点，根据对应点可找出复数对应点所在的象限.
2．【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：因为，，
所以，即，
所以，
所以四边形是平行四边形，
因为，即，
所以四边形是菱形.
故答案为：B
【分析】根据题意可得：，利用平面向量的共线向量可推出四边形是平行四边形，再根据，可推出四边形的形状.
3．【答案】D
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【解答】如图所示，可得，
所以.
故答案为：D．
【分析】根据平面向量的运算法则，结合，即可求解.
4．【答案】C
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：已知，则
解得：
故答案为：C
【分析】先对式子两边同时平方，利用完全平方公式进行展开，再利用平面向量的数量积公式进行计算可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】由题意可得： ，
则： ， ，
从而有： ，
即 .
故答案为：B.
【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.
6．【答案】B
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：因为，
所以由正弦定理可得，
，
所以，所以是直角三角形.
故答案为：B
【分析】先利用正弦定理进行边化角，再利用两角和的正弦公式化简可得：，再利用三角形内角和定理与诱导公式可推出，据此可判断三角形的形状.
7．【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；辅助角公式
【解析】【解答】解：，，
又 ，则，，，
，，
.
故答案为：D.
【分析】利用辅助角公式化简得，再结合得到，所以，再利用二倍角公式和两角和的正弦公式求 .
8．【答案】A
【知识点】向量的模；平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：由，，解得：.
因为，所以.
建立平面直角坐标系，如图所示：
不妨设，设.
则即为，
所以，所以
因为
所以.
故答案为：A
【分析】 先利用平面向量的数量积求出，建立平面直角坐标系，不妨设，设，再应用平面向量的数量坐标表示可推出，，应用平面向量的模长计算公式可推出，利用一次函数的性质可求出的最大值.
9．【答案】B,C,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：A，，A错误；
B，，B正确；
C，，C正确；
D，，D正确.
故答案为：BCD
【分析】直接利用余弦二倍角公式进行计算可判断A选项；直接利用正弦二倍角公式进行计算可判断B选项；利用两角差的正弦公式和三角函数诱导公式进行计算可判断C选项；将换为，再利用两角差的正切公式进行计算可判断D选项.
10．【答案】A,B
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】对A：由图可知：，即，
∵，则，
故的值域为，A符合题意；
对B：由图可得：，则，B符合题意；
对C：∵，且，可得，
∴，
由图可得：的图象过点，
即，则，
且，可得，
可得，则，C不符合题意；
对D：可得：，
将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到，
D不符合题意；
故答案为：AB.
【分析】根据函数图象求出，即可判断A、B、C；根据图象变换结合诱导公式求解析式，可判断D.
11．【答案】A,C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：对于A，母线长则侧面积为所以A对；
对于B，在中，则当AB=2时，，所以B错；
对于C，如图1，
为等腰直角三角形，将放平得到
如图2所示，
当三点共线时最小，F为AB的中点，连接，
则
所以C对；
对于D，如图3，
设截面为SMN，Q为MN的中点，连接OQ，SQ，设
则
当且仅当时等号成立，即当时等号成立，所以D错。
故答案为：AC.
【分析】利用已知条件结合勾股定理得出圆锥的母线的长，再结合圆锥的侧面积公式判断出选项A；利用母线相等和AB的取值范围，进而得出的取值范围，从而判断出选项B；利用等腰三角形的结构特征和三点共线得出SE+CE最小，再结合中点的性质、勾股定理、正弦函数的定义和余弦定理得出的最小值，从而判断出选项C；利用已知条件结合三角形的面积公式和均值不等式求最值的方法得出过该圆锥顶点S的平面截此圆锥所得截面面积的最大值，从而判断出选项D，进而找出结论正确的选项。
12．【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，，
，
，
因为，所以，
所以，解得：.
故答案为：
【分析】利用平面向量的坐标运算先表示出，再利用平面向量平行的坐标表示可列出方程，解方程可求出的值.
13．【答案】
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】因为，
所以，
，
因为、、，则，所以，，
由正弦定理可得，
因为，所以，，则，可得.
由余弦定理可得，
因此，.
故答案为：.
【分析】利用三角恒等变换以及正弦定理化简可得出，可得，利用余弦定理可求得，再利用三角形的面积公式可求得结果.
14．【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：设，，，
，，
，
，
，
，
，
，其中，
，，，
当时取最大值，
，
，
，
，
即的值为.
故答案为：
【分析】设，，，先利用正弦定理进行边化角，再应用辅助角公式可将化简为：，再根据用余弦定理可列出方程组，解方程组可求出的值.
15．【答案】（1）证明：因为，，
所以，共线，且有公共点B，
所以A，B，D三点共线
（2）解：因为和共线，
所以存在实数，使，
则，
又由于向量，不共线，只能有，
解得：
【知识点】共线（平行）向量；平面向量的共线定理
【解析】【分析】本题考查三点共线，平面向量共线定理.
(1)应用平面向量的线性运算可推出，应用平面向量共线定理可推出，共线，应用三点共线可证明结论.
(2)应用平面向量共线定理可设，据此可列出方程组，解方程组可求出实数k的值.
16．【答案】（1）解：由辅助角公式得 ，
则 ，
所以该函数的最小正周期
（2）解：由题意，
，
由 可得 ，
所以当 即 时，函数取最大值
【知识点】正弦函数的性质；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】（1）先将原函数化为：，
再化简 ，再根据正弦函数的周期公式，求得周期；
（2）化简 ，然后根据x的取值范围，求得函数的最大值。
17．【答案】（1）解：，
，
所以函数的最小正周期为，
令，，得函数的对称轴方程为，
（2）解：将函数的图象向左平移个单位后所得图象的解析式为，
所以，
令，所以，．
又，所以在上的单调递减区间为，
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】本题考查正弦函数的图象和性质，余弦函数的图象和性质，三角函数的图象和变换.
(1)先利用两角和的正弦公式，两角和的余弦公式，辅助角公式化简函数解析式为：，利用周期计算公式可求出周期，利用对称轴公式可求出对称轴方程；
(2)先利用三角函数的图象和变换可求出的解析式为：，利用余弦函数的图象和性质可列出不等式，解不等式可求出函的单调区间，再与 取交集可求出答案.
18．【答案】（1）解：∵，∴，
即，
所以，因为，
所以，所以，
因为，所以．
（2）解：因为，，，根据余弦定理得
，∴．
∵，∴．
在中，由正弦定理知，，∴，∴，
∴，∴．
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanB的值，结合B的范围即可求解B的值．
（2）由题意利用余弦定理可求CD的值，由，利用诱导公式，正弦定理可求，进而可求，即可得解AC的值．
19．【答案】（1）解：以B为原点，BC所在直线为x轴，过B作AB的垂线为y轴，建立如图所示直角坐标系，如图所示：
∵，，∴，，，，
∴，，∴，，
由题意知∠MPN即为，的夹角，设为，
∴
（2）解：设，，∵，，∴，
设，∴，，
∵，∴，，则，
∴，∴，，
∵，即，解得（负值舍去），∴
因为O为BM中点，∴，
设，，∴，，
∴，
∵，所以当时，即
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积的坐标表示，平面向量夹角计算公式.
(1)以B为原点，建立如图所示直角坐标系，写出对应点的坐标，求出，，，，利用平面向量的夹角计算公式可求出∠MPN的余弦值；
(2)设，，，求出，，，根据题意利用平面向量的数量积公式可求出点的坐标，设，，再求出，，应用平面向量数量积的坐标表示可求出的最小值.
1 / 1四川省泸州市龙马潭区2023-2024学年高一下学期数学期中考试试题
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2024高一下·龙马潭期中）复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：
复数的对应点为：
所以 复数在复平面内对应的点位于第一象限
故答案为：A
【分析】先利用复数的乘法运算先将括号展开求出复数，再找出复数的对应点，根据对应点可找出复数对应点所在的象限.
2．（2024高一下·龙马潭期中）设是单位向量，，，，则四边形ABCD是（ ）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【答案】B
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：因为，，
所以，即，
所以，
所以四边形是平行四边形，
因为，即，
所以四边形是菱形.
故答案为：B
【分析】根据题意可得：，利用平面向量的共线向量可推出四边形是平行四边形，再根据，可推出四边形的形状.
3．（2023·湛江模拟）在平行四边形中，为边的中点，记，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】向量加法的三角形法则
【解析】【解答】如图所示，可得，
所以.
故答案为：D．
【分析】根据平面向量的运算法则，结合，即可求解.
4．（2024高一下·龙马潭期中）已知向量，满足，，，则（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：已知，则
解得：
故答案为：C
【分析】先对式子两边同时平方，利用完全平方公式进行展开，再利用平面向量的数量积公式进行计算可求出答案.
5．（2020·新课标Ⅲ·文）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】由题意可得： ，
则： ， ，
从而有： ，
即 .
故答案为：B.
【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.
6．（2024高一下·龙马潭期中）设在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【答案】B
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：因为，
所以由正弦定理可得，
，
所以，所以是直角三角形.
故答案为：B
【分析】先利用正弦定理进行边化角，再利用两角和的正弦公式化简可得：，再利用三角形内角和定理与诱导公式可推出，据此可判断三角形的形状.
7．（2023高三上·浙江模拟）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；辅助角公式
【解析】【解答】解：，，
又 ，则，，，
，，
.
故答案为：D.
【分析】利用辅助角公式化简得，再结合得到，所以，再利用二倍角公式和两角和的正弦公式求 .
8．（2024高一下·龙马潭期中）已知，，，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【知识点】向量的模；平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：由，，解得：.
因为，所以.
建立平面直角坐标系，如图所示：
不妨设，设.
则即为，
所以，所以
因为
所以.
故答案为：A
【分析】 先利用平面向量的数量积求出，建立平面直角坐标系，不妨设，设，再应用平面向量的数量坐标表示可推出，，应用平面向量的模长计算公式可推出，利用一次函数的性质可求出的最大值.
二、多项选择题（每小题6分，共3小题，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．（2024高一下·龙马潭期中）下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；两角和与差的正切公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：A，，A错误；
B，，B正确；
C，，C正确；
D，，D正确.
故答案为：BCD
【分析】直接利用余弦二倍角公式进行计算可判断A选项；直接利用正弦二倍角公式进行计算可判断B选项；利用两角差的正弦公式和三角函数诱导公式进行计算可判断C选项；将换为，再利用两角差的正切公式进行计算可判断D选项.
10．（2023·联合模拟）函数（其中A，，是常数，，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．的值域为
B．的最小正周期为π
C．
D．将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到函数的图象
【答案】A,B
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】对A：由图可知：，即，
∵，则，
故的值域为，A符合题意；
对B：由图可得：，则，B符合题意；
对C：∵，且，可得，
∴，
由图可得：的图象过点，
即，则，
且，可得，
可得，则，C不符合题意；
对D：可得：，
将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到，
D不符合题意；
故答案为：AB.
【分析】根据函数图象求出，即可判断A、B、C；根据图象变换结合诱导公式求解析式，可判断D.
11．（2024高一下·马山期中）已知AC为圆锥SO底面圆O的直径（S为顶点，O为圆心），点B为圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的为( )
A．圆锥SO的侧面积为
B．的取值范围为
C．若，E为线段AB上的动点，则
D．过该圆锥顶点S的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为
【答案】A,C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：对于A，母线长则侧面积为所以A对；
对于B，在中，则当AB=2时，，所以B错；
对于C，如图1，
为等腰直角三角形，将放平得到
如图2所示，
当三点共线时最小，F为AB的中点，连接，
则
所以C对；
对于D，如图3，
设截面为SMN，Q为MN的中点，连接OQ，SQ，设
则
当且仅当时等号成立，即当时等号成立，所以D错。
故答案为：AC.
【分析】利用已知条件结合勾股定理得出圆锥的母线的长，再结合圆锥的侧面积公式判断出选项A；利用母线相等和AB的取值范围，进而得出的取值范围，从而判断出选项B；利用等腰三角形的结构特征和三点共线得出SE+CE最小，再结合中点的性质、勾股定理、正弦函数的定义和余弦定理得出的最小值，从而判断出选项C；利用已知条件结合三角形的面积公式和均值不等式求最值的方法得出过该圆锥顶点S的平面截此圆锥所得截面面积的最大值，从而判断出选项D，进而找出结论正确的选项。
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案直接填在答题卡中的横线上．）
12．（2024高一下·龙马潭期中）已知平面内三个向量，，，若，则 ．
【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，，
，
，
因为，所以，
所以，解得：.
故答案为：
【分析】利用平面向量的坐标运算先表示出，再利用平面向量平行的坐标表示可列出方程，解方程可求出的值.
13．（2022·焦作模拟）的内角、、所对的边分别为、、，且，，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】因为，
所以，
，
因为、、，则，所以，，
由正弦定理可得，
因为，所以，，则，可得.
由余弦定理可得，
因此，.
故答案为：.
【分析】利用三角恒等变换以及正弦定理化简可得出，可得，利用余弦定理可求得，再利用三角形的面积公式可求得结果.
14．（2024高一下·龙马潭期中）在中，，，当取最大值时， ．
【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：设，，，
，，
，
，
，
，
，
，其中，
，，，
当时取最大值，
，
，
，
，
即的值为.
故答案为：
【分析】设，，，先利用正弦定理进行边化角，再应用辅助角公式可将化简为：，再根据用余弦定理可列出方程组，解方程组可求出的值.
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（2024高一下·龙马潭期中）已知非零向量，不共线．
（1）如果，，，求证：A、B，D三点共线；
（2）欲使和共线，试确定实数k的值．
【答案】（1）证明：因为，，
所以，共线，且有公共点B，
所以A，B，D三点共线
（2）解：因为和共线，
所以存在实数，使，
则，
又由于向量，不共线，只能有，
解得：
【知识点】共线（平行）向量；平面向量的共线定理
【解析】【分析】本题考查三点共线，平面向量共线定理.
(1)应用平面向量的线性运算可推出，应用平面向量共线定理可推出，共线，应用三点共线可证明结论.
(2)应用平面向量共线定理可设，据此可列出方程组，解方程组可求出实数k的值.
16．（2021·浙江）设函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在 上的最大值.
【答案】（1）解：由辅助角公式得 ，
则 ，
所以该函数的最小正周期
（2）解：由题意，
，
由 可得 ，
所以当 即 时，函数取最大值
【知识点】正弦函数的性质；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】（1）先将原函数化为：，
再化简 ，再根据正弦函数的周期公式，求得周期；
（2）化简 ，然后根据x的取值范围，求得函数的最大值。
17．（2024高一下·龙马潭期中）已知函数．
（1）求函数的最小正周期及对称轴方程；
（2）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变 横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在上的单调递减区间．
【答案】（1）解：，
，
所以函数的最小正周期为，
令，，得函数的对称轴方程为，
（2）解：将函数的图象向左平移个单位后所得图象的解析式为，
所以，
令，所以，．
又，所以在上的单调递减区间为，
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】本题考查正弦函数的图象和性质，余弦函数的图象和性质，三角函数的图象和变换.
(1)先利用两角和的正弦公式，两角和的余弦公式，辅助角公式化简函数解析式为：，利用周期计算公式可求出周期，利用对称轴公式可求出对称轴方程；
(2)先利用三角函数的图象和变换可求出的解析式为：，利用余弦函数的图象和性质可列出不等式，解不等式可求出函的单调区间，再与 取交集可求出答案.
18．（2022高三上·珠海期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求B；
（2）已知，D为边上的一点，若，，求的长．
【答案】（1）解：∵，∴，
即，
所以，因为，
所以，所以，
因为，所以．
（2）解：因为，，，根据余弦定理得
，∴．
∵，∴．
在中，由正弦定理知，，∴，∴，
∴，∴．
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanB的值，结合B的范围即可求解B的值．
（2）由题意利用余弦定理可求CD的值，由，利用诱导公式，正弦定理可求，进而可求，即可得解AC的值．
19．（2024高一下·龙马潭期中）如图，在中，，．
（1）若，M、N分别为AC、BC的中点，设AN、BM交于点P，求∠MPN的余弦值；
（2）若点M满足，，O为BM中点，点N在线段BC上移动（包括端点），求的最小值．
【答案】（1）解：以B为原点，BC所在直线为x轴，过B作AB的垂线为y轴，建立如图所示直角坐标系，如图所示：
∵，，∴，，，，
∴，，∴，，
由题意知∠MPN即为，的夹角，设为，
∴
（2）解：设，，∵，，∴，
设，∴，，
∵，∴，，则，
∴，∴，，
∵，即，解得（负值舍去），∴
因为O为BM中点，∴，
设，，∴，，
∴，
∵，所以当时，即
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积的坐标表示，平面向量夹角计算公式.
(1)以B为原点，建立如图所示直角坐标系，写出对应点的坐标，求出，，，，利用平面向量的夹角计算公式可求出∠MPN的余弦值；
(2)设，，，求出，，，根据题意利用平面向量的数量积公式可求出点的坐标，设，，再求出，，应用平面向量数量积的坐标表示可求出的最小值.
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