山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）在复平面内，复数对应的点为，复数对应的点为，则对应的复数为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：根据题意，复数对应的点为，复数对应的点为，
则，则对应的复数为
故答案为：B
【分析】先求出，再根据复数的几何意义可求出对应的复数.
2．（山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）若是不共线的向量，且，，，则( )
A．．三点共线 B．三点共线
C．三点共线 D．三点共线
【答案】A
【知识点】共线（平行）向量
【解析】【解答】解：，
则， ，
则
故三点共线，故正确
故答案为：A
【分析】先求出，据此可推出，根据三点共线的定义可作出判断.
3．（山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】先进行变形可得：，再根据两角和的正切公式进行计算可求出答案.
4．（山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）已知非零向量，，则在方向上的投影向量长度为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，，
所以，，
所以，
所以在方向上的投影向量长度为
故答案为：A
【分析】先求出，，，根据投影的定义可得：在方向上的投影向量长度为，代入数据可求出答案.
5．（山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）已知，是第二象限的角，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：已知，
则，化简整理解得，或，
， 是第二象限的角，
则，，即，，
故，
所以
故答案为：D.
【分析】先利用二倍角的正弦公式和同角三角函数的基本关系化简可得：，解方程可求出，再判断出所在的象限，据此可确定的值，
6．（山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：将函数的图象向右平移个单位，
得到函数的图象，
若在上为增函数，则有，求得，
则的最大值为
故答案为：C
【分析】先根据三角函数的图象变换可求出：，再根据正弦函数的图象和性质可列出不等式，解不等式可求出 的取值范围，据此可求出的最大值.
7．（山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）如图，矩形是水平放置四边形的直观图，若，，则原四边形的周长是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：在直观图中，设与轴的交点为，如图所示：
由题意得，
在原四边形中，，，
原四边形的周长是：6+4+6+4=20.
故答案为：D
【分析】先根据斜二测画法画出平面，再利用勾股定理可求出，根据斜二测画法直观图和平面图可推出，利用勾股定理可求出，据此可求出原四边形的周长.
8．（山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）在锐角中，角所对的边分别为，且满足，则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：因为，由正弦定理可知，，
又因为，所以，所以
所以，即，
又是锐角三角形，所以， 即，
所以，解得，所以，
所以
故答案为：A.
【分析】先利用正弦定理进行边化角，再利用两角和的正弦公式进行化简可得：，据此推出，再根据是锐角三角形，可列出不等式组，解不等式组可求出的取值范围，据此可推出的取值范围，利用二倍角的正弦公式进行化简可得：，代入数据可求出答案.
二、多项选择题：本大题共3小题．每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错的得0分．
9．（山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）下列有关平行六面体的命题正确的是( )
A．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形
B．平行六面体的八个顶点在同一球面上
C．平行六面体的四个侧面不可能都是矩形
D．平行六面体任何两个相对的面都可以作为它的底面
【答案】A,D
【知识点】棱柱的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】解：A.平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，所以平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，正确；
B.仅当平行六面体是底面为矩形的直四棱柱时，八个顶点在同一个球面上，错误；
C.平面六面体的侧棱垂直于底面时，四个侧面都是矩形，错误；
D.根据平行六面体的定义知，平行六面体任何两个相对的面都可以作为它的底面，正确.
故答案为：AD
【分析】利用平行六面体的结构特征可判断A选；根据球的内接几何体的特征据此可判断B选项；根据平面六面体的侧棱垂直于底面时，四个侧面都是矩形，据此可判断C选项；利用平行六面体的定义进行判断，可判断D选项.
10．（山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）如图，，，线段，相交于点，则( )
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：A.由， 可得，正确；
B.由， 可得，
则，错误；
C.由三点共线， 设，
由三点共线， 可设，
则有， 解得， 则，
则， 正确；
D.，错误.
故答案为： AC
【分析】根据，利用三角形的中线向量公式可判断A选项；根据，可推出，利用平面向量加法运算可判断B选项；由三点共线， 设，由三点共线， 可设，据此可列出方程组，解方程组可求出，利用平面向量加法运算可判断C选项；根据，再利用平面向量加法运算可判断D选项；
11．（山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）相交弦定理是平面几何中关于圆的一个重要定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，已知圆的半径为，弦，相交于点．且，则( )
A．
B．
C．当时，为定值
D．当时，四边形的面积最大值为
【答案】B,C,D
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：A.过、作直径，由题意，如图所示：
，错误；
B.设为的中点，连接，
则
由题意，则，正确；
C.当时，，
则
又，则，
同理，故为定值， 正确；
D.当时， 设为的中点，连接，则，
由弦长公式得，
所以四过形的面积 ，
当且仅当 时等号咸立，正觕.
故答案为： BCD.
【分析】利用平面向量的数量积可得：，代入数据进行计算可判断A选项；设为的中点，连接，利用平面向量的数量积计算可得，再根据，再求出的取值范围，判断B选项；根据题意可得，再利用平面向量的数量积进行计算可得为定值，据此可判断C选项，设为的中点，连接，利用勾股定理可求出，再根据三角形的面积计算公式可得：四过形的面积，利用基本不等式可求出四过形的面积最大值，判断D选项.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）已知函数（），函数的图象关于点对称，且函数图象上相邻最高点和最低点的距离为，则 ．
【答案】
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：设函数图象上相邻最高点为，最低点
由题意得，，
所以，所以，
因为函数的图象关于点对称，
所以，
因为，所以
故答案为：
【分析】先利用正弦函数的图象和性质可列出方程，解方程可求出，再将点代入函数解析式，可求出的值.
13．（山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）已知正三角形与正方形的中心为同一点，的边长为，则 ．
【答案】
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：为正方形的中心，如图所示：
则，
在正三角形中，为中心，
设的中点，则，
由正三角形的边长为 6 ， 可得，则.
故答案为：.
【分析】根据题意可得利用平面向量的加法和减法运算可求出，再根据三角形的中线向量公式可得：，再根据等边三角形的性质可求出，据此可求出.
14．（山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为．已知点为的费马点，角所对的边分别为，若，，边上的中线长为，则的值为 ．
【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：由，
得，
整理得：，
即，得，
由边上的中线长为， 且，所以
得，即①②
联立①②可得，解得.
可得，
则
故答案为：
【分析】先利用正弦定理进行边化角，再利用两角和的正弦公式进行化简可得， 据此可反推出角，根据三角形中线的性质可得：，利用余弦定理可求出，再结合可求出的值，利用三角形的面积公式可求出，利用平面向量的数量积计算公式可求出答案.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）已知复数．
（1）求；
（2）若复数是关于的实系数方程的一个根，求的值．
【答案】（1）解：由题意知：
所以
所以
（2）解：将代入方程，得
所以，，因为，
所以，且
解得，，
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数；方程在复数范围内的解集
【解析】【分析】本题考查复数的乘除运算，共轭复数的定义，复数的模长公式，复数方程.
(1)先利用复数的乘除运算求出，利用共轭复数的定义可求出，再利用复数的模长公式可求出；
(2)将代入方程可，通过化简可列出方程组，解方程组可求出的值，据此可求出答案.
16．（山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）在等腰梯形中，，，，．
（1）若与垂直，求的值；
（2）若为边上的动点(不包括端点），求的最小值．
【答案】（1）解：过作于
等腰梯形中易知
又，故可得
如图所示：以为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则，
所以，
故
因为与垂直，所以，
解得
（2）解：由（1）得，设，则，
则
则
对，其对称轴
故其最小只能为
所以的最小值为
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】本题考查平面向量垂直的坐标转化，平面向量数量积的坐标转化.
(1)过作于，利用等腰三角形的性质可推出，建立平面直角坐标系，写出点的坐标，求出，，再利用平面向量垂直的坐标转化可列出方程，解方程可求出k的值；
(2)设，，求出，利用平面向量数量积的坐标表示公式可求出：，利用二次函数的性质可求出最小值.
17．（山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）在①，②中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答．
问题：在中，角所对的边分别为，已知____．
（1）求；
（2）若，且，求的周长．
【答案】（1）解：选择条件①：因为，
在中，由余弦定理得
所以
由余弦定理得
因为
所以
选择条件②：因为，所以，
由正弦定理得.
即，
则，
因为，所以
因为，所以
（2）解：因为，所以，即
即
又因为
所以
由于，所以的外接圆半径为
由正弦定理可得，
可得
由余弦定理可得
所以所以的周长为
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形.
(1)①：利用余弦定理进行角化边可求出：，再利用余弦定理可求出，据此可反推出角；
②：利用正弦定理进行边化角，再利用两角和的正弦公式进行化简可求出：，据此可反推出角；
(2)利用两角和的余弦公式化简可求出，再结合的外接圆半径为，利用正弦定理可求出，利用余弦定理进行计算可求出，据此可求出的周长.
18．（山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
（1）记向量的相伴函数为，若，且，求的值；
（2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与方向相同的单位向量；
（3）已知，，为函数的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得 若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：向量的相伴函数为
当时，
又，则
所以
故
（2）解：因为
故函数的相伴特征向量
则与方向相同单位向量为
（3）解：因为函数的相伴特征向量，
所以
设点，又，，
所以
若，则
即，
因为，故，
又，故当且仅当时，成立
故在的图象上存在一点，使得
【知识点】函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积，正弦函数的图象和性质，余弦函数的图象和性质.
(1)根据相伴函数的定义可求出 的解析式为：，根据题意可推出，利用同角三角函数的基本关系可求出，再根据，利用两角差的正弦公式进行展开，代入数据可求出答案；
(2)利用二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式，辅助角公式化简函数解析式可得，据此可求出函数的相伴特征向量，根据单位向量的定义可得：与方向相同单位向量为，代入数据可求出答案.
(3)根据相伴向量的定义可求出，进而求出，设点，据此可求出，根据题意可列出方程，化简方程可得：，利用余弦函数的图象和性质分析可得：当时，方程成立，据此可求出点P的坐标.
19．（山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．
（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
（2）证明：；
（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到）．（参考数据：）
【答案】（1）解：设座舱距离地面最近的位置为点，如图所示：
以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系
设时，游客甲位于点，以为终边的角为
根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约为
由题意可得，
（2）解：令，
所以
（3）解：已知如图所示：
甲、乙两人的位置分别用点表示，则，
经过后甲距离地面的高度为，
点相对于点始终落后，
此时乙距离地面的高度为，
则甲、乙距离地面的高度差
利用，
可得，
，
当（或），即（或）时，的最大值为，
所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为
【知识点】两角和与差的正弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；三角函数模型的应用-匀速圆周运动
【解析】【分析】本题考查三角函数模型的应用，两角和差的余弦公式，正弦函数的图象和性质.
(1)设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系，根据题意可求出座舱转动的角速度，据此可写出H的函数解析式；
(2)令，，再利用两角和与差的余弦公式进行展开，再进行化简可求出答案；
(3)根据点相对于点始终落后，据此可求出此时乙距离地面的高度为的解析式，进而求出甲、乙距离地面的高度差，利用化简的解析式可得：，，利用正弦函数的图象和性质可求出高度差的最大值.
1 / 1山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）在复平面内，复数对应的点为，复数对应的点为，则对应的复数为( )
A． B． C． D．
2．（山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）若是不共线的向量，且，，，则( )
A．．三点共线 B．三点共线
C．三点共线 D．三点共线
3．（山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）( )
A． B． C． D．
4．（山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）已知非零向量，，则在方向上的投影向量长度为( )
A． B． C． D．
5．（山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）已知，是第二象限的角，则( )
A． B． C． D．
6．（山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为( )
A． B． C． D．
7．（山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）如图，矩形是水平放置四边形的直观图，若，，则原四边形的周长是( )
A． B． C． D．
8．（山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）在锐角中，角所对的边分别为，且满足，则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本大题共3小题．每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错的得0分．
9．（山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）下列有关平行六面体的命题正确的是( )
A．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形
B．平行六面体的八个顶点在同一球面上
C．平行六面体的四个侧面不可能都是矩形
D．平行六面体任何两个相对的面都可以作为它的底面
10．（山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）如图，，，线段，相交于点，则( )
A． B．
C． D．
11．（山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）相交弦定理是平面几何中关于圆的一个重要定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，已知圆的半径为，弦，相交于点．且，则( )
A．
B．
C．当时，为定值
D．当时，四边形的面积最大值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）已知函数（），函数的图象关于点对称，且函数图象上相邻最高点和最低点的距离为，则 ．
13．（山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）已知正三角形与正方形的中心为同一点，的边长为，则 ．
14．（山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为．已知点为的费马点，角所对的边分别为，若，，边上的中线长为，则的值为 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）已知复数．
（1）求；
（2）若复数是关于的实系数方程的一个根，求的值．
16．（山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）在等腰梯形中，，，，．
（1）若与垂直，求的值；
（2）若为边上的动点(不包括端点），求的最小值．
17．（山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）在①，②中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答．
问题：在中，角所对的边分别为，已知____．
（1）求；
（2）若，且，求的周长．
18．（山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
（1）记向量的相伴函数为，若，且，求的值；
（2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与方向相同的单位向量；
（3）已知，，为函数的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得 若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
19．（山东省青岛地区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．
（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
（2）证明：；
（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到）．（参考数据：）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：根据题意，复数对应的点为，复数对应的点为，
则，则对应的复数为
故答案为：B
【分析】先求出，再根据复数的几何意义可求出对应的复数.
2．【答案】A
【知识点】共线（平行）向量
【解析】【解答】解：，
则， ，
则
故三点共线，故正确
故答案为：A
【分析】先求出，据此可推出，根据三点共线的定义可作出判断.
3．【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】先进行变形可得：，再根据两角和的正切公式进行计算可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，，
所以，，
所以，
所以在方向上的投影向量长度为
故答案为：A
【分析】先求出，，，根据投影的定义可得：在方向上的投影向量长度为，代入数据可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：已知，
则，化简整理解得，或，
， 是第二象限的角，
则，，即，，
故，
所以
故答案为：D.
【分析】先利用二倍角的正弦公式和同角三角函数的基本关系化简可得：，解方程可求出，再判断出所在的象限，据此可确定的值，
6．【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：将函数的图象向右平移个单位，
得到函数的图象，
若在上为增函数，则有，求得，
则的最大值为
故答案为：C
【分析】先根据三角函数的图象变换可求出：，再根据正弦函数的图象和性质可列出不等式，解不等式可求出 的取值范围，据此可求出的最大值.
7．【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：在直观图中，设与轴的交点为，如图所示：
由题意得，
在原四边形中，，，
原四边形的周长是：6+4+6+4=20.
故答案为：D
【分析】先根据斜二测画法画出平面，再利用勾股定理可求出，根据斜二测画法直观图和平面图可推出，利用勾股定理可求出，据此可求出原四边形的周长.
8．【答案】A
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：因为，由正弦定理可知，，
又因为，所以，所以
所以，即，
又是锐角三角形，所以， 即，
所以，解得，所以，
所以
故答案为：A.
【分析】先利用正弦定理进行边化角，再利用两角和的正弦公式进行化简可得：，据此推出，再根据是锐角三角形，可列出不等式组，解不等式组可求出的取值范围，据此可推出的取值范围，利用二倍角的正弦公式进行化简可得：，代入数据可求出答案.
9．【答案】A,D
【知识点】棱柱的结构特征；球内接多面体
【解析】【解答】解：A.平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，所以平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，正确；
B.仅当平行六面体是底面为矩形的直四棱柱时，八个顶点在同一个球面上，错误；
C.平面六面体的侧棱垂直于底面时，四个侧面都是矩形，错误；
D.根据平行六面体的定义知，平行六面体任何两个相对的面都可以作为它的底面，正确.
故答案为：AD
【分析】利用平行六面体的结构特征可判断A选；根据球的内接几何体的特征据此可判断B选项；根据平面六面体的侧棱垂直于底面时，四个侧面都是矩形，据此可判断C选项；利用平行六面体的定义进行判断，可判断D选项.
10．【答案】A,C
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：A.由， 可得，正确；
B.由， 可得，
则，错误；
C.由三点共线， 设，
由三点共线， 可设，
则有， 解得， 则，
则， 正确；
D.，错误.
故答案为： AC
【分析】根据，利用三角形的中线向量公式可判断A选项；根据，可推出，利用平面向量加法运算可判断B选项；由三点共线， 设，由三点共线， 可设，据此可列出方程组，解方程组可求出，利用平面向量加法运算可判断C选项；根据，再利用平面向量加法运算可判断D选项；
11．【答案】B,C,D
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：A.过、作直径，由题意，如图所示：
，错误；
B.设为的中点，连接，
则
由题意，则，正确；
C.当时，，
则
又，则，
同理，故为定值， 正确；
D.当时， 设为的中点，连接，则，
由弦长公式得，
所以四过形的面积 ，
当且仅当 时等号咸立，正觕.
故答案为： BCD.
【分析】利用平面向量的数量积可得：，代入数据进行计算可判断A选项；设为的中点，连接，利用平面向量的数量积计算可得，再根据，再求出的取值范围，判断B选项；根据题意可得，再利用平面向量的数量积进行计算可得为定值，据此可判断C选项，设为的中点，连接，利用勾股定理可求出，再根据三角形的面积计算公式可得：四过形的面积，利用基本不等式可求出四过形的面积最大值，判断D选项.
12．【答案】
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：设函数图象上相邻最高点为，最低点
由题意得，，
所以，所以，
因为函数的图象关于点对称，
所以，
因为，所以
故答案为：
【分析】先利用正弦函数的图象和性质可列出方程，解方程可求出，再将点代入函数解析式，可求出的值.
13．【答案】
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：为正方形的中心，如图所示：
则，
在正三角形中，为中心，
设的中点，则，
由正三角形的边长为 6 ， 可得，则.
故答案为：.
【分析】根据题意可得利用平面向量的加法和减法运算可求出，再根据三角形的中线向量公式可得：，再根据等边三角形的性质可求出，据此可求出.
14．【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：由，
得，
整理得：，
即，得，
由边上的中线长为， 且，所以
得，即①②
联立①②可得，解得.
可得，
则
故答案为：
【分析】先利用正弦定理进行边化角，再利用两角和的正弦公式进行化简可得， 据此可反推出角，根据三角形中线的性质可得：，利用余弦定理可求出，再结合可求出的值，利用三角形的面积公式可求出，利用平面向量的数量积计算公式可求出答案.
15．【答案】（1）解：由题意知：
所以
所以
（2）解：将代入方程，得
所以，，因为，
所以，且
解得，，
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数；方程在复数范围内的解集
【解析】【分析】本题考查复数的乘除运算，共轭复数的定义，复数的模长公式，复数方程.
(1)先利用复数的乘除运算求出，利用共轭复数的定义可求出，再利用复数的模长公式可求出；
(2)将代入方程可，通过化简可列出方程组，解方程组可求出的值，据此可求出答案.
16．【答案】（1）解：过作于
等腰梯形中易知
又，故可得
如图所示：以为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则，
所以，
故
因为与垂直，所以，
解得
（2）解：由（1）得，设，则，
则
则
对，其对称轴
故其最小只能为
所以的最小值为
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】本题考查平面向量垂直的坐标转化，平面向量数量积的坐标转化.
(1)过作于，利用等腰三角形的性质可推出，建立平面直角坐标系，写出点的坐标，求出，，再利用平面向量垂直的坐标转化可列出方程，解方程可求出k的值；
(2)设，，求出，利用平面向量数量积的坐标表示公式可求出：，利用二次函数的性质可求出最小值.
17．【答案】（1）解：选择条件①：因为，
在中，由余弦定理得
所以
由余弦定理得
因为
所以
选择条件②：因为，所以，
由正弦定理得.
即，
则，
因为，所以
因为，所以
（2）解：因为，所以，即
即
又因为
所以
由于，所以的外接圆半径为
由正弦定理可得，
可得
由余弦定理可得
所以所以的周长为
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形.
(1)①：利用余弦定理进行角化边可求出：，再利用余弦定理可求出，据此可反推出角；
②：利用正弦定理进行边化角，再利用两角和的正弦公式进行化简可求出：，据此可反推出角；
(2)利用两角和的余弦公式化简可求出，再结合的外接圆半径为，利用正弦定理可求出，利用余弦定理进行计算可求出，据此可求出的周长.
18．【答案】（1）解：向量的相伴函数为
当时，
又，则
所以
故
（2）解：因为
故函数的相伴特征向量
则与方向相同单位向量为
（3）解：因为函数的相伴特征向量，
所以
设点，又，，
所以
若，则
即，
因为，故，
又，故当且仅当时，成立
故在的图象上存在一点，使得
【知识点】函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积，正弦函数的图象和性质，余弦函数的图象和性质.
(1)根据相伴函数的定义可求出 的解析式为：，根据题意可推出，利用同角三角函数的基本关系可求出，再根据，利用两角差的正弦公式进行展开，代入数据可求出答案；
(2)利用二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式，辅助角公式化简函数解析式可得，据此可求出函数的相伴特征向量，根据单位向量的定义可得：与方向相同单位向量为，代入数据可求出答案.
(3)根据相伴向量的定义可求出，进而求出，设点，据此可求出，根据题意可列出方程，化简方程可得：，利用余弦函数的图象和性质分析可得：当时，方程成立，据此可求出点P的坐标.
19．【答案】（1）解：设座舱距离地面最近的位置为点，如图所示：
以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系
设时，游客甲位于点，以为终边的角为
根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约为
由题意可得，
（2）解：令，
所以
（3）解：已知如图所示：
甲、乙两人的位置分别用点表示，则，
经过后甲距离地面的高度为，
点相对于点始终落后，
此时乙距离地面的高度为，
则甲、乙距离地面的高度差
利用，
可得，
，
当（或），即（或）时，的最大值为，
所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为
【知识点】两角和与差的正弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；三角函数模型的应用-匀速圆周运动
【解析】【分析】本题考查三角函数模型的应用，两角和差的余弦公式，正弦函数的图象和性质.
(1)设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系，根据题意可求出座舱转动的角速度，据此可写出H的函数解析式；
(2)令，，再利用两角和与差的余弦公式进行展开，再进行化简可求出答案；
(3)根据点相对于点始终落后，据此可求出此时乙距离地面的高度为的解析式，进而求出甲、乙距离地面的高度差，利用化简的解析式可得：，，利用正弦函数的图象和性质可求出高度差的最大值.
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