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22.3 实际问题与二次函数（第2课时） 分层作业
基础训练
1．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）共享单车为市民的出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则x的值为（ ）
A．1.2 B． C． D．
2．（22-23九年级上·福建福州·阶段练习）某商场销售的某种商品每件的标价是80元，若按标价的八折销售，仍可盈利24元，市场调查发现：在以标价打八折为销售价的基础上，该种商品每星期可卖出220件，该种商品每降价1元，每星期可多卖20件．设每件商品降价x元（x为整数），每星期的利润为y元．以下说法错误的是（ ）
A．每件商品进价为40元 B．降价后每件商品售价为元
C．降价后每周可卖件 D．每星期的利润为
3．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）某商店购进一批单价为20元的商品，若以单价30元销售，则每月可售出400件，如果销售单价每提高1元，月销售量相应减少20件，设每件商品单价涨元，月销售利润为元，可列函数为：，对所列函数下列说法错误的是（ ）
A．表示涨价后商品的单价 B．表示涨价后少售出商品的数量
C．表示涨价后商品的月销售量 D．当时月利润达到最大
4．（23-24九年级上·浙江温州·期中）亚运会期间，我市宾馆预订火爆．某宾馆有间标准房，当标准房价格为元时，每天都客满．市场调查表明单间房价在～元之间（含元，元）浮动时，每提高元，日均入住数减少间．如果不考虑其他因素，为使客房的日营业收入最大，宾馆可将标准房价格提高（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
5．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出90件．市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出15件，已知商品的进价为每件30元，设每件降价元，每星期售出商品的利润为元，则与的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24九年级上·河南新乡·期中）某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（单位：万元）与销售量x（单位：辆）之间分别满足：，，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为（ ）
A．36万元 B．40万元 C．45万元 D．46万元
7．（2024·天津南开·二模）已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论：
①当降价为3元时，每星期可卖360件；
②每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为42元或者43元；
③每星期的最大利润为6250元．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
8．（23-24九年级上·山东烟台·期中）如图所示的公路隧道其截面为抛物线型，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．若，抛物线的顶点P到的距离为，则抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
9．（23-24九年级上·广东韶关·期中）如图所示，某工厂的大门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为，两侧距地面高处各有一壁灯，两壁灯间的水平距离为，则厂门的高度约为（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24九年级上·福建泉州·期末）廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示．已知抛物线的函数表达式为，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为8米的C，D两处安装警示灯，则警示灯D距离水面的距离为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
11．（23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，如果水面下降，那么水面宽度增加（ ）m．
A． B． C． D．
12．（23-24九年级上·山东滨州·阶段练习）已知某抛物线形拱桥下的拱顶离水面时，水面宽，那么下列说法中正确的是（ ）
A．若以拋物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴建立直角坐标系，则这条抛物线的解析式是
B．若以水面所在直线为轴，以水面的垂直平分线为轴建立直角坐标系，则过条批物线的解析式是
C．水面上升后，水面宽为
D．水面下降后，水面宽为
13．（23-24九年级上·浙江温州·期中）图1是洞头深门大桥，其桥底呈抛物线，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示，桥面，其抛物线解析式为，抛物线上点离桥面距离米，若存在一点使得，则点到抛物线的距离 米．
14．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天支出40元的各种费用．则宾馆获得的利润y（元）与房价x（元）（x为10的倍数）之间的函数解析式为 ，宾馆利润最大利润是 元．
15．（23-24九年级上·吉林长春·期中）如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度米，一位同学站在门内，在离门脚B点1米远的D处，垂直地面立起一根米长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上C处．则该大门的高h为 米．
16．（23-24九年级上·吉林长春·期中）如图，我校为科技节获奖的同学举办颁奖典礼，颁奖现场入口为一个抛物线形拱门．小丽要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”（分别记作点A、B、C、D）四个大字，要求，最高点的五角星（点 E）到的距离为 0.25米，米，米，则点C到的距离为 米．
17．（2023·辽宁丹东·模拟预测）丹东是我国最大的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示单价每降低0.1元，愿意多经销500件，请问，厂家批发单价是多少时可以获利最多？
18．（23-24九年级上·山东烟台·期末）某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，确定两条信息：
信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系，如图所示．
信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系．根据以上信息，解答下列问题；
(1)求二次函数的表达式；
(2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？
19．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）2022年12月，随着神舟十四号载人飞船成功返回地球，航天模型、航天玩具备受青少年的喜爱.某公司在百货大楼销售神舟飞船纪念章，已知神舟飞船纪念章的成本价为每枚8元，销售单价不低于成本价且不高于18元．经销售发现，日销售量y（枚）与销售单价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
销售单价x（元） … 9 10 11 …
销售量y（枚） … 2100 2000 1900 …
(1)请求出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
(2)当销售单价定为多少时，销售这种神舟飞船纪念章的日获利最大？最大利润为多少元？
20．（2023·山东济宁·二模）年月日，在中国杭州举行的第届亚运会．大会吉祥物为“琮琮、宸宸、莲莲”，某特许零售店“琮琮”的销售日益火爆，据调查“琮琮”每盒进价元，售价元．
(1)商店老板计划首月销售盒，经过首月试销售，老板发现单盒“琮琮”售价每增长元，月销量就将减少盒．若老板希望“琮琮”月销量不低于盒，则每盒售价最高为多少元？
(2)实际销售时，售价比（）中的最高售价减少了元，月销量比（）中最低销量盒增加了盒，于是月销售利润达到了元，求的值；
(3)在（）的条件下，当每盒售价为多少元时，月销售利润最大？最大利润为多少？
21．（2023·河南濮阳·三模）湘雅公园人工湖上有一座拱桥，横截面呈抛物线形状，如图所示，现对此展开研究：跨度为4米，桥墩露出水面的高度为米，在距点A水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为米，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是横截水面，是拱桥距水面的高度．
(1)求抛物线的表达式；
(2)公园欲开设游船项目，为安全起见，公园要在水面上的C、D两处设置航行警戒线，并且，要求游船能从C、D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为多少米？
能力提升
22．（23-24九年级上·山东烟台·期中）某种蔬菜的销售单价与销售月份之间的关系如图（1）所示，成本与销售月份之间的关系如图（2)所示（图（1）的图像是线段，图（2）的图像是抛物线） 月出售这种蔬菜，每千克的收益最大．（收益=售价一成本）
23．（23-24九年级上·河南濮阳·期中）北京冬奥会推出的吉祥物“冰墩墩”“雪容融”深受人们的喜爱，销售火爆．某经销商以60元/个的价格购进了一批“冰墩墩”摆件，打算采取线下和线上两种方式销售，调查发现线下每周销售量y（个）与售价x（元/个）满足一次函数关系：
售价x（元/个） … 80 90 100 …
销量y（个） … 400 300 200 …
线下销售，每个摆件的利润不得高于进价的80%；线上售价为100元/个，供不应求．若该经销商共购进“冰墩墩”1000个，一周内全部销售完．合理分配线下和线上的销量，可使全部售完后获得的利润最大，最大利润是 元（不计其它成本）．
当线下销量为)个时，线上销量为个,
∵线下销售，每个摆件的利润不得高于进价的，
∴当时，有最大值，最大值为元，
24．（2023·山东青岛·一模）崂山是“海上第一名山”，其胜景在于它的山景和海景并存，名山蕴名水，名水育名茶，这是品茶人的讲究．与去年相比，今年某种崂山茶叶的购进产量增加了1000千克，每千克的平均进价比去年降低了，购进总额比去年增加了20%，已知去年这种崂山茶叶购进总额为10万元，解决下列问题：
(1)求这种茶叶今年每千克的平均进价是多少元？
(2)若去年这种崂山茶按35元/千克的价格销售完去年产量的一半后，商家决定根据市场情况打折销售，但要求销售完去年这种崂山茶的总利润率不低于，则最多可以按几折销售？（结果保留整数）
(3)调查发现，若今年每千克崂山茶叶的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克．工商部门规定，该茶叶利润率不得超过40%，设一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时（售价取整数计算），该茶叶一天的销售利润最大？最大利润是多少？
25．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用．
【建立模型】如图2，款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式．
【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，求最多可摆放的椅子数量．
【分析计算】现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为2.5米，且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子．设其拋物线型支架的形状值为，请写出的最小值．
26．（22-23九年级下·河南新乡·阶段练习）如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米（即）．现以点O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
(2)求出这条抛物线的函数解析式；
(3)若要搭建一个矩形“支撑架”，使点C，D在抛物线上，点A，B在地面上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
27．（22-23九年级下·河南商丘·阶段练习）如图1是某公园内的一座拱桥．如图2是其桥拱的截面示意图，可视为抛物线的一部分．某时测得桥拱内的水面宽，桥拱顶点C到水面的距离是．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．
(1)按如图2所示建立平面直角坐标系，求桥拱截面所在抛物线的函数表达式．
(2)为迎佳节，拟在图1桥拱内壁上悬挂长的灯笼，为了安全，灯笼底部距离水面不小于，请确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
(3)桥拱截面所在抛物线在轴下方的部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新的函数图象，如图3．将图象G向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，y随x的增大而减小，请直接写出的取值范围．中小学教育资源及组卷应用平台
22.3 实际问题与二次函数（第2课时） 分层作业
基础训练
1．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）共享单车为市民的出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则x的值为（ ）
A．1.2 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据该公式第一个月及第三个月单车的投放量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
所以该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为．
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（22-23九年级上·福建福州·阶段练习）某商场销售的某种商品每件的标价是80元，若按标价的八折销售，仍可盈利24元，市场调查发现：在以标价打八折为销售价的基础上，该种商品每星期可卖出220件，该种商品每降价1元，每星期可多卖20件．设每件商品降价x元（x为整数），每星期的利润为y元．以下说法错误的是（ ）
A．每件商品进价为40元
B．降价后每件商品售价为元
C．降价后每周可卖件
D．每星期的利润为
【答案】D
【分析】设商品进价为a元，根据“按标价的八折销售，仍可盈利24元”，列出方程求出商品进价，即可逐个进行判断．
【详解】解：A、设商品进价为a元，
，
解得：，
∴每件商品进价为40元，故A正确，不符合题意；
B、降价后每件商品售价为元，故B正确，不符合题意；
C、降价后每周可卖件，故C正确，不符合题意；
D、每星期的利润为，故D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是求出商品进价，根据题意，找出等量关系．
3．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）某商店购进一批单价为20元的商品，若以单价30元销售，则每月可售出400件，如果销售单价每提高1元，月销售量相应减少20件，设每件商品单价涨元，月销售利润为元，可列函数为：，对所列函数下列说法错误的是（ ）
A．表示涨价后商品的单价 B．表示涨价后少售出商品的数量
C．表示涨价后商品的月销售量 D．当时月利润达到最大
【答案】A
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．
根据题意分别表示涨价后的单件价格和利润、月销售量减少量、月销售量、以及函数的最大值．
【详解】解：设每件商品单价涨元，则单件价格为元，利润为元，月销量减少量为元，月销售量为元，则月销售利润是：元，
故，
∵，
∴时，月利润达到最大值，
据此选项B，C，D正确，不符合题意，选项A错误符合题意，
故选：A
4．（23-24九年级上·浙江温州·期中）亚运会期间，我市宾馆预订火爆．某宾馆有间标准房，当标准房价格为元时，每天都客满．市场调查表明单间房价在～元之间（含元，元）浮动时，每提高元，日均入住数减少间．如果不考虑其他因素，为使客房的日营业收入最大，宾馆可将标准房价格提高（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】B
【分析】首先设宾馆可将标准房价格提高x个元，以及客房的日营业收入为y，建立y与x的关系式，并通过二次函数求解最大值．本题考查根据实际问题选择函数类型，通过实际问题，抽象出函数模型，并通二次函数计算最大值，考查对知识的综合运用能力，属于中档题．
【详解】解：设设宾馆可将标准房价格提高x个元，客房的日营业收入为y元，将有间客房空出，
由题意可得：
当，即时，y最大值为．
因此为使客房的日营业收入最大，宾馆可将标准房价格提高元．
故选：B
5．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出90件．市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出15件，已知商品的进价为每件30元，设每件降价元，每星期售出商品的利润为元，则与的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查由实际问题列二次函数关系式．设每件降价元，则每件的利润是元，所售件数是件，根据利润＝每件的利润×所售的件数，即可列出函数解析式．
【详解】解：设每件降价元，每星期售出商品的利润为元，
依题意得，
故选：A．
6．（23-24九年级上·河南新乡·期中）某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（单位：万元）与销售量x（单位：辆）之间分别满足：，，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为（ ）
A．36万元 B．40万元 C．45万元 D．46万元
【答案】D
【分析】本题考查了销售问题的二次函数的运用，二次函数的性质运用，解答时求出函数的解析式是关键．
设在甲地销售了a辆，则在乙地销售了辆，则,，设总利润为W元，根据总利润等于两地的利润之和表示出W与a之间的关系式就可以求出结论．
【详解】设总利润为W元，在甲地销售了a辆，则在乙地销售了辆，则，，
由题意，得．
∴二次项系数为，
∴时，．
故选D．
7．（2024·天津南开·二模）已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论：
①当降价为3元时，每星期可卖360件；
②每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为42元或者43元；
③每星期的最大利润为6250元．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【分析】设降价x元，则售价为元，每件的盈利元，每天可售出件，
①当降价为3元时，每星期可卖件；正确；
②根据题意，得，整理，得，
解得，每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为58元或者57元；错误；
③设每星期的利润为y元，根据题意，得
，故每星期的最大利润为6125元．判断即可．
利用每天销售获得的总利润＝每件千克的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，解之即可得出x的值即可求得．
本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，最大利润问题，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键．
【详解】设降价x元，则售价为元，每件的盈利元，每天可售出件，
①当降价为3元时，每星期可卖件；
正确；
②根据题意，得，
整理，得，
解得，
每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为58元或者57元；
错误；
③设每星期的利润为y元，根据题意，得
，
故每星期的最大利润为6125元．错误．
故选C．
8．（23-24九年级上·山东烟台·期中）如图所示的公路隧道其截面为抛物线型，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．若，抛物线的顶点P到的距离为，则抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了求抛物线的表达式，根据题意得出，，设抛物线的表达式为，把代入得，再把代入求出a的值，即可得出抛物线表达式．解题的关键是掌握用待定系数法求函数表达式的方法和步骤，以及二次函数的顶点式．
【详解】解：∵，抛物线的顶点P到的距离为，
∴，，
设抛物线的表达式为，
把代入得：，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线表达式为．
故选：D．
9．（23-24九年级上·广东韶关·期中）如图所示，某工厂的大门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为，两侧距地面高处各有一壁灯，两壁灯间的水平距离为，则厂门的高度约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用，由题意可知，以地面为轴，大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系，抛物线过、、、，运用待定系数法求出解析式后，求函数值的最大值即可，解题的关键是建立数学模型，借助二次函数解决实际问题，注意根据线段长度得出各点的坐标．
【详解】解：以地面为轴，大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系，如图，
则抛物线过、、、，四点，设该抛物线解析式为：，
∴，解得：，
∴该抛物线解析式为，
则，
∴厂门的高度约为米，
故选：．
10．（23-24九年级上·福建泉州·期末）廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示．已知抛物线的函数表达式为，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为8米的C，D两处安装警示灯，则警示灯D距离水面的距离为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【分析】本题主要考查的是二次函数在实际生活中的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据性质求出与轴的交点，即可得到答案．
【详解】解：依题意，的横坐标为，
令，
即，
故选B．
11．（23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，如果水面下降，那么水面宽度增加（ ）m．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y经过中点O且经过C点，则通过画图可得知O为原点，
由题意得：抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，和可求出为的一半2米，抛物线顶点C坐标为，
∴点B的坐标为，
∴通过以上条件可设顶点式，
把点B坐标代入到抛物线解析式得：,
∴，
∴抛物线解析式为，
当水面下降0.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把代入抛物线解析式得出：，
解得：
∴水面宽度增加到米，
∴比原先的宽度当然是增加了米，
故选：B．
12．（23-24九年级上·山东滨州·阶段练习）已知某抛物线形拱桥下的拱顶离水面时，水面宽，那么下列说法中正确的是（ ）
A．若以拋物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴建立直角坐标系，则这条抛物线的解析式是
B．若以水面所在直线为轴，以水面的垂直平分线为轴建立直角坐标系，则过条批物线的解析式是
C．水面上升后，水面宽为
D．水面下降后，水面宽为
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的应用，用等定系数法求出函数的解析式，然后分析即可求解解题的关键是将实际问题转化为二次函数的问题求解．
【详解】解：如图，建立直角坐标系，
设拱桥的抛物线解析式为，
∵拱顶离水面时，水面宽，
∴图中点坐标为，代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为，故选项不符合题意；
B、∵以水面所在直线为轴，以水面的垂直平分线为轴建立直角坐标系，水面宽，
∴抛物线过点，代入中，
，故选项不符合题意；
C、水面上升后，即当时，，
解得，，
∴水面宽为，故选项符合题意；
D、水面下降后，即当时，，
解得，，
∴水面宽为，故选项不符合题意；
故选：C．
13．（23-24九年级上·浙江温州·期中）图1是洞头深门大桥，其桥底呈抛物线，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系如图所示，桥面，其抛物线解析式为，抛物线上点离桥面距离米，若存在一点使得，则点到抛物线的距离 米．
【答案】
【分析】本题考查二次函数在实际生活中的应用，令，求得，进而当时，求得，进而即可求解．
【详解】解：令，
解得：舍去或米，
则，
则米，
当时，（米），
则米，
故答案为：．
14．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天支出40元的各种费用．则宾馆获得的利润y（元）与房价x（元）（x为10的倍数）之间的函数解析式为 ，宾馆利润最大利润是 元．
【答案】 10240
【分析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．由题意得y 关于 x 的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【详解】解：由题意得：
，
，抛物线开口向下，
当时， y 有最大值，为10240，
答：房间定价为360元时，利润最大，最大利润为10240元．
故答案为：，10240．
15．（23-24九年级上·吉林长春·期中）如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度米，一位同学站在门内，在离门脚B点1米远的D处，垂直地面立起一根米长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上C处．则该大门的高h为 米．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的应用，建立适当的直角坐标系，根据题目所给数据求出点的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式，即可得出最后结果．
【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为，
由题意可知B，C两点的坐标分别为，，
把B，C两点的坐标分别代入抛物线的解析式得
，
解得：，
抛物线的解析式为，
则该大门的高h为米，
故答案为：．
16．（23-24九年级上·吉林长春·期中）如图，我校为科技节获奖的同学举办颁奖典礼，颁奖现场入口为一个抛物线形拱门．小丽要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”（分别记作点A、B、C、D）四个大字，要求，最高点的五角星（点 E）到的距离为 0.25米，米，米，则点C到的距离为 米．
【答案】2
【分析】本题考查二次函数的应用，建立如图所示平面直角坐标系，由待定系数法求函数解析式即可求解．
【详解】解：以过拱顶点E为原点，以过点E平行于地面的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线解析式为，
∵，
∴，
∵最高点的五角星（点 E）到的距离为0.25米，
∴，代入解析式得，
∴，
∵，
∴，
设，代入解析式得，
，
∴，即点C到的距离为2.25-0.25=2米．
17．（2023·辽宁丹东·模拟预测）丹东是我国最大的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示单价每降低0.1元，愿意多经销500件，请问，厂家批发单价是多少时可以获利最多？
【答案】单价为12时，利润最大
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．由总利润=每件利润×批发件数，列出函数关系式，根据二次函数性质可得答案．
【详解】解：设厂家批发单价是x元，获利为y元，
∵，
∴当时，y取最大值20000，
∴厂家批发单价是12元时，可以获利最多为20000元．
18．（23-24九年级上·山东烟台·期末）某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，确定两条信息：
信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系，如图所示．
信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系．根据以上信息，解答下列问题；
(1)求二次函数的表达式；
(2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？
【答案】(1)
(2)购进A产品6吨，B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润为6.6万元
【分析】本题考查二次函数的应用，根据实际情况构建二次函数的解析式是解题的关键．
（1）将代入，解方程组求出a、b的值即可得二次函数解析式．
（2）建立销售A、B两种产品获得的利润之和与购进A产品数量之间的函数关系式，应用二次函数的最值求解即可．
【详解】（1）解：（1）由图象可知：抛物线过原点，设函数解析式为，
将代入，得
，解得
∴二次函数解析式为．
（2）设购进A产品m吨，购进B产品吨，销售A，B两种产品获得的利润之和为W万元．则
∵，
∴当时，W有最大值6.6．
∴购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A，B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元．
19．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）2022年12月，随着神舟十四号载人飞船成功返回地球，航天模型、航天玩具备受青少年的喜爱.某公司在百货大楼销售神舟飞船纪念章，已知神舟飞船纪念章的成本价为每枚8元，销售单价不低于成本价且不高于18元．经销售发现，日销售量y（枚）与销售单价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
销售单价x（元） … 9 10 11 …
销售量y（枚） … 2100 2000 1900 …
(1)请求出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
(2)当销售单价定为多少时，销售这种神舟飞船纪念章的日获利最大？最大利润为多少元？
【答案】(1)
(2)当销售单价定为18元时，销售这种神舟飞船纪念章日获利最大，最大利润为12000元
【分析】本题考查了一次函数关系式，二次函数的性质，解题的关键是用待定系数法求一次函数关系式以及用二次函数的性质求最大利润．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得．
（1）设与之间的函数关系式为，用待定系数法求解即可．
（2）设日利润为w，由题意列出w关于x的函数关系式，将其写成顶点式，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，
把，和，代入得：
，解得
∴；
（2）解：设日利润为w，由题意得：
∵，对称轴为直线，，
∴当时，有最大值，
，
答：当销售单价定为18元时，销售这种神舟飞船纪念章日获利最大，最大利润为12000元．
20．（2023·山东济宁·二模）年月日，在中国杭州举行的第届亚运会．大会吉祥物为“琮琮、宸宸、莲莲”，某特许零售店“琮琮”的销售日益火爆，据调查“琮琮”每盒进价元，售价元．
(1)商店老板计划首月销售盒，经过首月试销售，老板发现单盒“琮琮”售价每增长元，月销量就将减少盒．若老板希望“琮琮”月销量不低于盒，则每盒售价最高为多少元？
(2)实际销售时，售价比（）中的最高售价减少了元，月销量比（）中最低销量盒增加了盒，于是月销售利润达到了元，求的值；
(3)在（）的条件下，当每盒售价为多少元时，月销售利润最大？最大利润为多少？
【答案】(1)
(2)；
(3)当售价定为元时，月销售利润最大，最大为元．
【分析】（）设每盒的售价为元，则月销量为盒，根据月销量不低于盒，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（）利用月销售利润每盒的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（）设月销售利润为元，根据月利润每盒的利润销售量列出函数解析式，在（）的条件下由函数的性质求最值；
本题考查了二次函数、 一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式； （）找准等量关系，正确列出一元二次方程； （）找准等量关系，正确列出函数解析式．
【详解】（1）设每盒“琮琮”的售价为元，则月销量为盒，依题意得：
解得：，
答：每盒售价最高为元；
（2）依题意得：，
解得： ， (不合题意，舍去)；
答：的值为；
（3）设月销售利润为元，
根据题意得：
，
∴对称轴为，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴当每盒售价为元时，月销售利润最大，最大利润为元．
21．（2023·河南濮阳·三模）湘雅公园人工湖上有一座拱桥，横截面呈抛物线形状，如图所示，现对此展开研究：跨度为4米，桥墩露出水面的高度为米，在距点A水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为米，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是横截水面，是拱桥距水面的高度．
(1)求抛物线的表达式；
(2)公园欲开设游船项目，为安全起见，公园要在水面上的C、D两处设置航行警戒线，并且，要求游船能从C、D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为多少米？
【答案】(1)；
(2)C处距桥墩的距离至少为米．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，审清题意、掌握数形结合思想是解题的关键．
（1）先确定抛物线的顶点坐标，然后用代入消元法即可解答；
（2）令可得，然后解二元一次方程即可解答．
【详解】（1）解：∵为4米，在距点A水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为2.88米，
∴抛物线顶点为，
设抛物线的表达式为，
将代入得：，解得．
∴抛物线的表达式为．
（2）解：在中，令可得：
，
解得：（舍去）或，
∴C处距桥墩的距离至少为米．
能力提升
22．（23-24九年级上·山东烟台·期中）某种蔬菜的销售单价与销售月份之间的关系如图（1）所示，成本与销售月份之间的关系如图（2)所示（图（1）的图像是线段，图（2）的图像是抛物线） 月出售这种蔬菜，每千克的收益最大．（收益=售价一成本）
【答案】5
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题关键，掌握配方法是求二次函数最大值常用的方法．
观察图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出和的解析式，由收益列出W与x的函数关系式，利用配方求出二次函数的最大值．
【详解】解：设，将和代入得，
，
解得．
∴ ．
由图象知抛物线的顶点坐标为，
设，把代入得，
，
解得．
∴，即；
∴设收益
，
∵，
∴当时，收益最大为，
故答案为：5．
23．（23-24九年级上·河南濮阳·期中）北京冬奥会推出的吉祥物“冰墩墩”“雪容融”深受人们的喜爱，销售火爆．某经销商以60元/个的价格购进了一批“冰墩墩”摆件，打算采取线下和线上两种方式销售，调查发现线下每周销售量y（个）与售价x（元/个）满足一次函数关系：
售价x（元/个） … 80 90 100 …
销量y（个） … 400 300 200 …
线下销售，每个摆件的利润不得高于进价的80%；线上售价为100元/个，供不应求．若该经销商共购进“冰墩墩”1000个，一周内全部销售完．合理分配线下和线上的销量，可使全部售完后获得的利润最大，最大利润是 元（不计其它成本）．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的应用和待定系数法求函数解析式，关键是设出与的函数表达式为然后用待定系数法求函数解析式即可，然后根据总利润线下销售利润线上销售利润列出函数解析式找最值．
【详解】设与的函数表达式为，
则 ，
解得：，
∴与的函数表达式为 ，
当线下销量为)个时，线上销量为个,
设全部售完后获得的利润为元，根据题意得：
，
∵线下销售，每个摆件的利润不得高于进价的，
，
解得：，
∵，对称轴为，
∴当时，有最大值，最大值为元，
故答案为为：.
24．（2023·山东青岛·一模）崂山是“海上第一名山”，其胜景在于它的山景和海景并存，名山蕴名水，名水育名茶，这是品茶人的讲究．与去年相比，今年某种崂山茶叶的购进产量增加了1000千克，每千克的平均进价比去年降低了，购进总额比去年增加了20%，已知去年这种崂山茶叶购进总额为10万元，解决下列问题：
(1)求这种茶叶今年每千克的平均进价是多少元？
(2)若去年这种崂山茶按35元/千克的价格销售完去年产量的一半后，商家决定根据市场情况打折销售，但要求销售完去年这种崂山茶的总利润率不低于，则最多可以按几折销售？（结果保留整数）
(3)调查发现，若今年每千克崂山茶叶的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克．工商部门规定，该茶叶利润率不得超过40%，设一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时（售价取整数计算），该茶叶一天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)24元
(2)6
(3)当售价为33元，最大利润为7020．
【分析】本题考查列分式方程解应用题，列二次函数解应用题，一元一次不等式的实际应用，掌握列分式方程解应用题的方法与步骤，列二次函数解应用题方法是解题关键．
（1）设去年这种崂山茶叶的进价为x元/千克，根据今年的销量 去年的销量进行列方程，解分式方程注意验根，即可作答．
（2）在（1）的基础上，得去年这种崂山茶进价为25元/千克，去年产量为4000千克，根据总利润率不低于8.5%这个条件进行列不等式，即可作答．
（3）设每千克的平均销售价为元，根据总利润＝每千克利润×销量，进行列函数关系式，结合二次函数的性质，即可作答．
【详解】（1）解：设去年这种崂山茶叶的进价为x元/千克，依题意，得
解得
经检验：是原方程的解，
则（元）；
∴这种茶叶今年每千克的平均进价是24元；
（2）解：在（1）的基础上，得去年这种崂山茶进价为25元/千克，
则去年产量为4000千克
设可以按折销售
∵去年这种崂山茶的总利润率不低于8.5%
∴
解得
∵结果保留整数
∴可以按6折销售；
（3）解：设每千克的平均销售价为元，，
∵，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
当时，此时，故舍去，
∵取整数，
当，此时，故舍去，
当，此时，符合题意，
把代入
得
即当售价为33元，最大利润为7020．
25．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用．
【建立模型】如图2，款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式．
【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，求最多可摆放的椅子数量．
【分析计算】现要设计一款抛物线型帐篷，要求顶部高度为2.5米，且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子．设其拋物线型支架的形状值为，请写出的最小值．
【答案】[建立模型]；[运用模型]张；[分析计算]
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，平面直角坐标系，不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
[建立模型]以的中点为平面直角坐标系的原点，此时，且经过，代入抛物线函数关系式，即可作答．
[运用模型]在[建立模型]的基础上，令，解出的值，根据宽度建立不等式，即可作答．
[分析计算]设抛物线函数关系式为，根据“且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子”，建立不等式，即可作答．
【详解】解：[建立模型] 以的中点为平面直角坐标系的原点，如图所示：
∵款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度
∴
设抛物线函数关系式为
∵抛物线经过点
∴
解得
即；
[运用模型]∵，且椅子高度，宽度
∴
解得
则的距离为2；
∵椅子数量为正整数
∴最多可摆放的椅子数量为张；
[分析计算]依题意，设抛物线函数关系式为，
∵且一排能容纳5张高宽分别为和的椅子
∴即刚好经过点点，
∴
∴经过点
即当时，即
解得．
∴的最小值为．
26．（22-23九年级下·河南新乡·阶段练习）如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米（即）．现以点O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
(2)求出这条抛物线的函数解析式；
(3)若要搭建一个矩形“支撑架”，使点C，D在抛物线上，点A，B在地面上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)18米
【分析】本题考查的是二次函数的综合题等知识点，
（1）看图由题意可得出M，P的坐标；
（2）已知M，P的坐标，易求出这条抛物线的函数解析式；
（3）设，则可得支撑架总长；
解题的关键是在根据图形特点选取一个合适的参数表示它们，得出关系式后运用函数性质来解．
【详解】（1）由题意得：
；
（2）由顶点设此函数解析式为：，
将点代入得，
∴；
（3）（3）设设，则
∴“支撑架”总长
∵此二次函数的图象开口向下．
∴当时，有最大值为18．
27．（22-23九年级下·河南商丘·阶段练习）如图1是某公园内的一座拱桥．如图2是其桥拱的截面示意图，可视为抛物线的一部分．某时测得桥拱内的水面宽，桥拱顶点C到水面的距离是．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．
(1)按如图2所示建立平面直角坐标系，求桥拱截面所在抛物线的函数表达式．
(2)为迎佳节，拟在图1桥拱内壁上悬挂长的灯笼，为了安全，灯笼底部距离水面不小于，请确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
(3)桥拱截面所在抛物线在轴下方的部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新的函数图象，如图3．将图象G向右平移个单位长度，平移后的函数图象在时，y随x的增大而减小，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设桥拱截面所在抛物线的函数表达式为，把点代入求解即可；
（2）将代入先求出自变量的值，然后借助图像写出自变量的取值范围；
（3）根据题意得到新函数解析式，并画出函数图像，进而即可得到的范围．
【详解】（1）由题意，得，，顶点．
设桥拱截面所在抛物线的函数表达式为．
将点代入，
得，
解得．
∴桥拱截面所在抛物线的函数表达式为．
（2）由题意，得悬挂点的纵坐标的最小值为．
将代入，得，
解得或．
∴悬挂点的横坐标的取值范围为．
（3）∵抛物线的对称轴为直线，
∴图象G的对称轴也是直线，且当或时，y随x的增大而减小．
∴将图象G向右平移个单位长度后，可得平移后函数图象的对称轴是直线，
且当或时，y随x的增大而减小．
∵图象G平移后得到的函数图象中，当时，y随x的增大而减小，
∴且或．当且时，解得．
当时，解得．由题意，知，
∴不符合题意，舍去．
综上所述，m的取值范围是．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的待定系数法，二次函数的图像和性质，二次函数图像平移和轴对称变换规律，是解题的关键．
