云南省昭通市水富市一中云天联盟2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 云南省昭通市水富市一中云天联盟2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 993.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-06 15:18:26 | ||
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文档简介
云天化中学教研联盟2024年春季学期期末考试
高二数学试卷
注意事项：
1．答题前为生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在符图卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码。
2．回答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动。用像皮擦干净后，再选涂其它符案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
3．曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．288 B．144 C．96 D．25
5．抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为（ ）．
A． B． C．40 D．5
6．已知等比数列的公比不为1，若，且，，，成等左数列，则（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法错误的是（ ）
A．若随机变量、满足且，则
B．已知随机变量，若，，则
C．若非件A，B相互独立，则
D．若A，B两组成对数据的相关系数分别为、，则A组数据的相关性更强
8．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宜传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中。某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上。如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为60°时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上。若该椭圆的离心率为e，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．如图为函数的部分图象，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数的限象关于点成中心对称
C．函数在区间上单调速增
D．函数的图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移后关于y轴对称
10．已知函数是定义在R上的奇面数。是偶函数，当，，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数的图象关于直线对称 B．4是函数的周期
C． D．方程恰有4个不同的根
11．如图，正方体棱长为2，是直线上的一个动点，则下列结论中正确的是（ ）
A．的致小位为
B．的最小价为
C．三棱锥的体积为
D．以点为球心，为半径的球面与平面的交线长
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．在的二项展开式中，若各项系数和为32．则项的系数为______．
13．盒中有4个白球，5个黄球，先随机地从中取出一个球，观察其颜色后放回，并另放入同色球2个，第二次再从盒中取一个球，则第二次取出的是黄球的概率为______．
14．如图所示，已知双曲线的右焦点F，过点F做直线l交双曲线C于A，B两点，过点F作直线l的垂直交双曲线C于点G，，且三点A，O，G共线（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为______．
四、解答题（本大题共77分）
15．（本题13分）在中，A，B，C所对应为a、b、c，且满足．
（1）求；
（2）点在线段AC的延长线上，且，若， ，求的面积．
16．（本题15分）四棱锥中，，底面是正方形，，点是棱PC上一点．
（1）求证：；
（2）当为中点时，求所成二面角锐角的大小．
17．（本题15分）随着移动互联网和直播带货技术的发展，直播带货已经成为一种热门的销售方式，特别此商家通过展示产品，使顾客对商品有更全面的了解．下面统计了某新手开启直播带货后从6月份到10月份每个月的销售量的数据，得到如图所示的散点图．其中6月份至10月份相应的代码为，如：表示6月份．
（1）根据散点图判断。模型①与段型②哪一个更事宜作为月销售量关于月份代码的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）（i）根据（1）的判断结果，建立关于x的回归方程；（计算结果精确到0.01）
（ii）根据结果预测12月份的销售最大约是多少万件？
参考公式与数据：，，，，，其中．
18．（本题17分）已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若时，证明：当时，恒成立．
19．（本题17分）已知圆，圆动圆与圆M外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线C．
（1）求由线的方程；
（2）设不经过点的直线与曲线相交于两点，直线与直线的斜率均存在且斜率之和为，直线是否过定点，若过定点，写出定点坐标．
高二期末数学参考答案：
1．D 2．D 3．A 4．B 5．A
【详解】抛物线，焦点，准线方程为，
抛物线上的点，到其准线的距离为，到直线的距离为，
由抛物线的定义可知，则有，
其最小值为焦点到直线的距离．
即抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为．
故选：A．
6．C【详解】设的公比为，
则依题意有，解方程得或（舍去），所以．
7．D
【详解】对于A：因为且，所以，故A正确；
对于B：随机变量，则，，解得：，故B正确；
对于C：若事件A、B相互独立，则，所以，故C正确；
对于D：若A、B两组成对数据的相关系数分别为、，因为，所以B组数据的相关性更强，故D错误．
8．D【详解】因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，由图可知，椭圆的短半轴长，在中，，，，由正弦定理得：
，所以，
9．BC
【详解】对于A，由图可知，所以，A错误；
对于B，因为，图象过点，所以，
所以，，即，，
所以，
因为，
所以点为函数的一个对称中心，B正确；
对于C，，由解得，，
所以为函数的一个单调递增区间，
所以，在区间上单调递增，C正确；
对于D，将的图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍得，
再向右平移得，为奇函数，D错误．
10．ABD
【详解】对于A：令是偶函数，则，即，
所以关于对称，故A正确；
对于B：因为，所以，
即，即周期，故B正确；
对于C： ，，
所以，故C错误；
对于D：因为，，且关于直线对称，
根据对称性可以作出上的图象，
又，可知关于点对称，又可作出上的图象，
又的周期，作出的图象与的图象，
如图所示：所以与有4个交点，故D正确，
11．ACD
【详解】对于A，在中，，P是直线上的一个动点，
所以的最小值为高，最小值为，A正确．
对于B，将沿翻折，使与矩形在同一个平面内，如图，当三点共线时，取到最小值，
中，，，由余弦定理可得，
所以，所以的最小值为，B不正确．
对于C，易知三棱锥为正四面体，且棱长为，如图，
作于O，则O为的中心，由正弦定理可得，即，
所以，所以三棱锥的体积为，C正确．
对于D，设点到平面的距离为，因为，所以，
所以，解得；
以点为球心，为半径的球面与平面的交线是以为半径的圆，其周长为，D正确．
故选：ACD
12．10
【详解】设事件表示第一次抽取的是黄球，则，，
事件B表示第二次抽取的是黄球，因此有，
所以．
故答案为：
14．【详解】设另一个焦点，连接，设，则，
再根据双曲线的定义可知：，
由双曲线的对称性可知，O是AG的中点，O也是的中点，
所以四边形是平行四边形，又因为，所以可得，
所以由勾股定理得：，
化简得：，再由勾股定理得：，
代入得：，故答案为：．
15．（1）（2）【详解】（1）因为，所以由正弦定理得因为，，所以，则，因为，所以，
又因为，所以；
（2）在中，，，可得，
又，可得，又，，可得为正三角形，
故面积为．
16．（1）证明见解析（2）【详解】（1）∵底面ABCD是正方形，
∴，∵，，
∴，又， ，PA，，∴，又，
∴．
（2）∵，AB，，
所以，，
以A为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系，则，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
设平面的法向量为，
则，解得，令得，故，
设二面角为，由图可知二面角为锐二面角，
所以，所以锐二面角为．
17．（1）模型②（2）（i）； （ii）预测12月份的销售量大约是13.9万件
【详解】（1）由散点图可知增加幅度不一致，且散点图接近于曲线，非线性，
结合图象故选模型②．
（2）（i）令，则，
可得，，
则，，
所以y关于t的回归方程为，即y关于x的回归方程；
（ⅱ）令，可得，预测12月份的销售量大约是13.9万件．
18．【详解】（1）定义域为，
当时，，故在上单调递减；
当时，，时，，单调递增，
综上所述，当时，的单调递减区间为；
时，的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2），且时，，
令，下证即可．
，再令，则，
显然在上递增，则，
即在上递增，
故，即在上单调递增，
故，问题得证
19．（1）；（2）直线l过定点．
【详解】（1）设动圆P的半径为r，因为动圆P与圆M外切，所以．
因为动圆P于圆N外切，所以，则，
由椭圆的定义可知，曲线C是以， 为左、右焦点，长轴长为4的椭圆．
设椭圆方程为，则，，故，
所以曲线C的方程为．
（2）①当直线l斜率存在时，设直线，，
联立，消去y可得，
则，化简得．
设，，则．
由题意知，因为，所以，
所以，
所以，
即，
，
即，即．
因为，所以，即，
所以直线l的方程为，
所以直线l过定点．
②当直线l斜率不存在时，设直线，且，
则点，．
所以，解得，
所以直线l的方程为，也过定点．
综上所述，直线l过定点．
高二数学试卷
注意事项：
1．答题前为生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在符图卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码。
2．回答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动。用像皮擦干净后，再选涂其它符案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
3．曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．288 B．144 C．96 D．25
5．抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为（ ）．
A． B． C．40 D．5
6．已知等比数列的公比不为1，若，且，，，成等左数列，则（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法错误的是（ ）
A．若随机变量、满足且，则
B．已知随机变量，若，，则
C．若非件A，B相互独立，则
D．若A，B两组成对数据的相关系数分别为、，则A组数据的相关性更强
8．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宜传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中。某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上。如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为60°时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上。若该椭圆的离心率为e，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．如图为函数的部分图象，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数的限象关于点成中心对称
C．函数在区间上单调速增
D．函数的图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移后关于y轴对称
10．已知函数是定义在R上的奇面数。是偶函数，当，，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数的图象关于直线对称 B．4是函数的周期
C． D．方程恰有4个不同的根
11．如图，正方体棱长为2，是直线上的一个动点，则下列结论中正确的是（ ）
A．的致小位为
B．的最小价为
C．三棱锥的体积为
D．以点为球心，为半径的球面与平面的交线长
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．在的二项展开式中，若各项系数和为32．则项的系数为______．
13．盒中有4个白球，5个黄球，先随机地从中取出一个球，观察其颜色后放回，并另放入同色球2个，第二次再从盒中取一个球，则第二次取出的是黄球的概率为______．
14．如图所示，已知双曲线的右焦点F，过点F做直线l交双曲线C于A，B两点，过点F作直线l的垂直交双曲线C于点G，，且三点A，O，G共线（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为______．
四、解答题（本大题共77分）
15．（本题13分）在中，A，B，C所对应为a、b、c，且满足．
（1）求；
（2）点在线段AC的延长线上，且，若， ，求的面积．
16．（本题15分）四棱锥中，，底面是正方形，，点是棱PC上一点．
（1）求证：；
（2）当为中点时，求所成二面角锐角的大小．
17．（本题15分）随着移动互联网和直播带货技术的发展，直播带货已经成为一种热门的销售方式，特别此商家通过展示产品，使顾客对商品有更全面的了解．下面统计了某新手开启直播带货后从6月份到10月份每个月的销售量的数据，得到如图所示的散点图．其中6月份至10月份相应的代码为，如：表示6月份．
（1）根据散点图判断。模型①与段型②哪一个更事宜作为月销售量关于月份代码的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）（i）根据（1）的判断结果，建立关于x的回归方程；（计算结果精确到0.01）
（ii）根据结果预测12月份的销售最大约是多少万件？
参考公式与数据：，，，，，其中．
18．（本题17分）已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若时，证明：当时，恒成立．
19．（本题17分）已知圆，圆动圆与圆M外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线C．
（1）求由线的方程；
（2）设不经过点的直线与曲线相交于两点，直线与直线的斜率均存在且斜率之和为，直线是否过定点，若过定点，写出定点坐标．
高二期末数学参考答案：
1．D 2．D 3．A 4．B 5．A
【详解】抛物线，焦点，准线方程为，
抛物线上的点，到其准线的距离为，到直线的距离为，
由抛物线的定义可知，则有，
其最小值为焦点到直线的距离．
即抛物线上的点到其准线的距离与到直线的距离之和的最小值为．
故选：A．
6．C【详解】设的公比为，
则依题意有，解方程得或（舍去），所以．
7．D
【详解】对于A：因为且，所以，故A正确；
对于B：随机变量，则，，解得：，故B正确；
对于C：若事件A、B相互独立，则，所以，故C正确；
对于D：若A、B两组成对数据的相关系数分别为、，因为，所以B组数据的相关性更强，故D错误．
8．D【详解】因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，由图可知，椭圆的短半轴长，在中，，，，由正弦定理得：
，所以，
9．BC
【详解】对于A，由图可知，所以，A错误；
对于B，因为，图象过点，所以，
所以，，即，，
所以，
因为，
所以点为函数的一个对称中心，B正确；
对于C，，由解得，，
所以为函数的一个单调递增区间，
所以，在区间上单调递增，C正确；
对于D，将的图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍得，
再向右平移得，为奇函数，D错误．
10．ABD
【详解】对于A：令是偶函数，则，即，
所以关于对称，故A正确；
对于B：因为，所以，
即，即周期，故B正确；
对于C： ，，
所以，故C错误；
对于D：因为，，且关于直线对称，
根据对称性可以作出上的图象，
又，可知关于点对称，又可作出上的图象，
又的周期，作出的图象与的图象，
如图所示：所以与有4个交点，故D正确，
11．ACD
【详解】对于A，在中，，P是直线上的一个动点，
所以的最小值为高，最小值为，A正确．
对于B，将沿翻折，使与矩形在同一个平面内，如图，当三点共线时，取到最小值，
中，，，由余弦定理可得，
所以，所以的最小值为，B不正确．
对于C，易知三棱锥为正四面体，且棱长为，如图，
作于O，则O为的中心，由正弦定理可得，即，
所以，所以三棱锥的体积为，C正确．
对于D，设点到平面的距离为，因为，所以，
所以，解得；
以点为球心，为半径的球面与平面的交线是以为半径的圆，其周长为，D正确．
故选：ACD
12．10
【详解】设事件表示第一次抽取的是黄球，则，，
事件B表示第二次抽取的是黄球，因此有，
所以．
故答案为：
14．【详解】设另一个焦点，连接，设，则，
再根据双曲线的定义可知：，
由双曲线的对称性可知，O是AG的中点，O也是的中点，
所以四边形是平行四边形，又因为，所以可得，
所以由勾股定理得：，
化简得：，再由勾股定理得：，
代入得：，故答案为：．
15．（1）（2）【详解】（1）因为，所以由正弦定理得因为，，所以，则，因为，所以，
又因为，所以；
（2）在中，，，可得，
又，可得，又，，可得为正三角形，
故面积为．
16．（1）证明见解析（2）【详解】（1）∵底面ABCD是正方形，
∴，∵，，
∴，又， ，PA，，∴，又，
∴．
（2）∵，AB，，
所以，，
以A为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系，则，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
设平面的法向量为，
则，解得，令得，故，
设二面角为，由图可知二面角为锐二面角，
所以，所以锐二面角为．
17．（1）模型②（2）（i）； （ii）预测12月份的销售量大约是13.9万件
【详解】（1）由散点图可知增加幅度不一致，且散点图接近于曲线，非线性，
结合图象故选模型②．
（2）（i）令，则，
可得，，
则，，
所以y关于t的回归方程为，即y关于x的回归方程；
（ⅱ）令，可得，预测12月份的销售量大约是13.9万件．
18．【详解】（1）定义域为，
当时，，故在上单调递减；
当时，，时，，单调递增，
综上所述，当时，的单调递减区间为；
时，的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2），且时，，
令，下证即可．
，再令，则，
显然在上递增，则，
即在上递增，
故，即在上单调递增，
故，问题得证
19．（1）；（2）直线l过定点．
【详解】（1）设动圆P的半径为r，因为动圆P与圆M外切，所以．
因为动圆P于圆N外切，所以，则，
由椭圆的定义可知，曲线C是以， 为左、右焦点，长轴长为4的椭圆．
设椭圆方程为，则，，故，
所以曲线C的方程为．
（2）①当直线l斜率存在时，设直线，，
联立，消去y可得，
则，化简得．
设，，则．
由题意知，因为，所以，
所以，
所以，
即，
，
即，即．
因为，所以，即，
所以直线l的方程为，
所以直线l过定点．
②当直线l斜率不存在时，设直线，且，
则点，．
所以，解得，
所以直线l的方程为，也过定点．
综上所述，直线l过定点．
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