江西省鹰潭市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试卷（含解析）

鹰潭市2023—2024学年度下学期期末质量检测
高一数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。时量120分钟.满分150分.
第Ⅰ卷 选择题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在答题卡上.
1.已知为虚数单位，，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.若角的终边经过点（），则（ ）
A. B. C. D.
3.如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是（ ）
A. B. C. D.
4.已知平面向量，，，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
5.已知，，是三个不重合的平面，且，，则下列命题正确的是（ ）
A.若，，则 B.若，，则
C.若，则 D.若，则
6.已知，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7.已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的表面积是（ ）.
A. B. C. D.
8.十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.其答案如下：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成120°角：当三角形有一内角大于或等于120°时，所求的点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点被称为费马点.已知，，分别是的内角，，的对边，且，，若为的费马点，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知复数（为虚数单位），则（ ）
A.的虚部为 B.的共轭复数为
C. D.
10.函数（）的图象如图所示，则有（ ）
A.的最小正周期为
B.是偶函数
C.的图象关于直线对称
D.若（）在上有且仅有两个零点，则
11.在正四棱台中，，，点在四边形内，且正四棱台的各个顶点均在球的表面上，则（ ）
A.该正四棱台的高为3 B.球的表面积为
C.该正四棱台体积为56 D.动点的轨迹长度是
第Ⅱ卷 非选择题
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量，，则在方向上的投影数量是______.
13.已知的最大值为，若存在实数，，使得对任意实数总有成立，则的最小值为______.
14.正方体棱长为，为线段的动点，为线段上一动点，则的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）如图，在中，，是的中点，设，.
（1）试用，表示和；
（2）若，与的夹角为60°，求.
16.（15分）已知函数（），其相邻两个对称中心之间的距离为.
（1）求实数的值及函数的单调递增区间；
（2）将图象上所有点向平左移个单位长度，再将图象上所有点向上平移1个单位，得到函数的图象，若在上有两个不同零点，求实数的取值范围.
17.（15分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，底面，，，，分别是，，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
18.（17分）在中，已知，
（1）求的长；
（2）若的平分线交点，
（ⅰ）若，求的长；
（ⅰ）求的最大值.；
19.（17分）已知：
①任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式.
②被称为欧拉公式，是复数的指数形式.
③方程（为正整数）有个不同的复数根.
（1）设，求；
（2）试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合；
（3）复数，求.
鹰潭市2023—2024学年度下学期期末质量检测
高一数学参考答案
1—8 ACDC BBAD 9. ACD 10. BD 11. BCD
12. 1 13. 14.
1. A【解析】，.
所以在复平面内的共轭复数对应的点于第一象限，
2. C【解析】，为坐标原点，
则，，
故.
3. D【解析】因为，由直观图可知，，
所以还原平面图形中，，
在中，，则三角形的周长为
4. C【解析】
，∴，
∵，∴.
5. B【解析】若，，则或与相交，故A错误；
若，，则，故B正确；
若，则或与相交，故C错误；
若，则与相交，不一定是垂直，故D错误.
6. B【解析】由和差化积公式，得，
，所以.
所以.
则，则，
7. A【解析】将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为，，，如图所示
则，则
因为球的直径即为长方体的体对角线，
则球的半径为，
所以球的表面积是.
8. D【解析】由，
则有，
即，
由，故，则有，即，即；
∴，∴，
又，∴，
设，，，
∵，∴三角形的三个角均小于120，
∴根据题意可得，
又，
∴，
∴，
∴
.
9. ACD【解析】，
对于A，的虚部为，故A正确；对于B，的共轭复数为，故B错误；
对于C，，故C正确；对于D，故D正确.
10. BD【解析】依题意，，
由，得，，解得，，
而，解得，，的最小正周期为，A错误；
是偶函数，B正确；
的图像关于对称，C错误；
，，当时，，依题意，
，解得，D正确.
11. BCD【解析】对于A，取正方形的中心，正方形的中心，
连接，，，则平面，过点作于点，
则平面，，，
∵，，∴，，
故，，
∴，
∵，由勾股定理得，故A错误；
对于B，正四棱台外接球球心在直线上，
连接，，则，如图所示.
设，则，由勾股定理得
，∴，
解得，则，故表面积，故B正确；
对于C，正四棱台的体积
，故C正确；
对于D，如图所示，，勾股定理得
故点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，且刚好与边、相切，
故轨迹长度为，故D正确。故选BCD。
12.1
【解析】因为，，所以，，
则在方向上的投影数量是.
13.
【解析】
，
所以，，由题意得为最小值，为最大值，
所以最小为半个周期，所以的最小值为，
14.
【解析】如图，连接，，
则由题意可知当为等腰三角形，当垂直于时最短，
此时为中点，面，
如图延长至，使得，连接，
则面，且，
所以，，面，故当三点共线时最小，
此时.
15.【答案】（1），
（2）
【解析】（1）因为，所以，
所以.
因为是的中点，
所以
∴..
（2）因为，与的夹角为60°，
所以，
由（1）知，，，
所以
.
16.【答案】（1），单调递增区间是（）；
（2）.
【详解】（1）依题意，
显然函数的周期，解得，
因此，
由，，得
，.
故单调递增区间是（）
（2）由，可得
函数在上单调递增，函数值从0增大到，
在上单调递减，函数值从减小到1，
函数在的图象，如图，
若在上有两个不同零点，
即直线与函数在的图象有两个公共点，此时，
所以实数的取值范围是.
17【答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】（1）证明：如图取中点，连接，，
因为为中点，所以，且，
又因为四边形为菱形，且为中点，
所以，且，
所以，且，所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）设到平面的距离为，
因为，平面，平面，所以平面，
点到平面的距离等于点到平面的距离，
∵，，底面为菱形
易得，，所以，
所以，
所以，所以.
所以到平面的距离为.
18【解析】（1）由题意得，得到
，所以
，
由正弦定理，得到，
又，所以.
（2）（ⅰ）如图所示，在中，
由余弦定理得
，
∴，∴为直角三角形，，
又∵为角平分线，，
∴，.
（ⅱ）设，，
因为，...11分
所以，又，，
所以，由余弦定理
，
所以，
当时，取到最大.
19.【答案】（1）；（2）；（3）.
【详解】（1）依题意，，...2分所以
，
∴.
（2）设，则
因此，，，，解得，，
由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为0，，，，，.
因此对应的依次为1，，，，，，
所以所求的集合是.
（3）当时，，，
则，，，
因此关于的方程的根为，
则，
又，，，…，
由此可得，.
则，
令，得，
而2019为奇数，所以.