广州市第二中学 2023 学年第二学期期末考试
高二数学参考答案
一、单项选择题: 1. C 2.A 3.D 4.D 5.D 6. B 7.A 8.A
6.【详解】设球的半径为 R,圆台的上、下底面半径分别为 r1, r2 ,
由于BE O1B r1,CE O2C r2 ,
则圆台的高、母线长分别为 2R, r1 r2 ,
设外接球的表面积为 S S1,圆台表面积为 2 ,
S 4πR2 4πR21 2R
2 1
由表面积公式知 S 2 2 2 2 2 r2 r2 , 2 πr1 πr2 π r1 r2 2π r r r r 1 2 r1r2 21 2 1 2
则外接球的体积为V1,圆台的体积为V2,
4
πR3
V 2R21 3 1
2 .故选:B V 12 2 2 r1 r
2 r r 2
πr1 πr πr r 2R
2 1 2
2 1 2
3
8.【详解】因为 g x 2 为偶函数,所以 g x 2 g x 2 ①,
因为 g 2 x f x 1 1,所以 g x 2 f x 3 1, g x 2 f x 3 1,
结合①有 f x 3 f x 3 ②,
因为 f x 1 为奇函数,所以 f x 1 f x 1 ,所以 f x 3 f x 1 ,
结合②有 f x 3 f x 1 ,所以 f x 4 f x ,所以 f x 8 f x ,
所以 f x 的周期为 8.因为 f 1 1,所以 f 2023 f 1 1,
同理,由 f x 1 g 2 x 1,得 f x 1 g 2 x 1,
所以 f x 1 g x 1, f x 1 g x 1,
因为 f x 1 f x 1 ,所以 g x 1 g x 1,即 g x g x 2,
因为 g x 2 g x 2 ,所以 g x g x 4 ,
所以 g x g x 4 2, g x 4 g x 2,所以 g x 4 g x 4 , g x 8 g x ,
- 1 -
{#{QQABAYAEggCoAJIAAQgCUQGqCACQkAGAAYgOxFAIoAAAQANABAA=}#}
所以 g x 的周期为 8,所以 g 2024 g 0 ,
由 f x 1 f x 1 ,得 f 1 0,
由 f x 1 g 2 x 1,得 f 1 g 0 1,所以 g 0 1,
所以 f 2023 g 2024 1.故选:A.
二、多选题:9. BCD 10.ABD 11.BD
10.【详解】由题意得 f 0 0,
当 x 0, 时, f x x3 3x 2 2,得 f x 3x 3,
令 f x 0,得 x 1,令 f x 0,得0 x 1;
所以 f x 在 0,1 单调递减,在 1, 单调递增,所以 f x 的极小值点为 1,
又是定义在R 上的奇函数,所以 f x 的极大值点为 1,故 A对;
当 x 0时,则 x 0,所以 f x x3 3x 2,
又 f x 是定义在R 上的奇函数,所以 f x f x ,所以 f x x3 3x 2
x3 3x 2, x 0
分别画出 f x 和 y 10的图象,
x
3 3x 2, x 0
得函数 y f x 10的零点个数为 3,B对;
令 f x 0,得 x 0或 x= 1或 x 2,
令 f f x 0,得 f x 0,或 f x 2,
如图,分别画出 y f x , y 2, y 2的图象,
由图可知:函数 y f f x 的零点个数为 7, D 对;
3
7 7 7 7 1 7 7
令 x ,则 f 3 2 2 2 02 2 2
,
2 2 2 8
3
7 7 7 7 79 14 168
f f f 2 2 3 2 2 0故 C错;
2 8 8 8 32 32
3 x2 y2
11.【详解】因为双曲线的渐近线为 y x,设双曲线方程为 ,
4 16 9
- 2 -
{#{QQABAYAEggCoAJIAAQgCUQGqCACQkAGAAYgOxFAIoAAAQANABAA=}#}
2
代入点 A 4 2,3 ,可得 4 2
2 2
32 x y
1,所以双曲线方程为 1,可得
16 9 16 9
c 5
a 4,b 3,c a2 b2 5,所以离心率为 e ,故 A错误,B正确;
a 4
因为 PF1 PF FK PQ2 2a 8,设PF2 F1K M ,因为 1 ,且 l为 F1PF2 的角平分
线,
1 1 1
所以 PF1 PM ,且 OK MF2 PM PF2 PF1 PF2 4,故 C错误;
2 2 2
x2 y2 3 2
因为 1,当 x 4, y 0时,整理得 y x 16 ,
16 9 4
3x 3x
则 y ,可得 y |
0
x x 0 2 ,
4 x2 16 4 x0 16
3x0
即切点坐标为P x ,y ,切线斜率 k 0 0 2 , 4 x0 16
3x 20
则切线方程为 y y0 x x0,
4y x 16
2 ,令 y 0,整理得 x x
0 0
4 x 16 0
,
0 3x0
3 x
2 16 16 16
又因为 y0 x
2
0 16 ,可得 x x
0
0 ,所以点 Q的坐标为 ,0 ,故 D
4 x0 x0 x0
正确;故选:BD.
三、填空题: 12.60 13. 8 14. 9
1
14【详解】每个班被取出的概率为 ,取第 k 个班中取三次的方法有
n
(n 30)(n 29)(n 28) 种;第三次取出的人为男生的方法,如下四种情况:
男男男: (n k 20) (n k 19) (n k 18)种;
女男男: (k 10) (n k 20) (n k 19)种;
男女男: (n k 20) (k 10) (n k 19)种;
女女男: (k 10) (k 9) (n k 20)种;
所以,第三次取出为男生的方法数:
(n k 20) (n k 19) (n k 18) 2(k 10) (n k 20) (n k 19)
(k 10) (k 9) (n k 20) (n k 20)(n 28)(n 29),
综上,第 k 个班中第三次取出的人为男生的概率
- 3 -
{#{QQABAYAEggCoAJIAAQgCUQGqCACQkAGAAYgOxFAIoAAAQANABAA=}#}
(n k 20)(n 28)(n 29) n k 20
Pk ,
(n 30)(n 29)(n 28) n 30
所以,任选一个班第三次取出的人恰为男生的概率
1 n 1 n n k 20 1 n 8
Pk (n k 20) ,
n k 1 n k 1 n 30 n(n 30) k 1 13
1 n(n 1) n 39 8 9 16
则 [ 20n] ,即1 ,可得n 9.
n(n 30) 2 2(n 30) 13 n 30 13
四、解答题:
2a c
15.【详解】(1)在 ABC中,cosC ,
2b
2sin A sin C
由正弦定理得 cosC , 1 分 2sin A sinC 2sin BcosC.2分
2sin B
又 sin A sin B C sin BcosC cosBsinC, sinC 2cosBsinC, 3 分
1 π
C 0,π , sinC 0, cos B , B 0,π , B . 6 分
2 3
π 3
(2)在 ABC中, B ,b 3, sinC ,
3 3
b c bsinC
由正弦定理得 , c 2,
sin B sinC sin B
a2 4 9 1
由余弦定理得cos B ,解得a 1 6(负值舍去), 11分
4a 2
1 1 3 3 3 2
ABC的面积为 acsin B 1 6 2 . 13分
2 2 2 2
16.【解析】(1)由题可得 f x ex 2x,因为曲线 y f x 在 0, f 0 处的切线
f 0 1 a 0, a 1,
方程为 y bx
x 2
,所以 2分 即 则 f x e x 1.3分
f 0 1 b, b 1,
2 x
(2)令 x f x x x e x 1,则 x ex 1,令 x 0,解得 x 0,
当 x ,0 时, x 0, x 单调递减;
当 x 0, 时, x 0, x 单调递增.
因此 x 0 0,则 x 0,故 f x 2min x x 6分
(3)因为 f x kx对任意的 x 0, 恒成立,
f x
所以 k 对任意的 x 0, 恒成立, 7分
x
f x ex x2 1 x 1 ex x 1
令 g x , x 0,则 g x 10 分
x x x2
- 4 -
{#{QQABAYAEggCoAJIAAQgCUQGqCACQkAGAAYgOxFAIoAAAQANABAA=}#}
由(2)可知当 x 0, 时, ex x 1 0恒成立,
令 g x 0,可得 x 1;令 g x 0,可得 0 x 1,
则 g x 在 0,1 上单调递減,在 1, 上单调递增.
因此 g x g 1 e 2 k g x e 2min ,则 min ,
故实数k 的取值范围为 ,e 2 . 15 分
17. 【解析】(1)在三棱柱 ABC A1B1C1中, AB AC, AB 3AC 3,则
1
ACB 60 ,OA BC 3
2
由 AB 3, AD 2DB,得DB 1,
在△DBO中, DBO 30 ,DB 1,OB 3,
2
由余弦定理OD2 12 3 2 1 3 cos30 1,
得 ,OA2OD 1 OD
2 4 AD2 ,
于是 AO OD,由 A1O 平面 ABC,OD 平面 ABC,得 A1O OD,
而 AO A1O O, AO, A1O 平面 AOA1,因此OD 平面 AOA1,
又 AA1 平面 AOA1,所以 AA1 OD, 6分
(2)由(1)知,OA,OD,OA1两两垂直,以O为原点,直线OA,OD,
OA1分别为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系O xyz,
由 AA1 2 3, AO 3,得 A1O 3,
3 3
则 A 3,0,0 , A1 0,0,3 ,B , ,0 , 2 2
3 3 3 3 3
于是BA1 , ,3 ,BA , ,0 , 2 2
2 2
设m x, y, z 为平面 ABA1的一个法向量,
- 5 -
{#{QQABAYAEggCoAJIAAQgCUQGqCACQkAGAAYgOxFAIoAAAQANABAA=}#}
3 3
x y 3z 0
则 2 2 ,取 x 3,得m 3,3,1 ,11分 显然n 0,1,0 为平
3 3 3
x y 0
2 2
m n 3 3 13
面 AOA1的一个法向量,12分 因此cos m,n ,14分 所以
m n 13 13
3 13
平面BAA1和平面 AA1O夹角的余弦值为 . 15分
13
x2 y2
18.【解析】(1)将点 2,3 代入双曲线C : 1,可得
a2 a2 2
4 9 y2
1,解得 a2
2
2 1,所以双曲线的方程为 x 1. 2分 a a2 2 3
y22 2 2
(2)设点Q的坐标为 x0 , y0 且 x0 1,则 x 00 1,即3x0 y0 3,
3
又双曲线C 的两条浙近线分别为 3x y 0 , 3x y 0,
3x0 y0 3x0 y0
则点Q到两浙近线的距离分别为 d1 , d2 ,
2 2
3x 2 20 y0 3x0 y0 3x0 y0 3
故 d1d 2 , 2 2 4 4
即点Q到双曲线C 的两条浙近线的距离之积为定值.6分
1
(3)(i)若直线 l 的斜率不存在,此时直线 l : x 与双曲线右支无公共点,不满
2
1
足题意,所以直线 l 的斜率存在,7分设直线 l 的方程为 y 1 k x ,联立
2
1
y 1 k x ,
2
2 2 1 2
方程组 y2 整理得 3 k
2 x k 2k x k k 4 0 ,8分
x2 1,
4
3
2
k 2 2k 4 3 k 2
1
k
2 k 4 0,
4
3 k 2 0,
k 2 2k则满足 0, 9分
k 2 3
1
k 2 k 4
4 0
2
k 3
- 6 -
{#{QQABAYAEggCoAJIAAQgCUQGqCACQkAGAAYgOxFAIoAAAQANABAA=}#}
1 2 1 2
因为 k k 4 k 2 3 0 恒成立,所以 k2 3 0 k2, 2k 0,
4 4
2 1
k 2 2k 4 3 k 2 2 k k 4 0, 2 2 13
即 4 解得 k 3,
2 3
k 2k 0,
2 2 13
所以斜率 k 的取值范围为 , 3 . 10分
3
1 2
k 2 2k k k 4
(ii)设M x , y , N x , y ,则 x1 x2 , x1x2
4
,
1 1 2 2 k 2 3 k 2 3
1
x1
| PM | | MH | 2 xH x1
设点 H 的坐标为 xH , yH ,由 可得 1 ,13分 | PN | | HN | x xx2 2 H
2
1
整理得 2x1x2 xH x1 x2 xH 0,
2
1
k 2 k 4 2
4 1 k 2k 8 k代入得 2 x x 0,解得 x2 H 2 H H . k 3 2 k 3 3 2k
8 k 1 9k 6
将 xH 代入 y 1 k x ,解得 y
3 2k 2 H 2 3 2k
,
24 3k 18k 12
则3xH 2yH 6 , 16分
3 2k 2 3 2k
所以点 H 恒在一条定直线3x 2y 6 0上. 17分
19. 【解析】(1) an 是等差数列,
∴设 an a1 n 1 d a 1 1 n 1 d 1,
令bn a1 1 n 1 d,cn 1,
则 bn 是等差数列, cn 是等比数列,所以数列 an 是“优分解”的.3分
(2)因为数列 a 是“优分解”的,设an bn cn n N*n ,
b b n 1 d,c c qn 1其中 n 1 n 1 c1 0,q 0 ,
Δa a n 1 2 n 1 2则 n n 1 an d c1q q 1 ,Δ an Δan 1 Δan c1q (q 1) .
当 q 1 Δ
2
时, an 0 n N* ;
当 q 1时, Δ2a 2n 是首项为 c1(q 1) ,公比为 q的等比数列.8分
- 7 -
{#{QQABAYAEggCoAJIAAQgCUQGqCACQkAGAAYgOxFAIoAAAQANABAA=}#}
(3)一方面, 数列 S 是“优分解”的,设 Sn Bn Cn n N*n ,
其中Bn B1 n 1 D,C CQ
n 1
n 1 C1 0,Q 0 ,
Δ2由(2)知 Sn C1Q
n 1(Q 1)2
因为ΔS1 S2 S1 a2 4,ΔS2 S3 S2 a3 6,
2
所以Δ S1 ΔS2 ΔS1 2. C1(Q 1)
2 2, Q 1,
Δ2Sn 是首项为 2,公比为Q Q 1 的等比数列.
另一方面,因为 an
*
是“优分解”的,设an bn cn n N ,
其中bn b1 n 1 d,cn c1q
n 1 c1 0,q 0 ,
ΔSn S
2 n
n 1 Sn an 1,Δ Sn ΔSn 1 ΔSn an 2 an 1 d c1q q 1
Δ2Sn 是首项为 2,公比为Q Q 1 的等比数列,
2
q 0,q 1,且 Δ2S2 Δ2S1 Δ2S3 ,
2
d c q2 q 1 d c q q 1 d c q
3 q 1 化简得 1 1 1
c1dq(q 1)
3 0, c1 0,q 0,q 1, d 0,
Δa a a c qn 1
n n 1 n 1 q 1
即数列 Δan 是首项Δa1 a2 a1 1,公比为 q的等比数列.
又 Δa2 a3 a2 2, q 2 ,
Δ2又 S1 2, d c1q q 1 2, d 0,q 2,
∴解得c1 1, b1 a1 c1 3 1 2,
a b n 1 d c qn 1 n 1综上所述, n 1 1 2 2 . 17分
- 8 -
{#{QQABAYAEggCoAJIAAQgCUQGqCACQkAGAAYgOxFAIoAAAQANABAA=}#}广州市第二中学 2023 学年第二学期期末考试
高 二 数 学
本试卷共 4 页,19 小题。满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项:
1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹的钢笔或签字笔
将自己的姓名和考生号、座位号填写在答题卡上。
2.答选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内
的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂
改液。不按以上要求作答的,答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,只需将答题卡交回。
1
5.圆台体积公式:V= (S 上+S 下+ S 上S 下)h
3
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5分,共 40 分.在每小题给出的四个选项
中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知 A x 4 x 2 ,B x lg x 1 0 ,则 A B ( )
A. x 4 x 2 B. x 4 x 2 C. x 1 x 2 D. x 1 x 2
z
2.已知复数 z 1 i( i是虚数单位),则 ( )
z z i
3 1 i 1 1 i 3 1 1 1A. B. C. i D. i
5 5 5 5 5 5 5 5
3.已知向量 a 3, 1 ,b 2,m 1 ,若 a a 2b ,则m ( )
A. 1 B. 2 C.1 D. 0
n
3
4.若 x 的展开式中各项系数之和为-128,则展开式中 x2 的系数为
3 x2
( )
A.-2835 B.945 C.2835 D.-945
0, 5.若 , tan 2
2cos
,则 tan 等于( )
2 3 2sin
3 1 2 2
A. B. C. D.
3 8 2 4
试卷第 1页,共 4页
{#{QQABAYAEggCoAJIAAQgCUQGqCACQkAGAAYgOxFAIoAAAQANABAA=}#}
1
6. 已知球与某圆台的上、下底面及侧面均相切,若球与圆台的表面积之比为 2 ,
则球与圆台的体积之比为( )
1 1 2 3
A. B.
4 2
C. 3 D. 4
7. 当 a<0 f x x2 ax ex时,函数 的图象大致是( )
A. B. C. D.
8.已知函数 f x , g x 的定义域均为R, f x 1 为奇函数, g x 2 为偶函数,
f x 1 g 2 x 1, f 1 1,则 f 2023 g 2024 ( )
A. 1 B.1 C.2023 D.2024
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6分,共 18 分.在每小题给出的选项中,
有多项符合题目要求.全部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得 0
分.
9.下列说法中,正确的是( )
A.设随机变量 X 服从正态分布N 0,1 ,若 P X 1 p,则P( 1 X 0) 1 2p
B.某人在 10次答题中,答对题数为 X , X B 10,0.7 ,则答对 7题的概率最
大
C.基于小概率值 的检验规则是:当 2 x 时,我们就推断H0不成立,即认为
X 和Y不独立,该推断犯错误的概率不超过 ;当 2 x 时,我们没有充分证据
推断H0不成立,可以认为 X和Y独立
D.将 4名老师分派到两个学校支教,每个学校至少派 1人,则共有 14种不同
的分派方法
3
10.已知 f x 是定义在R上的奇函数,当 x 0, 时, f x x 3x 2,则
( )
A. f x 的极大值点为 1 B.函数 y f x 10的零点个数为 3
C. f f x 0的解集为 2,0 2, D.函数 y f f x 的零点个数为 7
试卷第 2页,共 4页
{#{QQABAYAEggCoAJIAAQgCUQGqCACQkAGAAYgOxFAIoAAAQANABAA=}#}
11.费马原理是几何光学中的一条重要原理,可以推导出双曲线具有如下光学性
质:从双曲线的一个焦点发出的光线,经双曲线反射后,反射光线的反向延长线
经过双曲线的另一个焦点.由此可得,过双曲线上任意一点的切线平分该点与两
3
焦点连线的夹角.已知F1、F2分别是以 y =± x为渐近线且过点 A4 4 2,3 的双曲线
C的左、右焦点,在双曲线 C右支上一点P x0 , y0 x0 4, y0 0 处的切线 l交 x轴于
点 Q,则( )
7
A.双曲线 C的离心率为
4
x2 y2
B.双曲线 C的方程为 1
16 9
C.过点F1作 F1K PQ,垂足为 K,则 OK 8
16
D.点 Q的坐标为 ,0
x
0
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5分,满分 15 分.
12. 等差数列 an 中, a1 a4 a8 a12 a15 20,则 S15 .
3 1 2
13. 已知函数 f x x 2x,若m 0,n 0,且 f 2m f n 1 f 0 ,则 的
m n
最小值是 .
14. 某校高三年级有n(n 2,n N )个班,每个班均有 (n 30)人,第
k (k 1,2,3 , ,n))个班中有 (k 10)个女生,余下的为男生.在这 n个班中任取一
8
个班,再从该班中依次取出三人,若第三次取出的人恰为男生的概率是 ,则
13
n .
四、解答题:本题共 5小题,共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
15.(13 分)已知 a,b,c分别为 ABC
2a c
三个内角A,B,C的对边,且cosC .
2b
(1)求角 B的大小;
(2)若b 3,sinC 3 ,求 ABC的面积.
3
试卷第 3页,共 4页
{#{QQABAYAEggCoAJIAAQgCUQGqCACQkAGAAYgOxFAIoAAAQANABAA=}#}
x 2
16.(15 分)已知函数 f x e x a, x R ,曲线 y f x 在 0, f 0 处的切线方
程为 y bx.
(1)求 f x 的解析式;
x 2(2)当 R 时,证明: f x x x ;
(3)若 f x kx对任意的 x 0, 恒成立,求实数 k的取值范围.
17.(15 分)如图,在三棱柱 ABC A1B1C1中, AB AC,
AB 3AC 3, AD 2DB,O为 BC的中点, A1O 平面 ABC .
(1)求证: AA1 OD;
(2)若 AA1 2 3,求平面BAA1和平面 AA1O夹角的余弦值.
x2 y2
18.(17 分)已知点 2,3 在双曲线C : 2 a a2
1上.
2
(1)求双曲线C的方程;
(2)设点Q为双曲线右支上除右顶点外的任意点,证明:点Q到C的两条渐近
线的距离之积为定值;
1
(3)过点 P ,1 作斜率为 k的动直线 l与双曲线右支交于不同的两点M ,N,在线
2
PM MH
段MN上取异于点M ,N的点 H ,满足 .
PN |HN |
(1)求斜率 k的取值范围;
(2)证明:点 H 恒在一条定直线上.
19.(17 分)对于数列 an ,如果存在等差数列 bn 和等比数列 cn ,使得
an bn cn n N ,则称数列 an 是“优分解”的.
(1)证明:如果 an 是等差数列,则 an 是“优分解”的.
(2)记Δan a
2
n 1 an,Δ an Δan 1 Δan n N* ,证明:如果数列 an 是“优
2
分解”的,则Δ an 0 n N* Δ2或数列 an 是等比数列.
(3)设数列 an 的前n项和为 Sn,如果 an 和 Sn 都是“优分解”的,并且
a1 3,a2 4,a3 6,求 an 的通项公式.
试卷第 4页,共 4页
{#{QQABAYAEggCoAJIAAQgCUQGqCACQkAGAAYgOxFAIoAAAQANABAA=}#}