广州市第二中学 2023 学年第二学期期末考试
高二数学参考答案
一、单项选择题： 1. C 2．A 3．D 4.D 5．D 6. B 7.A 8.A
6.【详解】设球的半径为 R，圆台的上、下底面半径分别为 r1， r2 ，
由于BE O1B r1,CE O2C r2 ，
则圆台的高、母线长分别为 2R， r1 r2 ，
设外接球的表面积为 S S1，圆台表面积为 2 ，
S 4πR2 4πR21 2R
2 1
由表面积公式知 S 2 2 2 2 2 r2 r2 ， 2 πr1 πr2 π r1 r2 2π r r r r 1 2 r1r2 21 2 1 2
则外接球的体积为V1，圆台的体积为V2，
4
πR3
V 2R21 3 1
2 .故选：B V 12 2 2 r1 r
2 r r 2
πr1 πr πr r 2R
2 1 2
2 1 2
3
8.【详解】因为 g x 2 为偶函数，所以 g x 2 g x 2 ①，
因为 g 2 x f x 1 1，所以 g x 2 f x 3 1, g x 2 f x 3 1，
结合①有 f x 3 f x 3 ②，
因为 f x 1 为奇函数，所以 f x 1 f x 1 ，所以 f x 3 f x 1 ，
结合②有 f x 3 f x 1 ，所以 f x 4 f x ，所以 f x 8 f x ，
所以 f x 的周期为 8．因为 f 1 1，所以 f 2023 f 1 1，
同理，由 f x 1 g 2 x 1，得 f x 1 g 2 x 1，
所以 f x 1 g x 1， f x 1 g x 1，
因为 f x 1 f x 1 ，所以 g x 1 g x 1，即 g x g x 2，
因为 g x 2 g x 2 ，所以 g x g x 4 ，
所以 g x g x 4 2, g x 4 g x 2，所以 g x 4 g x 4 , g x 8 g x ，
- 1 -
{#{QQABAYAEggCoAJIAAQgCUQGqCACQkAGAAYgOxFAIoAAAQANABAA=}#}
所以 g x 的周期为 8，所以 g 2024 g 0 ，
由 f x 1 f x 1 ，得 f 1 0，
由 f x 1 g 2 x 1，得 f 1 g 0 1，所以 g 0 1，
所以 f 2023 g 2024 1．故选：A.
二、多选题：9． BCD 10.ABD 11.BD
10.【详解】由题意得 f 0 0，
当 x 0, 时， f x x3 3x 2 2，得 f x 3x 3，
令 f x 0，得 x 1，令 f x 0，得0 x 1；
所以 f x 在 0,1 单调递减，在 1, 单调递增，所以 f x 的极小值点为 1，
又是定义在R 上的奇函数，所以 f x 的极大值点为 1，故 A对；
当 x 0时，则 x 0，所以 f x x3 3x 2，
又 f x 是定义在R 上的奇函数，所以 f x f x ，所以 f x x3 3x 2
x3 3x 2, x 0
分别画出 f x 和 y 10的图象，
x
3 3x 2, x 0
得函数 y f x 10的零点个数为 3，B对；
令 f x 0，得 x 0或 x= 1或 x 2，
令 f f x 0，得 f x 0，或 f x 2，
如图，分别画出 y f x , y 2, y 2的图象，
由图可知：函数 y f f x 的零点个数为 7， D 对；
3
7 7 7 7 1 7 7
令 x ，则 f 3 2 2 2 02 2 2
，
2 2 2 8
3
7 7 7 7 79 14 168
f f f 2 2 3 2 2 0故 C错；
2 8 8 8 32 32
3 x2 y2
11.【详解】因为双曲线的渐近线为 y x，设双曲线方程为 ，
4 16 9
- 2 -
{#{QQABAYAEggCoAJIAAQgCUQGqCACQkAGAAYgOxFAIoAAAQANABAA=}#}
2
代入点 A 4 2,3 ，可得 4 2
2 2
32 x y
1，所以双曲线方程为 1，可得
16 9 16 9
c 5
a 4,b 3,c a2 b2 5，所以离心率为 e ，故 A错误，B正确；
a 4
因为 PF1 PF FK PQ2 2a 8，设PF2 F1K M ，因为 1 ，且 l为 F1PF2 的角平分
线，
1 1 1
所以 PF1 PM ，且 OK MF2 PM PF2 PF1 PF2 4，故 C错误；
2 2 2
x2 y2 3 2
因为 1，当 x 4, y 0时，整理得 y x 16 ，
16 9 4
3x 3x
则 y ，可得 y |
0
x x 0 2 ，
4 x2 16 4 x0 16
3x0
即切点坐标为P x ,y ，切线斜率 k 0 0 2 ， 4 x0 16
3x 20
则切线方程为 y y0 x x0,
4y x 16
2 ，令 y 0，整理得 x x
0 0
4 x 16 0
，
0 3x0
3 x
2 16 16 16
又因为 y0 x
2
0 16 ，可得 x x
0
0 ，所以点 Q的坐标为 ,0 ，故 D
4 x0 x0 x0
正确；故选：BD.
三、填空题： 12.60 13. 8 14. 9
1
14【详解】每个班被取出的概率为 ，取第 k 个班中取三次的方法有
n
(n 30)(n 29)(n 28) 种；第三次取出的人为男生的方法，如下四种情况：
男男男： (n k 20) (n k 19) (n k 18)种；
女男男： (k 10) (n k 20) (n k 19)种；
男女男： (n k 20) (k 10) (n k 19)种；
女女男： (k 10) (k 9) (n k 20)种；
所以，第三次取出为男生的方法数：
(n k 20) (n k 19) (n k 18) 2(k 10) (n k 20) (n k 19)
(k 10) (k 9) (n k 20) (n k 20)(n 28)(n 29)，
综上，第 k 个班中第三次取出的人为男生的概率
- 3 -
{#{QQABAYAEggCoAJIAAQgCUQGqCACQkAGAAYgOxFAIoAAAQANABAA=}#}
(n k 20)(n 28)(n 29) n k 20
Pk ，
(n 30)(n 29)(n 28) n 30
所以，任选一个班第三次取出的人恰为男生的概率
1 n 1 n n k 20 1 n 8
Pk (n k 20) ，
n k 1 n k 1 n 30 n(n 30) k 1 13
1 n(n 1) n 39 8 9 16
则 [ 20n] ，即1 ，可得n 9.
n(n 30) 2 2(n 30) 13 n 30 13
四、解答题：
2a c
15．【详解】（1）在 ABC中，cosC ，
2b
2sin A sin C
由正弦定理得 cosC ， 1 分 2sin A sinC 2sin BcosC．2分
2sin B
又 sin A sin B C sin BcosC cosBsinC， sinC 2cosBsinC， 3 分
1 π
C 0,π ， sinC 0， cos B ， B 0,π ， B ． 6 分
2 3
π 3
（2）在 ABC中， B ，b 3， sinC ，
3 3
b c bsinC
由正弦定理得 ， c 2，
sin B sinC sin B
a2 4 9 1
由余弦定理得cos B ，解得a 1 6（负值舍去）， 11分
4a 2
1 1 3 3 3 2
ABC的面积为 acsin B 1 6 2 ． 13分
2 2 2 2
16．【解析】（1）由题可得 f x ex 2x，因为曲线 y f x 在 0, f 0 处的切线
f 0 1 a 0, a 1,
方程为 y bx
x 2
，所以 2分 即 则 f x e x 1．3分
f 0 1 b, b 1,
2 x
（2）令 x f x x x e x 1，则 x ex 1，令 x 0，解得 x 0，
当 x ,0 时， x 0， x 单调递减；
当 x 0, 时， x 0， x 单调递增．
因此 x 0 0，则 x 0，故 f x 2min x x 6分
（3）因为 f x kx对任意的 x 0, 恒成立，
f x
所以 k 对任意的 x 0, 恒成立， 7分
x
f x ex x2 1 x 1 ex x 1
令 g x ， x 0，则 g x 10 分
x x x2
- 4 -
{#{QQABAYAEggCoAJIAAQgCUQGqCACQkAGAAYgOxFAIoAAAQANABAA=}#}
由（2）可知当 x 0, 时， ex x 1 0恒成立，
令 g x 0，可得 x 1；令 g x 0，可得 0 x 1，
则 g x 在 0,1 上单调递減，在 1, 上单调递增．
因此 g x g 1 e 2 k g x e 2min ，则 min ，
故实数k 的取值范围为 ,e 2 ． 15 分
17. 【解析】（1）在三棱柱 ABC A1B1C1中， AB AC， AB 3AC 3，则
1
ACB 60 ，OA BC 3
2
由 AB 3， AD 2DB，得DB 1，
在△DBO中， DBO 30 ，DB 1，OB 3，
2
由余弦定理OD2 12 3 2 1 3 cos30 1，
得 ，OA2OD 1 OD
2 4 AD2 ，
于是 AO OD，由 A1O 平面 ABC，OD 平面 ABC，得 A1O OD，
而 AO A1O O， AO， A1O 平面 AOA1，因此OD 平面 AOA1，
又 AA1 平面 AOA1，所以 AA1 OD， 6分
（2）由（1）知，OA，OD，OA1两两垂直，以O为原点，直线OA，OD，
OA1分别为 x， y ， z 轴建立空间直角坐标系O xyz，
由 AA1 2 3， AO 3，得 A1O 3，
3 3
则 A 3,0,0 ， A1 0,0,3 ，B , ,0 ， 2 2
3 3 3 3 3
于是BA1 , ,3 ，BA , ,0 ， 2 2
2 2
设m x, y, z 为平面 ABA1的一个法向量，
- 5 -
{#{QQABAYAEggCoAJIAAQgCUQGqCACQkAGAAYgOxFAIoAAAQANABAA=}#}
3 3
x y 3z 0
则 2 2 ，取 x 3，得m 3,3,1 ，11分 显然n 0,1,0 为平
3 3 3
x y 0
2 2
m n 3 3 13
面 AOA1的一个法向量，12分 因此cos m,n ，14分 所以
m n 13 13
3 13
平面BAA1和平面 AA1O夹角的余弦值为 . 15分
13
x2 y2
18.【解析】（1）将点 2,3 代入双曲线C : 1，可得
a2 a2 2
4 9 y2
1，解得 a2
2
2 1，所以双曲线的方程为 x 1． 2分 a a2 2 3
y22 2 2
（2）设点Q的坐标为 x0 , y0 且 x0 1，则 x 00 1，即3x0 y0 3，
3
又双曲线C 的两条浙近线分别为 3x y 0 ， 3x y 0，
3x0 y0 3x0 y0
则点Q到两浙近线的距离分别为 d1 ， d2 ，
2 2
3x 2 20 y0 3x0 y0 3x0 y0 3
故 d1d 2 ， 2 2 4 4
即点Q到双曲线C 的两条浙近线的距离之积为定值．6分
1
（3）（i）若直线 l 的斜率不存在，此时直线 l : x 与双曲线右支无公共点，不满
2
1
足题意，所以直线 l 的斜率存在，7分设直线 l 的方程为 y 1 k x ，联立
2
1
y 1 k x ,
2
2 2 1 2
方程组 y2 整理得 3 k
2 x k 2k x k k 4 0 ，8分
x2 1,
4
3
2
k 2 2k 4 3 k 2
1
k
2 k 4 0,
4
3 k 2 0,
k 2 2k则满足 0, 9分
k 2 3
1
k 2 k 4
4 0
2
k 3
- 6 -
{#{QQABAYAEggCoAJIAAQgCUQGqCACQkAGAAYgOxFAIoAAAQANABAA=}#}
1 2 1 2
因为 k k 4 k 2 3 0 恒成立，所以 k2 3 0 k2， 2k 0，
4 4
2 1
k 2 2k 4 3 k 2 2 k k 4 0, 2 2 13
即 4 解得 k 3，
2 3
k 2k 0,
2 2 13
所以斜率 k 的取值范围为 , 3 ． 10分
3
1 2
k 2 2k k k 4
（ii）设M x , y ， N x , y ，则 x1 x2 ， x1x2
4
，
1 1 2 2 k 2 3 k 2 3
1
x1
| PM | | MH | 2 xH x1
设点 H 的坐标为 xH , yH ，由 可得 1 ，13分 | PN | | HN | x xx2 2 H
2
1
整理得 2x1x2 xH x1 x2 xH 0，
2
1
k 2 k 4 2
4 1 k 2k 8 k代入得 2 x x 0，解得 x2 H 2 H H ． k 3 2 k 3 3 2k
8 k 1 9k 6
将 xH 代入 y 1 k x ，解得 y
3 2k 2 H 2 3 2k
，
24 3k 18k 12
则3xH 2yH 6 ， 16分
3 2k 2 3 2k
所以点 H 恒在一条定直线3x 2y 6 0上． 17分
19. 【解析】（1） an 是等差数列，
∴设 an a1 n 1 d a 1 1 n 1 d 1，
令bn a1 1 n 1 d,cn 1，
则 bn 是等差数列， cn 是等比数列，所以数列 an 是“优分解”的．3分
（2）因为数列 a 是“优分解”的，设an bn cn n N*n ，
b b n 1 d,c c qn 1其中 n 1 n 1 c1 0,q 0 ，
Δa a n 1 2 n 1 2则 n n 1 an d c1q q 1 ,Δ an Δan 1 Δan c1q (q 1) ．
当 q 1 Δ
2
时， an 0 n N* ；
当 q 1时， Δ2a 2n 是首项为 c1(q 1) ，公比为 q的等比数列．8分
- 7 -
{#{QQABAYAEggCoAJIAAQgCUQGqCACQkAGAAYgOxFAIoAAAQANABAA=}#}
（3）一方面， 数列 S 是“优分解”的，设 Sn Bn Cn n N*n ，
其中Bn B1 n 1 D,C CQ
n 1
n 1 C1 0,Q 0 ，
Δ2由（2）知 Sn C1Q
n 1(Q 1)2
因为ΔS1 S2 S1 a2 4,ΔS2 S3 S2 a3 6，
2
所以Δ S1 ΔS2 ΔS1 2． C1(Q 1)
2 2, Q 1,
Δ2Sn 是首项为 2，公比为Q Q 1 的等比数列．
另一方面，因为 an
*
是“优分解”的，设an bn cn n N ，
其中bn b1 n 1 d,cn c1q
n 1 c1 0,q 0 ，
ΔSn S
2 n
n 1 Sn an 1,Δ Sn ΔSn 1 ΔSn an 2 an 1 d c1q q 1
Δ2Sn 是首项为 2，公比为Q Q 1 的等比数列，
2
q 0,q 1，且 Δ2S2 Δ2S1 Δ2S3 ，
2
d c q2 q 1 d c q q 1 d c q
3 q 1 化简得 1 1 1
c1dq(q 1)
3 0, c1 0,q 0,q 1, d 0,
Δa a a c qn 1
n n 1 n 1 q 1
即数列 Δan 是首项Δa1 a2 a1 1，公比为 q的等比数列．
又 Δa2 a3 a2 2, q 2 ，
Δ2又 S1 2, d c1q q 1 2, d 0,q 2,
∴解得c1 1, b1 a1 c1 3 1 2，
a b n 1 d c qn 1 n 1综上所述， n 1 1 2 2 ． 17分
- 8 -
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高 二 数 学
本试卷共 4 页，19 小题。满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹的钢笔或签字笔
将自己的姓名和考生号、座位号填写在答题卡上。
2．答选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内
的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂
改液。不按以上要求作答的，答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，只需将答题卡交回。
1
5.圆台体积公式：V＝ (S 上＋S 下＋ S 上S 下)h
3
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知 A x 4 x 2 ,B x lg x 1 0 ，则 A B （ ）
A. x 4 x 2 B. x 4 x 2 C. x 1 x 2 D. x 1 x 2
z
2．已知复数 z 1 i（ i是虚数单位），则 （ ）
z z i
3 1 i 1 1 i 3 1 1 1A. B. C. i D. i
5 5 5 5 5 5 5 5
3．已知向量 a 3, 1 ,b 2,m 1 ，若 a a 2b ，则m （ ）
A． 1 B． 2 C．1 D． 0
n
3
4．若 x 的展开式中各项系数之和为-128，则展开式中 x2 的系数为
3 x2
（ ）
A．-2835 B．945 C．2835 D．-945
0, 5．若 , tan 2
2cos
，则 tan 等于（ ）
2 3 2sin
3 1 2 2
A． B． C． D．
3 8 2 4
试卷第 1页，共 4页
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1
6. 已知球与某圆台的上、下底面及侧面均相切，若球与圆台的表面积之比为 2 ，
则球与圆台的体积之比为（ ）
1 1 2 3
A． B．
4 2
C． 3 D． 4
7. 当 a<0 f x x2 ax ex时，函数 的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数 f x ， g x 的定义域均为R， f x 1 为奇函数， g x 2 为偶函数，
f x 1 g 2 x 1， f 1 1，则 f 2023 g 2024 （ ）
A． 1 B．1 C．2023 D．2024
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0
分．
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．设随机变量 X 服从正态分布N 0,1 ，若 P X 1 p，则P( 1 X 0) 1 2p
B．某人在 10次答题中，答对题数为 X ， X B 10,0.7 ，则答对 7题的概率最
大
C．基于小概率值 的检验规则是：当 2 x 时，我们就推断H0不成立，即认为
X 和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过 ；当 2 x 时，我们没有充分证据
推断H0不成立，可以认为 X和Y独立
D．将 4名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派 1人，则共有 14种不同
的分派方法
3
10.已知 f x 是定义在R上的奇函数，当 x 0, 时， f x x 3x 2，则
（ ）
A． f x 的极大值点为 1 B．函数 y f x 10的零点个数为 3
C． f f x 0的解集为 2,0 2, D．函数 y f f x 的零点个数为 7
试卷第 2页，共 4页
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11.费马原理是几何光学中的一条重要原理，可以推导出双曲线具有如下光学性
质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线
经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两
3
焦点连线的夹角.已知F1、F2分别是以 y =± x为渐近线且过点 A4 4 2,3 的双曲线
C的左、右焦点，在双曲线 C右支上一点P x0 , y0 x0 4, y0 0 处的切线 l交 x轴于
点 Q，则（ ）
7
A．双曲线 C的离心率为
4
x2 y2
B．双曲线 C的方程为 1
16 9
C．过点F1作 F1K PQ，垂足为 K，则 OK 8
16
D．点 Q的坐标为 ,0
x
0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，满分 15 分．
12. 等差数列 an 中， a1 a4 a8 a12 a15 20，则 S15 ．
3 1 2
13. 已知函数 f x x 2x，若m 0，n 0，且 f 2m f n 1 f 0 ，则 的
m n
最小值是 ．
14. 某校高三年级有n(n 2,n N )个班，每个班均有 (n 30)人，第
k (k 1,2,3 , ,n)）个班中有 (k 10)个女生，余下的为男生.在这 n个班中任取一
8
个班，再从该班中依次取出三人，若第三次取出的人恰为男生的概率是 ，则
13
n .
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
15．（13 分）已知 a，b，c分别为 ABC
2a c
三个内角A，B，C的对边，且cosC ．
2b
(1)求角 B的大小；
(2)若b 3，sinC 3 ，求 ABC的面积．
3
试卷第 3页，共 4页
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x 2
16．（15 分）已知函数 f x e x a, x R ，曲线 y f x 在 0, f 0 处的切线方
程为 y bx．
（1）求 f x 的解析式；
x 2（2）当 R 时，证明： f x x x ；
（3）若 f x kx对任意的 x 0, 恒成立，求实数 k的取值范围．
17.（15 分）如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中， AB AC，
AB 3AC 3， AD 2DB，O为 BC的中点， A1O 平面 ABC .
（1）求证： AA1 OD；
（2）若 AA1 2 3，求平面BAA1和平面 AA1O夹角的余弦值.
x2 y2
18.（17 分）已知点 2,3 在双曲线C : 2 a a2
1上．
2
（1）求双曲线C的方程；
（2）设点Q为双曲线右支上除右顶点外的任意点，证明：点Q到C的两条渐近
线的距离之积为定值；
1
（3）过点 P ,1 作斜率为 k的动直线 l与双曲线右支交于不同的两点M ,N，在线
2
PM MH
段MN上取异于点M ,N的点 H ，满足 ．
PN |HN |
（1）求斜率 k的取值范围；
（2）证明：点 H 恒在一条定直线上．
19.（17 分）对于数列 an ，如果存在等差数列 bn 和等比数列 cn ，使得
an bn cn n N ，则称数列 an 是“优分解”的．
（1）证明：如果 an 是等差数列，则 an 是“优分解”的．
（2）记Δan a
2
n 1 an，Δ an Δan 1 Δan n N* ，证明：如果数列 an 是“优
2
分解”的，则Δ an 0 n N* Δ2或数列 an 是等比数列．
（3）设数列 an 的前n项和为 Sn，如果 an 和 Sn 都是“优分解”的，并且
a1 3，a2 4，a3 6，求 an 的通项公式．
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