2023-2024学年广西壮族自治区桂林市高二下学期期末质量检测数学试卷（含答案）

2023-2024学年广西壮族自治区桂林市高二下学期期末质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导运算正确的是
A. B. C. D.
2.双曲线的离心率为
A. B. C. D.
3.曲线在点处的切线方程是
A. B. C. D.
4.已知数列的各项均不为，，，则
A. B. C. D.
5.对四组数据进行统计，获得如下散点图，其中样本相关系数最小的是( )
A. B.
C. D.
6.从，，，中任取个数字，从，中任取个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是
A. B. C. D.
7.在数列中，，对任意，，都有，则( )
A. B. C. D.
8.已知点是椭圆：的左焦点，过原点作直线交于，两点，，分别是，的中点，若存在以线段为直径的圆过原点，则的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.直线：，圆：，下列结论正确的是( )
A. 直线的倾斜角为
B. 圆的圆心坐标为
C. 当时，直线与圆相切
D. 当时，直线与圆相交
10.已知数列的前项和，则下列结论中正确的是
A. B. 数列是递增数列
C. D.
11.如图，在正四棱柱中，，，为的中点，则
A. 平面
B. 平面
C. 为棱上任一点，则三棱锥的体积为定值
D. 平面截此四棱柱的外接球得到的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中，的系数是________用数字作答
13.盒子里有个红球和个白球，这些球除颜色外完全相同．如果不放回地依次抽取个球，在第一次抽到红球的条件下，第二次抽到红球的概率是________．
14.若不等式恒成立，则的最小值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的单调区间和极值；
判断在上是否有零点，并说明理由．
16.本小题分
设等差数列的公差为，前项和为，已知，．
求的通项公式；
已知等比数列的公比为，，，设，求数列的前项和．
17.本小题分
已知抛物线：，过点的直线与交于，两点，设在点，处的切线分别为和，与的交点为．
若点的坐标为，求的面积为坐标原点；
证明：点在定直线上．
18.本小题分
如图，已知边长为的正方形，以边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面围成一个几何体设是上的一点，，分别为线段，的中点．
证明：平面；
若，求平面与平面夹角的余弦值；
在的条件下，线段上是否存在点，使平面，证明你的结论．
19.本小题分
已知函数，．
求函数的最小值；
若恒成立，求的取值范围；
设，证明：．
参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：函数的定义域为，
，
令，得，的增区间为，
令，得，的减区间为，
则的极小值为，无极大值；
在上有零点，
因为，
，
由零点存在定理可知，函数在上有零点．
16.【答案】解：因为，所以．
又，所以，
由得，，
所以；
因为，，所以，，
所以，
因为，所以，
，
，
得：，
所以．
17.【答案】解：直线的斜率，
直线的方程为，即，
联立方程，整理得：，
设，，则，，
设直线与轴的交点为，则，
；
由，得，
的方程为：，整理得：，
同理可得的方程为：，
设，联立方程解得
因为点在抛物线内部，可知直线的斜率存在，
设直线的方程为，
与抛物线方程联立得：，
故，，
所以，，可得．
所以点在定直线上．
18.【答案】证明：取的中点，连接，，
因为，分别为线段，的中点，所以，，
又因为，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
所以面．
解：依题意得，面，又因为面，所以．
又因为，，，面，
所以面，
又面，所以，
所以，，两两垂直．
以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则，，，，
即取，得，，
所以平面的一个法向量是，
又平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，则．
所以平面与平面夹角的余弦值为．
满足条件的点存在，证明如下：
设，，
则，
所以，
因为平面，所以．
所以，得，
所以存在点满足题意．
19.【答案】解：，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以
因为恒成立，即恒成立，
令，，
令，，在单调递增，
因为，，所以，使，即，
当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
故，
所以，
令，，在单调递减，
因为，所以的取值范围是；
由知，当且仅当时，等号成立，
要证，
只要证，
因为
，
故原命题得证．
第1页，共1页