2023-2024学年广东省江门市鹤山一中高一（下）第二次段考数学试卷（含答案）

2023-2024学年广东省江门市鹤山一中高一（下）第二次段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.在中，内角，，所对的边为，，，若，，，则角的大小为( )
A. B. 或 C. D.
3.如图，是在斜二测画法下的直观图，其中，则的面积是( )
A.
B.
C.
D.
4.已知，且，为虚数单位，则的最小值是( )
A. B. C. D.
5.已知，是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面，下列正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.如图，在等腰梯形中，，，，则( )
A.
B.
C.
D.
8.已知四棱锥的顶点都在体积为的球面上，底面为面积为的正方形，则当四棱锥体积最大时，该四棱锥的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，，则下列说法正确的是( )
A. 的相反向量是 B. 若，则
C. 在上的投影向量为 D. 若，则
10.对于有如下命题，其中正确的是( )
A. 若，则为钝角三角形
B. 若，，且有两解，则的取值范围是
C. 在锐角中，不等式恒成立
D. 在中，若，，则必是等边三角形
11.如图，正方体的棱长为，动点在线段上，、分别是、的中点，则下列结论中正确的是( )
A.
B. 平面
C. 存在点，使得平面平面
D. 三棱锥的体积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.定义在区间上的函数与的图象的交点个数为______．
13.如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形．如果三棱柱的体积为，圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为 ．
14.抚仙湖，位于澄江市、江川区、华宁县之间，湖面积仅次于滇池和洱海，为云南省第三大湖，也是我国最大的深水型淡水湖泊如图所示，为了测量抚仙湖畔，两点之间的距离，现取两点，，测得公里，，，，则，两点之间的距离为 公里．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数．
若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围；
若是纯虚数，求的值．
16.本小题分
已知向量，满足，．
若向量，的夹角为，求的值；
若，求的值；
若，求向量，的夹角．
17.本小题分
在中，内角，，的对边分别为．
求；
若为的中线，且，求的面积．
18.本小题分
如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点是棱的中点．
求证：平面；
求证：平面；
求异面直线与所成角的大小．
19.本小题分
已知函数，将函数向右平移个单位得到的图像关于轴对称且当时，取得最大值．
求函数的解析式：
将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，且，求的值．
方程在上有个不相等的实数根，求实数的取值范围．
参考答案
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14.
15.解：因为对应的点位于第四象限，
所以，解得，
故的范围为；
因为是纯虚数，
故，，
所以．
16.解：若向量，的夹角为，
又，，
则；
若，
则，
又，，
则，
即；
若，
则，
即，
则，
则，
即向量，的夹角．
17.解：解：由，可得，
因为，可知，所以，
又因为，联立方程组得，
所以；
由知，可得，
因为为的中线，且，所以，
两边平方得，
又由余弦定理得，即，
两式相减，可得，所以．
18.证明：侧面，均为正方形，
所以，，，，
所以，所以，
又因为，，平面，
所以平面，平面，
所以平面平面，
因为，是棱的中点，
所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面；
证明：在三棱柱中，设，连接，
为正方形，所以是中点，
又是中点，所以，
又平面，平面，
所以平面；
解：取中点，连接，，，
在三棱柱中，，，
，，
因为，分别是，的中点，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，，
又因为，，
所以，，即四边形是平行四边形，
所以，
所以或其补角是异面直线与所成的角，
因为，，
所以，，
因为侧面为正方形，所以，
由知平面，且，
所以平面，
又因为平面，所以，
因为，所以，
所以，
由得平面，且，
所以平面，平面，
所以，在中，，
可得，
即异面直线与所成的角为．
19.解：因为，
依题意的图像关于轴对称，
则有，
即，
而，即有或．
当时，，符合要求；
当时，，不符合要求，
故函数的解析式是；
由图象平移可得，
若，则，
而在区间上递减，在区间上递增，显然两侧关于直线对称，
若且，
则，
可得，
故；
由，令，
由，
可得，则，
由题意，关于的方程有两个不等的实根，，
且与在上均有两个不等的实根，
当时，，的图象如图所示，
故，，
此时关于的方程在上有两个不等的实根，
令，
则，即，
解得．
故实数的取值范围．
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