内蒙古通辽市科尔沁左翼中旗实验高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（含解析）

科尔沁左翼中旗实验高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试
（数学）试卷
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若(a＋bi)(2＋i)＝3＋2i(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b＝( )
A． B． C． D．
2．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
4．若复数z＝|i－1|＋，则复数z的虚部为( )
A． B． C． D．
5．复数(i为虚数单位)的共轭复数在复平面内对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．复数，z2＝2－i3分别对应复平面内的点P，Q，则向量对应的复数是( )
A． B．－3－i C．1＋i D．3＋i
7．复数z满足关系式2|z|2－7|z|＋3＝0，则复数z在复平面内对应点的轨迹是( )
A．两条直线 B．一条直线和一个圆
C．两个圆 D．一个圆
8．若复数z1z2≠0，则z1z2＝|z1z2|是z2＝1成立的( )
A．充要条件
B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件
D．必要不充分条件
二、选择题
9．下列命题正确的是( )
A．任何复数的模都是非负数
B．如果复数z1＝i，z2＝－i，z3＝－i，z4＝2－i，那么这些复数的对应点共圆
C．|cosθ＋isinθ|的最大值是，最小值为0
D．2＋3i>1＋2i
10．已知复数z1＝2＋i，z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，且满足1z2是纯虚数，则( )
A．|z2|＝3 B．2＝1＋2i
C．z1＋z2＝3－i D．z1z2＝1＋5i
11．设z1，z2，z3为复数，z1≠0.下列命题中错误的是( )
A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3
B．若2＝z3，则z2z3＝0
C．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3
D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2
12．(2023·广东期中)设复数z＝a＋bi(a，b∈R)(i为虚数单位)，则下列说法正确的是( )
A．“z∈R”的充要条件是“z＝”
B．若|z|＝1，则|z－1＋i|的最大值为2
C．若z3－1＝0，则z＝1
D．方程z2－5|z|＋6＝0在复数集中有6个解
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若z1＝1－i，z2＝3－5i，在复平面内z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，则Z1，Z2的距离为________．
14．在复平面内正方形的顶点对应的复数中有三个是1＋2i，－2＋i，－1－2i，那么第四个复数是________．
15．若＝1－bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a＋bi|＝________．
16．(2023·江苏南通模拟)已知z1，z2为实系数一元二次方程的两虚根，，且，则a的取值范围是________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设复数z＝(a2＋a－2)＋(a2－7a＋6)i，其中a∈R，求当a取何值时，(1)z∈R；(2)z是纯虚数；(3)z是零．
18．(本小题满分12分)已知复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i，求满足下列条件的实数m的值或取值范围．
(1)复数z与复数2－12i相等；
(2)复数z与复数12＋16i互为共轭复数；
(3)复数z在复平面内对应的点在实轴上方．
19．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝1＋3i－z，求的值．
20．(2023·渝中区校级期中)(本小题满分12分)已知复数z满足.
(1)求；
(2)若复数|ω－z|≤|z＋i|，求ω在复平面内对应点的集合构成的图形的面积．
21．(本小题满分12分)已知x2－(3－2i)x－6i＝0.
(1)若x∈R，求x的值；
(2)若x∈C，求x的值．
22．(2023·宝山区校级期末)(本小题满分12分)设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2.
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；
(2)设.
①求证：μ为纯虚数；
②求ω－μ2的最小值．
(2)若x∈C，求x的值．
答案：
1．答案　A
解析　由于(a＋bi)(2＋i)＝2a＋(a＋2b)i－b＝2a－b＋(a＋2b)i＝3＋2i，
解得
.故选A．
2．答案　B
解析　由ab＝0，得a＝0，b≠0或a≠0，b＝0或a＝0，b＝0，
则，不一定为纯虚数；若为纯虚数，
则有a＝0且b≠0，这时有ab＝0.
所以“ab＝0”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件．故选B.
3．答案　B
解析　∵(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，
解得a＝0.故选B.
4．答案　D
解析　由复数，
所以复数z的虚部为.故选D.
5．答案　B
解析　，
则，所以在复平面内对应的点在第二象限．故选B.
6．答案　D
解析　∵z1＝(－i)2＝－1，z2＝2＋i，
∴对应的复数是z2－z1＝2＋i－(－1)＝3＋i.故选D.
7．答案　C
解析　由2|z|2－7|z|＋3＝0，解得或.当时，
复数z在复平面内对应点的轨迹表示以原点为圆心，
为半径的圆；当时，复数z在复平面内对应点的轨迹表示以原点为圆心，3为半径的圆．故选C.
8．答案　D
解析　z1，z2都是复数，复数z1z2≠0成立，则z1，z2是非零复数，
此时当z2＝1时，表明两复数z1，z2是一对共轭复数，
故z1z2＝|z1|2，|z1z2|＝|z1|2，能得出z1z2＝|z1z2|成立；反之，
若z1z2＝|z1z2|成立，当z1z2是正实数时，不一定能得出z2＝1.
故可得出z1z2＝|z1z2|是z2＝1成立的必要不充分条件．故选D.
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．答案　AB
解析　A正确，因为若z∈R，则|z|≥0，若z＝a＋bi(b≠0，a，b∈R)，则；
B正确，因为，这些复数的对应点均在以原点为圆心，为半径的圆上；
C错误，因为为定值；
D错误，因为虚数不能比较大小．故选AB.
10．答案　BC
解析　由z1＝2＋i，得1＝2－i.由z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，
可设z2＝1＋bi(b∈R)，则1z2＝(2－i)(1＋bi)＝2＋b＋(2b－1)i.
由1z2是纯虚数，得2＋b＝0且2b－1≠0，解得b＝－2，
故z2＝1－2i，，2＝1＋2i，z1＋z2＝2＋i＋(1－2i)＝3－i，z1z2＝(2＋i)·(1－2i)＝2＋i－4i＋2＝4－3i.故选BC.
11．答案　ABD
解析　对于A，由复数模的概念可知，|z2|＝|z3|不能得到z2＝±z3，
例如z2＝1＋i，z3＝1－i，则|z2|＝|z3|＝，但z2＝±z3不成立，故A错误；
对于B，例如z2＝1＋i，z3＝1－i，则2＝z3，但z2z3＝(1＋i)(1－i)＝2≠0，故B错误；
对于C，由z1z2＝z1z3，可得z1(z2－z3)＝0，∵z1≠0，∴z2－z3＝0，即z2＝z3，故C正确；
对于D，取z1＝1＋i，z2＝1－i，则z1z2＝(1＋i)(1－i)＝2，，满足z1z2＝|z1|2，但z1≠z2，故D错误．故选ABD.
12．答案　AD
解析　对于A，若z∈R，则z＝＝a成立，若z＝，
则由a＋bi＝a－bi，解得b＝0，所以z∈R成立，故A正确；
对于B，若|z|＝1，则|z－1＋i|表示以原点O(0，0)为圆心，
1为半径的圆上的点Z(a，b)到点(1，－)的距离，
因为原点到点(1，－)的距离为2，所以|z－1＋i|的最大值为2＋1＝3，故B错误；
对于C，当时，z3＝1，故C错误；
对于D，因为z∈C，所以设z＝a＋bi(a，b∈R)为方程z2－5|z|＋6＝0的解，
代入方程得，
即，若a＝0，
则，即b2＋5|b|－6＝0，即(|b|＋6)(|b|－1)＝0，
解得b＝－1或b＝1，即±i是原方程的解；若b＝0，
则，即a2－5|a|＋6＝0，即(|a|－2)(|a|－3)＝0，
解得a＝±2或±3，即2，－2，3，－3也是原方程的解．
综上，原方程有6个解，分别为i，－i，2，－2，3，－3，故D正确．
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．答案　
解析　.
14．答案　2－i
解析　设正方形四个顶点A，B，C，D对应的复数分别为1＋2i，－2＋i，－1－2i，a＋bi(a，b∈R)，
O为复平面的原点，则＝(1，2)，＝(－2，1)，＝(－1，－2)，＝(a，b)，
＝(－3，－1)，＝(1，－3)，则，
∴AB⊥BC，又四边形ABCD为正方形，∴，
即(－3，－1)＝－＝(－1－a，－2－b)，
∴＝(2，－1)．即第四个复数是2－i.
15．答案　
解析　∵a，b∈R，且，则a＝(1－bi)(1－i)＝(1－b)－(1＋b)i，
.
16．答案　[－1，1]
解析　∵z1，z2是实系数一元二次方程的两虚根，
∴|z1|＝|z2|，又，|ω|≤2，
，
∴|a|≤1，－1≤a≤1，即a的取值范围是[－1，1]．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解　(1)z∈R，只需a2－7a＋6＝0，所以a＝1或a＝6.
(2)z是纯虚数，只需所以a＝－2.
(3)因为z＝0，所以所以a＝1.
18．解　(1)根据复数相等的充要条件，得
解得m＝－1.
(2)根据共轭复数的定义，
得解得m＝1.
(3)由题意，知m2－2m－15＞0，
解得m＜－3或m＞5，
故实数m的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．
19．
解　设z＝a＋bi(a，b∈R)．
∵|z|＝1＋3i－z，
，
即解得
∴z＝－4＋3i，
.
20．解　(1)，
，.
(2)设ω＝x＋yi(x，y∈R)，则
，，
，
由|ω－z|≤|z＋i|，得，
∴ω在复平面内对应的点形成以点为圆心，为半径的圆及其内部，
∴ω在复平面内对应点的集合构成的图形的面积为.
21．解　(1)当x∈R时，由方程得(x2－3x)＋(2x－6)i＝0，则得x＝3.
(2)当x∈C时，设x＝a＋bi(a，b∈R)，代入方程整理，
得(a2－b2－3a－2b)＋(2ab－3b＋2a－6)i＝0.
则得或
故x＝3或x＝－2i.
22．解　(1)∵z是虚数，
∴可设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0，
，
可 x2＋y2＝1 |z|＝1，
此时，ω＝2x －即z的实部的取值范围为.
(2)①证明：
，
∵y≠0，∴μ为纯虚数．
②，化简得.
当且仅当，即x＝0时，ω－μ2取得最小值1.