2023-2024学年新疆乌鲁木齐十九中高一（下）第二次月考数学试卷（含答案）

2023-2024学年新疆乌鲁木齐十九中高一（下）第二次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的共轭复数的模是( )
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是( )
A. 若直线与平面内的无数条直线垂直，则
B. 若，，则
C. 若直线与平面垂直，则直线与平面内所有直线所成的角均为
D. 若直线与平面所成的角为，则直线平面
3.如图是一个圆台的侧面展开图，已知，且，则该圆台的体积为( )
A.
B.
C.
D.
4.已知是直线，，是两个不同的平面，下列正确的命题是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
5.一个封闭的正三棱柱容器，高为，内装水若干如图甲，底面处于水平状态将容器放倒如图乙，一个侧面处于水平状态，这时水面所在的平面与各棱交点，，，分别为所在的棱的中点，则图甲中水面的高度为( )
A. B. C. D.
6.在长方体中，，，则异面直线，的夹角余弦值为( )
A. B. C. D.
7.如图，风景秀美的宝湖公园有一颗高大的银杏树，某研究小组为测量树的高度，在地面上选取了，两点，从，两点测得树尖的仰角分别为和，且，两点间的距离为，则这颗银杏树的高度为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直，且，，则此三棱锥外接球的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的是( )
A. 设则是纯虚数的充要条件是
B. 复数与在复平面中对应的点分别在轴上方和下方
C. 设复数与满足，则
D. 若复数与满足，则
10.下列说法错误的是( )
A. 已知向量，则“的夹角为锐角”是“”的充要条件
B. 已知向量，若，则
C. 若向量，则在方向上的投影向量坐标为
D. 在中，向量与满足，则为等边三角形
11.在中，角，，的对边分别为，，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则一定是钝角三角形
B. 若，，，则有两解
C. 若，则为等腰三角形
D. 若为锐角三角形，则
12.正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则( )
A. 直线与直线垂直
B. 直线与平面平行
C. 平面截正方体所得的截面面积为
D. 点和点到平面的距离不相等
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则的面积为______．
14.已知，是两个不共线的向量，，，若与共线，则 ______．
15.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为 ．
16.已知过球面上，，三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且，，，则球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且．
求；
为边上一点，，求长．
18.本小题分
某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了个该配件的质量指标值单位：分作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则同一组中的数据用该组区间的中点值作代表
求出的值；
求样本质量指标值的平均数，众数；
求样本质量指标值的第百分位数．
19.本小题分
已知平行四边形中，，，，点是线段的中点．
求的值；
若，且，求的值．
20.本小题分
九章算术中对一些特殊的几何体有特殊的称谓，例如，将底面为直角三角形的直三棱柱叫堑堵，将一个堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥，即四棱锥和一个鳖臑四个面均为直角三角形的四面体，即三棱锥在如图所示的堑堵中，已知，，，若鳖臑的体积等于，求：
求堑堵的侧棱长；
求阳马的体积；
求阳马的表面积．
21.本小题分
如图，已知平面，，，，，，点和分别为和的中点．
求证：平面；
求证：平面；
求直线与平面所成角的大小．
参考答案
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15.：
16.
17.解：因为，
则由正弦定理得：，
，
显然则，
又，故；
因为，
根据余弦定理得：
，．
所以，
所以，
所以，
所以，
所以．
18.解：由题意知，解得；
样本质量指标值的平均数为，
显然由图知，频率最高的为之间，则样本质量指标值的众数是；
前组的频率之和为，
前组的频率之和为，
故第百分位数位于第组，设其为，
则，解得，
即第百分位数为．
19.解：以点为坐标原点，所在直线为轴，过且垂直于的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，
则，
所以；
，，
因为，
所以，解得．
20.解：已知，，，
又为直棱柱，
设，
因为，
所以，
所以；
；
．
21.证明：连接，
在中，和分别是和的中点，，
又平面，平面，
平面．
证明：，为中点，，
平面，，平面，
又平面，
，
又，，平面，平面；
解：取中点和中点，连接，，，
和分别为和的中点，且，
且，四边形是平行四边形，
，
平面，平面，
即为直线与平面所成角，
在中，，，
，，且，
又由，，
在中，，
在中，，
因为，
，
即直线与平面所成角的大小为．
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