眉山市东坡区2023-2024学年高一下学期期末联考
数学答案
1．B 2．C 3．D 4.C 5．A 6．A 7.B 8.B
9．BD 10.AD 11.BC 12. AC
9.【分析】根据并事件的概率的计算公式即可判断A；根据相互独立事件及对立事件的交事件的概率公式即可判断BD；根据相互独立事件的并事件的概率公式即可判断C.
【详解】A，若，则，A错误；
B ，因为，则，B正确；
C，因为A与B相互独立，则也相互独立，
则，C错误；
D，若A与B相互独立，则也相互独立，
则，D正确.
故选：BD
12．AC
【分析】由公垂线的性质判断A；由线面平行的性质及锥体的体积公式判断B；根据线面垂直的判定及面面平行的判定定理结合条件判断C；利用坐标法，根据正弦定理及球的性质结合条件可求四面体的外接球半径判断D.
【详解】对于A：因为是正方体，
所以平面，平面，
又因为平面，平面，
所以，，即是与的公垂线段，
因为公垂线段是异面直线上两点间的最短距离，
所以当分别与重合时，最短为1，故A正确；
对于B：因为是正方体，
所以平面平面，且平面，
所以平面，当点在上运动时，点到平面的距离不变，距离，
由可知，当点在上运动时，到的距离不变，
所以的面积不变，所以，所以B错误；
对于C：连接，因为平面，平面，
所以，又平面，
所以平面，当不在线段端点时，过作交于，过作交于，平面交线段于，
因为平面，平面，
故平面，同理平面，又平面，
所以平面平面，故平面，又平面，
所以，因为点在线段上，所以存在无数条直线与垂直，故C正确；
对于D：如图以点为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
故的外接圆半径为，
所以可得等腰的外接圆圆心为，设四面体的外接球球心为，则平面，
所以可设四面体的外接球球心为，
由，可得，解得，
所以四面体的外接球的半径为，故D错误.
故选：AC．
13.5 14.2 15. 16.
17. 解：（1）
（2）
18.(1)
(2)x=1或3x-4y+9=0
19．解：（1）甲、乙两人所付费用相同即同为2，4，6元．
都付2元的概率为；都付4元的概率为；都付6元的概率为；
故所付费用相同的概率为．
（2）设两人费用之和为8、10、12的事件分别为、、
；；．
设两人费用之和大于或等于8的事件为，则
所以，两人费用之和大于或等于8的概率
20.【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意得，，，
解得，，
所以椭圆的标准方程为．
（2）解：设，的坐标为，，依题意得，
联立方程组消去，得．
，，，，
，
∵，∴，，
所以，.
21.【解析】（1）证明：连接交于点，
因，则
由平面侧面，且平面侧面，
得平面，又平面，所以.
三棱柱是直三棱柱，则底面ABC，所以.
又，从而侧面，
又侧面，故.
（2）假设在线段上存在一点E，使得二面角的大小为,
由是直三棱柱，所以以点A为原点，以AC 所在直线分别为y，z轴,以过A点和AC垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
且设， ，
得
所以，
设平面的一个法向量，由，得：
，取,
由（1）知平面，所以平面的一个法向量,
所以，解得,
∴点E为线段中点时，二面角的大小为.
22.【答案】(1)证明见解析，定点；
(2)
(3)
【解析】（1）由题，圆的圆心坐标，半径为1，
所以，，，
故以为圆心，为半径的圆的方程为，
显然线段为圆和圆的公共弦，
则直线的方程为，
即，所以，
所以直线过定点；
（2）由（1）知，直线过定点，的中点为直线与直线的交点，
设的中点为，直线过的定点为，
易知始终垂直于，所以点的轨迹是以为直径的圆，
，，
∴点的轨迹方程为；
（3）设过点P的圆M的切线方程为，即，
故到直线的距离，即，
设，的斜率分别为，，则，，
把代入，得，
则，
故当时，取得最小值为.眉山市东坡区2023-2024学年高一下学期期末联考
数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一．单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在平面直角坐标系xOy中，直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．若，，则（ ）
A． B． C． D．
3.已知直线：和直线：垂直，则（ ）
A． B． C． D．
4．投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的．若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至多有1人投中的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．正四面体中，F是的中点，E是的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．圆上有四个点到直线的距离等于1，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围（ ）
A． B． C． D．
8． 在棱长为1的正方体中，为的中点，则点A到直线的距离为（ ）
A． B． 1 C． D．
二．多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分．
9.设A，B为两个随机事件，若，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则A，B相互独立
C．若A与B相互独立，则 D．若A与B相互独立，则
10.若圆：与圆：的交点为A，B，则（ ）
A．公共弦AB所在直线方程为
B．线段AB中垂线方程为
C．若实数x，y满足圆：，则的最大值为
D．过点作圆：的切线方程为圆
11. 已知点是椭圆上一点，是椭圆的左、右焦点，且的面积为4，则下列说法正确的是（ ）
A. 点的纵坐标为4 B.
C. 的周长为 D．的内切圆半径为
12．如图，在棱长为1的正方体中，点分别在线段和上．给出下列四个结论中所有正确结论的序号是（ ）
A．的最小值为1 B．四面体的体积为
C．存在无数条直线与垂直
D．点为所在边中点时，四面体的外接球半径为
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知椭圆的焦点在x轴上且焦距为2，则的值为
14.圆，圆，圆与圆相外切，则 .
15．在三棱锥中，，，，则异面直线OB与AC所成的角是
16．已知、，是椭圆的左、右焦点，点M在椭圆C上，且.记外接圆和内切圆的半径分别为R、r，若，则椭圆C的离心率为 .
四．解答题：
17．已知直线经过点．
(1) 若直线与直线平行，求的直线方程；
(2) 若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.
18.圆，A是圆C上一动点，点，M为线段的中点.
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）记M的轨迹为曲线E，过点的点线l与曲线E有且只有一个交点，求直线l的方程.
19．随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走入大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷．广元某景点设有共享电动车租车点，共享电动车的收费标准是每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算）．甲、乙两人各租一辆电动车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为，；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过三小时．
（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
（2）求甲、乙两人所付的租车费用之和大于或等于8的概率．
20. 椭圆：，其中一个焦点坐标是，长轴长是短轴长的2倍.
（1）求的方程；
（2）设直线：与交于,两点，若，求的值．
21．如图，在直三棱柱中，平面侧面，且.
(1)求证：；
(2)若BC=2，请问在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在请求出的位置，不存在请说明理由.
22．如图，已知圆，为直线上一动点，为坐标原点，过点作圆的两条切线，切点分别为，.
(1)证明直线过定点，并求出定点的坐标；
(2)求线段中点的轨迹方程；
(3)若两条切线，与轴分别交于点，，求的最小值.
