仁寿县22级高二下期期末四校联考
数学试题
一、选择题：
D D BC B C BA 9. BD 10.AD 11.ABD 12.AD
6.由题意可得，该女子每天所织布的长度构成等比数列，设公比为，
由题意知，
首项为，前项和为，
由题意可得，解得，
所以第二天织的布为.
7.【详解】如图所示，取的中点，以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
不妨设，则，
所以，平面的一个法向量为
设AM与平面所成角为，向量与所成的角为，
所以，
即AM与平面所成角的正弦值为．
8.∵轴，∴将代入椭圆可得，
∴不妨设，∴直线的斜率为，
则直线的方程为，即，
则到直线的距离为，
整理得，所以，解得或，
即或，
则椭圆的离心率为或
9. BD 10.AD 11.ABD 12.AD
11.解：将点代入直线l的方程，满足，
所以点M在圆C上，A选项正确；
将点代入圆C的方程，满足，
所以点M在圆C上，B选项正确；
圆心到直线的距离
直线与圆相切，C选项错误，D选项正确；
12 如图所示，
设，，则．由题设条件知：
双曲线的两渐近线：，．
设直线，的斜率分别为，，则，，所以，
故选项正确；
由点线距离公式知：，，
，故B错误；
，所以C错误；
由四边形中，所以，
，
当且仅当时等号成立，所以D正确，
13. 14. 15. -7 16.
15.【详解】因为,所以有，解之得,或.当时，直线重合,舍去.
16.【详解】因为抛物线的准线，焦点为，准线与的对称轴交于点，
所以，，
因为在中，，
所以由正弦定理可得，,
因为为抛物线上一点，所以可设为
由此可得，
平方化简可得：，即，可得,
故答案为：.
17.（1）解：∵，
∴点在曲线上．
∵，
∴在点处的切线的斜率为
∴切线的方程为．
即.
（2）解：设切点为，
则直线的斜率为，
∴直线的方程为：
.
又∵直线过点(0，0)，
∴，
整理得，
∴，
∴，
∴直线的方程为，切点坐标为．
18. 【答案】（1） （2）
【小问1详解】
设点，依题意可知：点在直线方程上，且线段的中点在中线所在的直线方程上，又点，
则有：，解得：，
所点的坐标为：.
【小问2详解】
设点关于直线的对称点为，
则的中点坐标为，，于是，
解得：，则，
由（1）知，所以，
所以边所在直线的方程为：，即.
19. 【答案】（1） （2）
（2）设，根据，由即可得到所求的轨迹方程.
【小问1详解】
设圆心，则，
即，解得：，
，又圆心，圆的标准方程为；
【小问2详解】
为弦中点，，即，
设，则，，
，
即点的轨迹方程为：.
20.（1）答案见解析； （2）.
【详解】解：（1）如图，以点为原点，，，方向分别为，，轴的正方向，
建立空间直角坐标系，设，
则点，，，．
则，．
因为平面，
所以，
所以，
解得或．
当时，，，；
当时，，，．
（2）因为，由（1）知，．
平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，
因为，，
所以令，则．
所以，
由图知，二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
21. （1） （2）
【小问1详解】
因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
【小问2详解】
因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
22. （1） （2）证明见解析，定点
【小问1详解】
因为点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为，所以且，
所以，，所以，
所以椭圆的标准方程：；
【小问2详解】
设，
当直线的斜率不存在时，则，
由，
解得，此时，故重合，不符合题意，
所以直线的斜率一定存在，设不经过点的直线方程为：，
由得，
且，即，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，即，
化简可得：，
因为，所以，
所以，
所以直线必过定点．仁寿县22级高二下期期末四校联考
数学试题
本试卷共 4页，22小题，满分 150分.考试用时 120分钟.
第 I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
y2 x2
1. 已知双曲线C： 1，双曲线C的离心率为（ ）
16 9
5 5
A. 7 B. 7 C. D.
4 3 3 4
→
2. → → 已知向量 = (1，1， )， = ( 1，0， 1)， = (0，2，1)，且向量a 2b与c互相垂直，则 k的值
是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.下列求导数计算错．误．的是（ ）
A 1 1
2 2
B x x 2x． ． C． x ln x 1 ln x D． tan x
1
x x2 x x e e cos
2 x
4. 已知函数 f x 3x2 2x,则f 1 （ ）
A. 4 B. 1 C. 4 D. 2
5. 记 Sn为等差数列 an 的前 n项和，若 a3 2,S4 7，则数列 an 的通项公式 an （ ）
n 1
A. n 1 B. C. 2n 4 D. n 1 n 2
2
6. 古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：
“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的 2倍，已知她 5天共织布 5尺，问这女子每天分别织布多少？”
根据上题的已知条件，可求得该女子第 2天所织布的尺数为（ ）
20 5 10 40
A. B. C. D.
31 31 31 31
7. 直三棱柱 ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形， AA1＝AB，M是 A1C1的中点，则 AM与平面 BCC1B1
所成角的正弦值为（ ）
7
A. B. 15 C. 85 D. 15
10 10 10 10
{#{QQABIYgAgggAAJIAAAhCQQ3aCAKQkAGAAQgORFAIoAAAwAFABAA=}#}
x28. F F y
2
已知 1， 2分别为椭圆 1(a b 0)的左、右焦点，点 M为线段OF2的中点（O为坐标原点），a2 b2
1
点 P在椭圆上且满足 PF2 x轴，点 M到直线 PF1的距离为 b，则椭圆的离心率为（ ）2
1 1
A. 5 2或 B. 5 C. 12 或 D.5 2 5 5 3
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9. 若 A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是（ ）
A. AB 2BC 2CD DC B. 2AB 2BC 3CD 3DA AC
C. AB CA BD D. AB CB CD AD
10. 在曲线 = 2 上的切线的倾斜角为3点的横坐标可能为（ ）
A ． 12 B．6 C．3 D．12
11. 已知直线 l : cos x sin y 1 0，圆C : x2 y2 1，点M cos ,sin ，则下列说法正确的是
（ ）
A. 点M 在直线 l上 B. 点M 在圆C上
C. 直线 l与圆C相离 D. 直线 l与圆C相切
2
12. x已知 P为双曲线C : y2 1上的动点，过 P作两渐近线的垂线，垂足分别为A， B，记线段 PA，
3
PB的长分别为m， n，则（ ）
A. 若PA， PB的斜率分别为 k1， k2，则 k1 k2 3
1
B. mn
2
C. 4m n的最小值为 3
D. | AB | 3的最小值为
2
第 II卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
13. 已知盒中有 3张分别标有 1，2，3的卡片，从中随机地抽取一张，记下数字后再放回，再随机地抽取一
张，记下数字，则两次抽得的数字之和为 3的倍数的概率为___________．
{#{QQABIYgAgggAAJIAAAhCQQ3aCAKQkAGAAQgORFAIoAAAwAFABAA=}#}
14. 设函数 ( )的导函数为 '( )，若 ( ) = 13
3 '(1) 2 + ，则 '(1) =（ ）
15. 若直线 l1： m 3 x 4y 3m 5 0与 l2： 2x m 5 y 8 0平行，则m的值为_____．
16. 已知直线 l是抛物线C : y2 2x 的准线，抛物线的顶点为O，焦点为 F ，若A为C上一点， l与C的
对称轴交于点 B，在△ABF 中， sin AFB 2sin ABF，则 AB 的值为__________．
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知函数 ( ) = 3 + 16．
（1）求曲线 = ( )在点(2， 6)处的切线方程；
（2）直线 为曲线 = ( )的切线，且经过原点，求直线 的方程及切点坐标．
18. 在 ABC中，已知点 A 3, 1 ， B的内角平分线 BD所在的直线方程是 x 3y 6 0， AB边上的
中线CE所在的直线方程是 x y 8 0，求：
（1）点 B的坐标；
（2） BC边所在直线的方程．
19. 已知圆C的圆心在直线 l : 2x 7y 8 0上，且过 A 6,0 和B 1,5 两点.
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点 P 0,1 的直线 l与圆C交于M ,N两点，求弦MN中点Q的轨迹方程.
{#{QQABIYgAgggAAJIAAAhCQQ3aCAKQkAGAAQgORFAIoAAAwAFABAA=}#}
20. 如图，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，AD 2，AA1 5，点 P在棱CC1上，且 A1P 平面 BDP．
C P
（1）求 1 的值；
CP
（2）若C1P CP，求二面角 A1 BD P的余弦值．
21. 设 Sn为数列 an 的前 n项和，已知 a2 1,2Sn nan．
（1）求 an 的通项公式；
a
2 n 1
（ ）求数列 n 的前 n项和Tn ． 2
2 2
22. x y已知 P 0,1 为椭圆C : 2 2 1(a b 0)上一点，点 P与椭圆C的两个焦点构成的三角形面积为a b
3．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）不经过点 P的直线 l与椭圆C相交于 A,B两点，若直线PA与 PB的斜率之和为 1，证明：直线 l必过
定点，并求出这个定点坐标．
{#{QQABIYgAgggAAJIAAAhCQQ3aCAKQkAGAAQgORFAIoAAAwAFABAA=}#}
