仁寿县铧强中学和眉天实验中学高二期末联考数学答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
[解析]选 . ,定义域为 ，其导数 ,令 ,得 ,所以函数 的单调递减区间为 .故选 .
2.
[解析]选 .由题可得 ,所以 ,
所以 .故选 .
3.
[解析]选 .对函数 求导，得 .令 ,则 ,
解得 ,即 ,
令 ,则 .
4.
[解析]选 .函数 的导数为 .
由直线 是曲线 的一条切线，可令 ,解得 ,所以切点坐标为 .
因为切点在曲线 上，所以 .
5.
[解析]选 .根据导函数图象知，当 时, ,当 时， ,当 时， .
所以 在 , 上单调递增，在 上单调递减， 是 在 上的极大值点， 是极小值点.故选 .
6.
【解答】解：由题意知，甲丙的位置固定，先排乙，再把剩余的节目全排列，
故台晚会节目演出顺序的编排方案共有有A31A33＝18种．
故选：B．
7.
[解析]选 .由题意可知 在 上为增函数，
又 , ，所以当 时，由 可知 ，即 ,因此 ;
当 时，由 可知 ,即 ，因此 .
所以不等式 的解集为 ,故选 .
8.
[解析]选 . , ,则 .令 ,解得 （舍去）， 或 .因为 , ,又 , ,所以 , .故选 .
二、
9.
[解析]选 .根据题意，依次分析选项：
对于 , , 错误；
对于 ， , 正确；
对于 , , 正确；
对于 , , 正确.
故选 .
10.
[解析]选 .由题图可知，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，易知选项 ， 正确.
对于 ，结合题表及函数 的单调性可得，当 时， 在 上的最大值为2， 的最大值不为4.故 错误.
对于 ,求函数 的零点个数，即求函数 和 的图象的交点个数，由函数 的简图（图略）易知，当 时，函数 和 的图象有4个交点，故 正确.
11.
[解析]选 .函数 的定义域为 ，对任意的 , , 错误；
因为 ,且 ,所以函数 在 上为减函数，故 ， 正确， 错误.故选 .
12.
[解析]选 .对于 , ,由 ,得 ,解得 ,所以 只有一个“新不动点”；
对于 ， ,
由 ,得 ,解得 ,
所以 只有一个“新不动点”；
对于 , ,
易知 和 的图象在第一象限内只有一个交点，
所以 只有一个“新不动点”；
对于 ， ,
由 ,得 ,
即 ,易知方程 有无数个解，
所以 有无数个“新不动点”.
故选 .
13.
[解析]因为 ,
所以 ,则 .
14.[解析]由题知， ,
因为 的单调递减区间是 ，
所以 的两个根分别为 , ,
所以 即 解得 .
15.
【解答】解：从生物、历史、地理、政治四科中选排一节，有4种方法，
若数学排第一节，则英语可以排3，4，5，6节，其余全排列，此时有4×A，
若数学排第二节，则英语可以排4，5，6节，其余全排列，此时有3×A，
若数学排第三节，则英语可以排1，5，6节，其余全排列，此时有3×A，
若数学排第四节，则英语可以排1，2，5，6节，其余全排列，此时有4×A，
则共有4（4×A3×A3×A4×A）＝4×14×A4×14×24＝1344，
故答案为：1344
16.
[解析]由题意可得 .
令 ，可得 ,
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
因为函数 在区间 上有最小值，则其最小值必为 ,
所以 ，即 ,①
结合函数的性质可得 ,②
联立①②解得 .
17.
解：由 ，得 .
由已知条件得 ，解得 或 .
当 时， ;当 时， .
又因为点 在第三象限，
所以切点 的坐标为 .
（2）
[答案]因为直线 , 的斜率为4，
所以直线 的斜率为 .
因为 过切点 ，点 的坐标为 ,
所以直线 的方程为 ,即 .
18.
【解答】解：
（1）根据题意，甲不站排头也不站排尾，有5种情况，将剩下的6人全排列，有A66种排法，则有5×A66＝3600种排法；
（2）根据题意，将4名女生看成一个整体，有A44种排法，将这个整体与3名男生全排列，有A44种排法，则有A44×A44＝576种排法；
（3）根据题意，先排4名女生，有A44种排法，排好后有5个空位，在5个人空位中任选3个，安排3名男生，有A53种排法，则有A44×A53＝1440种排法．
19.
解：当 时，函数 ,
,
由 ,可得 或 ,由 ,可得 ,
所以 的单调递增区间为 ， ；单调递减区间为 .
（2）
[答案] , ,
在区间 上单调递增，即 在区间 上恒成立，
所以 在区间 上恒成立，
由 ,得 ,即 的取值范围为 .
20. （1）
解：因为蓄水池侧面的建造成本为 元，底面的建造成本为 元,所以蓄水池的总建造成本为 元,
又 ,
所以 ,
所以 .
因为 ,且 ，所以 ,
故函数 的定义域为 .
（2）
[答案]因为 ,
所以 .
令 ,解得 , （舍去）.
当 时， ,故 在 上单调递增；
当 时， ,故 在 上单调递减.
由此可知， 在 处取得极大值也为最大值，此时 ,
即当 , 时，该蓄水池的体积最大.
21.
（1）
解： ,令 ,得
令 ,得，令 ,得 ，
所以 在 上单调递增，在上单调递减.
（2）
[答案]由 ,得 ,
因为 ，所以 , ,
当 时， ,符合题意；
设 ,
当 时，则 ,
所以 在 上单调递增，
所以 ,不符合题意；
当 时，令 ,
得 ,
令 ,得 ,
所以 ,
则存在 ，使 ,
综上， 的取值范围是 .
22.
【详解】
（1）函数的定义域为，.
当时，，在上是减函数，所以在上无极值；
当时，若，，在上是减函数.
当，，在上是增函数，
故当时，在上的极小值为，
无极大值.
（2）当时，，
由（1）知在上是减函数，在上是增函数，是极值点，
又，为函数零点，所以，要证，只需证.
∵ ，又
∵，∴，
令，则，
∴在上是增函数，∴，∴，
∴，即得证.仁寿县铧强中学和眉天实验中学高二期末联考
数学试卷
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.函数 = 的单调递减区间为( )
A. ∞, B. , C. , D. , + ∞
lim f 2 x f 2.已知函数 = + ,则 ( )
x 0 x
A. 12 B. 6 C. 3 D.
3.已知函数 的导函数为 ′ ,且满足 = ′ + ,则 = ( )
A. B. C. D.
4.已知直线 = 是曲线 = + 的一条切线，则实数 的值为( )
A. B. C. D. 1
5.函数 的定义域为 ，它的导函数 = ′ 的部分图象如图所示，则下列结论错误
的是( )
A.函数 在 , 上单调递增
B.函数 在 , 上单调递减
C.函数 在 , 上有极大值
D. = 是函数 的极小值点
6.某台小型晚会由 6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位，节目乙
不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有
（ ）
A．16种 B．18种 C．24种 D．36种
7.已知函数 的定义域为 R ， = , ′ 为 的导函数，且 ′ > ，则不等
式 > 的解集是( )
A. ∞, ∪ , + ∞ B. ∞, ∪ , + ∞
C. , ∪ , + ∞ D. ∞, ∪ , + ∞
8.函数 = + + + 在区间[ , ]的最小值、最大值分别为( )
A. ， B. ， C. ， + D. ， +
第 1页
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二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项
中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得
0分.
9.下列求导结果正确的是( )
A. ′ = B. ′ =
C. ′ = D. ′ =
′ =
10.已知函数 定义域为[ , ]，部分对应值如下表所示：
0 2 4 5
1 2 0 2 1
的导函数 ′ 的图象如图所示.
下列关于函数 的结论正确的有( )
A.函数 的极大值点有 2个
B.函数 在 , 上单调递减
C.若 ∈ [ , ]时， 的最大值是 2，则 的最大值为 4
D.当 ≤ < 时，函数 = 有 4个零点
11.设函数 = 的导函数为 ′ ，则( )
A. ′ = B. = 是 的极值点
C. 存在零点 D. 在( ,+∞)上单调递减
12.定义方程 = ′ 的实数根 叫做函数 的“新不动点”，则下列函数中只有一
个“新不动点”的有( )
A. = B. =
C. = D. = +
第 2页
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三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.请把正确答案填在题中的
横线上.
13.设 ′ 是函数 的导函数，若 = ,则 ′ = .
14. 若函数 = + 的单调递减区间是[ , ]，则实数 的值为 .
15.某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要
求为：语文、数学、外语、物理、化学、各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选
排一节．若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），
则不同的排法有种 .
16.若函数 = 在区间 , 上有最小值，则实数 的取值范围是 .
四、解答题：本题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分 10分）已知曲线 = + 在点 处的切线 与直线 :
= 平行，且点 在第三象限.
（1） 求点 的坐标；
（2） 若直线 ⊥ ,且 也过切点 ，求直线 的方程.
17.（本小题满分 12分） 有 3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法
总数．
（1）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
（2）全体排成一排，女生必须站在一起；
（3）全体排成一排，男生互不相邻．
19. （本小题满分 12分）已知函数 = + ∈ .
（1） 当 = 时，求 的单调区间；
（2） 若 在区间 , + ∞ 上单调递增，求 的取值范围.
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20.（本小题满分 12分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）.设该蓄水池
的底面半径为 米，高为 米，体积为 立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建
造成本为 100元/平方米，底面的建造成本为 160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为
元( 为圆周率) .
（1） 将 表示成 的函数 ,并求该函数的定义域；
（2） 讨论函数 的单调性，并确定 和 为何值时该蓄水池的体积最大.
21.（本小题满分 12分）已知函数 = + ∈ .
（1） 当 a 1时，讨论 的单调性；
（2） 若存在 ∈ , + ∞ ，使 > ,求 的取值范围.
2
22.已知函数 f x x 2ln x a R,a 0 .
a
（1）求函数 f x 的极值；
（2）若函数 f x 有两个零点 x1, x2 (x1 x2 )，且 a 4，证明： x1 x2 4 .
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