2023-2024学年四川省眉山市仁寿一中北校区高二（下）月考数学试卷（含答案）

2023-2024学年四川省眉山市仁寿一中北校区高二（下）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.曲线在点处的切线的方程为( )
A. B. C. D.
2.在展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
3.名学生站成一排，若学生甲乙都不站两端，则不同站法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.函数在上单调递减，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.已知随机变量，且，则( )
A. B. C. D.
6.在的展开式中，所有的二项式系数之和为，则所有项的系数和为( )
A. B. C. D.
7.概率论起源于博弈游戏世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定，各出赌金枚金币，先赢局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了局，乙赢了局．向这枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是( )
A. 甲枚，乙枚 B. 甲枚，乙枚
C. 甲枚，乙枚 D. 甲枚，乙枚
8.函数的导数仍是的函数，通常把导函数的导数叫做函数的二阶导数，记作类似的，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数一般地，阶导数的导数叫做阶导数，函数的阶导数记作，例如的阶导数若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有甲、乙等名同学，则下列说法正确的是( )
A. 人站成一排，甲、乙两人相邻，则不同的排法种数为种
B. 人站成一排，甲、乙按从左到右的顺序站位不一定相邻，则不同的站法种数为种
C. 名同学分成两组分别到、两个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，则不同的安排方法有种
D. 名同学分成两组参加不同的活动，每名同学必须去，且每个活动都有人参加，甲、乙在一起，则不同的安排方法有种
10.已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是( )
A. B. C. D.
11.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 函数存在三个不同的零点
B. 函数的极大值为，极小值为
C. 若时，，则的最大值为
D. 若方程有两个实根，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则的值______．
13.已知随机变量，，则 ______．
14.若函数与的图像在实数集上有且只有个交点，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某高校实行提前自主招生，老师从个不同的试题中随机抽取个让学生作答，至少答对个才能通过初试，已知某学生能答对这个试题中的个．
求该学生能通过自主招生初试的概率；
若该学生答对的题数为，求的分布列以及数学期望．
16.本小题分
已知函数．
求函数在处的切线方程；
求函数的单调区间和极值．
17.本小题分
某校高二年级数学竞赛选拔赛分为初赛和决赛两阶段进行初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的同学才具备参与决赛的资格高二某班派出甲和乙参赛在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是、，乙通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是、，且每名同学所有轮次比赛的结果互不影响．
若该班获得决赛资格的同学个数为，求的分布列和数学期望；
已知甲和乙都获得了决赛资格决赛的规则如下：将问题放入，两个纸箱中，箱中有道选择题和道填空题，箱中有道选择题和道填空题决赛中要求每位参赛同学在，两个纸箱中随机抽取两题作答甲先从箱中依次抽取道题目，答题结束后将题目一起放入箱中，然后乙再从箱中抽取题目．
求乙从箱中抽取的第一题是选择题的概率；
已知乙从箱中抽取的第一题是选择题，求甲从箱中抽出的是道选择题的概率．
18.本小题分
已知函数．
若在时有极值，求函数的解析式；
当时，，求的取值范围．
19.本小题分
材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数，我们可以作变形：
以，所以可看作是由函数和复合而成的，即
为初等函数．根据以上材料：
直接写出初等函数极值点；
求初等函数极值．
参考答案
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15.解：根据题意可得该学生能通过自主招生初试的概率为：；
根据题意可得的取值可为，，，
且，，，
的分布列为：


．
16.解：函数的定义域为．
导函数．
所以，，
所以函数在点处的切线方程为，即．
令，解得：或列表得：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以函数的单调增区间为，；单调减区间为；
的极大值为，极小值为．
17.解：甲获得决赛资格的概率，乙获得决赛资格的概率，
由题意得，，，
则，，，
所以的分布列为：
所以；
设事件“甲取到道选择题”，，，；事件“乙取到第一题是选择题”，
由题意可知，，，，
，，，
由全概率公式可得：；
由条件概率公式和乘法公式可得：．
18.解：因为，所以
由在处取极值，得，
求得，
所以．
，
令，则．
若，则当时，，为减函数，而，
从而当时，，即，
若，则当时，，为减函数，而，
从而当时，，即，
综上，的取值范围为．
19.解：根据题意可得，
在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以的极小值点为，无极大值点．
，
所以，
令得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以有极大值且为，无极小值．
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