宣城市２０２３—２０２４学年度第二学期期末调研测试
高一数学参考答案
一、选择题：
题 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８
答 案 Ｃ Ｄ Ｂ Ａ Ａ Ｃ Ｂ Ｄ
二、多选题：
题 号 ９ １０ １１
答 案 ＡＣ ＢＣ ＡＣＤ
三、填空题：
１２?６０ １３?２槡２１ １４?４槡３７ ３
四、解答题：
１５?（１）因为ｃ＝２ｂｃｏｓＢ，则由正弦定理可得ｓｉｎＣ＝２ｓｉｎＢｃｏｓＢ，所以ｓｉｎ２Ｂ＝ｓｉｎ２π 槡３３＝２，
又Ｃ＝２π π３，所以Ｂ∈(０，３)，２Ｂ∈(０
２π
，３)，
故２Ｂ＝π π３，解得Ｂ＝６；……………………………………………………………… ５分
π
（２）由（１）可得Ａ＝６，即ａ＝ｂ，
Ｓ １ １ ２ 槡３ ３槡３则 △ＡＢＣ＝２ａｂｓｉｎＣ＝２ａ×２＝ ４，解得ａ＝槡３，……………………………… ８分
则由余弦定理可得ＢＣ边上的中线ＡＤ长度为：
２
ＡＤ＝ ｂ２＋
槡 (
ａ
２)－２×ｂ×
ａ
２×ｃｏｓ
２π
３＝ ３＋
３
４＋３×
槡３＝槡２１槡 ２ ２ ?槡 ……………
１３分
（其它解法可根据情况适当给分）
１６? １ ｜ａ→｜＝２｜ｂ→（）因为 ， ｜＝３ → → →，（ａ＋ｂ）·ｂ＝８，
→ → → → → →２ → → → →
所以（ａ＋ｂ）·ｂ＝ａ·ｂ＋ｂ ＝ａ·ｂ＋９＝８，ａ·ｂ＝－１，
ａ→ ＋ｂ→则 ＝槡（ａ
→ ＋ｂ→）２＝槡ａ
→２＋２ａ→ →·ｂ＋ｂ→２＝槡４－２＋９＝槡１１?…………… ５分
（２）因为ｋａ→ －２ｂ→ → →与ａ＋２ｂ垂直，
ｋａ→ －２ｂ→ ａ→ ＋２ｂ→ ＝ｋａ→２＋ ２ｋ－２ ａ→ ｂ→所以（ ）·（ ） （ ）·· －４ｂ→２＝４ｋ－（２ｋ－２）－３６＝
２ｋ－３４＝０，解得ｋ＝１７? …………………………………………………………… １０分
（３）因为ｋａ→ －ｂ→与４ａ→ －ｋｂ→反向，
所以存在λ＜０，使得ｋａ→ －ｂ→ ＝λ →（４ａ－ｋｂ→ ＝４λａ→） －λｋｂ→，
宣城市高一数学参考答案第１页（共３页）
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ｋ＝４λ ｋ＝－２ ｋ＝２→ →
因为ａ，ｂ不共线，所以{ ，解得－１＝－λｋ {λ＝－１或{λ＝１（舍去），２ ２
所以ｋ＝－２? ……………………………………………………………………… １５分
１７?（１） ＰＡ⊥ＰＥ，ＰＥ＝ＤＥ＝１，ＢＥ＝ ＥＣ２＋ＢＣ２由题可知 槡 ＝槡５，
因为ＡＰ＝ＡＢ，∠ＰＡＢ＝π３，所以△ＰＡＢ为等边三角形，所以ＰＢ＝２，
ＰＢ２＋ＰＥ２所以 ＝５＝ＢＥ２，所以ＰＢ⊥ＰＥ?
因为ＰＢ∩ＰＡ＝Ｐ，ＰＢ，ＰＡ?平面ＰＡＢ，所以ＰＥ⊥平面ＰＡＢ?
又ＰＥ?平面ＰＢＥ，所以平面ＰＢＥ⊥平面ＰＡＢ?…………………………………… ５分
（２）由（１）得ＰＥ⊥平面ＰＡＢ，所以ＶＰ－ＡＢＥ＝ＶＥ－ＰＡＢ，
由三角形面积公式得Ｓ ＝１△ＰＡＢ ２ＰＡ×ＰＢ×ｓｉｎ
π
３＝槡３，
Ｖ １ １ 槡３故 Ｐ－ＡＢＥ＝ＶＥ－ＰＡＢ＝３×Ｓ△ＰＡＢ×ＰＥ＝３×槡３×１＝３? ………………………… １０分
１ ＰＥ⊥ＰＢＰＥ⊥ＰＡＰＡ＝ＰＢ＝２ Ｓ ＝Ｓ ＝１ １由（）得 ， ， ，所以 △ＰＡＥ △ＰＢＥ ２ＰＢ×ＰＥ＝２×２×１＝１，
１ π
由三角形面积公式得Ｓ△ＰＡＢ＝２ＰＡ×ＰＢ×ｓｉｎ３＝槡３，Ｓ△ＥＡＢ＝２，
故三棱锥Ｅ－ＰＡＢ的表面积为Ｓ＝Ｓ△ＰＡＥ＋Ｓ△ＰＥＢ＋Ｓ△ＥＡＢ＋Ｓ△ＰＡＢ＝１＋１＋２＋槡３＝４＋槡３?
…………………………………………………………………………………… １５分
１８?（１）由０?００５×２０×２＋０?００７５×２０＋０?０２×２０＋ａ×２０＋０?００２５×２０＝１，
可得ａ＝０?０１? ……………………………………………………………………… ５分
（２）由（１）知样本数据中数学考试成绩９０分以下学生所占比例为０?１＋０?１＋０?１５＝０?３５，
１１０分以下学生所占比例为０?３５＋０?４＝０?７５，
因此，中位数一定位于［９０，１１０）内，所以中位数＝９０＋０?５－０?３５０?０２ ＝９７?５，
—
根据率分布直方图，设平均数为ｘ，
—
则ｘ＝４０×０?１＋６０×０?１＋８０×０?１５＋１００×０?４＋１２０×０?２＋１４０×０?０５＝９３（分）；
据此可以估计该校高一上学期期末数学考试成绩的中位数约为９７?５分，平均数约为
９３分? ……………………………………………………………………………… １０分
（３）由题意［５０，７０）分数段的人数为１００×０?１＝１０，［７０，９０）分数段的人数为１００×０?１５＝
１５，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取５名学生，则需在［５０，７０）分数段内抽取
２人，分别记为Ａ１，Ａ２，［７０，９０）分数段内抽取３人，分别记为Ｂ１，Ｂ２，Ｂ３?
设“从这５名学生中任取２人，至少有１人成绩在［５０，７０）内”为事件Ａ，
则样本空间 Ω＝｛Ａ１Ａ２，Ａ１Ｂ１，Ａ１Ｂ２，Ａ１Ｂ３，Ａ２Ｂ１，Ａ２Ｂ２，Ａ２Ｂ３，Ｂ１Ｂ２，Ｂ１Ｂ３，Ｂ２Ｂ３｝，共包含
１０ ７个样本点，而事件Ａ包含７个样本点，所以Ｐ（Ａ）＝１０，故抽取的这２名学生至少有
１ ７人成绩在［５０，７０）内的概率为１０? ……………………………………………… １７分
宣城市高一数学参考答案第２页（共３页）
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１９?（１）因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，而ＡＤ?平面ＡＢＣＤ，所以ＰＡ⊥ＡＤ，又ＡＤ⊥ＰＢ，ＰＢ∩ＰＡ＝Ｐ，
ＰＢ，ＰＡ?平面ＰＡＢ，所以ＡＤ⊥平面ＰＡＢ，而ＡＢ?平面ＰＡＢ，所以ＡＤ⊥ＡＢ?
ＢＣ２因为 ＋ＡＢ２＝ＡＣ２，所以ＢＣ⊥ＡＢ，根据平面知识可知ＡＤ∥ＢＣ，再由前面推导知，
可知ＢＣ⊥平面ＰＡＢ，所以ＢＣ⊥ＰＢ → →，所以向量ＣＰ在向量ＤＡ上的投影向量的模即为向量
Ｃ→Ｂ的模长１? → →（或由上述推导知ＣＰ和ＤＡ的夹角是∠ＰＣＢ。在Ｒｔ△ＰＢＣ中，ＰＢ＝槡７，
ＢＣ＝１，ＰＣ＝２ ＢＣ １槡２，ｃｏｓ∠ＰＣＢ＝ＰＣ＝ ，２槡２
→ → →
故向量ＣＰ在ＤＡ上的投影向量的模为｜ＣＰ｜ｃｏｓ∠ＰＣＢ＝１?）………………………… ５分
（２）“当ＡＤ⊥ＰＢ，且ＡＤ＝１时”，则四边形 ＡＢＣＤ是长方形，可将四棱锥 Ｐ－ＡＢＣＤ补成一
个长、宽、高分别为槡３、１、２的长方体，则该长方体的外接球即为四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ的外
接球，所以四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ有外接球，且该外接球半径为槡２，表面积Ｓ＝８π；………
…………………………………………………………………………………… １０分
（３）如图所示，过点Ｄ作ＤＥ⊥ＡＣ于Ｅ，再过点Ｅ作ＥＦ⊥ＣＰ于点Ｆ，连接ＤＦ，因为ＰＡ⊥平
面ＡＢＣＤ，所以平面ＰＡＣ⊥平面ＡＢＣＤ，而平面ＰＡＣ∩平面ＡＢＣＤ＝ＡＣ，
所以ＤＥ⊥平面ＰＡＣ，所以ＤＥ⊥ＣＰ，又ＥＦ⊥ＣＰ，所以ＣＰ⊥平面ＤＥＦ，
根据二面角的定义可知，∠ＤＦＥ即为二面角Ａ－ＣＰ－Ｄ的平面角，
因为ＡＤ⊥ＤＣ，ＡＤ＝槡３，ＡＣ＝２，则ＣＤ＝１，在Ｒｔ△ＡＣＤ
３
中由等面积法可得，ＤＥ＝槡２，
所以在Ｒｔ△ＤＥＣ中，ＣＥ＝１２，而△ＥＦＣ为等腰直角三角形，所以ＥＦ＝
槡２
４，
故ｔａｎ∠ＤＦＥ＝ＤＥＥＦ＝槡６?…………………………………………………………… １７分
宣城市高一数学参考答案第３页（共３页）
{#{QQABSYCEggggAIJAAQgCUQFYCgOQkBEACQgOhFAMoAAAAAFABAA=}#}宣城市2023一2024学年度第二学期期末调研测试
高一数学试题
考生注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生先将自己的姓名、考号在答题卷指定位置填写清楚并将条形码粘贴在指定区域。
3.考生作答时，请将答案答在答题卷上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对
应题目的答案标号涂黑；非选择題请用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上各题的答题
区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.考试结束时，务必将答题卡交回.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1.已知某位自行车赛车手在相同条件下进行了8次测速，测得其最大速度（单位：m/s)的数据
分别为42,38,45,43,41,47,46,44，则这组数据中的75%分位数是
A.44.5
B.45
C.45.5
D.46
2.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,bc,若sinA=2sinC,2b=3c,则号=
A.2
B.3
c号
D号
3.若向量a,6满足a=(1,1),161=1,且(a-6)·6=0,则a与6的夹角为
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
4.一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是
A.事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件
B.事件“至少一次击中”与事件“至多一次击中”为互斥事件
C.事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
D.事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
5.在△ABC中，已知D是BC边上靠近点B的三等分点，E是AC的中点，且D成=AA店+LA心，
则入+三
A-号
B.-1
c
D.1
6.如图，在正四面体ABCD中，E,F分别为AD,BC的中点，则EF与平面BCD所成角的正弦值为
A号
R号
c
D.6
7.某同学用边长为4m的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角
形，1个正方形和1个平行四边形.若该同学从5个三角形中取出2个，则这2个三角形的
面积之和小于另外3个三角形面积之和的概率是
B.
7
c.
3
D.
宣城市高一数学试卷第1页（共4页）
D
C
第6题图
第7题图
第8题图
8.如图，正方体ABCD-A,B,C,D1的棱长为4，B,P=2PC,D,Q=3QC1,过B,P,Q三点的平面
截该正方体，则所截得的截面面积为
A.35
B.153
C.15√15
D.32I
二、多选题：本小题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，至少有两项符合题
目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分
9已知复数z2,(其中为虚数单位)，则下列说法中正确的是
A.z+Z=0
B.z的虚部为-i
C.z·z=1
D.z在复平面内对应的点在第四象限
l0.在△ABC中，若sinC+sin(B-A)=sin2A,则△ABC的形状为
A.等比三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
11.如图，在正三棱锥P-ABC中，PB=√2AC=26,D,E分别是
棱AC,PB的中点，M是棱PC上的任意一点，则下列结论中
正确的是
A.PB⊥AC
B异面直线DE与AB所成角的余弦值为了
C.AM+MB的最小值为√42
B
D.三棱锥P-ABC内切球的半径是5（②-
第11题图
10
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.某中学高一年级共有学生900人，其中女生有405人，为了解他们
的身高状况，用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为的样
本，若样本中男生有33人，则n=
13.如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC,SA=AC=2,BC=4,
LACB=60°，则点A到平面SBC的距离为
14.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若∠ACB=60
∠ACB的角平分线交AB于点D,且CD=2,则△ABC面积的最小
B
值为」
第13题图
宣城市高一数学试卷第2页（共4页）】
