玉山一中2008—2009学年度第二学期期末测试
高二数学试卷（理科）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求）。
1．已知直线平面，直线平面，给出下列命题：
①∥；② ∥；③∥；④∥．其中真命题的个数是（ ）
A、个 B、个 C、个 D、
2．若，则标准正态总体在区间（—3，3）内取值的概率为
A．0.9987 B．0.9974 C．0.9944 D．0.8413
3．过曲线上的点PO的切线平行于直线y = 4x1，则切点PO的坐标为（ ）
A．(0，－1)或(1，0) B．（1，0）或（1，4）
C．（－1，－4）或（0，－2） D．（1，0）或（2，8）
4．将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为 （ ）
A. 540 B. 150 C. 180 D. 300
5．已知函数的图象如图（1）所示，在下列
四个图象中，函数的大致图象为（ D ）
6. ( )
A. B.2 C. D.
7．已知在（1，e）上具有单调性，则b的取值范围是 （ A ）
A． B． C． D．[1，e]
8.右图是函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是
A． B． C． D．
9.已知函数上是减函数，则实数的ω的取值范围是 （ B ）
A． B． C． D．
10．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=600,E为AB的中点。将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
11.已知，则等于（ ）
A.2 B.0 C.-2 D.-4
12．
二．填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分。请把答案填写在题中横线上).
13．设的系数是 －15 .
14．将四棱锥的五个面分别用四种颜色填涂,若底面不能涂红色(红色是四种颜色中的一种),且相邻两面不能涂成同色,则涂色方案共有___ 54 __________种(用数字作答).
15．函数的最小值为 .
16．给出下列四个命题：
如果PA⊥BC，PB⊥AC，那么点P在平面ABC内的射影是(ABC的垂心；
如果点P到(ABC的三边所在直线的距离都相等，那么点P在平面ABC内的射影是(ABC的内心；
如果棱PA和BC所成的角为60(,PA=BC=2,E、F分别是棱PB、AC的中点,那么EF=1;
如果三棱锥P-ABC的各棱长均为1,则该三棱锥在任意一个平面内的射影的面积都不大于;
其中正确命题的序号是____________.
答案：①④
座位号
玉山一中2008—2009学年度第二学期期末测试
高二数学答题卷（理科）
题号
一
二
三
总分
17
18
19
20
21
22
得分
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13． 14．
15． 16．
三．解答题：(本大题共6小题，共74分。解答应该写出文字说明，证明过程或演算步骤)。
已知函数是偶函数，当时.（a为实数）.
（1）若在处有极值，求a的值。（6分）
（2）若在上是减函数，求a的取值范围。（8分）
22．（本小题满分14分）
已知函数在处取得极值。
（1）求实数的值；
（2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．
（3）证明：对任意的正整数n，不等式都成立。
22．（本小题满分14分）
解：（1），∵时，取得极值，∴，
故，解得。经检验符合题意。
（2）由知，由，
得。令，
则在上恰有两个不同的实数根，
等价于在上恰有两个不同实数根。
，
当时，，于是在上单调递增；
当时，，于是在上单调递减；
依题意有∴。
（3）的定义域为。
由（1）知。令时，或（舍去），
∴当时，，单调递增；
当时，，单调递减。
∴为在上的最大值。
∴，故（当且仅当时，等号成立）。
对任意正整数，取得，，故。
20．（本小题满分12分）
已知函数的定义域为，且。
（I）若函数在上是单调函数，求的取值范围；
（Ⅱ）求证：
20．（本小题满分12分）
解：（I）
令
显然当
（Ⅱ）①当时， 函数在上是单调减函数，
在上的最小值 ，
又
综上，对任意
本问也可以这样证：
（Ⅱ）函数在上单调递增，在和上单调递减，
对任意
22．（本小题满分14分）
设数列满足
（I）求证：
（Ⅱ）求证：；
22．（本小题满分14分）
解：（I）方法一：当时，显然由已知可得成立。
假设时成立，即
则当时，根据题意有
当时，成立。
根据数学归纳法可知，对任意，成立
方法二：
……，， 将这个等式累乘（相乘），得
将代入得
检验当时，上式也成立，
方法三：
（Ⅱ）由（I）知
又由
（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）可知，有不等式
成立
将这个同向不等式累加起来，得
19．已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA1，F为棱BB1
的中点，M为线段AC1的中点.
（1）求证：直线MF∥平面ABCD；
（2）求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1；
（3）求平面AFC1与与平面ABCD所成二面角的大小.
（1）延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN。因为F是BB1的中点，
所以F为C1N的中点，B为CN的中点。····2分
又M是线段AC1的中点，故MF∥AN。·····3分
又MF平面ABCD，AN平面ABCD。
∴MF∥平面ABCD。 ···5分
（2）证明：连BD，由直四棱柱ABCD—A1B1C1D1
可知A1A⊥平面ABCD，又∵BD平面ABCD，
∴A1A⊥BD。∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD。
又∵AC∩A1A=A，AC，AA平面ACC1A1。
∴BD⊥平面ACC1A1。 ·················7分
在四边形DANB中，DA∥BN且DA=BN，所以四边形DANB为平行四边形
故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1，又因为NA平面AFC1
∴平面AFC1⊥ACC1A1
（3）由（2）知BD⊥ACC1A1，又AC1ACC1A1，∴BD⊥AC1，∴BD∥NA，∴AC1⊥NA。
又由BD⊥AC可知NA⊥AC，
∴∠C1AC就是平面AFC1与平面ABCD所成二面角的平面角或补角。···10分
在Rt△C1AC中，tan，故∠C1AC=30°···12分
∴平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大小为30°或150°。···12分
20. (湖北省百所重点中学2009届高三联考)2008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮。现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：
福娃名称
贝贝
晶晶
欢欢
迎迎
妮妮
数量
1
2
3
1
1
从中随机地选取5只。
（1）求选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率；
（2）若完整地选取奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推。设ξ表示所得的分数，求ξ的分布列和期望值。
解：（1）选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率
………………4分
（2） ………………5分
………………9分
ξ的分布列为
ξ
100
80
60
40
P
………………11分
………………13分
21．(12分)如图：已知为实数，函数．
(Ⅰ) 若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围；
(Ⅱ) 若， 求函数的单调区间；
解：(Ⅰ) ∵， ∴．
∵函数的图象上有与轴平行的切线， ∴有实数解．
∴， ∴．所求的取值范围是．
(Ⅱ) ∵，∴即.∴．
由，得或； 由，得．
因此，函数的单调增区间为，；单调减区间为．
22. 已知数列
解：（1）
猜想
从而
=
下面用数学归纳法证明：
当时，等式已成立。
假设当，
即
因此对任何
所以
（2）
玉山一中2008—2009学年度第二学期期末测试
高二（理科）数学参考答案
一．选择题：1--12 CABCB BCCDA DB
二．填空题：13． 14. 15. 0 16.
三．解答题：
17．解：(1) ∵， ∴．
∵函数的图象上有与轴平行的切线， ∴有实数解．
∴， ∴．所求的取值范围是．
(2) ∵，∴即.∴．
由，得或； 由，得．
因此，函数的单调增区间为，；单调减区间为．
18．解：（1）选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率
………………4分
（2）
ξ的分布列为
ξ
100
80
60
40
P
19．(1)证明：∵面，面，
∴．
又∵底面是正方形， ∴．
又∵，
∴面， 又∵面，
∴平面平面．
(2)设，则，
在中，.
设，连接，过作于，
连结，由（Ⅰ）知面.
∴在面上的射影为，
∴．故为二面角的平面角.
在中，，，
．
∴，∴.
∴.即二面角的大小为．
20. （1）解：函数的导数,
由题意，得, 所以, 故；
（2）解：由（Ⅰ）知,由, 得x=1, 或x=3.
x变化时，的变化如情况下表：
1
3
0
-
0
+
极大值
极小值0
所以，当b1或时，函数无极值；
当b-1<1, 且b>1时，函数在x=1时，有极大值，此时函数无极小值；
当b-1<3, 且b>3时，函数在x=3时，有极小值0，此时函数无极大值；
当b1，且时，函数无极值.
故当时，函数无极值；
当时，函数在x=1时，有极大值，此时函数无极小值；
当时，函数在x=3时，有极小值0，此时函数无极大值.
21. 解：（1）
猜想从而
=
下面用数学归纳法证明：
（1）当时，等式已成立。
（2）假设当，
即也成立，因此对任何成立。
所以
（2）
22．解：（1），∵时，取得极值，∴，
故，解得。经检验符合题意。
（2）由知，由，
得。令，
则在上恰有两个不同的实数根，
等价于在上恰有两个不同实数根。
，
当时，，于是在上单调递增；
当时，，于是在上单调递减；
依题意有∴。
（3）的定义域为。
由（1）知。令时，或（舍去），
∴当时，，单调递增；
当时，，单调递减。∴为在上的最大值。
∴，故（当且仅当时，等号成立）。
对任意正整数，取得，，故。
