2024年黑龙江省牡丹江市中考数学真题（含答案）

2024年黑龙江省牡丹江市中考数学试题
一、单项选择题（本题10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列计算正确的是（　　）
A．2a3 a2＝2a6 B．（﹣2a）3÷b×＝﹣8a3
C．（a3+a2+a）÷a＝a2+a D．3a﹣2＝
3．由5个形状、大小完全相同的小正方体组合而成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则搭建该几何体的方式有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
4．某校八年级3班承担下周学校升旗任务，老师从备选的甲、乙、丙、丁四名同学中，选择两名担任升旗手，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC＝20°，则∠ADC的度数为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
6．一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（　　）
A．20% B．22% C．25% D．28%
7．如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形…按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
8．矩形OBAC在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与AB边交于点D，与AC边交于点F，与OA交于点E，OE＝2AE，若四边形ODAF的面积为2，则k的值是（　　）
A． B． C． D．
9．小明同学手中有一张矩形纸片ABCD，AD＝12cm，CD＝10cm，他进行了如下操作：
第一步，如图①，将矩形纸片对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，将纸片展平．
第二步，如图②，再一次折叠纸片，把△ADN沿AN折叠得到△AD′N，AD′交折痕MN于点E，则线段EN的长为（　　）
A．8cm B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交点C的纵坐标在﹣3～﹣2之间，根据图象判断以下结论：①abc2＞0；②＜b＜2；③若﹣bx1＝﹣bx2且x1≠x2，则x1+x2＝﹣2；④直线y＝﹣cx+c与抛物线y＝ax2+bx+c的一个交点（m，n）（m≠0），则m＝．其中正确的结论是（　　）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题（本题8个小题，每小题3分，共24分）
11．函数y＝中，自变量x的取值范围是 　 　
12．如图，△ABC中，D是AB上一点，CF∥AB，D、E、F三点共线，请添加一个条件 　 　，使得AE＝CE．（只添一种情况即可）
13．将抛物线y＝ax2+bx+3向下平移5个单位长度后，经过点（﹣2，4），则6a﹣3b﹣7＝　 　．
14．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，CD＝6，BE＝1，则弦AC的长为 　 　．
15．已知一组正整数a，1，b，b，3有唯一众数8，中位数是5，则这一组数据的平均数为 　 　．
16．若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 　 　．
17．矩形ABCD的面积是90，对角线AC，BD交于点O，点E是BC边的三等分点，连接DE，点P是DE的中点，OP＝3，连接CP，则PC+PE的值为 　 　．
18．如图，在正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，AE分别交BD、CD于点F、M，过点F作NP⊥AE，分别交AD、BC于点N、P，连接MP．下列四个结论：①AM＝PN；②DM+DN＝DF；③若P是BC中点，AB＝3，则EM＝2；④BF NF＝AF BP；⑤若PM∥BD，则CE＝BC．其中正确的结论是 　 　．
三、解答题（共66分）
19．先化简，再求值：÷（x﹣），并从﹣1，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值．
20．如图，某数学活动小组用高度为1.5米的测角仪BC，对垂直于地面CD的建筑物AD的高度进行测量，BC⊥CD于点C．在B处测得A的仰角∠ABE＝45°，然后将测角仪向建筑物方向水平移动6米至FG处，FG⊥CD于点G，测得A的仰角∠AFE＝58°，BF的延长线交AD于点E，求建筑物AD的高度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
21．某校为掌握学生对垃圾分类的了解情况，在全校范围内抽取部分学生进行调查问卷，并将收集到的信息进行整理，绘制成如图所示不完整的统计图，其中A为“非常了解”，B为“了解较多”，C为“基本了解”，D为“了解较少”．请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 　 　名学生；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“了解较少”所对应的圆心角度数；
（3）若全校共有1200名学生，请估计全校有多少名学生“非常了解”垃圾分类问题．
22．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝8，以BC为边向△ACB外作有一个内角为60°的菱形BCDE，对角线BD，CE交于点O，连接OA，请用尺规和三角板作出图形，并直接写出△AOC的面积．
23．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3），连接BC．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当△BCP的面积最大时，BC边上的高PN的值为 　 　．
24．一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地．甲、乙两车之间的路程y km与两车行驶时间xh的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车行驶的速度是 　 　km/h，并在图中括号内填上正确的数；
（2）求图中线段EF所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）请直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．
25．数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D在直线BC上，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，过点E作EF∥BC，交直线AB于点F．
（1）当点D在线段BC上时，如图①，求证：BD+EF＝AB；
分析问题：某同学在思考这道题时，想利用AD＝AE构造全等三角形，便尝试着在AB上截取AM＝EF，连接DM，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：
推理证明：写出图①的证明过程：
探究问题：
（2）当点D在线段BC的延长线上时，如图②：当点D在线段CB的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段BD，EF，AB之间的数量关系；
拓展思考：
（3）在（1）（2）的条件下，若AC＝6，CD＝2BD，则EF＝　 　．
26．牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的50%以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题：
（1）特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？
（2）某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a（a为正整数）折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案．
27．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+b与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点D，点B在x轴的正半轴上，四边形ABCD是平行四边形，线段OA的长是一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的一个根．请解答下列问题：
（1）求点D的坐标；
（2）若线段BC的垂直平分线交直线AD于点E，交x轴于点F，交BC于点G，点E在第一象限，，连接BE，求tan∠ABE的值；
（3）在（2）的条件下，点M在直线DE上，在x轴上是否存在点N，使以E、M、N为顶点的三角形是直角边比为1：2的直角三角形？若存在，请直接写出△EMN的个数和其中两个点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2024年黑龙江省牡丹江市中考数学试题参考答案
一、单项选择题（本题10个小题，每小题3分，共30分）
1．C 2．D 3．C 4．A 5．B
6．C 7．B 8．D 9．B 10．A
二、填空题（本题8个小题，每小题3分，共24分）
11．x≥﹣3且x≠0 12．（示例）DE＝EF或AD＝CF 13．2 14． 15．5 16．﹣1 17．13或 18．①②③⑤
三、解答题（共66分）
19．解：
＝
＝
＝
＝．
∵x≠0且x≠3，
∴x＝﹣1或x＝1或x＝2．
当x＝﹣1时，原式＝．
20．解：根据题意可知四边形BEDC是矩形，
∴DE＝BC＝1.5m．
如图，∠ABE＝45°，∠AFE＝58°．
∵，
∴．
∵BE＝EF+BF，
∴
∴AE≈16．
∴AD＝AE+DE＝17.5（米）
答：建筑物AD的高度约为17.5米．
21．解：（1）这次被调查的学生人数为：（20+8+5）÷（1﹣34%）＝50（名）；
（2）“了解较少”所对应的圆心角度数为：，
50×34%＝17（人）
补全图形如下：
（3）（名），
估计全校有多少名学生“非常了解”垃圾分类问题有480名．
22．解：当∠CBE＝60°时，所作图形如图，作OF⊥BC，垂足为F，
∵菱形BCDE，∠CBE＝60°，
∴∠COB＝90°，∠CBO＝30°，∠OCB＝60°，
∵BC＝12，
∴，
∵∠OCB＝60°，
∴∠COF＝30°，
∴，
∴△AOC的面积为；
当∠BCD＝60°时，所作图形如图，作OF⊥BC，垂足为F，如图2，
∵菱形BCDE，∠BCD＝60°，
∴∠COB＝90°，∠BCO＝30°，
∵BC＝12，
∴，，
∴，，
∴△AOC的面积为；
综上，△AOC的面积为12或36．
23．解：（1）把（﹣1，0）和（0，﹣3）代入得：
，
解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）令y＝0，则，
解得：x1＝﹣1，x2＝6，
∴点B的坐标为（6，0），
∴，
设直线BC的解析式为y＝mx+n，代入得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为，
过点P作PD⊥x轴交BC于点D，如图，
设点P的坐标为，则点D的坐标为，
∴，
∴，
∴△PBC最大为，
∴，
故答案为：．
24．解：（1）由图可知，甲车小时行驶的路程为（200﹣180）km，
∴甲车行驶的速度是，
70×（4+）＝300（km），
填图如下：
故答案为：70；
（2）由图可知E，F的坐标分别为，（4，180），
设线段EF所在直线的函数解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴线段EF所在直线的函数解析式为y＝120x﹣300；
（3）由题意知，A、C两地的距离为：，
乙车行驶的速度为：，
C、B两地的距离为：50×4＝200（km），
A、B两地的距离为：300﹣200＝100（km），
设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍，
分两种情况，当甲乙相遇前时：
200﹣50x＝3（100﹣70x），
解得；
当甲乙相遇后时：
200﹣50x＝3（70x﹣100），
解得；
综上可知，两车出发或时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．
25．（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D在直线BC上，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，过点E作EF∥BC，交直线AB于点F．在AB边上截取AM＝EF，连接DM．如图1，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣30°＝60°．
∵EF∥BC，
∴∠EFB＝∠B＝60°．
又∵∠EAD＝60°，
∴∠EFB＝∠EAD．
又∵∠BAD＝∠EAD﹣∠EAF，∠AEF＝∠EFB﹣∠EAF，
∴∠BAD＝∠AEF．
又∵AD＝AE，AM＝EF，
∴△DAM≌△AEF（SAS）．
∴AF＝DM．
∴∠AMD＝∠EFA＝180°﹣∠EFB＝180°﹣60°＝120°．
∴∠BMD＝180°﹣∠AMD＝180°﹣120°＝60°．
∵∠B＝60°，
∴∠BMD＝∠B＝∠BDM．
∴△BMD是等边三角形．
∴BD＝BM＝DM，
∵AB＝AM+BM，
∴AB＝EF+BD；
（2）解：图②：AB＝BD﹣EF，证明如下：
如图2.1所示，在BD上取点H，使BH＝AB，连接AH并延长到点G使AG＝AF，连接DG，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABH是等边三角形，
∴∠BAH＝60°，
∵线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，
∴∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴∠BAH＝∠DAE，
∴∠BAH﹣∠EAH＝∠DAE﹣∠EAH，即∠BAE＝∠HAD，
又∵AG＝AF，
∴△FAE≌△GAD（SAS），
∴EF＝DG，∠AFE＝∠G，
∵BD∥EF，
∴∠ABC＝∠F＝∠G＝60°，
∵∠DHG＝∠AHB＝60°，
∴△DHG是等边三角形，
∴DH＝DG＝EF，
∴AB＝BH＝BD﹣DH＝BD﹣EF；
图③：AB＝EF﹣BD，证明如下：
如图2.2所示，在EF上取点H使AH＝AF，
∵EF∥BC，
∴∠F＝∠ABC＝60°，
∵AH＝AF，
∴△AHF是等边三角形，
∴∠AHF＝∠HAF＝60°，
∴∠AHE＝120°，
∵将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴∠DAB+∠EAH＝180°﹣∠EAD﹣∠HAF＝60°，
∵∠D+∠DAB＝∠ABC＝60°，
∴∠D＝∠EAH，
∵∠DBA＝180°﹣∠ABC＝120°＝∠EHA，
又∵AD＝AE，
∴△EAH≌△ADB（AAS），
∴BD＝AH，AB＝EH，
∵AH＝FH，
∴BD＝HF，
∴AB＝EH＝EF﹣FH＝EF﹣BD；
（3）解：如图3.1所示，
∵∠BAC＝30°，∠C＝90°，
∴AB＝2BC，AB2＝BC2+AC2，
∴，
∴BC＝6，
∴AB＝2BC＝12，
∵CD＝2BD，BC＝BD+CD，
∴，
由（1）可知，BD+EF＝AB，
∴EF＝AB﹣BD＝12﹣2＝10；
如图3.2所示，当点D在线段BC的延长线上时，
∵CD＜BD，与CD＝2BD矛盾，
∴不符合题意；
如图3.3所示，当点D在线段CB的延长线上时，
∵CD＝2BD＝BD+BC，BC＝6，
∴BD＝BC＝6，
由（2）可知，AB＝EF﹣BD，
∵AB＝2BC＝12，
∴EF＝AB+BD＝12+6＝18．
综上所述，EF＝10或18，
故答案为：10或18．
26．解：（1）设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，
则，
解得：，
故特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元；
（2）解：设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇（80﹣m）箱，
则，
解得：40≤m≤42，
∵m为正整数，
∴m＝40，41，42，
故该商店有三种进货方案，
分别为：①购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱；
②购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱；
③购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱；
（3）解：当购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱时：
根据题意得（40﹣1）×（50﹣40）+（40﹣1）×（180﹣150）+（50 ﹣40）+（180 ﹣150）＝1577，
解得：a＝9；
当购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱时：
根据题意得（41﹣1）×（50﹣40）+（39﹣1）×（180﹣150）+（50 ﹣40）+（180 ﹣150）＝1577，
解得：a≈9.9（是小数，不符合要求）；
当购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱时：
根据题意得（42﹣1）×（50﹣40）+（38﹣1）×（180﹣150）+（50 ﹣40）+（180 ﹣150）＝1577，
解得：a≈10.7（不符合要求）；
故商店的进货方案是特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱．
27．解：（1）解方程x2﹣4x﹣12＝0得x1＝6，x2＝﹣2，
∴OA＝6，即点A的坐标为（6，0），
把（6，0）代入y＝x+b得b＝﹣6，
∴y＝x﹣6，点D的坐标为（0，﹣6）；
（2）过点E作EH⊥AB于点H，如图1，
∵OA＝OD＝6，
∴∠OAD＝∠ODA＝∠EAH＝45°，，
∴，
又∵ABCD是平行四边形，
∴，AE∥BC，
∵GE是BC的垂直平分线，
∴，
∵AE∥BC，
∴∠EAF＝∠GBF，∠AEF＝∠FGB＝90°，
∴△AEF≌△BGF，
∴BF＝AF＝2AH＝6，
∴BH＝AF+FB﹣AH＝6+6﹣3＝9，
∴；
（3）存在，12个，N1（0，0），N2（8，0），N3（10，0），N4（12，0），N5（18，0）（写出两个即可）；理由如下：
如图2，当∠MEN＝90°时，有4个，
∵∠EAN1＝45°，
∴，
由（2）得AN1＝6，OA＝6，
∴ON1＝12，
∴点N得坐标为（12，0）；
当∠ENM＝90°时，有4个，如图3，
当∠EMN＝90°时，有4个，如图4，
∵∠N9AM9＝45°，
∴，
∴，
∴点N9与O重合，
故点N9得坐标为（0，0），
综上所述，点△EMN的个数为12个，点N的坐标为N1（0，0），N2（8，0），N3（10，0），N4（12，0），N5（18，0）（写出两个即可）．