对数函数的图象和性质

对数函数的图象和性质
教学目标：（1）对数函数的图象和性质
（2）对数函数底数a 对图象的影响；
（3）底数a对对数函数单调性的影响，并利用它熟练比较几个对数的大小；
（3）培养学生抽象概括能力，提高学生对数形结合思想认识。
教学重点：（1）对数函数底数a 对图象的影响；
（2）利用对数函数单调性熟练比较几个对数的大小。
教学难点：（1）底数a对对数函数图象的影响的概括；
（2）利用函数单调性比较对数的大小。
教学方法：引导归纳法（利用几何画板或flash演示a的变化导致对数函数的图象的变化，引导学生归纳出图象变化的特点，从而从感性认识上升到理性认识，最终熟练利用这一特点比较几个对数的大小。）
教学过程：
（1） 抽象概括：
（二）例题分析
例4 求下列函数定义域：
（1）y=㏒a x2 ; （2） y=㏒a (4-x)
解（1）因为 x2 >0, 即x≠0，
所以函数的定义域为{x| x≠0 };
（2）因为4-x>0即x<4，
所以函数的定义域为{x| x<4}.
例5 比较下列各题中两个数的大小：
(1)㏒25.3, ㏒24.7
(2) ㏒ 0.27,㏒0.29
(3) ㏒3 ∏ ,㏒∏ 3
(4) ㏒a 3.1,㏒a5.2 (a>0,a≠1)
解（1）因为2>1，函数y=㏒2 x是增函数，5.3>4.7,
所以
㏒25.3>㏒24.7;
（2）因为0<0.2<1，函数y=㏒0.2x是减函数，7<9,所以
㏒ 0.27>㏒0.29;
(3)因为函数y=㏒3x是增函数，∏>3 所以
㏒3 ∏ > ㏒3 3 =1,
同理1= ㏒∏∏>㏒∏3，所以
㏒3 ∏ >㏒∏ 3 ;
(4)(对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件中并未指出底数a与1哪个大,因此需要对底数a进行讨论)
当a>1时，函数y=㏒ax在(0, +∞)上为增函数，此时 ,
㏒a 3.1<㏒a5.2
当0㏒a 3.1>㏒a5.2
例 ( file: / / / F:\\chw\\chw教学\\对数函数\\P110%20例%206.gsp" \t "_parent )6 ( file: / / / F:\\chw\\chw教学\\对数函数\\P110%20例%206.gsp" \t "_parent )观察在同一坐标系内函数 ( file: / / / F:\\chw\\chw教学\\对数函数\\P110%20例%206.gsp" \t "_parent )y= ( file: / / / F:\\chw\\chw教学\\对数函数\\P110%20例%206.gsp" \t "_parent )㏒ ( file: / / / F:\\chw\\chw教学\\对数函数\\P110%20例%206.gsp" \t "_parent )2 ( file: / / / F:\\chw\\chw教学\\对数函数\\P110%20例%206.gsp" \t "_parent )x ( file: / / / F:\\chw\\chw教学\\对数函数\\P110%20例%206.gsp" \t "_parent )与 ( file: / / / F:\\chw\\chw教学\\对数函数\\P110%20例%206.gsp" \t "_parent )函数 ( file: / / / F:\\chw\\chw教学\\对数函数\\P110%20例%206.gsp" \t "_parent )y=2 ( file: / / / F:\\chw\\chw教学\\对数函数\\P110%20例%206.gsp" \t "_parent )x ( file: / / / F:\\chw\\chw教学\\对数函数\\P110%20例%206.gsp" \t "_parent )的图象，分析他们之间的关系 ( file: / / / F:\\chw\\chw教学\\对数函数\\P110%20例%206.gsp" \t "_parent )
解 可以看出，点P（a,b）与点Q（b,a）关于直线y=x对称。
函数 y= ( file: / / / F:\\chw\\chw教学\\对数函数\\P110%20例%206.gsp" \t "_parent )㏒ ( file: / / / F:\\chw\\chw教学\\对数函数\\P110%20例%206.gsp" \t "_parent )2 ( file: / / / F:\\chw\\chw教学\\对数函数\\P110%20例%206.gsp" \t "_parent )x ( file: / / / F:\\chw\\chw教学\\对数函数\\P110%20例%206.gsp" \t "_parent )与函数y=2 ( file: / / / F:\\chw\\chw教学\\对数函数\\P110%20例%206.gsp" \t "_parent )x ( file: / / / F:\\chw\\chw教学\\对数函数\\P110%20例%206.gsp" \t "_parent )互为反函数，
对应于函数图象y= ( file: / / / F:\\chw\\chw教学\\对数函数\\P110%20例%206.gsp" \t "_parent )㏒ ( file: / / / F:\\chw\\chw教学\\对数函数\\P110%20例%206.gsp" \t "_parent )2 ( file: / / / F:\\chw\\chw教学\\对数函数\\P110%20例%206.gsp" \t "_parent )x ( file: / / / F:\\chw\\chw教学\\对数函数\\P110%20例%206.gsp" \t "_parent )上任意一点P（a,b），
P点关于直线y=x的对称点Q(b,a)总在函数y=2x ( file: / / / F:\\chw\\chw教学\\对数函数\\P110%20例%206.gsp" \t "_parent )图象上，
所以，函数y= ( file: / / / F:\\chw\\chw教学\\对数函数\\P110%20例%206.gsp" \t "_parent )㏒ ( file: / / / F:\\chw\\chw教学\\对数函数\\P110%20例%206.gsp" \t "_parent )2 ( file: / / / F:\\chw\\chw教学\\对数函数\\P110%20例%206.gsp" \t "_parent )x ( file: / / / F:\\chw\\chw教学\\对数函数\\P110%20例%206.gsp" \t "_parent )的图象与y=2 ( file: / / / F:\\chw\\chw教学\\对数函数\\P110%20例%206.gsp" \t "_parent )x ( file: / / / F:\\chw\\chw教学\\对数函数\\P110%20例%206.gsp" \t "_parent )的图象关于直线对称。
思考交流
（1）根据下表的数据（精确到0.01），
画出函数y=㏒2X y=㏒3X和y=㏒5X的图象并观察图象，
说明三个函数图象的相同与不同之处。
x … 0.5 1 1.5 2 3 4 … 1000 …
y=㏒2X … -1 0 0.58 1 1.58 2 … 9.73 …
y=㏒3X … -0.63 0 0.37 0.63 1 1.26 … 6.29 …
y=㏒5X … -0.43 0 0.25 0.43 0.68 0.86 … 4.29 …
（2）对数函数y=㏒ a x ,当底数a>1时,a变化对函数图象有何影响？
（3）仿照前面的方法,请你猜想,对数函数y=㏒ a X，当0结论
（1）相同点：都经过（1，0）点，
在（0，+∞）上单调递增，值域为R,
x>1时y>0，0不同点:随着x的增大,
它们的函数值增加的快慢不一样。
（2）当底数a>1时，a越大函数图象越靠近x轴.
（3）当0例7 人们早就发现了放射性物质的衰减现象。
在考古工作中，常用14C的含量来确定有机物的年代，
已知放射性物质的衰减服从指数规律：C（t）=C0 e –r t ，
其中t表示衰减的时间， C0 放射性物质的原始质量，
C（t）表示经衰减了t年后剩余的质量。为了计算衰减的年代，
通常给出该物质衰减一半的时间，称其为该物质的半衰期，
14C的半衰期大约为5730年，由此可确定系数r。
人们又知道，放射性物质的衰减速度与质量成正比。
1950年在巴比伦发现一根刻有Hammurbi 王朝字样的木炭，
当时测定，其14C分子衰减速度为4.09个（g/min）,
而新砍伐烧成的木炭中14C分子衰减速度为6.68个（g/min）,
请估算出Hammurbi 王朝所在年代。
解 14C的半衰期 为5730年，所以建立方程
1/2=e-5730r
解得r=0.000121,由此可知14C的衰减服从指数型函数
C（t）=C0 e -0.000121 t
设发现Hammurbi 王朝木炭的时间（1950年）为t0年，放射性物质的衰减速度是与质量成正比的，所以
C（t0）/C0= 4.09/6.68
于是 e -0.000121 t0 = 4.09/6.68
两边取自然对数，得-0.000121 t0 =㏑ 4.09- ㏑6.68,
解得 t0 ≈4050（年）
即Hammurbi 王朝大约存在于公元前2100年。
练习P96 1，2，3
作业P97 A 组4
课后反思