一元二次方程(全章教案)
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文档简介
第二十二章 一元二次方程
教材内容
1．本单元教学的主要内容．
一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程的应用题．
2．本单元在教材中的地位与作用．
一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程组》、《分式方程》等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，应该说，一元二次方程是本书的重点内容．
教学目标
1．知识与技能
了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．
2．过程与方法
（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．
（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．
（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．
（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．
（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．
（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，并用该模型解决实际问题．
3．情感、态度与价值观
经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．
教学重点
1．一元二次方程及其它有关的概念．
2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．
3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．
教学难点
1．一元二次方程配方法解题．
2．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．
课时划分
本单元教学时间约需13课时，具体分配如下：
22．1 一元二次方程 2课时
22．2 降次──解一元二次方程 4课时（直接开方法1、配方法1、公式法1、因式分解法1）
习题课 1课时
22．3 实际问题与一元二次方程 3课时
小结 1课时
22.1一元二次方程（第1课时）
教学任务分析
教学目标 理解什么是一元二次方程及一元二次方程的一般形式。能将一元二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。会依据简单的实际问题列一元二次方程并将其转化为一般形式。
教学过程
问题与情景 师生活动 设计意图
一、温故知新：1、观察方程：2x=1；3x+2=x-4;2(x+2)-3(x-1)=0它们都含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的整式方程叫做一元一次方程。 ２下列方程哪些是一元一次方程（ ）５ｘ＋３＝０，（２）２ｘ＋ｙ＝３，（３）， （４） ； （５）ｘ2－２ｘ＋１＝０ 此两题为口答题，复习一元一次方程的定义，旨在对比学习一元二次方程，对第２题（５）可设疑，培养学生继续探究的兴趣。
二、自主学习：自学课本Ｐ324---P26思考下列问题：在教材中两个问题得出的两个方程有什么共同点？未知数的个数和最高次数各是多少？什么叫一元二次方程？类比一元一次方程的概念，一元二次方程概念中的关键词是什么？举例说明。一元二次方程的一般形式是什么？为什么规定a≠0？对b、ｃ有什么要求吗？对一个一元二次方程是怎样转化成它的一般形式的？并说出它的二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数？5、若方程ax2+bx+c=0中a＝０、ｂ≠0，则它是你学过的哪一类方程？ 老师点评：１、强调一元二次方程定义中的三个条件：（１）是整式方程（２）含有一个未知数（３）未知数的最高次数是２，三个条件缺一不可。2、两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 3、 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 4、 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．对第４个问题中回答“项或系数”时一定要连同符号。5、让学生体会类比一元一次方程。 学生通过自学经历思考、讨论、分析的过程，最终形成概念。学会由“一元一次”向“一元二次”推进，体验类比的数学思想。
三、例题学习：例１（教材P26例题）将方程３ｘ（ｘ－１）＝５（ｘ＋２）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项。例２、若关于ｘ的方程（ｋ＋３）ｘ2－ｋｘ＋１＝０是一元二次方程，求ｋ的取值范围。 把一元二次方程化成一元二次方程的一般形式时，常要利用去括号、移项、合并同类项等步骤，同时注意项与项的系数。在例２的学习中，主要考查一元二次方程的定义，可让学生说说自己的体会。 通过例题学习夯实基础提升能力
四、课堂练习：1、判断下列方程，哪些是一元二次方程（ ）（1）x3－２ｘ2＋５＝０；（２）ｘ2＝１；（３）； （４）２（ｘ＋１）2＝３（ｘ＋１）；（５）ｘ2－２ｘ＝ｘ2＋１；（６）ax2＋bx＋c＝０２、（教材P27练习１、2） 提醒一下：判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对其整理成一般形式，然后根据定义判断。可让学生板演，完成后对照一下，教师可作简单点评。 通过练习加深学生对一元二次方程概念的理解，与把握。
五、布置作业 教材P28习题２２.１第１题（１）、（３）、（５）第５、６、７题
六、总结反思：（针对学习目标）可由学生自己完成，教师作适当补充。１、一元二次方程的定义要求的三个条件。要灵活运用定义判断方程是一元二次方程或由一元二次方程来确定一些字母的值及取值范围。２、正确理解一般形式ax2＋bx＋c＝０（a≠0）．３、如何将方程转化成一般形式。４、学会由“一元一次”向“一元二次”推进，体验类比的数学思想。
22.1一元二次方程（第2课时）
教学任务分析
教学目标 会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念。会估算实际问题中方程的解，并理解方程解的实际意义。
教学过程
问题与情景 师生活动 设计意图
一、温故知新：1、解方程：3x=2(x+5) 2试说出什么是方程的解？3、下列各数是方程解的是（ ）A、６ Ｂ、２ Ｃ、４ Ｄ、０ 此三题为口答题，复习一元一次方程的解，旨在对比学习一元二次方程的解，培养学生继续探究的兴趣。
二、自主学习：自学课本Ｐ27---P28思考下列问题：对于有关排球赛问题，我们得出的方程是x2-x=56,符合实际意义的答案是什么？为什么x= -7不符合题意？方程x2-x=56的解是什么？怎么得出的？什么叫一元二次方程的根？怎样尝试求一元二次方程的根？完成P28的“思考”，体会与尝试求解的异同？6、一元二次方程的根有几个呢？举例说明。 老师点评： 1、 一元二次方程的解叫做一元二次方程的根． 回过头来看：x2-x=56有两个根，一个是8，另一个是－7，但-7不满足题意；因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．2、正确理解方程解的意义，让学生知道尝试求解也是一种方法；对于第1个问题强调由实际问题列方程求解后，要考虑这些解是否符合实际意义。本节课内容较为简单，大胆放手给学生，让同学们在交流中仔细体会成功。 学生通过自学经历思考、讨论、分析的过程，最终形成一元二次方程解的概念。学会由“一元一次”向“一元二次”推进，体验类比的数学思想。
三、例题学习：例1、下面哪些数是方程x2-x-2=0的根？-3、-2、-1、0、1、2、3、例2认真观察下列方程的结构形式，试写出下列方程的根，并说出你的理由。思路与方法: 形式决定方法，要认真体会哟！ （1）、x2-16=0 (2)、(x+3)(x-2)=0(3)、(x-2)2=49 (4)、x2-2x+1=25.例3、若x=3是方程x2+kx=0的一个根，试求常数k的值？ 牢牢把握方程根的定义，对比一元一次方程的解的含义。在例2中要学会观察，结合平方根的意义。
四、课堂练习：1、教材P28练习１（答案写在教材上）2、教材P28练习2（答案写在教材上）3、如果2是方程ax2-12=0的一个根，请求出常数a的值？ 可让学生板演，完成后对照一下，教师可作简单点评。 通过练习加深学生对一元二次方程解概念的理解，与把握。
五、布置作业 1、教材P28习题22.1第3题第4题2、教材P29习题22.1第9题
六、总结反思：（针对学习目标）可由学生自己完成，教师作适当补充。理解方程解的意义及实际问题中方程解的实际意义。对简单的方程可以试解。类比一元一次方程解的思想。
22.2.降次——解一元二次方程
22.2.1配方法（第1课时）
教学任务分析
教学目标 会用开平方法解形如x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程。能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理，并对其进行取舍。
教学过程
问题与情景 师生活动 设计意图
一、知识回顾：1、求出或表示出下列各数的平方根。（1）25 （2）0.04 （3）0 （4）7 （5） （6）1212、求出下列各式中的x.（1）x2=49 (2) 9 x2 =16 (3) x2=6 (4) x2=－9 第一题为口答题，复习平方根，旨在引出第二题，培养学生探究的兴趣。对与第2题要结合平方根的意义，看能否求取x.的值
二、自主学习：自学课本Ｐ30---P31思考下列问题：1、教材问题1中由x2=25得x=±5依据是什么？2、问题1中所列的方程是一元二次方程吗？有几个根？它们都符合问题的实际意义吗？为什么？3、请你总结一下问题1解方程的过程。4、在“问题1”解方程的过程中，仔细体会（2x-1）2=5与x2=25相同点是什么？结合x2=25的解法，尝试解（2x-1）2=5。5、举例说明，什么是一元二次方程的“降次”？6、观察方程x2+6x+9=2，请你把它化为与方程（2x-1）2=5相同的形式为 ；进行降次（开平方）得 ；方程的两根x1= x2= 。7、以上方程在形式和解法上有什么类似的地方，可归纳为怎样的步骤？ 老师点评：同学们在交流中体会利用平方根的意义来解一元二次方程的方法。在自学的基础上，教师要重点对问题4、及问题7点拨，帮助学生更好的理解、学习，让学生真正明白“降次”思想。形如x2=a(a≥0)得x=即直接开平方法。师生共同交流教材归纳中x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)为什么p≥0。由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=± HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ，达到降次转化之目的． 学生通过自学经历思考、讨论、分析的过程，最终形成把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．
三、例题学习：例：解下列方程（1）(1+x)2-2=0 (2)(2x+3)2+3=0（3）4x2-4x+1=0 (4)9(x-1)2-4=0 教师最好书写一个完整的解题过程，给学生以示范作用。在直接开平方时注意符号，这是易错之处。 牢牢把握通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．
四、课堂练习：1、（教材Ｐ31练习）解下列方程：（1）2x2-8=0 (2)9x2-5=3(3)(x+6)2-9=0 (4)3(x-1)2-6=0 (5) x2-4x+4=5 (6)9x2+6x+1=4 (让学生分组板演，教师点评) 通过练习加深学生对直接开平方法解一元二次方程的方法。
五、布置作业 1、教材P42习题22.2第1题
六、总结反思：（针对学习目标）可由学生自己完成，教师作适当补充。用直接开平方解一元二次方程。理解“降次”思想。理解x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)为什么p≥0。对照目标，自查完成情况。
22.2.降次——解一元二次方程
22.2.1配方法（第2课时）
教学任务分析
教学目标 能说出用配方法解一元二次方程的基本步骤；知道“配方法”是一种常用的数学方法。会用配方法解数字系数的一元二次方程。
教学过程
问题与情景 师生活动 设计意图
一、温故知新：填上适当的数，使下列各式成立，并总结其中的规律。（1）x2+ 6x+ =(x+3)2 (2) x2+8x+ =(x+ )2 （3）x2-12x+ =(x- )2 (4) x2-+ =(x- )2(5)a2+2ab+ =(a+ )2 (6)a2-2ab+ =(a- )22、用直接开平方法解方程：x2+6x+9=2 第一题为口答题，复习完全平方公式，旨在引出配方法，培养学生探究的兴趣。
二、自主学习：自学课本Ｐ31---P32思考下列问题：仔细观察教材问题2，所列出的方程x2+6x-16=0利用直接开平方法能解吗？怎样解方程x2+6x-16=0？看教材框图，能理解框图中的每一步吗？（同学之间可以交流、师生间也可交流。）讨论：在框图中第二步为什么方程两边加9？加其它数行吗？什么叫配方法？配方法的目的是什么？配方的关键是什么？ 交流与点拨：重点在第2个问题，可以互相交流框图中的每一步，实际上也是第3个问题的讨论，教师这时对框图中重点步骤作讲解，特别是两边加9是配方的关键，使之配成完全平方式。利用ａ2±2ab+b2=(a±b)2。注意9=（）2，而6是方程一次项系数。所以得出配方是方程两边加上一次项系数一半的平方，从而配成完全平方式。 学生通过自学经历思考、讨论、分析的过程，最终形成把一个一元二次方程配成完全平方式形式来解方程的思想
三、例题学习：例（教材P33例1）解下列方程：(1)x2-8x+1=0 (2)2x2+1=-3x (3) 3x2-6x+4=0 教师要选择例题书写解题过程，通过例题的学习让学生仔细体会用配方法解方程的一般步骤。 交流与点拨：用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程化成一般形式并把二次项系数化成1；（方程两边都除以二次项系数）（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项。（3）配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方。（4）原方程变为(x+k)2=a的形式。（5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求取方程的解。 牢牢把握通过配方将原方程变为(x+k)2=a的形式方法。
四、课堂练习：1、教材Ｐ34练习1（做在课本上，学生口答）2、教材Ｐ34练习2 对于第二题根据时间可以分两组完成，学生板演，教师点评。 通过练习加深学生用配方法解一元二次方程的方法。
五、布置作业 1、教材P42习题22.2第3题
六、总结反思：（针对学习目标）可由学生自己完成，教师作适当补充。1、理解配方法解方程的含义。2、要熟练配方法的技巧，来解一元二次方程，3、掌握配方法解一元二次方程的一般步骤，并注意每一步的易错点。4、配方法解一元二次方程的解题思想：“降次”由二次降为一次。
22.2.降次——解一元二次方程
22.2.2公式法
教学任务分析
教学目标 1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练。2、会用公式法解简单系数的一元二次方程。3、会利用b2-4ac来判断一元二次方程根的情况。
教学过程
问题与情景 师生活动 设计意图
一、温故知新：1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？（口答）2、用配方法解下列方程：（1）x2-6x+5=0 （2）2x2-7x+3=0 （学生扳演，教师点评） 复习配方法解一元二次方程的步骤，
二、自主学习：一）自学课本Ｐ34---P35思考下列问题：结合配方法的几个步骤，看看教材中是怎样推导出求根公式的？配方时，方程两边同时加的是什么？教材中方程能不能直接开平方求解吗？为什么？什么叫公式法解一元二次方程？求根公式是什么？二)自学课本Ｐ36归纳：讨论：思考：b2-4ac与一元二次方程的根有什么联系？（学生能自己总结出来最好，教师要把“归纳”作简单板书） 交流与点拨：公式的推导过程既是重点又是难点，也可以由师生共同完成，在推导时，注意学生对细节的处理，教师要及时点拨；还要强调不要死记公式。关键感受推导过程。在处理问题3时，要结合前边学过的平方的意义，何时才能开方。一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 就得到方程的根．（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根 学生通过自学经历思考、讨论、分析的过程，最终推导出求根公式，形成把一个一元二次方程方程化为一般形式ax2+bx+c=0，再求解的方法。
三、例题学习：例1（教材P36例2）解下列方程：例2、不解方程，判别下列方程根的情况。（1）3x2+x-1=0 (2)x2+4=4x (3)2x2+6=3x 在例题的学习中，教师对典型例题要书写解题过程，作示范作用。并引导学生观察公式法解一元二次方程的步骤，师生合作完成。 交流与点拨：用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）先把方程化成一般形式，确定a、b、c的值。（2）求b2-4ac的值。（3）判断b2-4ac的符号，当b2-4ac≥0时，代入求根公式，求出x1、x2；当b2-4ac＜0时，原方程无实数根。2、由例题你发现一元二次方程根的情况有哪几种？3、对照教材体会解题过程。 牢牢把握用公式法解一元二次方程的一般步骤。
四、课堂练习：1教材P42练习1 学生板演，教师点评。 通过练习加深学生用公式法解一元二次方程的方法。
五、布置作业 1、教材P42习题22.2第4、5题
六、总结反思：（针对学习目标）可由学生自己完成，教师作适当补充。经历求根公式推导过程。会用公式法解一元二次方程。会用b2-4ac判断一元二次方程根的情况。①当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时方程没有实数根；
22.2.降次——解一元二次方程
22.2.3因式分解法
教学任务分析
教学目标 1了解用因式分解法解方程的根据是：“如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因式中一个等于0，它们的积就等于0.”2、会用因式分解法解某些一元二次方程。
教学过程
问题与情景 师生活动 设计意图
一、温故知新：1、什么叫因式分解？因式分解的方法都是有哪几种？（口答）2、在实数范围内因式分解。（1）4x2-12x (2) 4x2-9 (3) x2-7 (4) (2x-1)2-(x-3)23、判断正误。（1）若ab=0； 则 a=0或b=0 ( )（2）若a=0或b=0； 则ab=0 ( )（3）若(x+2)(x-5)=0； 则x-2=0或x-5=0 ( )（4）若x-2=0或x-5=0； 则(x+2)(x-5)=0 ( )（学生口答，教师点评） 复习因式分解及其基本方法
二、自主学习：自学课本Ｐ38---P39思考下列问题：教材问题所列的方程是怎样求解的？运用了什么方法？如何利用由ab=0得 a=0或b=0 使二次方程降为一次的？思考：若是否存在ab=1得a=1或b=1？说明理由。什么叫因式分解法解一元二次方程？ 交流与点拨：师生可互相讨论每一个问题，教师重在点拨第2、3个问题；第2个问题是因式分解法解一元二次方程的重要思想。（降次）第3个问题说明用因式分解法解一元二次方程时，右边必须为0，才能用因式分解法。 学生通过自学经历思考、讨论、分析的过程，理解因式分解法解一元二次方程。
三、例题学习：例(教材P39例3)解下列方程：（用因式分解法）（1） (2) (3) (用配方法) （4）（用公式法） 交流与点拨：教师要示范例题，可以让学生尝试配方法和公式法作比较。总结因式分解法解一元二次方程的步骤：①将一元二次方程化成一般形式，即方程右边为0。②将方程左边式子分解因式，由一元二次方程转化成两个一元一次方程。③对两个一元一次方程分别求解。） 牢牢把握用因式分解法解一元二次方程的一般步骤。
四、课堂练习：1教材P40练习1、2 2、、自学课本Ｐ39归纳部分，请你总结解一元二次方程的各种方法。 学生板演，教师点评。总结解一元二次方程的各种方法即直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化成一次方程，即降次。 通过练习加深学生用因式分解法解一元二次方程的方法。
五、布置作业 1、教材P43习题22.2第6题
六、总结反思：（针对学习目标）可由学生自己完成，教师作适当补充。1、用因式分解法解方程的根据由ab=0得 a=0或b=0，即“二次降为一次”。2、正确的因式分解是解题的关键。3、比较配方法、公式法和因式分解法。配方法和公式法适用于所有一元二次方程；而因式分解法只符合特殊的一元二次方程，但是因式分解法较前两种方法简单。在解一元二次方程时，往往首先考虑因式分解法。
22.2.降次——解一元二次方程
22.2.4一元二次方程的根与系数的关系
教学任务分析
教学目标 （1）掌握一元二次方程根与系数的关系。（2）能运用根与系数的关系求方程的两根之和与两根之积。（3）学生经历观察→发现→猜想→证明的思维过程，培养学生的分析能力和解决问 题的能力。
教学过程
问题与情景 师生活动 设计意图
一、温故知新：分别用公式法、因式分解法解方程： 复习因式分解及公式法解方程.
二、自主学习：1、探究下表中的奥秘，并完成填空。一元二次方程 两个根二次三项式因式分解2、将你发现的结论写下来：一元二次方程的两根分别是和，那么将因式分解的结果为 。3、运用你发现的规律填空：（1）已知方程x的根是x和x，则= ；= （2）已知方程x+3x－5=0的根是x和x，则= ；= 4、猜想：如果方程的根是x和x，则= ；= 5、同学们，你们的猜想对不对呢，请同学们应用求根公式分组来证明你们的猜想，好吗 （合作探讨）同学们展示自己的证明。7．（分组合作讨论）如果方程的根是x和x，那么 = ；=
三、例题学习：1、例(教材P41例4)2、已知方程的一个根是3，求方程的另一个根及c的值。知方程的根是x和x，求下列式子的值：（1） + （2） 交流与点拨：教师要示范例题，可以让学生尝试应用根与系数的关系解题。 牢牢把握一元二次方程根与系数的关系
四、课堂练习：1教材P42练习 学生板演，教师点评。 通过练习加深学生对一元二次方程根与系数的关系的理解。
五、布置作业 1、教材P43习题22.2第7题
六、总结反思：（针对学习目标）可由学生自己完成，教师作适当补充。
22.3实际问题与一元二次方程（第1课时）
教学任务分析
教学目标 会根据具体问题（按一定传播速度传播问题和平均增长率或降低率问题）中的数量关系列一元二次方程并求解。能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理。进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键。
教学过程
问题与情景 师生活动 设计意图
一、温故知新：1、解一元二次方程都是有哪些方法？2、列一元一次方程解应用题都是有哪些步骤？①审题；②设未知数；③找相等关系；④列方程；⑤解方程；⑥答（学生口答，教师点评） 复习解一元二次方程的基本方法
二、自主学习：例1： （教材P46探究1）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，毎轮传染中平均一个人传染了几个人？学生可在交流中解决问题，教师深入小组讨论，对疑惑较多的问题要点拨；前两个问是解题的关键，可作适当点拨。最后思考题，可让学生试试独立完成。要教给学生如何审题，分析题。例2：（教材P46探究2）两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？重点点拨问题2，根据情况教师可作必要讲解，问题4可让学生独立完成，来检查对此探究的掌握程度。 交流与点拨：学生自学课本Ｐ45探究1思考下列问题：（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了 人；第一轮传染后，共有 人患了流感。（2）在第二轮传染中，传染源是 人，这些人中每一个人又传染了 人，那么第二轮传染了 人，第二轮传染后，共有 人患流感。（3）根据等量关系列方程并求解。为什么要舍去一解？（4）通过对这个问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗？（5）完成教材思考：如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有多少人患流感？自学课本Ｐ46探究2思考下列问题：（1）正确理解下降额和下降率的关系？（2）若设甲种药品平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了 元，此时成本为 元；两年后，甲种药品下降了 元，此时成本为 元。（3）对甲种药品而言根据等量关系列方程并求解、选择根？（4）同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率,并比较哪种药品成本的平均下降率较大。（5）思考经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？ 学生通过自学经历思考、讨论、分析的过程，理解列一元二次方程解应用题的基本思路。此探究是平均增长率（下降率）问题，是中考考点，要引起同学们注意。
三、课堂练习：教材Ｐ48习题22.3第4题 2、、自学课本Ｐ39归纳部分，请你总结解一元二次方程的各种方法。 学生板演，教师点评。列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答。最后要检验根是否符合实际意义 通过练习加深学生列一元二次方程解应用题的基本思路。
五、布置作业 教材Ｐ53习题22.3第7题
六、总结反思：（针对学习目标）可由学生自己完成，教师作适当补充。列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答。最后要检验根是否符合实际意义。探究2是平均增长率或降低率问题。若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基数是a，增长（或降低）n次后的量是b,则有：（常见n=2）
22.3实际问题与一元二次方程（第2课时）
教学任务分析
教学目标 继续探索实际问题中的数量关系，会列一元二次方程1、2、列一元二次方程解应用题都是有哪些步骤？①审题；②设未知数；③找相等关系；④列方程；⑤解方程；⑥答。能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理。通过一题多解体会列方程的的实质，培养灵活处理问题的能力。
教学过程
问题与情景 师生活动 设计意图
一、温故知新：1、列一元二次方程解应用题都是有哪些步骤？①审题；②设未知数；③找相等关系；④列方程；⑤解方程；⑥答（学生口答，教师点评） 复习列一元二次方程解应用题的基本步骤？
二、自主学习：例：（教材Ｐ50探究3）要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？ 学生自学课本Ｐ50探究3思考下列问题：1、你能通过探究3，读取到哪些信息？知道哪些数量关系？2、理解探究3中为什么上下边衬与左右边衬的宽度之比也是9︰7？3、若设封面上、下边衬的宽均为9xcm，左右边衬的宽均为7xcm,则中央矩形的长为 cm,宽为 cm.4、根据怎样的等量关系列方程 。5、解方程后的根多符合实际意义吗？6、试一试，教材Ｐ51“思考” 如果换一种设未知数的方法，是否可以更简便地解决上面的问题？（可作为第二种解法，试着让学生自己完成。）在解决这个探究时，可以在黑板上作图形，借助图形帮助同学们理解。在问题2中，是要现搞清封面的长宽之比为27︰21=9︰7由中央矩形长、宽与封面长、宽比例相同也是9︰7；由此可以断定上下边衬与左右边衬宽度之比也是9︰7。掌握这种由比例来设未知数的方法，当然，要会通过图形找一些数量关系。对于问题6，可以让学生自由发挥，尝试别的方法。可以点拨以下从新设未知数。 学生通过自学经历思考、讨论、分析的过程，理解列一元二次方程解应用题的基本思路。
三、课堂练习：1、教材Ｐ49习题22.3第19题2、用20cm长的铁丝能否折成面积为30cm2的矩形，若能够，求取它的长与宽；若不能，请说明理由。学生板演，教师点评。 通过练习加深学生列一元二次方程解应用题的基本思路。
五、布置作业 教材Ｐ49习题22.3第8题
六、总结反思：（针对学习目标）可由学生自己完成，教师作适当补充。1、在探究3的学习中，注重图形的利用，有时也可利用图形的变换---平移，使一些题目易于解决。2、在分析题意时，注意间接设未知数法，有时比直接设未知数好理解。3、还要强调，求出的解是否符合实际意义。
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教材内容
1．本单元教学的主要内容．
一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程的应用题．
2．本单元在教材中的地位与作用．
一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程组》、《分式方程》等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，应该说，一元二次方程是本书的重点内容．
教学目标
1．知识与技能
了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．
2．过程与方法
（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．
（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．
（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．
（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．
（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．
（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，并用该模型解决实际问题．
3．情感、态度与价值观
经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．
教学重点
1．一元二次方程及其它有关的概念．
2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．
3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．
教学难点
1．一元二次方程配方法解题．
2．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．
课时划分
本单元教学时间约需13课时，具体分配如下：
22．1 一元二次方程 2课时
22．2 降次──解一元二次方程 4课时（直接开方法1、配方法1、公式法1、因式分解法1）
习题课 1课时
22．3 实际问题与一元二次方程 3课时
小结 1课时
22.1一元二次方程（第1课时）
教学任务分析
教学目标 理解什么是一元二次方程及一元二次方程的一般形式。能将一元二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。会依据简单的实际问题列一元二次方程并将其转化为一般形式。
教学过程
问题与情景 师生活动 设计意图
一、温故知新：1、观察方程：2x=1；3x+2=x-4;2(x+2)-3(x-1)=0它们都含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的整式方程叫做一元一次方程。 ２下列方程哪些是一元一次方程（ ）５ｘ＋３＝０，（２）２ｘ＋ｙ＝３，（３）， （４） ； （５）ｘ2－２ｘ＋１＝０ 此两题为口答题，复习一元一次方程的定义，旨在对比学习一元二次方程，对第２题（５）可设疑，培养学生继续探究的兴趣。
二、自主学习：自学课本Ｐ324---P26思考下列问题：在教材中两个问题得出的两个方程有什么共同点？未知数的个数和最高次数各是多少？什么叫一元二次方程？类比一元一次方程的概念，一元二次方程概念中的关键词是什么？举例说明。一元二次方程的一般形式是什么？为什么规定a≠0？对b、ｃ有什么要求吗？对一个一元二次方程是怎样转化成它的一般形式的？并说出它的二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数？5、若方程ax2+bx+c=0中a＝０、ｂ≠0，则它是你学过的哪一类方程？ 老师点评：１、强调一元二次方程定义中的三个条件：（１）是整式方程（２）含有一个未知数（３）未知数的最高次数是２，三个条件缺一不可。2、两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 3、 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 4、 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．对第４个问题中回答“项或系数”时一定要连同符号。5、让学生体会类比一元一次方程。 学生通过自学经历思考、讨论、分析的过程，最终形成概念。学会由“一元一次”向“一元二次”推进，体验类比的数学思想。
三、例题学习：例１（教材P26例题）将方程３ｘ（ｘ－１）＝５（ｘ＋２）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项。例２、若关于ｘ的方程（ｋ＋３）ｘ2－ｋｘ＋１＝０是一元二次方程，求ｋ的取值范围。 把一元二次方程化成一元二次方程的一般形式时，常要利用去括号、移项、合并同类项等步骤，同时注意项与项的系数。在例２的学习中，主要考查一元二次方程的定义，可让学生说说自己的体会。 通过例题学习夯实基础提升能力
四、课堂练习：1、判断下列方程，哪些是一元二次方程（ ）（1）x3－２ｘ2＋５＝０；（２）ｘ2＝１；（３）； （４）２（ｘ＋１）2＝３（ｘ＋１）；（５）ｘ2－２ｘ＝ｘ2＋１；（６）ax2＋bx＋c＝０２、（教材P27练习１、2） 提醒一下：判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对其整理成一般形式，然后根据定义判断。可让学生板演，完成后对照一下，教师可作简单点评。 通过练习加深学生对一元二次方程概念的理解，与把握。
五、布置作业 教材P28习题２２.１第１题（１）、（３）、（５）第５、６、７题
六、总结反思：（针对学习目标）可由学生自己完成，教师作适当补充。１、一元二次方程的定义要求的三个条件。要灵活运用定义判断方程是一元二次方程或由一元二次方程来确定一些字母的值及取值范围。２、正确理解一般形式ax2＋bx＋c＝０（a≠0）．３、如何将方程转化成一般形式。４、学会由“一元一次”向“一元二次”推进，体验类比的数学思想。
22.1一元二次方程（第2课时）
教学任务分析
教学目标 会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念。会估算实际问题中方程的解，并理解方程解的实际意义。
教学过程
问题与情景 师生活动 设计意图
一、温故知新：1、解方程：3x=2(x+5) 2试说出什么是方程的解？3、下列各数是方程解的是（ ）A、６ Ｂ、２ Ｃ、４ Ｄ、０ 此三题为口答题，复习一元一次方程的解，旨在对比学习一元二次方程的解，培养学生继续探究的兴趣。
二、自主学习：自学课本Ｐ27---P28思考下列问题：对于有关排球赛问题，我们得出的方程是x2-x=56,符合实际意义的答案是什么？为什么x= -7不符合题意？方程x2-x=56的解是什么？怎么得出的？什么叫一元二次方程的根？怎样尝试求一元二次方程的根？完成P28的“思考”，体会与尝试求解的异同？6、一元二次方程的根有几个呢？举例说明。 老师点评： 1、 一元二次方程的解叫做一元二次方程的根． 回过头来看：x2-x=56有两个根，一个是8，另一个是－7，但-7不满足题意；因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．2、正确理解方程解的意义，让学生知道尝试求解也是一种方法；对于第1个问题强调由实际问题列方程求解后，要考虑这些解是否符合实际意义。本节课内容较为简单，大胆放手给学生，让同学们在交流中仔细体会成功。 学生通过自学经历思考、讨论、分析的过程，最终形成一元二次方程解的概念。学会由“一元一次”向“一元二次”推进，体验类比的数学思想。
三、例题学习：例1、下面哪些数是方程x2-x-2=0的根？-3、-2、-1、0、1、2、3、例2认真观察下列方程的结构形式，试写出下列方程的根，并说出你的理由。思路与方法: 形式决定方法，要认真体会哟！ （1）、x2-16=0 (2)、(x+3)(x-2)=0(3)、(x-2)2=49 (4)、x2-2x+1=25.例3、若x=3是方程x2+kx=0的一个根，试求常数k的值？ 牢牢把握方程根的定义，对比一元一次方程的解的含义。在例2中要学会观察，结合平方根的意义。
四、课堂练习：1、教材P28练习１（答案写在教材上）2、教材P28练习2（答案写在教材上）3、如果2是方程ax2-12=0的一个根，请求出常数a的值？ 可让学生板演，完成后对照一下，教师可作简单点评。 通过练习加深学生对一元二次方程解概念的理解，与把握。
五、布置作业 1、教材P28习题22.1第3题第4题2、教材P29习题22.1第9题
六、总结反思：（针对学习目标）可由学生自己完成，教师作适当补充。理解方程解的意义及实际问题中方程解的实际意义。对简单的方程可以试解。类比一元一次方程解的思想。
22.2.降次——解一元二次方程
22.2.1配方法（第1课时）
教学任务分析
教学目标 会用开平方法解形如x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程。能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理，并对其进行取舍。
教学过程
问题与情景 师生活动 设计意图
一、知识回顾：1、求出或表示出下列各数的平方根。（1）25 （2）0.04 （3）0 （4）7 （5） （6）1212、求出下列各式中的x.（1）x2=49 (2) 9 x2 =16 (3) x2=6 (4) x2=－9 第一题为口答题，复习平方根，旨在引出第二题，培养学生探究的兴趣。对与第2题要结合平方根的意义，看能否求取x.的值
二、自主学习：自学课本Ｐ30---P31思考下列问题：1、教材问题1中由x2=25得x=±5依据是什么？2、问题1中所列的方程是一元二次方程吗？有几个根？它们都符合问题的实际意义吗？为什么？3、请你总结一下问题1解方程的过程。4、在“问题1”解方程的过程中，仔细体会（2x-1）2=5与x2=25相同点是什么？结合x2=25的解法，尝试解（2x-1）2=5。5、举例说明，什么是一元二次方程的“降次”？6、观察方程x2+6x+9=2，请你把它化为与方程（2x-1）2=5相同的形式为 ；进行降次（开平方）得 ；方程的两根x1= x2= 。7、以上方程在形式和解法上有什么类似的地方，可归纳为怎样的步骤？ 老师点评：同学们在交流中体会利用平方根的意义来解一元二次方程的方法。在自学的基础上，教师要重点对问题4、及问题7点拨，帮助学生更好的理解、学习，让学生真正明白“降次”思想。形如x2=a(a≥0)得x=即直接开平方法。师生共同交流教材归纳中x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)为什么p≥0。由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=± HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ，达到降次转化之目的． 学生通过自学经历思考、讨论、分析的过程，最终形成把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．
三、例题学习：例：解下列方程（1）(1+x)2-2=0 (2)(2x+3)2+3=0（3）4x2-4x+1=0 (4)9(x-1)2-4=0 教师最好书写一个完整的解题过程，给学生以示范作用。在直接开平方时注意符号，这是易错之处。 牢牢把握通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．
四、课堂练习：1、（教材Ｐ31练习）解下列方程：（1）2x2-8=0 (2)9x2-5=3(3)(x+6)2-9=0 (4)3(x-1)2-6=0 (5) x2-4x+4=5 (6)9x2+6x+1=4 (让学生分组板演，教师点评) 通过练习加深学生对直接开平方法解一元二次方程的方法。
五、布置作业 1、教材P42习题22.2第1题
六、总结反思：（针对学习目标）可由学生自己完成，教师作适当补充。用直接开平方解一元二次方程。理解“降次”思想。理解x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)为什么p≥0。对照目标，自查完成情况。
22.2.降次——解一元二次方程
22.2.1配方法（第2课时）
教学任务分析
教学目标 能说出用配方法解一元二次方程的基本步骤；知道“配方法”是一种常用的数学方法。会用配方法解数字系数的一元二次方程。
教学过程
问题与情景 师生活动 设计意图
一、温故知新：填上适当的数，使下列各式成立，并总结其中的规律。（1）x2+ 6x+ =(x+3)2 (2) x2+8x+ =(x+ )2 （3）x2-12x+ =(x- )2 (4) x2-+ =(x- )2(5)a2+2ab+ =(a+ )2 (6)a2-2ab+ =(a- )22、用直接开平方法解方程：x2+6x+9=2 第一题为口答题，复习完全平方公式，旨在引出配方法，培养学生探究的兴趣。
二、自主学习：自学课本Ｐ31---P32思考下列问题：仔细观察教材问题2，所列出的方程x2+6x-16=0利用直接开平方法能解吗？怎样解方程x2+6x-16=0？看教材框图，能理解框图中的每一步吗？（同学之间可以交流、师生间也可交流。）讨论：在框图中第二步为什么方程两边加9？加其它数行吗？什么叫配方法？配方法的目的是什么？配方的关键是什么？ 交流与点拨：重点在第2个问题，可以互相交流框图中的每一步，实际上也是第3个问题的讨论，教师这时对框图中重点步骤作讲解，特别是两边加9是配方的关键，使之配成完全平方式。利用ａ2±2ab+b2=(a±b)2。注意9=（）2，而6是方程一次项系数。所以得出配方是方程两边加上一次项系数一半的平方，从而配成完全平方式。 学生通过自学经历思考、讨论、分析的过程，最终形成把一个一元二次方程配成完全平方式形式来解方程的思想
三、例题学习：例（教材P33例1）解下列方程：(1)x2-8x+1=0 (2)2x2+1=-3x (3) 3x2-6x+4=0 教师要选择例题书写解题过程，通过例题的学习让学生仔细体会用配方法解方程的一般步骤。 交流与点拨：用配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程化成一般形式并把二次项系数化成1；（方程两边都除以二次项系数）（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项。（3）配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方。（4）原方程变为(x+k)2=a的形式。（5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求取方程的解。 牢牢把握通过配方将原方程变为(x+k)2=a的形式方法。
四、课堂练习：1、教材Ｐ34练习1（做在课本上，学生口答）2、教材Ｐ34练习2 对于第二题根据时间可以分两组完成，学生板演，教师点评。 通过练习加深学生用配方法解一元二次方程的方法。
五、布置作业 1、教材P42习题22.2第3题
六、总结反思：（针对学习目标）可由学生自己完成，教师作适当补充。1、理解配方法解方程的含义。2、要熟练配方法的技巧，来解一元二次方程，3、掌握配方法解一元二次方程的一般步骤，并注意每一步的易错点。4、配方法解一元二次方程的解题思想：“降次”由二次降为一次。
22.2.降次——解一元二次方程
22.2.2公式法
教学任务分析
教学目标 1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练。2、会用公式法解简单系数的一元二次方程。3、会利用b2-4ac来判断一元二次方程根的情况。
教学过程
问题与情景 师生活动 设计意图
一、温故知新：1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？（口答）2、用配方法解下列方程：（1）x2-6x+5=0 （2）2x2-7x+3=0 （学生扳演，教师点评） 复习配方法解一元二次方程的步骤，
二、自主学习：一）自学课本Ｐ34---P35思考下列问题：结合配方法的几个步骤，看看教材中是怎样推导出求根公式的？配方时，方程两边同时加的是什么？教材中方程能不能直接开平方求解吗？为什么？什么叫公式法解一元二次方程？求根公式是什么？二)自学课本Ｐ36归纳：讨论：思考：b2-4ac与一元二次方程的根有什么联系？（学生能自己总结出来最好，教师要把“归纳”作简单板书） 交流与点拨：公式的推导过程既是重点又是难点，也可以由师生共同完成，在推导时，注意学生对细节的处理，教师要及时点拨；还要强调不要死记公式。关键感受推导过程。在处理问题3时，要结合前边学过的平方的意义，何时才能开方。一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 就得到方程的根．（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根 学生通过自学经历思考、讨论、分析的过程，最终推导出求根公式，形成把一个一元二次方程方程化为一般形式ax2+bx+c=0，再求解的方法。
三、例题学习：例1（教材P36例2）解下列方程：例2、不解方程，判别下列方程根的情况。（1）3x2+x-1=0 (2)x2+4=4x (3)2x2+6=3x 在例题的学习中，教师对典型例题要书写解题过程，作示范作用。并引导学生观察公式法解一元二次方程的步骤，师生合作完成。 交流与点拨：用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）先把方程化成一般形式，确定a、b、c的值。（2）求b2-4ac的值。（3）判断b2-4ac的符号，当b2-4ac≥0时，代入求根公式，求出x1、x2；当b2-4ac＜0时，原方程无实数根。2、由例题你发现一元二次方程根的情况有哪几种？3、对照教材体会解题过程。 牢牢把握用公式法解一元二次方程的一般步骤。
四、课堂练习：1教材P42练习1 学生板演，教师点评。 通过练习加深学生用公式法解一元二次方程的方法。
五、布置作业 1、教材P42习题22.2第4、5题
六、总结反思：（针对学习目标）可由学生自己完成，教师作适当补充。经历求根公式推导过程。会用公式法解一元二次方程。会用b2-4ac判断一元二次方程根的情况。①当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时方程没有实数根；
22.2.降次——解一元二次方程
22.2.3因式分解法
教学任务分析
教学目标 1了解用因式分解法解方程的根据是：“如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因式中一个等于0，它们的积就等于0.”2、会用因式分解法解某些一元二次方程。
教学过程
问题与情景 师生活动 设计意图
一、温故知新：1、什么叫因式分解？因式分解的方法都是有哪几种？（口答）2、在实数范围内因式分解。（1）4x2-12x (2) 4x2-9 (3) x2-7 (4) (2x-1)2-(x-3)23、判断正误。（1）若ab=0； 则 a=0或b=0 ( )（2）若a=0或b=0； 则ab=0 ( )（3）若(x+2)(x-5)=0； 则x-2=0或x-5=0 ( )（4）若x-2=0或x-5=0； 则(x+2)(x-5)=0 ( )（学生口答，教师点评） 复习因式分解及其基本方法
二、自主学习：自学课本Ｐ38---P39思考下列问题：教材问题所列的方程是怎样求解的？运用了什么方法？如何利用由ab=0得 a=0或b=0 使二次方程降为一次的？思考：若是否存在ab=1得a=1或b=1？说明理由。什么叫因式分解法解一元二次方程？ 交流与点拨：师生可互相讨论每一个问题，教师重在点拨第2、3个问题；第2个问题是因式分解法解一元二次方程的重要思想。（降次）第3个问题说明用因式分解法解一元二次方程时，右边必须为0，才能用因式分解法。 学生通过自学经历思考、讨论、分析的过程，理解因式分解法解一元二次方程。
三、例题学习：例(教材P39例3)解下列方程：（用因式分解法）（1） (2) (3) (用配方法) （4）（用公式法） 交流与点拨：教师要示范例题，可以让学生尝试配方法和公式法作比较。总结因式分解法解一元二次方程的步骤：①将一元二次方程化成一般形式，即方程右边为0。②将方程左边式子分解因式，由一元二次方程转化成两个一元一次方程。③对两个一元一次方程分别求解。） 牢牢把握用因式分解法解一元二次方程的一般步骤。
四、课堂练习：1教材P40练习1、2 2、、自学课本Ｐ39归纳部分，请你总结解一元二次方程的各种方法。 学生板演，教师点评。总结解一元二次方程的各种方法即直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化成一次方程，即降次。 通过练习加深学生用因式分解法解一元二次方程的方法。
五、布置作业 1、教材P43习题22.2第6题
六、总结反思：（针对学习目标）可由学生自己完成，教师作适当补充。1、用因式分解法解方程的根据由ab=0得 a=0或b=0，即“二次降为一次”。2、正确的因式分解是解题的关键。3、比较配方法、公式法和因式分解法。配方法和公式法适用于所有一元二次方程；而因式分解法只符合特殊的一元二次方程，但是因式分解法较前两种方法简单。在解一元二次方程时，往往首先考虑因式分解法。
22.2.降次——解一元二次方程
22.2.4一元二次方程的根与系数的关系
教学任务分析
教学目标 （1）掌握一元二次方程根与系数的关系。（2）能运用根与系数的关系求方程的两根之和与两根之积。（3）学生经历观察→发现→猜想→证明的思维过程，培养学生的分析能力和解决问 题的能力。
教学过程
问题与情景 师生活动 设计意图
一、温故知新：分别用公式法、因式分解法解方程： 复习因式分解及公式法解方程.
二、自主学习：1、探究下表中的奥秘，并完成填空。一元二次方程 两个根二次三项式因式分解2、将你发现的结论写下来：一元二次方程的两根分别是和，那么将因式分解的结果为 。3、运用你发现的规律填空：（1）已知方程x的根是x和x，则= ；= （2）已知方程x+3x－5=0的根是x和x，则= ；= 4、猜想：如果方程的根是x和x，则= ；= 5、同学们，你们的猜想对不对呢，请同学们应用求根公式分组来证明你们的猜想，好吗 （合作探讨）同学们展示自己的证明。7．（分组合作讨论）如果方程的根是x和x，那么 = ；=
三、例题学习：1、例(教材P41例4)2、已知方程的一个根是3，求方程的另一个根及c的值。知方程的根是x和x，求下列式子的值：（1） + （2） 交流与点拨：教师要示范例题，可以让学生尝试应用根与系数的关系解题。 牢牢把握一元二次方程根与系数的关系
四、课堂练习：1教材P42练习 学生板演，教师点评。 通过练习加深学生对一元二次方程根与系数的关系的理解。
五、布置作业 1、教材P43习题22.2第7题
六、总结反思：（针对学习目标）可由学生自己完成，教师作适当补充。
22.3实际问题与一元二次方程（第1课时）
教学任务分析
教学目标 会根据具体问题（按一定传播速度传播问题和平均增长率或降低率问题）中的数量关系列一元二次方程并求解。能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理。进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键。
教学过程
问题与情景 师生活动 设计意图
一、温故知新：1、解一元二次方程都是有哪些方法？2、列一元一次方程解应用题都是有哪些步骤？①审题；②设未知数；③找相等关系；④列方程；⑤解方程；⑥答（学生口答，教师点评） 复习解一元二次方程的基本方法
二、自主学习：例1： （教材P46探究1）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，毎轮传染中平均一个人传染了几个人？学生可在交流中解决问题，教师深入小组讨论，对疑惑较多的问题要点拨；前两个问是解题的关键，可作适当点拨。最后思考题，可让学生试试独立完成。要教给学生如何审题，分析题。例2：（教材P46探究2）两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？重点点拨问题2，根据情况教师可作必要讲解，问题4可让学生独立完成，来检查对此探究的掌握程度。 交流与点拨：学生自学课本Ｐ45探究1思考下列问题：（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了 人；第一轮传染后，共有 人患了流感。（2）在第二轮传染中，传染源是 人，这些人中每一个人又传染了 人，那么第二轮传染了 人，第二轮传染后，共有 人患流感。（3）根据等量关系列方程并求解。为什么要舍去一解？（4）通过对这个问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗？（5）完成教材思考：如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有多少人患流感？自学课本Ｐ46探究2思考下列问题：（1）正确理解下降额和下降率的关系？（2）若设甲种药品平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了 元，此时成本为 元；两年后，甲种药品下降了 元，此时成本为 元。（3）对甲种药品而言根据等量关系列方程并求解、选择根？（4）同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率,并比较哪种药品成本的平均下降率较大。（5）思考经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？ 学生通过自学经历思考、讨论、分析的过程，理解列一元二次方程解应用题的基本思路。此探究是平均增长率（下降率）问题，是中考考点，要引起同学们注意。
三、课堂练习：教材Ｐ48习题22.3第4题 2、、自学课本Ｐ39归纳部分，请你总结解一元二次方程的各种方法。 学生板演，教师点评。列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答。最后要检验根是否符合实际意义 通过练习加深学生列一元二次方程解应用题的基本思路。
五、布置作业 教材Ｐ53习题22.3第7题
六、总结反思：（针对学习目标）可由学生自己完成，教师作适当补充。列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答。最后要检验根是否符合实际意义。探究2是平均增长率或降低率问题。若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基数是a，增长（或降低）n次后的量是b,则有：（常见n=2）
22.3实际问题与一元二次方程（第2课时）
教学任务分析
教学目标 继续探索实际问题中的数量关系，会列一元二次方程1、2、列一元二次方程解应用题都是有哪些步骤？①审题；②设未知数；③找相等关系；④列方程；⑤解方程；⑥答。能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理。通过一题多解体会列方程的的实质，培养灵活处理问题的能力。
教学过程
问题与情景 师生活动 设计意图
一、温故知新：1、列一元二次方程解应用题都是有哪些步骤？①审题；②设未知数；③找相等关系；④列方程；⑤解方程；⑥答（学生口答，教师点评） 复习列一元二次方程解应用题的基本步骤？
二、自主学习：例：（教材Ｐ50探究3）要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？ 学生自学课本Ｐ50探究3思考下列问题：1、你能通过探究3，读取到哪些信息？知道哪些数量关系？2、理解探究3中为什么上下边衬与左右边衬的宽度之比也是9︰7？3、若设封面上、下边衬的宽均为9xcm，左右边衬的宽均为7xcm,则中央矩形的长为 cm,宽为 cm.4、根据怎样的等量关系列方程 。5、解方程后的根多符合实际意义吗？6、试一试，教材Ｐ51“思考” 如果换一种设未知数的方法，是否可以更简便地解决上面的问题？（可作为第二种解法，试着让学生自己完成。）在解决这个探究时，可以在黑板上作图形，借助图形帮助同学们理解。在问题2中，是要现搞清封面的长宽之比为27︰21=9︰7由中央矩形长、宽与封面长、宽比例相同也是9︰7；由此可以断定上下边衬与左右边衬宽度之比也是9︰7。掌握这种由比例来设未知数的方法，当然，要会通过图形找一些数量关系。对于问题6，可以让学生自由发挥，尝试别的方法。可以点拨以下从新设未知数。 学生通过自学经历思考、讨论、分析的过程，理解列一元二次方程解应用题的基本思路。
三、课堂练习：1、教材Ｐ49习题22.3第19题2、用20cm长的铁丝能否折成面积为30cm2的矩形，若能够，求取它的长与宽；若不能，请说明理由。学生板演，教师点评。 通过练习加深学生列一元二次方程解应用题的基本思路。
五、布置作业 教材Ｐ49习题22.3第8题
六、总结反思：（针对学习目标）可由学生自己完成，教师作适当补充。1、在探究3的学习中，注重图形的利用，有时也可利用图形的变换---平移，使一些题目易于解决。2、在分析题意时，注意间接设未知数法，有时比直接设未知数好理解。3、还要强调，求出的解是否符合实际意义。
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