2023-2024学年江苏省淮安市金湖中学高一（下）段考数学试卷（含答案）

2023-2024学年江苏省淮安市金湖中学高一（下）段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.若，，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
3.已知，，且，，则( )
A. B. C. D.
4.平面向量与的夹角为，，，则( )
A. B. C. D.
5.如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则( )
A.
B.
C.
D.
6.已知，是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.已知，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.四边形为边长为的正方形，为边的中点，则( )
A. B.
C. D.
10.下列选项中其值等于的是( )
A. B.
C. D.
11.如图，中，，点在线段上，与交于点，，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D. ：：
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，是两个不共线的非零向量，若和共线，则实数的值为 ．
13.若，则实数的取值范围是______．
14.我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“@未来坐标系”，如图所示，分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“@未来坐标”，记，已知，分别为向量的“@未来坐标”，若向量的“@未来坐标”分别为，，则向量的夹角的余弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量．
向量夹角的余弦值；
若向量与垂直，求实数的值；
若向量，且与向量平行，求实数的值．
16.本小题分
已知向量，函数．
若，且，求的值；
求的单调递增区间；
若，求的值．
17.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点在单位圆上，，且
Ⅰ若，求的值；
Ⅱ若也是单位圆上的点，且过点、分别做轴的垂线，垂足为、，记的面积为，的面积为设，求函数的最大值．
18.本小题分
将一块圆心角为，半径为的扇形铁片裁成一块矩形，有两种裁法如图所示，让矩形一边在扇形的一条半径图，或让矩形一边与弦平行图，对于图和图，均记．
对于图，请写出矩形面积关于的函数解析式；
对于图，请写出矩形面积关于的函数解析式；提示：
试求出的最大值和的最大值，并比较哪种裁法得到的矩形的面积更大？
19.本小题分
以为钝角的中，．
若，且，求；
若，当角最大时，求的面积．
参考答案
1.
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14.
15.解：由已知可得，，，，
所以；
由已知可得，，，
又向量与垂直，所以，
即，解得；
由已知可得，，
又与向量平行，，
所以，
解得．
16.解：因为，且；
所以；
因为，所以，
所以，所以，
所以，所以；
因为
，
令，，
解得：，，
所以函数的单调增区间为，．
因为，
所以；
又因为，
所以；
因为、，
所以，；
所以．
17.解：Ⅰ由三角函数的定义有，
，，，
．
Ⅱ由，得．
由定义得，，
又由，得，
于是，．
再根据，可得当，即时，函数取得最大值．
18.解：对于图，在中，，，
矩形的面积为；
对于图，在中，由正弦定理得，
由对称性可知，的平分线所在直线为对称轴，则，，
所以矩形的面积为；
，
当时，取最大值，最大值为；，
当时，取最大值，最大值为，
所以，选择图裁法得到的矩形的面积更大．
19.解：因为，所以，
所以，
所以，
即，解得，或舍去，
在中用余弦定理，，
即，所以，
所以，在中，，
所以；
在中，，，所以，
即，其几何意义为在方向上的投影始终为，
所以过作，垂足为，则，
如图建立平面直角坐标系，
设，，，，，
，因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取得等号，当时，取得最大值，
此时边上的高为，所以的面积为．
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