2023-2024学年江苏省连云港市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省连云港市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.定义：集合且若，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
3.由，，，，，，这个数字，可以组成无重复数字的四位数的个数为( )
A. B. C. D.
4.已知正方体的棱长为，，分别是和的中点则两条平行线和间的距离为( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则与的夹角是( )
A. B. C. D.
6.的展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
7.设甲袋中有个白球，乙袋中有个红球和个白球现从两个袋中各摸一个球进行交换，则这样交换次后，红球还在乙袋中的概率为( )
A. B. C. D.
8.一个密闭的长方体盒子高为，底面是边长为的正方形，盒内有一个半径为的小球，若将盒子任意翻动，则小球不能到达区域的体积是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直
B. 如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直
C. 如果一个平面内有三点到另一平面距离相等，那么这两个平面平行
D. 如果平面外的一条直线上有两点到这个平面距离相等，那么这条直线与该平面平行
10.已知由样本数据点集合，，，，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，去除这两点后重新求得的回归直线的斜率为，则( )
A. 变量与具有正相关关系
B. 去除后的回归方程为
C. 重新求得的回归直线必过点
D. 去除后相应于样本点的残差为
11.已知一个几何体是由正四棱锥和正四面体组合而成，且，则( )
A. 该几何体的体积是 B. 二面角的余弦值是
C. 该几何体是七面体 D. 平面平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某校高二年级名学生在月日参加了江苏省数学联赛预赛，已知预赛成绩服从正态分布试卷满分为分统计结果显示，预赛成绩在分到分之间的人数约为总人数的，则此次预赛成绩不低于分的学生人数约为______．
13.在只不同的试验产品中有只不合格品、只合格品现每次取只测试，直到只不合格品全部测出为止最后只不合格品正好在第次测试时被发现的不同情形有______种
14.用油漆涂一个正四棱锥形铁皮做的冷水塔塔顶铁皮的正反面都要涂漆，其高是，底面的边长是，已知每平方米需用油漆，共需用油漆______精确到
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
当时，求函数的最大值；
讨论函数的单调性．
16.本小题分
已知数列，满足：是等差数列，，，．
求数列与的通项公式；
设，求数列的前项和．
17.本小题分
某药品科技研发团队针对甲流病毒的特点，研发出预防甲流药品和治疗甲流药品，根据研发前期对动物试验所获得的相关有效数据作出统计，随机选取其中的个样本数据，得到如下列联表：
预防药品 感染 未感染
未使用
使用
根据表格中的数据，能否有的把握认为预防药品对预防甲流有效果？
用频率估计概率，从已经感染的动物中，采用随机抽样的方式选出只，用治疗药品对该动物进行治疗已知治疗药品的治愈数据如下：对未使用过预防药品的动物的治愈率为，对使用过预防药品的动物的治愈率为，求该动物被治愈的概率．
参考公式：，其中．
参考数据：
18.本小题分
已知椭圆：的离心率为，且过点．
求椭圆的标准方程；
若过点的直线交椭圆于，两点，且其中为坐标原点，求的面积．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形是梯形，，，，平面平面，，．
证明：；
若点是的中点，点是线段上的点，点到平面的距离是求：
直线与平面所成角的正弦值；
三棱锥外接球的表面积．
答案解析
1.【答案】
【解析】解：因为且，
若，，
则．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：由得．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，分步进行分析：
在，，，，，中选一个，作为四位数的千位数字，有种选法，
将剩下个数字中，选出个，依次作为四位数的百、十和个位数字，有种选法，
则可以得到个四位数．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：由勾股定理知，，
因为，
所以四边形是等腰梯形，
分别取，的中点，，连接，则，，
所以，
即两条平行线和间的距离为．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：由已知得，
而，故，
所以，
故，
由向量夹角范围是，
故所求角为．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：，根据二项式的展开式得；
当时，展开式的常数项为．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：该事件分两种情况：
第一次交换，甲取白球，乙取白球的概率为，
第二次交换，甲取白球，乙取白球的概率为，
故这样交换次后，红球还在乙袋中的概率为，
第一次交换，甲取白球，乙取红球的概率为，
第二次交换，甲取红球，乙取白球的概率为，
故这样交换次后，红球还在乙袋中的概率为，
综上所述，所求概率为．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：根据题意可得小球不能到达区域的体积为长方体体积减去底面半径为高为的圆柱与半径为的球的体积，
故所求体积为：．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：中，由线面垂直的性质可得，若一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直，所以A正确；
中，如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直，所以B正确；
中，如果一个平面内有三点在同一条直线上，它们到另一平面距离相等，那么这两个平面相交，所以不正确；
中，如果平面外的一条直线上有两点再平面的两侧，它们到这个平面距离相等，此时直线与平面相交，所以不正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：因为重新求得的回归方程的斜率为，故变量与具有正相关关系，故选项A正确；
将代入回归直线方程为，
解得，
则样本中心为，去掉两个数据点和后，
由于，故样本中心还是，
所以重新求得的回归直线必过点，故选项C正确；
又因为去除后重新求得的回归直线的斜率为，
所以，
解得，
所以去除后的回归方程为，故选项B不正确；
因为，
所以，
即去除后相应于样本点的残差为，故选项D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：根据题意可得正四棱锥和正四面体的棱长都为，
正四棱锥和正四面体的高分别为，，
该几何体的体积是，选项正确；
取的中点为，则，，
即为二面角的平面角，
又易知，，
，选项正确；
根据题意可得正四棱锥和正四面体的棱长都为，
该几何体为三棱台，该几何体是五面体，平面平面，
选项错误，选项正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：预赛成绩在分到分之间的人数约为总人数的，
则，
高二年级有名学生，
则此次预赛成绩不低于分的学生人数约为．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：在只不同的试验产品中有只不合格品、只合格品，
每次取只测试，第次抽到其中任一只不合格品有种情况，
前次有次是不合格品，次是合格品共有种可能，
前次测试中的顺序有种可能，
由分步计数原理得最后只不合格品正好在第次测试时被发现的不同情形有：
种．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：正四棱锥的底面边长为，高是，
则斜高为，正四棱锥的侧面积，
因为每平方米需用油漆，所以共需用油漆千克．
故答案为：．
15.【答案】解：当时，，定义域为，
，
令得，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以．
函数的定义域为，
，
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，令得，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减．
【解析】当时，，定义域为，求导分析的符号，的单调性，最值，即可得出答案．
函数的定义域为，求导得，分两种情况：当时，当时，分析的符号，的单调性，即可得出答案．
16.【答案】解：当时，，所以，
当时，，则，又，所以，
又因为，所以等差数列的公差，所以；
令，
当时，，
所以，所以，
因为也满足上式，所以；
，设其前项和为，
则，
，
两式相减得：，
所以，
所以．
【解析】由条件式计算即可求得数列的公差，由等差数列的通项公式即可求得的通项，由通项与前项和的关系即可求的通项；
由错位相减法计算即可求得．
17.【答案】解：假设：预防药品与对预防甲流无效果，
由表格数据得：，
依据小概率值为的独立性检验，我们推断不成立，即有的把握认为预防药品与对预防甲流有效果；
设事件表示“该只动物被治愈”，事件表示“未使用过预防药品”，事件表示“使用过预防药品”，
则，，且，，
则，
即该只动物被治愈的概率是．
【解析】计算的值，再与临界值比较即可；
利用全概率公式计算．
18.【答案】解：由题意知，，
解得，，，
所以椭圆的标准方程为．
由题意知，直线的斜率存在，且不为，设其方程为，，，
联立，得，
所以，，，即，
因为，
所以，
解得，
所以，
而点到直线的距离为，
所以的面积．
所以，
解得，
所以，
而点到直线的距离为，
所以的面积．
【解析】根据椭圆的方程与几何性质，列方程组，求解即可；
设直线的方程为，将其与椭圆方程联立，利用求出的值，再结合点到直线的距离公式与弦长公式，求解即可．
19.【答案】解：证明：取的中点，连接，
在梯形中，，，
，所以四边形为正方形，
所以，
在中，，
有，
在中，有，又，
所以，在中有，即，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，因为平面，
所以，又因为，直线和有公共点，平面，平面，
所以平面，又平面，
所以；
以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，
设，则点坐标为，
则，，
设平面的法向量，
则有，
则，
因为点到平面的距离是，
所以，
则，
解得，
此时，，
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为；
设线段的中点为，则直角三角形外心为，则点坐标为，
三棱锥的球心为，则必在过直角三角形外心且垂直平面的直线上，
由平面，设点坐标为，
由得，，
解得，
故外接球半径，
球的表面积为．
故三棱锥的表面积为．
【解析】根据已知条件得出平面，再利用线面垂直的性质定理即可得证；
建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量夹角公式即可求解；
先确定三棱锥的球心为，在过直角三角形外心且垂直平面的直线上，由，得到外接球半径即可求解．
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